Enquadramento teórico
1. Orientações para o processo de ensino e de aprendizagem da matemática “Uma boa educação não será avaliada pelo conteúdo ensinado pelo
professor e aprendido pelo aluno. (…) Espera-se que a educação possibilite, ao educando, a aquisição e utilização de instrumentos comunicativos, analíticos e materiais que serão essenciais para seu exercício de todos os direitos e deveres inerentes à cidadania”.
(D’Ambrosio, 2002: 66)
Na opinião de Rico (1995): “Nas sociedades modernas, o sistema escolar é uma
instituição complexa que implica uma multidão de pessoas e organismos e, simultaneamente, tem de satisfazer uma diversidade de fins nem sempre bem delimitados e
coordenados.” (p. 147)
Mais especificamente, referem Nascimento e Beltrão (2001) que: “à Escola cabe
um papel fundamental na educação dos cidadãos: (a) colaborar com os outros sectores da
sociedade com vista à construção comum de um mundo melhor; (b) criar condições que
permitam a preparação dos jovens para a sua inserção no mundo do trabalho; (c)
possibilitar o desenvolvimento pessoal e social dos jovens para que eles possam compreender o seu papel enquanto indivíduos pertencentes a uma sociedade
simultaneamente local e global; (d) transmitir conhecimentos, não enciclopédicos, mas os
considerados fundamentais e que permitam a construção de estruturas cognitivas que se
irão reforçar e crescer ao longo da vida. (p. 82).
Neste contexto, afirma-se de primordial importância o estudo da Matemática. No dizer de César et al. (2001) “Esta importância está associada, por um lado, a factores de
ordem histórica, como o progresso tecnológico e científico que se tem verificado ao longo dos tempos. Por outro lado, existem factores que estão relacionados, por exemplo, com o
desenvolvimento de um espírito crítico, que o estudo da Matemática deverá proporcionar,
e que se revela essencial para o exercício de uma cidadania plena.” (p. 181).
1.1 Princípios, finalidades, objectivos, competências
“We live in a mathematical world. Whenever we decide on a purchase, choose an insurance or health plan, or use a spreadsheet, we rely on mathematical understanding.”
(NCTM3: introd.)
Em 1989 surgem publicadas as primeiras normas do NCTM para o currículo de matemática na América do Norte e que são traduzidas e editadas em português, pela APM em 1991. Estas normas “constituem um documento destinado a estabelecer um quadro
amplo de orientação para a reforma da matemática escolar” (p. vi). Nelas “fica expressa
uma visão do que o currículo de Matemática deve incluir em termos de prioridade e
importância dos conteúdos”, colocando um desafio “a todos os interessados na qualidade
da matemática escolar, de trabalharem em colaboração, usando estas normas para o currículo e a avaliação como o fundamento para a mudança, de modo que o ensino e a
aprendizagem da matemática nas nossas escolas seja melhorado” (id: id).
Nas mais recentes orientações do NCTM3, podem encontrar-se referências aos
diversos princípios do processo de ensino e aprendizagem da matemática: (i) expectativas elevadas e apoio forte para todos os alunos; (ii) o currículo tem que ser coerente, com ênfase na matemática importante e bem articulada ao longo dos diversos graus [de ensino]; (iii) ensinar efectivamente matemática requer a compreensão do que os alunos sabem e necessitam de aprender e desafiá-los e apoiá-los para que aprendam bem; (iv) os alunos devem aprender matemática com compreensão, construindo activamente novo conhecimento a partir da experiência e do conhecimento anterior; (v) a avaliação deve apoiar a aprendizagem da matemática importante e fornecer informação útil quer para os alunos quer para os professores; (vi) a tecnologia é essencial no ensino e aprendizagem da matemática, influenciando a matemática que é ensinada e incrementando a aprendizagem dos alunos.
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Já em 1973, Scopes referia como finalidades da Educação que esta se revista de um carácter utilitário, social, cultural e pessoal, finalidades que devem estar, obviamente, subjacentes ao ensino da matemática. Nesta perspectiva, devem valorizar-se: (1) a matemática para o dia-a-dia (números e operações numéricas, medidas e aproximações, geometria básica e gráficos e relações), ferramenta para outras disciplinas (entre as quais álgebra básica, cálculo, trigonometria, estatística e vectores e matrizes) e alicerce para estudos futuros; (2) métodos de investigação (científico, intuitivo, dedutivo e inventivo) e trabalho com os outros (organização, cuidado com o equipamento, direitos da comunidade e motivação social); (3) desenvolvimentos históricos (processos de pensamento originais, desenvolvimentos baseados neles e examinação da estrutura), matemática como uma linguagem (forma, tamanho e mudança, o poder do simbolismo e modelos matemáticos), matemática e lógica e apreciação estética; (4) construção do carácter (mediante envolvimento activo, sucessos pessoais e trabalho com os outros) e o estímulo (curiosidade, auto-expressão e auto-crítica).
Também Matos (1991), refere que:
“Através da análise de trabalhos nas áreas de história e filosofia da Matemática e das ciências verificámos que estas não se desenvolvem por um processo racional e acumulativo do conhecimento. Verificámos, ainda, que as ciências e, em particular, a Matemática têm profundas ligações à cultura e
à estrutura económica e social das sociedades.” (p. 100)
Mais adiante (id: 103) considera que “a Matemática, quer enquanto corpo de
conhecimentos, quer enquanto prática, é uma entidade social. Social, não só nos seus usos
e costumes, mas também nos seus próprios conceitos.”
Alonso (1993) refere ser necessário questionar, para a definição dos currículos: (a)
O que se considera valioso hoje, na nossa sociedade, que os alunos aprendam na Escola e
quais os processos mais adequados para a sua assimilação? (b) Qual a concepção de
“conteúdos” mais adequada para o currículo actual? (c) Que capacidades e atitudes
devem ser promovidas de forma intencional desde todas as áreas ou componentes do
currículo? (d) O que é importante avaliar e como? (p. 311)
Já em 1992, defendia Ponte, acerca da relação Matemática-Realidade no Ensino- -Aprendizagem, que “em termos de ensino, tem prevalecido fortemente a concepção da
Matemática, focado exclusivamente nesta disciplina não garante o desenvolvimento da
capacidade da sua utilização no quadro de situações concretas.” (p. 13).
Também no mesmo sentido vão as ideias expressas por Abrantes, Ferreira e Oliveira (1996a) que consideram:
“As recomendações surgidas nos últimos anos em numerosos documentos programáticos internacionais, bem como as orientações expressas por reformas curriculares recentes levadas a cabo em diversos países, apontam no sentido de que o desenvolvimento de capacidades de raciocínio e resolução de problemas deve tornar- se um objectivo prioritário para todos os alunos. De acordo com essa perspectiva, no nosso país, uma das linhas de força dos novos programas de Matemática para todos os níveis escolares é a ideia de que os objectivos a alcançar não se podem limitar à aquisição de conhecimentos, devendo abranger o desenvolvimento de capacidades/aptidões e de atitudes/valores. (...) A Matemática escolar só poderá cumprir esse papel se for capaz de operar uma mudança significativa na natureza das actividades que têm sido dominantes nas aulas” (p. 165).
Em 1998, defendiam Ponte et. al que “vista como prática social, a Matemática dos
matemáticos puros é muito diferente da que muitos profissionais (estatísticos, informáticos, engenheiros, economistas) usam na resolução dos problemas dos respectivos domínios. Por outro lado, como resultado do processo de transposição didáctica que inevitavelmente ocorre quando se passa de um domínio científico para uma prática educativa, a Matemática que se ensina na escola é também algo diferente da dos cientistas
e da dos profissionais.” (p. 312).
1.2 Conteúdos
Nas normas do NCTM (1989) defendia-se a ideia de que todos os alunos do nível secundário deveriam ter Matemática durante, pelo menos, 3 dos quatro anos de duração deste nível de ensino, sendo de exigir aos alunos que pretendessem frequentar o ensino superior, 4 anos de estudo da disciplina (p.147) e definiam-se como normas para este nível 9-12, (1) a Matemática como resolução de problemas; (2) A Matemática como comunicação; (3) A Matemática como raciocínio; (4) Conexões Matemáticas; (5) Álgebra; (6) Funções; (7) A Geometria segundo uma perspectiva sintética; (8) A Geometria segundo uma perspectiva algébrica; (9) Trigonometria; (10) Estatística; (11) Probabilidades; (12)
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Matemática discreta; (13) Bases Conceptuais do Cálculo Infinitesimal e (14) Estrutura Matemática.
Quanto aos temas a estudar, recomenda o NCTM4 que os alunos do ensino secundário devem experimentar conexões entre álgebra, geometria, estatística, probabilidades e matemática discreta, necessitam compreender os conceitos fundamentais de função e relação, invariância e transformação, devem ser capazes de visualizar, descrever e analisar situações em termos matemáticos e necessitam de ser capazes de justificar e provar matematicamente ideias fundamentais, dando, ainda, ênfase à modelação.
Vieira (1991) refere, ainda, a importância da abordagem da História da Matemática:
O ensino tradicional da matemática e entenda-se por tal um ensino meramente expositivo e acrítico, de tipo présocrático no dizer de Freudenthal, apresenta a matemática como uma ciência morta: axiomas, definições, teoremas, demonstrações e exercícios de aplicação (muitos, se possível). A história das matemáticas é uma excelente referência para se sentir a matemática como uma ciência viva. Na lógica de uma matemática actual com raízes na história o seu ensino não pode deixar de solicitar a participação activa - afectiva e intelectual - do aluno, deve fazer com que os alunos sintam, como diz Serge Lang, “o prazer
de fazer matemática”.(p. 270)
1.3 Métodos e estratégias
Oiço e esqueço Vejo e lembro Faço e compreendo (Provérbio chinês)Em 1973, Scopes refere que, a par da modernização dos conteúdos no currículo inglês, deu-se outra importante mudança – a mudança da ênfase nos métodos de ensino para os métodos de aprendizagem, que deveriam valorizar o “fazer”como a forma mais efectiva de aprender. Chama a atenção para a necessidade de os professores fazerem um esforço de modernização, discutir ideias com os seus pares, trabalhar e investigar individualmente, e associar-se a uma organização profissional para poder receber regularmente material que o ajude nesse trabalho. Para isto, dá algumas indicações – tendo
como preocupação que a ênfase já não é “ensino pelo professor” mas “aprendizagem pelo
aluno”, o ponto de partida deve ser o estabelecimento de metas (capacidades e atitudes a
desenvolver e conceitos a apreender), a selecção do conteúdo e a determinação da abordagem apropriada, envolvendo estratégias e materiais. O passo final é a avaliação do trabalho realizado, seja por meio de testes, exercícios, trabalho de projecto ou outro. Refere como importante que, de acordo com o tópico a abordar em cada aula e o tipo de tarefa a propor aos alunos, seja planificado um tipo diferente de aula – aula para a turma inteira, trabalho em grupo, trabalho individual ou em pares, discussão sobre um tema, apresentação de um filme ou de um trecho de um filme e outros meios audiovisuais, jogos, orador convidado, visita de estudo, ...
Também Castelnuovo (1973) faz uma resenha da história da didáctica em Itália e refere o trabalho e as ideias dos autores mais importantes nessa área, dizendo de Comenius:
“Comenius distinguia diferentes estratos, segundo a idade e, para cada um deles, assinalava um determinado programa de instrução. Não se tratava de mudar temas, mas de tratar os mesmos de maneira diferente à medida, precisamente, da possibilidade de compreensão dos alunos, e considerados sempre de um ponto de vista mais amplo, entendendo-se como uma espiral; assim se formará uma cultura, de modo tal que aquilo que se aprendeu hoje reforce o que aprendeu
ontem e abra caminho para o que se aprenderá amanhã.” (p.15)
Já Comenius, defendia, na sua obra publicada em 2ª edição em 1957, aquilo a que Castelnuovo chamou o princípio da escola activa:
“o conhecimento deve necessariamente principiar pelos sentidos (uma vez que nada se encontra na inteligência, que primeiro não tenha passado pelos sentidos). Porque é que, então, o ensino há-de principiar por uma exposição verbal das coisas, e não por uma observação real dessas mesmas coisas? Somente depois de esta observação das coisas ter sido feita, virá a palavra, para
a explicar melhor.” (p. 307)
Na mesma linha, Freudenthal (1973) refere aquilo a que chama os princípios da didáctica de Comenius - que considera o primeiro pedagogo depois de Sócrates e descreve aquilo que denomina por “re-invenção” da matemática por parte do aluno - “The best way
to teach an activity is to show it”;” the best way to learn an activity is to perform it” (p.110).
Também, em 1974, num relatório elaborado por uma subcomissão da TCMA, em que eram analisados os programas de ensino da Matemática em Inglaterra, são
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apresentadas, em conclusão, algumas sugestões para “estimular o interesse” dos alunos, designadas, umas por “modos de aprendizagem” e outras por “ajudas técnicas”- trabalho prático, descoberta através da experimentação, trabalho de projecto, trabalho em grupo, conexões com outras áreas do saber; recomenda-se a criação de laboratórios de ensino em matemática, o uso de meios audiovisuais diversificados e o acesso a computadores, a importância do trabalho de equipa entre os professores, e a atenção aos alunos com dificuldades de aprendizagem. Na Inglaterra, diz-se no relatório, nos anos anteriores àqueles em que se desenrolou este estudo, novas formas de ensinar matemática tinham sido implementadas nas escolas básicas. Novas formas menos baseadas nas capacidades em técnicas e procedimentos, mas encorajando a curiosidade, a experimentação e a descoberta. Assim, os alunos, ao entrarem nas escolas secundárias, ficavam mais habituados a situações variadas e activas de aprendizagem, a enfrentar problemas autonomamente ou em grupos, a fazer trabalho prático dentro e fora das aulas e a usar ajudas técnicas, tal como, no passado, os alunos estavam habituados ao quadro e ao manual.
Macias (1983), advogando que se devem tomar como ponto de partida as situações concretas, a partir das quais começar o processo de abstracção e, sempre que possível, as conexões com outras disciplinas, se referia à metodologia a utilizar na sala de aula: “no
método expositivo, o aluno é um elemento passivo da aula”; “actualmente, o centro da
aula não deve ser o professor, mas sim o aluno, sendo o professor o guia da acção investigativa do aluno. A aquisição de conhecimentos deve ser ir acompanhada da acção
do aluno. Impõe-se, pois, o ensino «vivo» da Matemática” (p. 15),.
Nas já referidas normas do NCTM (1989) para o currículo de matemática na América do Norte, defende-se, como modelos de ensino, que os alunos se tornem directores da sua própria aprendizagem, mediante experiências planeadas pelo professor de modo a favorecer a sua crescente independência e a curiosidade intelectual, tendo em vista o desenvolvimento da capacidade de auto-aprendizagem que dure a vida inteira, o que implica um papel diferente quer para o aluno quer para o professor, deixando para este a tarefa de criar situações de exploração e descoberta por parte dos alunos, que poderão trabalhar em grupos para se entreajudarem e de moderador das discussões e sínteses elaboradas pelos alunos. Também o uso da tecnologia é considerado importante neste processo de ensino e de aprendizagem, transformando a aula de Matemática num Laboratório de investigação.
Matos (1991) refere, relativamente à educação matemática, que devemos “entender
a criação Matemática escolar como um acto realizado através de interacção social dos alunos, recorrendo a ligações constantes com os conhecimentos anteriores e com as
utilizações sociais dos conceitos.” (p. 101)
E, mais adiante (id: 104) refere, ainda que “a qualidade das suas aprendizagens
depende, antes de mais, da qualidade das experiências matemáticas colectivas que
proporcionarmos aos nossos alunos.”
Conclui, finalmente, que, “Se a sala de aula deve ser o viveiro das ideias
matemáticas dos alunos, então deverá haver espaço para a argumentação, para a
experimentação, para a tolerância perante a dissenção. (…) A sala de aula deverá dar
espaço para o surgimento de visões matemáticas alternativas”. (ib: id)
Ernst (1994) refere que, até àquela altura, a matemática tinha tido a decepcionante aparência de ser completamente formal e um conhecimento perfeitamente acabado, acrescentando que, ainda há algumas décadas àquela parte, a visão dominante sobre a educação matemática assumia que o ensino e a aprendizagem da matemática requeriam somente a efectiva transmissão de conhecimentos matemáticos (p. 1).
Algumas investigações realizadas em Portugal nos anos 80 e 90 verificaram que por cá ainda pouco tinha mudado.
Cardoso (1995) refere que Almeida (1994) “define dois elementos que concorrem
para qualquer aprendizagem matemática – a imaginação e a técnica – afirmando que a
aquisição de uma técnica é sempre mais fácil que a aquisição da capacidade imaginativa”
(p. 7). E prossegue: “quando o tempo é pouco e não é possível respeitar os tempos
individuais, há a tentação de escolher a via mais rápida.” (id: 7-8).
Também Ponte et al. (1998) referem dois estudos, um de Guimarães (1988) e outro de Boavida (1993). De acordo com Guimarães “os professores vêem a aula constando de
momentos alternados de exposição (essencialmente a seu cargo) e de prática (essencialmente a cargo dos alunos). Na exposição cabe ao professor transmitir a
informação e cabe ao aluno recebê-la.” (p. 254). Na mesma linha, Boavida “descreve do
seguinte modo o que considera ser a aula de Matemática típica: (a) o professor enquadra o que vai ensinar no contexto da aula anterior, (b) de seguida expõe a nova matéria, (c) após o que os alunos fazem exercícios de verificação, confirmação e consolidação do que
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Boaler (2002), partindo da constatação de que muitos alunos não eram capazes de usar a matemática que aprendem na escola em contexto de fora da sala de aula, descreve um estudo por si realizado na Inglaterra, em duas escolas secundárias, ao longo de três anos, para investigar as experiências e o desenvolvimento das compreensões dos alunos, em diferentes ambientes de ensino. Os especialistas tinham sugerido que os professores ocupassem os alunos com resolução de problemas matemáticos. Foi recomendado que aos alunos fosse dado trabalho prático e investigativo, que requer deles tomadas de decisão, planeamento do caminho a seguir na resolução das tarefas, escolha de métodos e aplicação dos seus conhecimentos matemáticos. Esta é considerada uma abordagem aberta da matemática, mais baseada em processos, em contraponto com a anterior abordagem mais livresca, considerada abordagem fechada, mais baseada em produtos. Os resultados desta investigação revelaram algumas limitações importantes do tipo de ensino livresco, mais ineficaz a preparar os alunos para as exigências do mundo real e não mais eficaz que a abordagem aberta na preparação dos alunos para a tradicional avaliação de conhecimentos/conteúdos. Por outro lado, na escola em que o método usado foi a abordagem aberta, verificou-se que alguns alunos passavam muito do seu tempo sem trabalhar. Apesar disso, estes alunos tiveram melhor desempenho no teste e nas situações de aplicação do que os da outra escola, tendo desenvolvido também visões mais positivas sobre a natureza da matemática. Boaler remata dizendo que uma conclusão importante que se sentiu capaz de retirar desta análise é que uma abordagem tradicional, livresca, com ênfase em cálculos, regras e procedimentos, coloca os alunos em desvantagem, principalmente porque encoraja a aprendizagem inflexível, circunscrita à escola e de uso limitado.
Outra ideia que vem sendo defendida por diversos autores é que cada conceito não deve ser visto isoladamente, mas em conexão com outros, dentro da própria matemática, ou de outras áreas do conhecimento.
Já em 1975, Sebastião e Silva defendia:
“A matemática não se reduz a ciência isolada platonicamente de tudo o resto. É também um instrumento ao serviço do homem nos mais variados ramos da ciência e da técnica. O professor deve sempre ter presente este facto e tentar estabelecer, sempre que possível, as conexões da matemática com outros domínios do pensamento, atendendo a que muitos dos seus alunos irão ser físicos, químicos, biólogos, geólogos, engenheiros, economistas, agrónomos ou médicos.”(p. 12)
As conexões entre os vários temas de ensino da Matemática e das outras ciências são referidas nas normas do NCTM, já citadas, e a sua importância é evidente para se estudar a Matemática como aplicação do real, nomeadamente ao nível da modelação matemática.
Nesta linha, também Bernardes (2000: 48) se refere a este assunto: “As conexões de
modelação são fundamentais para dar contexto e significado aos conteúdos matemáticos,
ao mesmo tempo que podem evidenciar o poder e a aplicabilidade da matemática.”
1.3.1 O papel do professor e dos alunos
O bom professor, em qualquer disciplina, tem de ser um bom animador, motivando os seus alunos para conteúdos e actividades que o interessem, a fim de neles se empenharem.
A. Cabral (2001: 243)