A implementação dos programas de matemática do ensino secundário: um estudo de caso em três escolas da região centro

Isabel Maria Martins

A Implementação dos Programas de Matemática do

Isabel Maria Martins

A

Implementação dos Programas de Matemática do

Tavares

Ensino Secundário

Um estudo de caso em três escolas da região centro

Dissertação apresentada a Universidade de Aveiro para cumprimento dos requisitos necessários a obtençãõ do grau de mestre em Matemática, realizada sob a orientação científica da Doutora Isabel Cabrita, Professora Auxiliar do Departamento de Didáctica e Tecnologia Educativa da Universidade de Aveiro

Às minhas filhas Beatriz e Margarida A quem gostaria de transmitir estes valores

Vogais Doutor António Manuel Águas Borralho, Professor Auxiliar da Universidade de Évora

Doutora Isabel Maria Cabrita dos Reis Pires Pereira, Professora Auxiliar da Universidade de Aveiro

Aos Conselhos Executivos das escolas onde realizei a investigação, pelas facilidades concedidas a realização do meu estudo.

Aos professores intervenientes, a Amélia, a Elisa, o Jorge, a Manuela, a Miquelina, a Paula, a Sónia e os restantes colegas dos respectivos grupos disciplinares, pela forma pronta com que acolheram o meu trabalho, por toda a colaboração prestada e pelo carinho que demonstraram por mim e por todo o processo, a que não se mostraram indiferentes.

Aos alunos intervenientes no estudo, pois sem a sua colaboração, nada teria sido possível.

Às minhas colegas de mestrado Ana Paulino, Fernanda Sousa e Sónia Assoreira, a quem incluí, definitivamente, na minha lista de (bons) amigos, pelo incentivo e apoio nos momentos difíceis.

Ao meu marido, Alberto, e a toda a minha família, pelo apoio constante, por terem acreditado em mim, e pelos muitos momentos que não Ihes pude dedicar como mereciam.

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resumo O presente trabalho propõe-se descrever e comentar o resultado de um estudo sobre as condições e o modo como é implementada a Matemática no Ensino Secundário e o seu impacto nas motivações dos alunos em relação à Matemática. Mais concretamente reflecte-se sobre as condições humanas, logísticas e administrativas que são disponibilizadas para apoio à abordagem da Matemática, incluindo o tipo de formação que é proporcionado aos professores, o grau de cumprimento dos programas, quais os objectivos que os professores realmente perseguem, isto é, que competências pretendem que os alunos desenvolvam, quais os assuntos abordados e como os interligam, quais as metodologias adoptadas e os recursos utilizados e quais os tipos e instrumentos de avaliação que privilegiam e a consequente alteração na motivação dos alunos em relação à Matemática.

O estudo foi realizado em três escolas do distrito de Aveiro durante um ano lectivo, e incidiu sobre a observação de sessões de formação, de reuniões de grupo e de aulas de sete professores dos 10º e 11º anos de escolaridade. Procedeu-se, ainda, à análise de entrevistas, de questionários aplicados a alunos e professores e documental.

abstract The following work aims at describing and commenting on the outcomes of a project about the conditions and the way the teaching of Mathematics is being applied to the Secondary School level (teachers’ and students’ opinions included), and its impact on the students’ attitude towards this subject.

It specifically reflects on the administrative, logistic and human conditions available to support the approach to Mathematics, namely teachers’ training courses, the level of accomplishment of the course year’s plans, the objectives teachers want to achieve, i.e., the competences they want students to develop, the way the different contents are approached and how they are connected, the methodologies, resources and assessment instruments chosen ( teachers’ and students’ points of view included) and the consequent change in the students’ motivation towards Mathematics.

The experiment was held in three schools in the Aveiro region for a curricular year, and it focused on the observation of training sessions, group meetings, and lessons taught to the 10th and 11th form by seven teachers. Interview analysis, questionnaires to both teachers and students were also taken into consideration, as well as related documental information.

Main conclusions were drawn from the analysis of the collected data. .

CAPÍTULO I

Introdução

1. Contextualização

2. Problemática da investigação e importância e actualidade do tema

3. Objectivos e questões de investigação

4. Resultados esperados e implicações do estudo

5. Estrutura da dissertação

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Neste capítulo, pretende-se fazer a contextualização do estudo, explicitando as razões por que se optou por este tema, quais os objectivos que se perseguem e as questões investigativas para as quais se procurou uma resposta, terminando o capítulo com uma breve descrição da estrutura da dissertação.

1.

Contextualização

Tradicionalmente, os professores encaravam a sua tarefa como uma simples “transmissão de conhecimentos” que, periodicamente, testavam para atribuir aos alunos a sua classificação – os testes escritos eram, para a maioria dos professores, o único instrumento de avaliação das aprendizagens utilizado. Os materiais utilizados nas aulas eram, invariavelmente, o quadro, o giz e o manual. As aulas eram também preparadas, individualmente, em casa, usando o manual quase em substituição do programa, e as matérias eram apresentadas aos alunos como produtos acabados, descontextualizadas e sem a preocupação de lhes mostrar qual a sua utilidade prática. Valorizava-se, apenas, o cálculo rotineiro.

Esta prática dos professores contribuía, facilmente, para que os alunos se alheassem da matéria ou, simplesmente, tivessem atitudes e representações adversas à disciplina. O insucesso educativo era inevitável.

Várias medidas foram sendo implementadas para que tal situação se modificasse. Principalmente, tentou-se actuar ao nível da Formação de Professores – Inicial, Complementar, Profissionalizante, Pós-Graduada, Contínua, …

A par disto, sucederam-se reformas Educativas, ajustes ou reorganizações curriculares que têm sido, no entanto, sistematicamente, postas em causa.

Quando, em 1993, se generalizou a aplicação do “novo” programa de Matemática para o Ensino Secundário (em experiência pedagógica desde 1991), ouviram-se críticas, nomeadamente, quanto à sua implementação na sala de aula. Uns porque o consideravam muito extenso para as 4 horas semanais de que dispunham, outros porque o consideravam inexequível, por introduzir indicações metodológicas consideradas demasiado inovadoras, e para as quais os professores não se sentiam preparados. Rapidamente se sentiu que havia muito mais a fazer.

A este propósito se referiram Ramalheira e Lima (1994) que, fazendo uma breve explanação das principais opiniões e conclusões dos experimentadores e delegados de grupo sobre as condições de implementação daquele programa numa tão reduzida carga curricular e apresentando um estudo comparativo com outras disciplinas de formação específica e com a situação em alguns países europeus, propõem, entre outras medidas, o aumento da carga curricular para a disciplina.

Também foram referidos de forma clara e concisa, por Silva et al. (1997), os problemas detectados pelos professores na implementação do programa e que motivaram a necessidade de se proceder a um ajustamento desse mesmo programa.

Após ter sido avaliada toda esta situação, aparece, então, o Programa Ajustado, que “não vem constituir um novo programa” (Ministério da Educação, 1997: 1), antes, com base em experiências vividas por alguns professores, e sem perder de vista os princípios em que assentava o anterior, visava torná-lo exequível, reorganizando e articulando os conteúdos de forma diferente.

Tal como é referido no mesmo documento, foram chamadas a dar parecer sobre o ajustamento as mais diversas personalidades, entidades e instituições com responsabilidades na área da Educação em Matemática, nomeadamente, especialistas em Matemática e em ensino da Matemática, Associações de Professores e Sociedades Científicas, bem como os autores do Programa de Física (id: id).

Cientes de que esta mudança não era fácil, os responsáveis, na altura, puseram em prática um conjunto de medidas com as quais se pretendia dar apoio aos professores para melhor interpretarem e implementarem o programa: em simultâneo com a entrada em vigor do ajustamento, iniciou-se a publicação de brochuras de apoio a cada um dos temas a leccionar (mais tarde também uma série de cassetes de vídeo) e as escolas começaram a receber das Direcções Regionais de Educação o mais diverso material de apoio à disciplina – calculadoras gráficas, jogos didácticos, software específico e materiais manipuláveis - incentivando a criação dos Laboratórios de Educação em Matemática, preconizados no Programa Oficial (ib: 10).

A par de todo este material de apoio, foi, ainda, criada uma equipa de trabalho constituída por um grupo de professores que, depois de receberem formação adequada, formavam uma rede que cobria o país de Norte a Sul, sem esquecer Açores e Madeira, para apoiar os professores do Ensino Secundário na Implementação do Programa Ajustado para

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o Ensino Secundário – o Acompanhamento Local. A este propósito se referem, entre outros, Precatado (1998) e Ponte (2002: 34).

Estes “Acompanhantes” tinham como tarefa específica ajudar os colegas a interpretar as indicações do programa, como sejam os princípios subjacentes, os objectivos que se perseguiam, o que deveria ser (ou não) leccionado e como. Deveriam dar sugestões sobre como integrar o tema geral e a história da matemática, como privilegiar o estabelecimento de conexões dentro da Matemática, com outras áreas disciplinares e com o dia-a-dia, como promover a comunicação matemática, a resolução de problemas, a integração das novas tecnologias – calculadoras e software específico — e sobre os tipos e instrumentos de avaliação das aprendizagens apropriados.

Em 1998 tivemos a possibilidade de integrar o grupo de professores Acompanhantes Locais para a Implementação do Programa Ajustado de Matemática para o Ensino Secundário.

Durante dois anos lectivos participámos nas mais variadas reuniões com professores com posturas diversas e entendimentos diferentes relativamente às indicações do Programa e, muitos deles, resistentes à mudança.

Já ficou explicitado, anteriormente, o enorme investimento feito pelas entidades responsáveis.

A acrescer a este esforço, e com o objectivo de avaliar o processo de implementação do ajustamento, foi encomendado ao IIE, em 1998/99, um estudo da situação, ainda em contexto de generalização da implementação do ajustamento – foi no ano em que, pela primeira vez, se aplicava ao 12º ano.

As conclusões deste estudo, a uma parte do qual pudemos ter acesso (Cabrita e Correia, 1999), nunca chegaram, lamentavelmente, a ser publicadas. No entanto, devem ter contribuído, fortemente, para as alterações que se seguiram aos próprios programas.

No ano lectivo em estudo – 2003/2004, e apesar de não ter sido implementada a Revisão Curricular do Ensino Secundário, entrou em vigor o novo programa de Matemática A para o 10º ano de escolaridade dos Cursos Gerais (mantendo-se, para os Cursos Tecnológicos, o “anterior” programa).

Esse programa de Matemática A previa uma carga curricular de três blocos semanais de 90 minutos, tendo, no ano em estudo, sido implementado no anterior desenho curricular, com uma carga horária semanal de apenas dois blocos de 90 minutos.

2. Problemática da investigação e importância e actualidade do tema

Embora esteja em vigor, desde 2004/2005, a Revisão Curricular e novos programas estejam a ser implementados, são-no de forma faseada, isto é, os alunos que já se encontravam no Ensino Secundário à data da entrada em vigor dos actuais programas e que tenham tido aproveitamento na disciplina continuaram a estar sujeitos aos programas “anteriores” e apenas os alunos que não tiveram aproveitamento são agora sujeitos aos novos programas e ao novo desenho curricular, sendo-lhes, no entanto, facultada, nalguns casos, a possibilidade de tentar obter aproveitamento na disciplina por exame nacional (sobretudo no caso da disciplina de Métodos Quantitativos que, entretanto, deixou de existir nos actuais currículos1_).

Se, em relação aos anteriores programas, o de Matemática A (ME, 2001a) não tem alterações de fundo, o mesmo já não acontece com os programas de Matemática B (ME, 2001c) e Matemática Aplicada às Ciências Sociais (ME, 2001b), que representam um enorme avanço qualitativo no que respeita a metodologias e avaliação propostas2_.

Neste contexto, interessa investigar até que ponto todo o investimento que foi feito está a ser profícuo, concorrendo para melhorar o processo de ensino e de aprendizagem da matemática que não pode descurar a motivação dos alunos para a disciplina, que vem sendo a de mais elevado insucesso.

Há que fazer um balanço do impacto que está a ter o trabalho realizado, para melhor se compreender a realidade que se vive e se poder agir em consonância, reforçando os aspectos positivos que, certamente, existem, e atacando os constrangimentos e fragilidades existentes. É nesta perspectiva que se pretende levar a efeito um estudo sobre as questões enunciadas.

1 _{Na nova revisão curricular, a disciplina de Matemática A é destinada aos alunos dos Cursos}

científico-humanísticos de Ciências e Tecnologia e de Ciências Socioeconómicas, mas no ano da sua implementação destinou-se aos alunos que, na anterior reforma, tinham a disciplina de Matemática; a de Matemática B aos alunos dos Cursos científico-humanísticos de Artes Visuais e dos Cursos Tecnológicos de Construção Civil e Edificações, Electrotecnia e Electrónica, Informática, Administração, Marketing, Desporto, Comunicação Audiovisual, Design de Comunicação, Design do Produto e Produção Artística e a de Matemática Aplicada

às Ciências Sociais aos alunos do Curso científico-humanístico de Ciências Sociais e Humanas e do Curso Tecnológico de Ordenamento do Território e Ambiente. Nesta Revisão Curricular, o Curso Científico-Humanístico de Línguas e Literaturas e os Cursos Tecnológicos de Design de Equipamento, Multimédia e Acção Social não incluem, no seu plano de estudos, qualquer disciplina de Matemática.

2 _{Vejam-se, por exemplo, as considerações 5, 6 e 7 do parecer que sobre estes programas foi dado pelo}

Departamento de Educação da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, em http://www.educ.fc.ul.pt/pareceres/progmat.htm (consultado em 10 de Abril de 2005)

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3.

Objectivos e questões de investigação

Este estudo tem como principal objectivo avaliar as condições de implementação dos Programas de Matemática do Ensino Secundário, o grau de cumprimento dos mesmos (incluindo a opinião de professores e alunos) e o seu impacto na motivação dos alunos em relação à Matemática.

Mais concretamente, pretende-se avaliar o processo de implementação dos Programas de Matemática no Ensino Secundário, nomeadamente no que diz respeito:

• às condições, humanas, logísticas e administrativas que são disponibilizadas para apoio à abordagem da Matemática;

• à formação que é proporcionada aos professores;

• à forma como se aborda a Matemática no Ensino Secundário - quais os objectivos que os professores realmente perseguem, quais os conteúdos abordados e como se interligam, quais as metodologias adoptadas e os recursos utilizados, quais os tipos e instrumentos de avaliação que se privilegiam (integrando a opinião de professores e alunos);

•

Com o presente estudo pretende-se, então, obter respostas às questões de investigação directamente decorrentes dos principais objectivos que se perseguem:

• Que condições, humanas, logísticas e administrativas, são disponibilizadas pelas escolas para apoio à abordagem da Matemática? Tais condições são favoráveis à implementação dos Programas de Matemática?

• Que formação é proporcionada aos professores relativamente aos Programas de Matemática do Ensino Secundário? Tal formação favorece a implementação dos Programas de Matemática?

• Como se aborda a Matemática — quais os objectivos que se perseguem, isto é, que competências é que os professores pretendem que os alunos desenvolvam, quais os conteúdos abordados e como se interligam, quais as metodologias adoptadas e os recursos utilizados, quais os tipos e instrumentos de avaliação que se privilegiam? Tal abordagem é consonante com o preconizado nos Programas?

• Qual o impacto de tal implementação na motivação dos alunos para a Matemática?

4.

Resultados esperados e implicações do estudo

Com este estudo espera-se, essencialmente, denunciar a forma como estão a ser implementados os Programas de Matemática do Ensino Secundário, destacando aspectos positivos de tal implementação e constrangimentos à mesma. Neste caso, avança-se com sugestões que contribuam para a sua superação.

As principais implicações do estudo situam-se ao nível das políticas educativas e de formação de professores.

5.

Estrutura da dissertação

Este trabalho está estruturado em cinco capítulos.

No primeiro, contextualiza-se o estudo; evidencia-se a problemática e a importância e actualidade do mesmo; explicitam-se os principais objectivos que se perseguem e as questões de investigação às quais se pretende dar resposta; expõem-se os resultados esperados e as principais áreas de implicação da investigação e descreve-se a estrutura da dissertação.

No capítulo II procede-se a um breve enquadramento teórico da temática em estudo, abordando-se as principais orientações para o processo de ensino e de aprendizagem da matemática e a evolução que foram sofrendo a nível dos programas do ensino secundário em Portugal.

No capítulo III justificam-se as opções metodológicas tomadas, caracterizam-se os intervenientes em estudo e os instrumentos de investigação utilizados e descreve-se o estudo. Finaliza-se com a enunciação do tratamento a que os dados foram sujeitos.

No capítulo IV procede-se à análise dos dados recolhidos e no capítulo V apresentam-se as principais conclusões do estudo, explicitam-se as principais limitações e avançam-se algumas recomendações.

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Optou-se, ainda, por apresentar, em anexo ao trabalho, documentos/artefactos recolhidos ao longo da investigação; a transcrição completa de todos os diários de bordo correspondentes ao relato das aulas e da sessão de formação assistidas e dos questionários aplicados a alunos e professores.

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CAPÍTULO II

Enquadramento teórico

1. Orientações para o processo de ensino e de aprendizagem da matemática

1.1 Princípios, finalidades, objectivos, competências

1.2 Conteúdos

1.3 Métodos e estratégias

1.3.1 O papel do professor e dos alunos

1.3.2 O trabalho de grupo

1.3.3 As tarefas

1.3.4 Os recursos

1.4 Avaliação

2.

Condições humanas, logísticas e administrativas

3.

Os Programas de Matemática no Ensino Secundário em Portugal

3.1 Os Programas até 1986

3.2 A reforma de 1991

3.3 O Ajustamento de 1997

3.3.1 A formação dos professores

3.3.2 As condições logísticas das escolas

3.3.3 A avaliação das aprendizagens

3.4 Os Programas actualmente em vigor

4. Conclusão

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Neste capítulo tentar-se-á enquadrar, teoricamente, o estudo em relação às mais recentes orientações para o processo de ensino e de aprendizagem da Matemática e como foram evoluindo a nível dos programas do ensino secundário em Portugal, fazendo-se, ainda, referência a investigações já realizadas, cujos resultados permitam reflectir sobre as orientações explicitadas.

1. Orientações para o processo de ensino e de aprendizagem da matemática “Uma boa educação não será avaliada pelo conteúdo ensinado pelo professor e aprendido pelo aluno. (…) Espera-se que a educação possibilite, ao educando, a aquisição e utilização de instrumentos comunicativos, analíticos e materiais que serão essenciais para seu exercício de todos os direitos e deveres inerentes à cidadania”.

(D’Ambrosio, 2002: 66)

Na opinião de Rico (1995): “Nas sociedades modernas, o sistema escolar é uma

instituição complexa que implica uma multidão de pessoas e organismos e, simultaneamente, tem de satisfazer uma diversidade de fins nem sempre bem delimitados e coordenados.” (p. 147)

Mais especificamente, referem Nascimento e Beltrão (2001) que: “à Escola cabe

um papel fundamental na educação dos cidadãos: (a) colaborar com os outros sectores da

sociedade com vista à construção comum de um mundo melhor; (b) criar condições que

permitam a preparação dos jovens para a sua inserção no mundo do trabalho; (c)

possibilitar o desenvolvimento pessoal e social dos jovens para que eles possam compreender o seu papel enquanto indivíduos pertencentes a uma sociedade simultaneamente local e global; (d) transmitir conhecimentos, não enciclopédicos, mas os

considerados fundamentais e que permitam a construção de estruturas cognitivas que se irão reforçar e crescer ao longo da vida. (p. 82).

Neste contexto, afirma-se de primordial importância o estudo da Matemática. No dizer de César et al. (2001) “Esta importância está associada, por um lado, a factores de

ordem histórica, como o progresso tecnológico e científico que se tem verificado ao longo dos tempos. Por outro lado, existem factores que estão relacionados, por exemplo, com o

desenvolvimento de um espírito crítico, que o estudo da Matemática deverá proporcionar, e que se revela essencial para o exercício de uma cidadania plena.” (p. 181).

1.1 Princípios, finalidades, objectivos, competências

“We live in a mathematical world. Whenever we decide on a purchase, choose an insurance or health plan, or use a spreadsheet, we rely on mathematical understanding.”

(NCTM3: introd.)

Em 1989 surgem publicadas as primeiras normas do NCTM para o currículo de matemática na América do Norte e que são traduzidas e editadas em português, pela APM em 1991. Estas normas “constituem um documento destinado a estabelecer um quadro

amplo de orientação para a reforma da matemática escolar” (p. vi). Nelas “fica expressa

uma visão do que o currículo de Matemática deve incluir em termos de prioridade e importância dos conteúdos”, colocando um desafio “a todos os interessados na qualidade

da matemática escolar, de trabalharem em colaboração, usando estas normas para o currículo e a avaliação como o fundamento para a mudança, de modo que o ensino e a aprendizagem da matemática nas nossas escolas seja melhorado” (id: id).

Nas mais recentes orientações do NCTM3_{, podem encontrar-se referências aos}

diversos princípios do processo de ensino e aprendizagem da matemática: (i) expectativas elevadas e apoio forte para todos os alunos; (ii) o currículo tem que ser coerente, com ênfase na matemática importante e bem articulada ao longo dos diversos graus [de ensino]; (iii) ensinar efectivamente matemática requer a compreensão do que os alunos sabem e necessitam de aprender e desafiá-los e apoiá-los para que aprendam bem; (iv) os alunos devem aprender matemática com compreensão, construindo activamente novo conhecimento a partir da experiência e do conhecimento anterior; (v) a avaliação deve apoiar a aprendizagem da matemática importante e fornecer informação útil quer para os alunos quer para os professores; (vi) a tecnologia é essencial no ensino e aprendizagem da matemática, influenciando a matemática que é ensinada e incrementando a aprendizagem dos alunos.

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Já em 1973, Scopes referia como finalidades da Educação que esta se revista de um carácter utilitário, social, cultural e pessoal, finalidades que devem estar, obviamente, subjacentes ao ensino da matemática. Nesta perspectiva, devem valorizar-se: (1) a matemática para o dia-a-dia (números e operações numéricas, medidas e aproximações, geometria básica e gráficos e relações), ferramenta para outras disciplinas (entre as quais álgebra básica, cálculo, trigonometria, estatística e vectores e matrizes) e alicerce para estudos futuros; (2) métodos de investigação (científico, intuitivo, dedutivo e inventivo) e trabalho com os outros (organização, cuidado com o equipamento, direitos da comunidade e motivação social); (3) desenvolvimentos históricos (processos de pensamento originais, desenvolvimentos baseados neles e examinação da estrutura), matemática como uma linguagem (forma, tamanho e mudança, o poder do simbolismo e modelos matemáticos), matemática e lógica e apreciação estética; (4) construção do carácter (mediante envolvimento activo, sucessos pessoais e trabalho com os outros) e o estímulo (curiosidade, auto-expressão e auto-crítica).

Também Matos (1991), refere que:

“Através da análise de trabalhos nas áreas de história e filosofia da Matemática e das ciências verificámos que estas não se desenvolvem por um processo racional e acumulativo do conhecimento. Verificámos, ainda, que as ciências e, em particular, a Matemática têm profundas ligações à cultura e à estrutura económica e social das sociedades.” (p. 100)

Mais adiante (id: 103) considera que “a Matemática, quer enquanto corpo de

conhecimentos, quer enquanto prática, é uma entidade social. Social, não só nos seus usos e costumes, mas também nos seus próprios conceitos.”

Alonso (1993) refere ser necessário questionar, para a definição dos currículos: (a)

O que se considera valioso hoje, na nossa sociedade, que os alunos aprendam na Escola e quais os processos mais adequados para a sua assimilação? (b) Qual a concepção de

“conteúdos” mais adequada para o currículo actual? (c) Que capacidades e atitudes

devem ser promovidas de forma intencional desde todas as áreas ou componentes do currículo? (d) O que é importante avaliar e como? (p. 311)

Já em 1992, defendia Ponte, acerca da relação Matemática-Realidade no Ensino- -Aprendizagem, que “em termos de ensino, tem prevalecido fortemente a concepção da

Matemática, focado exclusivamente nesta disciplina não garante o desenvolvimento da capacidade da sua utilização no quadro de situações concretas.” (p. 13).

Também no mesmo sentido vão as ideias expressas por Abrantes, Ferreira e Oliveira (1996a) que consideram:

“As recomendações surgidas nos últimos anos em numerosos documentos programáticos internacionais, bem como as orientações expressas por reformas curriculares recentes levadas a cabo em diversos países, apontam no sentido de que o desenvolvimento de capacidades de raciocínio e resolução de problemas deve tornar-se um objectivo prioritário para todos os alunos. De acordo com essa perspectiva, no nosso país, uma das linhas de força dos novos programas de Matemática para todos os níveis escolares é a ideia de que os objectivos a alcançar não se podem limitar à aquisição de conhecimentos, devendo abranger o desenvolvimento de capacidades/aptidões e de atitudes/valores. (...) A Matemática escolar só poderá cumprir esse papel se for capaz de operar uma mudança significativa na natureza das

actividades que têm sido dominantes nas aulas_{” (p. 165).}

Em 1998, defendiam Ponte et. al que “vista como prática social, a Matemática dos

matemáticos puros é muito diferente da que muitos profissionais (estatísticos, informáticos, engenheiros, economistas) usam na resolução dos problemas dos respectivos domínios. Por outro lado, como resultado do processo de transposição didáctica que inevitavelmente ocorre quando se passa de um domínio científico para uma prática educativa, a Matemática que se ensina na escola é também algo diferente da dos cientistas e da dos profissionais.” (p. 312).

1.2 Conteúdos

Nas normas do NCTM (1989) defendia-se a ideia de que todos os alunos do nível secundário deveriam ter Matemática durante, pelo menos, 3 dos quatro anos de duração deste nível de ensino, sendo de exigir aos alunos que pretendessem frequentar o ensino superior, 4 anos de estudo da disciplina (p.147) e definiam-se como normas para este nível 9-12, (1) a Matemática como resolução de problemas; (2) A Matemática como comunicação; (3) A Matemática como raciocínio; (4) Conexões Matemáticas; (5) Álgebra; (6) Funções; (7) A Geometria segundo uma perspectiva sintética; (8) A Geometria segundo uma perspectiva algébrica; (9) Trigonometria; (10) Estatística; (11) Probabilidades; (12)

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Matemática discreta; (13) Bases Conceptuais do Cálculo Infinitesimal e (14) Estrutura Matemática.

Quanto aos temas a estudar, recomenda o NCTM4 que os alunos do ensino secundário devem experimentar conexões entre álgebra, geometria, estatística, probabilidades e matemática discreta, necessitam compreender os conceitos fundamentais de função e relação, invariância e transformação, devem ser capazes de visualizar, descrever e analisar situações em termos matemáticos e necessitam de ser capazes de justificar e provar matematicamente ideias fundamentais, dando, ainda, ênfase à modelação.

Vieira (1991) refere, ainda, a importância da abordagem da História da Matemática:

O ensino tradicional da matemática e entenda-se por tal um ensino meramente expositivo e acrítico, de tipo présocrático no dizer de Freudenthal, apresenta a matemática como uma ciência morta: axiomas, definições, teoremas, demonstrações e exercícios de aplicação (muitos, se possível). A história das matemáticas é uma excelente referência para se sentir a matemática como uma ciência viva. Na lógica de uma matemática actual com raízes na história o seu ensino não pode deixar de solicitar a participação activa - afectiva e intelectual - do aluno, deve fazer com que os alunos sintam, como diz Serge Lang, “o prazer de fazer matemática”.(p. 270)

1.3 Métodos e estratégias

Em 1973, Scopes refere que, a par da modernização dos conteúdos no currículo inglês, deu-se outra importante mudança – a mudança da ênfase nos métodos de ensino para os métodos de aprendizagem, que deveriam valorizar o “fazer”como a forma mais efectiva de aprender. Chama a atenção para a necessidade de os professores fazerem um esforço de modernização, discutir ideias com os seus pares, trabalhar e investigar individualmente, e associar-se a uma organização profissional para poder receber regularmente material que o ajude nesse trabalho. Para isto, dá algumas indicações – tendo

como preocupação que a ênfase já não é “ensino pelo professor” mas “aprendizagem pelo

aluno”, o ponto de partida deve ser o estabelecimento de metas (capacidades e atitudes a desenvolver e conceitos a apreender), a selecção do conteúdo e a determinação da abordagem apropriada, envolvendo estratégias e materiais. O passo final é a avaliação do trabalho realizado, seja por meio de testes, exercícios, trabalho de projecto ou outro. Refere como importante que, de acordo com o tópico a abordar em cada aula e o tipo de tarefa a propor aos alunos, seja planificado um tipo diferente de aula – aula para a turma inteira, trabalho em grupo, trabalho individual ou em pares, discussão sobre um tema, apresentação de um filme ou de um trecho de um filme e outros meios audiovisuais, jogos, orador convidado, visita de estudo, ...

Também Castelnuovo (1973) faz uma resenha da história da didáctica em Itália e refere o trabalho e as ideias dos autores mais importantes nessa área, dizendo de Comenius:

“Comenius distinguia diferentes estratos, segundo a idade e, para cada um deles, assinalava um determinado programa de instrução. Não se tratava de mudar temas, mas de tratar os mesmos de maneira diferente à medida, precisamente, da possibilidade de compreensão dos alunos, e considerados sempre de um ponto de vista mais amplo, entendendo-se como uma espiral; assim se formará uma cultura, de modo tal que aquilo que se aprendeu hoje reforce o que aprendeu ontem e abra caminho para o que se aprenderá amanhã.” (p.15)

Já Comenius, defendia, na sua obra publicada em 2ª edição em 1957, aquilo a que Castelnuovo chamou o princípio da escola activa:

“o conhecimento deve necessariamente principiar pelos sentidos (uma vez que nada se encontra na inteligência, que primeiro não tenha passado pelos sentidos). Porque é que, então, o ensino há-de principiar por uma exposição verbal das coisas, e não por uma observação real dessas mesmas coisas? Somente depois de esta observação das coisas ter sido feita, virá a palavra, para a explicar melhor.” (p. 307)

Na mesma linha, Freudenthal (1973) refere aquilo a que chama os princípios da didáctica de Comenius - que considera o primeiro pedagogo depois de Sócrates e descreve aquilo que denomina por “re-invenção” da matemática por parte do aluno - “The best way

to teach an activity is to show it”;” the best way to learn an activity is to perform it” (p.110).

Também, em 1974, num relatório elaborado por uma subcomissão da TCMA, em que eram analisados os programas de ensino da Matemática em Inglaterra, são

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apresentadas, em conclusão, algumas sugestões para “estimular o interesse” dos alunos, designadas, umas por “modos de aprendizagem” e outras por “ajudas técnicas”- trabalho prático, descoberta através da experimentação, trabalho de projecto, trabalho em grupo, conexões com outras áreas do saber; recomenda-se a criação de laboratórios de ensino em matemática, o uso de meios audiovisuais diversificados e o acesso a computadores, a importância do trabalho de equipa entre os professores, e a atenção aos alunos com dificuldades de aprendizagem. Na Inglaterra, diz-se no relatório, nos anos anteriores àqueles em que se desenrolou este estudo, novas formas de ensinar matemática tinham sido implementadas nas escolas básicas. Novas formas menos baseadas nas capacidades em técnicas e procedimentos, mas encorajando a curiosidade, a experimentação e a descoberta. Assim, os alunos, ao entrarem nas escolas secundárias, ficavam mais habituados a situações variadas e activas de aprendizagem, a enfrentar problemas autonomamente ou em grupos, a fazer trabalho prático dentro e fora das aulas e a usar ajudas técnicas, tal como, no passado, os alunos estavam habituados ao quadro e ao manual.

Macias (1983), advogando que se devem tomar como ponto de partida as situações concretas, a partir das quais começar o processo de abstracção e, sempre que possível, as conexões com outras disciplinas, se referia à metodologia a utilizar na sala de aula: “no

método expositivo, o aluno é um elemento passivo da aula”; “actualmente, o centro da

aula não deve ser o professor, mas sim o aluno, sendo o professor o guia da acção investigativa do aluno. A aquisição de conhecimentos deve ser ir acompanhada da acção do aluno. Impõe-se, pois, o ensino «vivo» da Matemática” (p. 15),.

Nas já referidas normas do NCTM (1989) para o currículo de matemática na América do Norte, defende-se, como modelos de ensino, que os alunos se tornem directores da sua própria aprendizagem, mediante experiências planeadas pelo professor de modo a favorecer a sua crescente independência e a curiosidade intelectual, tendo em vista o desenvolvimento da capacidade de auto-aprendizagem que dure a vida inteira, o que implica um papel diferente quer para o aluno quer para o professor, deixando para este a tarefa de criar situações de exploração e descoberta por parte dos alunos, que poderão trabalhar em grupos para se entreajudarem e de moderador das discussões e sínteses elaboradas pelos alunos. Também o uso da tecnologia é considerado importante neste processo de ensino e de aprendizagem, transformando a aula de Matemática num Laboratório de investigação.

Matos (1991) refere, relativamente à educação matemática, que devemos “entender

a criação Matemática escolar como um acto realizado através de interacção social dos alunos, recorrendo a ligações constantes com os conhecimentos anteriores e com as utilizações sociais dos conceitos.” (p. 101)

E, mais adiante (id: 104) refere, ainda que “a qualidade das suas aprendizagens

depende, antes de mais, da qualidade das experiências matemáticas colectivas que proporcionarmos aos nossos alunos.”

Conclui, finalmente, que, “Se a sala de aula deve ser o viveiro das ideias

matemáticas dos alunos, então deverá haver espaço para a argumentação, para a experimentação, para a tolerância perante a dissenção. (…) A sala de aula deverá dar

espaço para o surgimento de visões matemáticas alternativas”. (ib: id)

Ernst (1994) refere que, até àquela altura, a matemática tinha tido a decepcionante aparência de ser completamente formal e um conhecimento perfeitamente acabado, acrescentando que, ainda há algumas décadas àquela parte, a visão dominante sobre a educação matemática assumia que o ensino e a aprendizagem da matemática requeriam somente a efectiva transmissão de conhecimentos matemáticos (p. 1).

Algumas investigações realizadas em Portugal nos anos 80 e 90 verificaram que por cá ainda pouco tinha mudado.

Cardoso (1995) refere que Almeida (1994) “define dois elementos que concorrem

para qualquer aprendizagem matemática – a imaginação e a técnica – afirmando que a aquisição de uma técnica é sempre mais fácil que a aquisição da capacidade imaginativa” (p. 7). E prossegue: “quando o tempo é pouco e não é possível respeitar os tempos

individuais, há a tentação de escolher a via mais rápida.” (id: 7-8).

Também Ponte et al. (1998) referem dois estudos, um de Guimarães (1988) e outro de Boavida (1993). De acordo com Guimarães “os professores vêem a aula constando de

momentos alternados de exposição (essencialmente a seu cargo) e de prática (essencialmente a cargo dos alunos). Na exposição cabe ao professor transmitir a informação e cabe ao aluno recebê-la.” (p. 254). Na mesma linha, Boavida “descreve do

seguinte modo o que considera ser a aula de Matemática típica: (a) o professor enquadra o que vai ensinar no contexto da aula anterior, (b) de seguida expõe a nova matéria, (c) após o que os alunos fazem exercícios de verificação, confirmação e consolidação do que foi exposto.” (p. 255).

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Boaler (2002), partindo da constatação de que muitos alunos não eram capazes de usar a matemática que aprendem na escola em contexto de fora da sala de aula, descreve um estudo por si realizado na Inglaterra, em duas escolas secundárias, ao longo de três anos, para investigar as experiências e o desenvolvimento das compreensões dos alunos, em diferentes ambientes de ensino. Os especialistas tinham sugerido que os professores ocupassem os alunos com resolução de problemas matemáticos. Foi recomendado que aos alunos fosse dado trabalho prático e investigativo, que requer deles tomadas de decisão, planeamento do caminho a seguir na resolução das tarefas, escolha de métodos e aplicação dos seus conhecimentos matemáticos. Esta é considerada uma abordagem aberta da matemática, mais baseada em processos, em contraponto com a anterior abordagem mais livresca, considerada abordagem fechada, mais baseada em produtos. Os resultados desta investigação revelaram algumas limitações importantes do tipo de ensino livresco, mais ineficaz a preparar os alunos para as exigências do mundo real e não mais eficaz que a abordagem aberta na preparação dos alunos para a tradicional avaliação de conhecimentos/conteúdos. Por outro lado, na escola em que o método usado foi a abordagem aberta, verificou-se que alguns alunos passavam muito do seu tempo sem trabalhar. Apesar disso, estes alunos tiveram melhor desempenho no teste e nas situações de aplicação do que os da outra escola, tendo desenvolvido também visões mais positivas sobre a natureza da matemática. Boaler remata dizendo que uma conclusão importante que se sentiu capaz de retirar desta análise é que uma abordagem tradicional, livresca, com ênfase em cálculos, regras e procedimentos, coloca os alunos em desvantagem, principalmente porque encoraja a aprendizagem inflexível, circunscrita à escola e de uso limitado.

Outra ideia que vem sendo defendida por diversos autores é que cada conceito não deve ser visto isoladamente, mas em conexão com outros, dentro da própria matemática, ou de outras áreas do conhecimento.

Já em 1975, Sebastião e Silva defendia:

“A matemática não se reduz a ciência isolada platonicamente de tudo o resto. É também um instrumento ao serviço do homem nos mais variados ramos da ciência e da técnica. O professor deve sempre ter presente este facto e tentar estabelecer, sempre que possível, as conexões da matemática com outros domínios do pensamento, atendendo a que muitos dos seus alunos irão ser físicos, químicos, biólogos, geólogos, engenheiros, economistas, agrónomos ou médicos.”(p. 12)

As conexões entre os vários temas de ensino da Matemática e das outras ciências são referidas nas normas do NCTM, já citadas, e a sua importância é evidente para se estudar a Matemática como aplicação do real, nomeadamente ao nível da modelação matemática.

Nesta linha, também Bernardes (2000: 48) se refere a este assunto: “As conexões de

modelação são fundamentais para dar contexto e significado aos conteúdos matemáticos, ao mesmo tempo que podem evidenciar o poder e a aplicabilidade da matemática.”

1.3.1 O papel do professor e dos alunos

O bom professor, em qualquer disciplina, tem de ser um bom animador, motivando os seus alunos para conteúdos e actividades que o interessem, a fim de neles se empenharem.

A. Cabral (2001: 243) Na opinião de Ponte et al. (1998), “um aspecto fundamental das concepções e

práticas pedagógicas dos professores diz respeito aos seus métodos de ensino, às formas de trabalho que usam com os seus alunos e aos materiais didácticos a que recorrem. É necessário saber-se como pensam que devem conduzir e como conduzem, de facto, o seu ensino.” (p. 254)

Segundo Barbosa (2000: 74), o papel “corresponde à forma como normalmente o

grupo social entende que o indivíduo deve exercitar o seu estatuto”.

Ouvem-se, por vezes, da parte dos professores, expressões como “o cumprimento dos programas”, apenas dando-lhe o sentido de “sumarização de conteúdos”, justificando que, porque os programas são muito extensos, “não se pode utilizar determinada

metodologia que é expressamente indicada no próprio programa”. Isto mesmo é referido por Ponte et al. (1998: 18), que, citando o ICMI5, apresentam, com clareza, a distinção entre o que aquele organismo define como “currículo enunciado” (as intenções dos autores, supostamente estabelecidas nos documentos oficiais), “currículo implementado” (o modo como as orientações curriculares são concretizadas, nomeadamente pelos professores) e “currículo adquirido” (aquilo que os alunos efectivamente aprendem).

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Já em 1990, Fernandes nos apresentava a sua perspectiva quanto a este assunto: “Com tais atitudes [compreender os desejos, emoções, angústias, ansiedades ou frustrações desencadeadas ou provocadas pelo grupo] do professor, bem

como com a sua disponibilidade psicológica, o programa funcionará, não como um plano rígido de estudos, mas sim como um catálogo do conteúdo dos conhecimentos que o aluno deve atingir em diferentes estádios do seu desenvolvimento mental. Um tal processo de relacionamento da parte do professor motivará os alunos à eficiência e à realização plena e conduzi-los-á a uma noção de ordem que eliminará os que não participarem activamente.” (p.83).

Mas a metodologia utilizada nas aulas pelo professor é influenciada, entre outras, pela forma como esse mesmo professor encara a Matemática.

Cunha (1991) afirma, após análise das respostas dadas por alunos sobre a sua percepção de bom professor, conclui que “a forma como o professor se relaciona com a

sua própria área de conhecimento é fundamental, assim como a sua percepção de ciência e de produção do conhecimento. E isto interfere na relação professor-aluno, é parte desta relação” (p. 147).

Hersh, citado por Canavarro (1993) afirma que “a concepção de cada um sobre o

que é a Matemática afecta a sua concepção de como ela deve ser ensinada. A maneira que cada um tem de a apresentar é uma indicação do que acredita ser nela mais essencial (…) A questão, então, não é, Qual é a melhor forma de ensinar? Mas, O que realmente é a Matemática” (p. 4)

Também Ponte (1992ba, citado por Canavarro, 1993), refere: “trata-se de encarar

a Matemática essencialmente como um corpo de conhecimento – à semelhança de um produto – ou encarar a Matemática essencialmente como uma actividade – à semelhança de um processo” (id: p.5). No primeiro caso, encara-se a Matemática como um corpo de conhecimento acabado, fechado e apenas há que o conhecer e transmitir a informação. No segundo caso, encara-se a Matemática como um processo e, então, devem ser colocados os alunos em actividade, construindo o seu conhecimento matemático.

O sentido de que o conhecimento matemático se constrói fazendo matemática é- -nos, também, transmitido, por exemplo, pelas mais recentes normas do NCTM6_{: “Students}

must learn mathematics with understanding, actively building new knowledge from experience and prior knowledge.”.

Numa das suas “Intervenções” nos “Dez Anos de ProfMat”, Guimarães (1996: 56) refere expressamente que:

“Na sua forma final, a Matemática pode ser considerada como um corpo de conhecimentos fortemente hierarquizados (…) é preciso, no entanto, ter em atenção que, justificar o ensino de um determinado assunto matemático apenas por que vai ser necessário para se aprenderem outros assuntos matemáticos – na próxima aula, no próximo ano ou na universidade, ou ainda, por extensão, pela sua necessidade em outras disciplinas, por poder vir a ser útil em futuros estudos, no exercício de uma profissão, ou, simplesmente, na vida, não garante que, do ponto de vista do aluno,

aquilo que lhe é proposto tenha sentido”

Como referem ainda Ponte et al. (1997) “na base de muitas das actuais orientações

para o ensino da Matemática, está a ideia de que saber matemática é sobretudo fazer Matemática7. Simultaneamente, advoga-se que, para aprender Matemática de maneira significativa e útil, importa participar na actividade matemática, considerada nas suas múltiplas vertentes, e não apenas adquirir conhecimentos e competências explicitamente indicados pelo professor” (p. 43).

No mesmo sentido vão as opiniões de Bruner (referido por Cooney et al., 1975: 168), que sustenta: “students who use their own energy to discover knowledge increase

their ability to organize resources in attacking problems, become more adept at problem-solving, and receive intrinsic motivation from being involved in the discovery process.”

Polya (1981), refere, relativamente à atitude do professor, os dez mandamentos para professores: (1) Be interested on your subject; (2) Know your subject; (3) Know about the

ways of learning: the best way to learn anything is to discover it by yourself; (4) Try to read the faces of your students, try to see their expectations e difficulties, put yourself in their place; (5) Give them, not only information, but “know-how, attitudes of mind, the habit of methodical work; (6) Let them learn guessing; (7) Let them learning proving; (8) Look out for such features of the problem at hand as may be useful in solving the problems to come – try to disclose the general pattern that lies behind the present concrete situation; (9) Do not give away your whole secret at once – let the students guess before you tell it – let them find out by themselves as much as is feasible; (10) Suggest it, do not force it down their throats.

Segundo Ponte et. al (1999:34), além da necessária interacção entre os alunos, “o

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a importância do seu papel nas tarefas que tem que desenvolver antes da aula, as suas decisões e a gestão da situação didáctica na sala de aula. Mais adiante (p.35) consideram que “outro aspecto, não menos importante, é servir de modelo aos alunos no que se refere

ao modo de trabalhar em Matemática”.

Também Vale (2000) afirma que “nos últimos anos tem-se verificado uma

preocupação crescente com a pessoa do professor como elemento fundamental no processo de ensino-aprendizagem da matemática, pois os seus pensamentos, concepções e acções na sala de aula marcam de forma decisiva o modo como os alunos aprendem. Assim, a visão que o professor tem sobre a matéria e o seu ensino, e o modo como encara a sua profissão são aspectos fundamentais para o sucesso nesta disciplina” (p.101).

Azevedo (2002) defende: “hoje torna-se necessário ao professor, para além dos

conhecimentos das áreas das ciências da especialidade e da educação, possuir ferramentas novas ajustadas à planificação da aula quer em termos pedagógico-didácticos, quer em meios de apoio e suporte à aula.” (p.158)

Defende, por isso, Vale (2000) que: “a matemática deve ser ensinada,

efectivamente segundo uma perspectiva construtivista onde os alunos construam a sua própria aprendizagem através do envolvimento nas actividades e no processo de questionamento e discussão constantes e onde o aluno e professor ajam como colaboradores” (id: 148)..

Durán (2001), por seu lado, entende que: “el mejor legado que como profesores

podemos hacer a nuestros alumnos es enseñarles a ser autónomos, a que aprendan por ellos mismos. El buen profesor será aquel que tienda a hacerse prescindible. Aquel que ceda progresivamente el control de los procesos de aprendizaje al propio estudiante” (p.97).

Na mesma linha, considera Pólya (2003) que “o estudante deve adquirir tanta

experiência de trabalho independente quanta for possível”, referindo mais adiante que “se

o professor ajudar de mais, nada restará para o aluno fazer. O professor deve ajudar, nem de mais nem de menos, mas de tal forma que ao estudante caiba uma parcela razoável de trabalho”(p. 23).

Ponte (2002), sem deixar de reconhecer a importância do contexto educativo e social do processo de ensino e aprendizagem, refere, em relação ao papel fundamental do

professor, que “Conceber tarefas, produzir materiais, criar situações de aprendizagem,

gerir o ambiente da sala de aula e avaliar os alunos, são funções de elevada complexidade. A figura que se limita a “debitar matéria”, voltada para o quadro, de

costas para os alunos, a passar exercícios do manual e a fazer dois testes por período é, hoje em dia, uma triste caricatura.” (p.40).

Em Borralho et al. (2004) encontramos referências no sentido de que, para que os professores desempenhem um bom trabalho, “não bastam sólidos conhecimentos de

Matemática, mas que são necessárias também determinadas atitudes, face à aprendizagem desta disciplina, que contribuam para um desenvolvimento integral das crianças e dos jovens.” (p. 1).

1.3.2 O trabalho de grupo

Através da interacção grupal cada aluno individualmente adquire mais oportunidades de sucesso, podendo explorar situações que estão para além das suas capacidades individuais.

N. Davidson (1990, citado por Cardoso, 1995: 41) Cardoso (1995) descreve o que vários autores referiram relativamente às vantagens de se usar, na aula de Matemática, uma metodologia de trabalho de grupo - nomeadamente, segundo Schoenfeld (1985), (a) é a única oportunidade que o professor tem de intervir

enquanto os alunos resolvem problemas, evitando ser apenas confrontado com o produto final; (b) quando um aluno trabalha sozinho, segue normalmente o primeiro caminho que lhe ocorre; em grupo, os alunos terão de discutir e analisar a conveniência de cada sugestão para poderem optar por um caminho; (c) a resolução de problemas não é sempre uma actividade solitária; não será prejudicial aos alunos o envolvimento em esforço de cooperação; (d) os alunos são extremamente inseguros das suas capacidades, especialmente em cursos de resolução de problemas; o trabalho em grupo dá-lhes uma certa segurança, pois verificam que os outros também têm que lutar para aprender. (p. 43) Outros autores – como Dees (1982), Watson (1988) ou Resnick (1988) – referiram--se a este assunto e as suas opiniões, manifestamente favoráveis a esta metodologia, são

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também citados por Cardoso (1995), que conclui, como síntese de toda a literatura revista, que, (a) é uma abordagem de ensino que possibilita uma melhor integração dos alunos mais fracos, uma postura mais activa na aula e consequentemente uma maior motivação, ao mesmo tempo que desenvolve as capacidades de resolver problemas e comunicar ideias e raciocínios, e atitudes como o espírito de cooperação, a persistência e a auto-confiança, (b) as actividades a realizar em grupo devem ser não rotineiras, apresentadas num contexto concreto e significativo e provocarem discussão e levantamento de questões, e (c) na formação dos grupos o número de elementos mais consensual parece ser o quatro e os grupos devem ser heterogéneos. (p. 47-48).

Também Ponte et al. (1998: 82) referem que investigações feitas por Moreira (1989), Saraiva (1991), Carreira (1992) e Junqueira (1995) verificaram ser relevante o trabalho em grupo na aprendizagem dos alunos, quer ao nível do seu comportamento social, quer a objectivos curriculares dos domínios dos conhecimentos e das capacidades, acrescentando, contudo: “As vantagens do trabalho de grupo não são, em geral, visíveis

senão ao fim de um período de tempo mais ou menos prolongado, a aquisição de autonomia por parte dos alunos é lenta e gradual, e o professor deve contar com resistências que têm origem na falta de hábitos de cooperação e nas concepções frequentes sobre a aprendizagem da Matemática”.

São, ainda, de opinião (id: id) que “o trabalho em pequenos grupos é uma

metodologia consistente com os objectivos associados à resolução de problemas, susceptível de ajudar a criar um ambiente de aprendizagem que agrada aos alunos e ao professor.”

1.3.3 As tarefas

“Uma vez que a intuição matemática é uma componente fundamental e insubstituível da actividade matemática, importa ter em conta que a ênfase exclusiva, na sala de aula, em tarefas matemáticas que não estimulem os aspectos intuitivos do pensamento, para lá de constituir uma parente pobre da experiência matemática, pode funcionar, para alguns alunos, como uma barreira inibidora da construção de conhecimento matemático significativo”.

Durante muito tempo insistiu-se em tarefas rotineiras, essencialmente na forma de exercícios; ultimamente, vários autores têm insistido na necessidade de avançar para outro tipo de tarefas mais ricas, tais como resolução de problemas ou de situações problemáticas, trabalhos de pesquisa, investigações, projectos e outros, alguns dos quais se referem de seguida.

Vergnaud (1988), citado por Cabrita (1997: 73) afirmava: “determinado conceito

desenvolve-se não isoladamente mas em relação com outros conceitos, através de vários tipos de problemas e por recurso a vários processos e simbolismos”.

Nesta linha, Polya (1981) explicita a diferença entre o que considera “problemas para encontrar” o ente desconhecido e “problemas para provar” se determinada proposição é verdadeira ou falsa (p. 119 – I vol) e como resolvê-los, com recurso a problemas equivalentes ou problemas auxiliares (p. 36-43 – II vol).

O professor, ao propor aos alunos um problema para resolver, deve ter em atenção três princípios fundamentais que denomina de aprendizagem, mas que, refere, podem, também, ser considerados princípios de ensino: (1) aprendizagem activa; (2) melhor motivação; (3) fases consecutivas (id: p.102-106).

Também no que respeita à importância da resolução de problemas no ensino da Matemática, Ponte (1991a: 287-295) faz um breve resumo histórico da evolução do pensamento e investigação sobre este assunto, citando autores desde o início do século XX até então, referindo, entre outros, John Dewey, em 1910, ou George Pólya, em 1945. Depois de, durante os anos sessenta, a atenção se centrar mais nos conceitos e estruturas (época da chamada matemática moderna), reaparece, no final da década de 70, a resolução de problemas como orientação pedagógica, proposta especialmente pelo NCTM.

Já em 1961, Polya se referia a este assunto:

“Solving a problem means finding a way out of a difficulty, a way around an obstacle, attaining an aim which was not immediately attainable. Solving problems is the specific achievement of intelligence, and intelligence is the specific gift of mankind: solving problems can be regarded as the most characteristically human activity.” (Polya, 1961: Preface in Polya, 1981) É, ainda, indispensável referir-se a revisão feita, mais tarde, por Cabrita (1998), a uma significativa parte da investigação sobre o tema, citando os vários autores que a ele se vinham referindo, e explicita, de forma clara e concisa, a variada terminologia a ele associada - conceito de problema, conceito de exercício e questão, conceito de situação

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problemática, conceito de resolução de problemas - bem como os vários tipos de problemas e etapas para a sua resolução e os procedimentos a observar (p. 23-106).

Em Portugal, a importância da resolução de problemas como elemento-chave do ensino da matemática é defendida por Ponte e Abrantes, já em 1982 e, a partir daí, esta ideia veio a ser desenvolvida pela APM desde a sua criação, em 1986, como o comprovam diversos artigos publicados na revista “Educação e Matemática” e outras obras publicadas por aquela Associação. A título de exemplo, cite-se aqui Silva et. al. (1989), que referem que “a capacidade de resolver problemas é hoje uma ideia chave ligada ao crescimento do

indivíduo e do cidadão (…) Talvez pela generalização desta ideia, o desenvolvimento da

capacidade de resolução de problemas seja uma finalidade educativa que vai ganhando uma importância crescente entre a comunidade educativa” (p. 27).

Santos (2001) refere mesmo que “encarar a prática lectiva como uma actividade de

resolução de problemas assenta na própria natureza dessa prática” (p. 60).

Os problemas são, segundo Polya (1973), uma grande oportunidade para o professor:

“ Se preenche o tempo de que dispõe a exercitar os seus alunos em operações rotineiras, aniquila o interesse e tolhe o desenvolvimento intelectual dos estudantes, desperdiçando, dessa maneira, aquela oportunidade. Mas se desafia a curiosidade dos alunos, apresentando-lhes problemas adequados aos seus conhecimentos e ajudando-os com interpelações estimulantes, poderá despertar neles o gosto pelo pensamento independente e proporcionar-lhes alguns meios para o concretizarem” (p. 11).

No entanto, e tal como referia Cabrita (1998), “apesar se ser unanimemente

reconhecida a sua importância a nível de todas as disciplinas, e neste caso concreto, da Matemática, a implementação de uma metodologia de resolução de problemas tem-se mostrado muito difícil” (p.25), explicando detalhadamente os factores que concorrem para isso: (a) factores imputáveis ao próprio sujeito, como sejam variáveis orgânicas, variáveis de traço ou personalidade ou variáveis de historial educativo; (b) factores imputáveis à situação, como sejam o ambiente físico, o contexto psicológico ou o contexto social; (c) factores imputáveis à própria tarefa, como sejam variáveis de sintaxe, variáveis de conteúdo, variáveis de contexto, variáveis de estrutura ou processos heurísticos (id: p.46-82).

Destas breves referências ressalta a importância do método activo e, das novas orientações metodológicas, a necessidade da ligação a situações concretas da vida real pela

resolução de problemas, a modelação matemática, as conexões entre os diversos temas e o tipo de tarefas a propor ao aluno, privilegiando as actividades investigativas.

1.3.4 Os recursos

Estas tecnologias [calculadoras, computadores e telemática] têm uma forte

ligação com a Matemática, ciência que tem tido um papel fundamental na sua criação e desenvolvimento. Mas o mais importante é que elas têm um grande potencial para apoiar todo o tipo de trabalho matemático, intervindo de modo decisivo nas aplicações desta ciência.

Ponte, Matos e Abrantes (1998: 310) Banwell et al. (1972) referiam uma listagem de materiais para a [aula de] Matemática, desde cubos, barras, jogos, geoplanos e grelhas variadas para o estudo de padrões geométtricos aos audiovisuais (acetatos, filmes,…) ou máquinas de calcular, … materiais com que o aluno possa “jogar”; os autores chamam-lhes “paraíso criativo”, mas também chamam à atenção para o facto de estes materiais serem ajudas, pois a matemática não está no material, está na mente.

Também Scopes (1973) refere como importantes para o apoio à leccionação da disciplina, não só os tradicionais manual e quadro, mas também toda a variedade de meios audiovisuais, desde gráficos e mapas, retroprojector e episcópio, à projecção de filmes, realçando a necessidade de existir um laboratório e uma biblioteca específicos da matemática.

Rocha (2001b) defende que, “a compreensão do funcionamento da calculadora

envolve muitos conhecimentos matemáticos e permite ainda o aprofundamento de muitos outros.” (p.294)

Dizem, ainda, Ponte et al. (1997) que “a calculadora e o computador mudaram os

conceitos e as competências que devem receber mais ênfase na disciplina de Matemática”

(p. 55).

Em 1989, defendiam Silva et. al. que “a calculadora permite, se utilizada de forma

criativa, inflectir o ensino e a aprendizagem da Matemática para objectivos mais formativos (desenvolvimento do espírito crítico e da atitude investigativa, por exemplo)