CAPÍTULO IV Análise de dados
2. O aluguer do automóvel Observa a informação seguinte:
2.1.2 Programa de Matemática do 11º ano de escolaridade A professora Lena
Já foram explicitados anteriormente o empenhamento e preocupação manifestados por esta professora relativamente à aprendizagem dos alunos, procurando dar sempre exemplos correntes do dia-a-dia para clarificar todas as situações e esclarecer todas as dúvidas; dá fundamental importância ao manual dos alunos, que usa diariamente como auxiliar de trabalho e que recomendava aos alunos que lessem e estudassem atentamente ensinando-os mesmo a fazê-lo.
Os excertos do diário de bordo que a seguir se transcrevem evidenciam a utilização de exemplos simples do dia-a-dia para esclarecer alguma dúvida ou clarificar algum pormenor:
Chama a atenção dos alunos para que d (A,B) = AB e que esta notação representa um número e não o segmento de recta (AB representa o “comprimento da guita do sapato” e não “a própria guita”).
Explica a situação, usando borrachas ou pedacinhos de giz para representar pontos sobre um plano [mesa] e canetas representando vectores [vectores do plano e vector normal ao plano].
A professora exemplifica com o chão, a mesa e o tecto. As três equações são incompatíveis.
O sistema é impossível.
Figura 26 – Excertos de aulas da professora Lena evidenciando o recurso a exemplos/materiais do dia-a-dia
A utilização sistemática do manual escolar está patente no diário de bordo – nas 8 aulas a que se assistiu, registaram-se por 19 vezes a referência ou a utilização explícita do manual, como o comprovam os seguintes excertos:
131 A professora ditou, então, o sumário:
1- Entrega do TS2 e da respectiva correcção escrita. Considerações gerais. 2- Entrega do trabalho de grupo.
3- Distância de um ponto a uma recta no plano
4- Bissectriz de um ângulo. Distância entre duas rectas paralelas. [numeração nossa]
Ao escrever o sumário a professora referiu, relativamente aos itens assinalados com os números 3 e 4, que “isto é para cumprir o livro e não o programa. Está a ser cumprida a planificação. Não vou pedir reforço [de horas]”
Depois recupera o último exercício da aula anterior (exercício 6 da página 147 do manual), que consistia em, dadas as equações cartesianas de duas rectas no espaço.
Propôs, de seguida, a resolução do exercício 8 da página 149, que consiste na representação de uma pirâmide quadrangular, em referencial tridimensional, e da qual se pede para determinar vários comprimentos e amplitudes de ângulos, bem como equações de rectas e planos.
A professora lê e interpreta a situação, condição a condição, dado a dado.
Depois recupera o exercício da aula anterior (exercício 8 da página 149), do qual algumas alíneas tinham ficado para TC.
Terminada a correcção (ou resolução) do TC, a professora prosseguiu, propondo a resolução da actividade 1, da página 150, que foi resolvida em conjunto oralmente, por alunos e professora.
Esta actividade serviu de introdução à matéria seguinte – equação de um plano, e que a professora acompanhou passo a passo pelo manual – páginas 150 e 151 – obtenção da equação do plano que contém um ponto e é perpendicular a um vector.
Seguidamente, a professora propôs a resolução do exercício 1 da página 152, que resolveu no quadro como exemplo, e sugeriu aos alunos que, em casa, estudassem o exemplo 2 da mesma página (exercício resolvido), que consistia em determinar a equação de um plano, dado um ponto nele contido e um vector perpendicular ao plano.
Porque uma aluna já tinha estudado, antecipadamente, esta matéria e não tinha entendido o exemplo 3 da citada página, a professora chamou a atenção dos alunos para o facto de, neste exemplo, as coordenadas do vector director da recta não estarem perfeitamente explícitas (isto é, de leitura directa), mas de forma implícita, exigindo raciocínio.
Pediu, entretanto, que um aluno fosse ao quadro resolver o exercício 4 da página 152 do manual, em que se pedia uma equação do plano perpendicular a uma recta dada e contendo a origem das coordenadas.
Mais uma vez a professora ensina os alunos a estudar … a ler e interpretar o livro …
A professora propôs aos alunos a resolução do exercício 6 da página 153
[Pelo diálogo entre professora e alunos, conclui-se que já tinham sido estudados exemplos conducentes às três primeiras situações representadas na página 160 do manual].
A professora passa então ao estudo da situação IV: Três planos coincidentes
Como exemplo concreto, temos, na página 182, o exercício 13.4:
Caso V – Dois planos são paralelos e o terceiro intersecta-os Duas equações são incompatíveis (os dois planos são paralelos). O sistema é impossível.
Como exemplo, sugere o exercício 13.7.
Caso VI – Os três planos são paralelos [estritamente paralelos] Como exemplo, sugere o exercício 13.6:
Caso VIII
133 x - 2y - 4z = 1
x + 2y = 3 x – 2y = 3
Os alunos vão acompanhando a resolução do livro com a explicação da professora. No final, a professora recomenda:
“Neste momento devem ver os exercícios resolvidos, não percam muito tempo a resolver sistemas. O 18, o 19 e o 20 já devem estar feitos.”
A professora, então, pediu que abrissem os manuais para relembrar tudo o que já tinham estudado sobre a função racional – algoritmo da divisão de polinómios e assímptotas do gráfico de uma função racional; paralelamente, relembrava como tirar o melhor partido das calculadoras gráficas em cada caso.
Seguidamente, passou à resolução, gráfica e algébrica de inequações fraccionárias, proposto no manual.
E continuou: “Páginas 147, 148 e 149. São vocês que me vão explicar …”
Entretanto, tocou para terminar a aula e a professora destinou para TC o estudo das páginas 151, 152, 153 e 154 do manual, correspondente a funções polinomiais.
Figura 27 – Excertos de aulas da professora Lena evidenciando o recuso sistemático ao manual escolar
Nas aulas a que se assistiu a metodologia de trabalho foi, quase sempre, a de explorar situações propostas no manual, em conjunto com os alunos, encaminhando-lhes o raciocínio para as conclusões desejadas, valorizando sempre a comunicação matemática.
Distribuiu uma ficha de apoio ao desenvolvimento da matéria, projectando, simultaneamente, com o retroprojector, a figura que lhe servia de base.
Ia questionando os alunos: “Qual é a equação da recta v?”
Alunos: “x = - 8”
A turma era bem comportada, mas pouco participativa.
Professora: “Qual é a equação da recta h?” Alunos: “y = 4”
Os alunos iam preenchendo os espaços em branco na ficha. Professora: “As coordenadas dos pontos A e B são …”
E iam completando a ficha e revendo os conceitos necessários para poderem concluir o desejado: que o declive de uma recta no plano é dado pela tangente trigonométrica do ângulo que a recta faz com o semieixo positivo Ox, a relação entre as coordenadas de dois vectores perpendiculares, no plano, e a relação entre os declives de duas rectas perpendiculares.
A professora chamou a atenção dos alunos para o facto de que, uma generalização feita a partir de dois exemplos concretos, não é prova científica; no entanto, permitiu que os alunos aceitassem que assim é.
Resolveram, ainda, em conjunto e com a ajuda da professora, os exercícios propostos na mesma ficha. A correcção foi feita oralmente.
6.1 Verificar se as duas rectas se intersectam num ponto dado (a professora resolveu no quadro, por substituição das coordenadas do ponto em ambas as equações, averiguando assim se pertencia a ambas, sendo, neste caso, a intersecção pedida; não verificou que as rectas não podiam ser coincidentes; tê-lo-á feito na aula anterior40).
6.2 Determinar o ângulo das duas rectas
A professora agora voltou ao jogo do faz de conta – faz de conta que é um aluno, que está em casa, a estudar sozinho, pelo livro e
“O ângulo de duas rectas … já não me lembro … estou em casa a estudar … vou à procura no livro … encontram na página 126/127 … vou voltar a ler/a estudar…”
Recupera a fórmula e pergunta sobre os seus “elementos”: “Que vectores são esses?”
Alunos (em coro): “São os vectores directores das duas rectas” A professora representa no quadro, as possíveis posições dos dois vectores, a menos de isometrias, para que os alunos percebessem que, no caso do ângulo ser agudo, o produto escalar é positivo e no caso do ângulo ser obtuso, o produto escalar é negativo e chama a atenção para a fórmula:
“Daí o módulo”.
Prossegue, escrevendo um vector director de cada uma das rectas (chamando novamente para o facto de estes vectores não serem únicos), e calcula o ângulo, por aplicação da fórmula.
Os alunos, determinam, com o auxílio da calculadora, um valor aproximado do resultado, e não sabem como apresentá-lo; a professora relembra que, quando nada é dito, devem usar valores aproximados com duas casas decimais.
A solução referida no livro é diferente da obtida na aula e então vão rever os raciocínios e cálculos, desde o início, discutindo o resultado proposto no livro e concluindo da sua inverosimilhança.
6.3 Escrever a equação vectorial da recta que contém o ponto de intersecção das duas rectas dadas e é perpendicular a ambas.
A professora fez a interpretação geométrica da situação, usando canetas para representar as rectas no espaço e escreveu no quadro:
Chamemos
r: recta que passa em A ( 7 , -1 , -2) e é perpendicular a l1 e a l2
r = ( a , b , c ) vector director da recta r Professora:
“Este vector r tem que ser perpendicular ao vector director da recta l1 e ao vector director da recta
l2: r ⊥ l1 e r ⊥ l2
40 Embora não se tenha confirmado este pormenor, é de crer que assim tenha acontecido, pelo rigor que a
professora apresenta em todas as circunstâncias (e porque o fez, nesta aula todas as vezes que se discutiam situações semelhantes); acontece, frequentemente, cometer, intencionalmente alguns erros para espevitar o espírito crítico dos alunos, não deixando, contudo, mesmo no caso de os alunos não o(s) detectarem, de esclarecer as situações , corrigindo-as e realçando o facto que queria evidenciar.
135 Quando é que dois vectores são perpendiculares?” Alunos: “Quando o produto escalar for zero”
A professora, então, escreveu no quadro as condições correspondentes: r . l1 = 0
r . l2 = 0
e substituiu pelos valores respectivos, obtendo o sistema 2.a - b – 2c = 0
a + 3b –c = 0
que pediu para os alunos resolverem, chamando a atenção para o facto de se tratar de um sistema com duas equações e três incógnitas.
Alguns alunos conseguiram resolvê-lo rapidamente, obtendo a solução genérica, b = 0
a = c
enquanto que outros não conseguiram, e a professora remeteu-os para a resolução em casa. Um aluno reparou:
“Então r vai ter como ordenada 0, e os outros dois tanto faz, desde que sejam iguais, não é?” Professora:
“Exacto, porque estamos à procura de um vector director da recta r = (k , 0 , k )
k pode ser 0 ?”
Aluno: “Não, porque ( 0 , 0 , 0 ) não pode ser vector director de um recta” Professora:
“Então r = (k , 0 , k ), com k ∈ℜ\{0}
representa uma família de vectores perpendiculares a l1 e a l2, directores da recta r, pretendida.
Como só precisamos de um, fazemos, por exemplo, k = 1 e vem r = (1 , 0 , 1) e, para este caso, a equação vectorial da recta r será:
( x , y , z) = ( 7 , -1 , -2 ) + λ.(1 , 0 , 1); λ(41)∈ℜ”. Resolução do aluno: x = 1 s : y - 2 3 = 1 - z 2 O (0 , 0) v = ( 0 , 3 , -2) (x – 0 , y – 0 , z – 0) . (0 , 3 , -2) = 0 3y – 2z = 0
(41) A professora chamou a atenção dos alunos para o facto de se poder representar este parâmetro por
qualquer letra e, neste caso particular, dever mesmo ser diferente do habitual k, para não haver perigo de confusão com o que se fez anteriormente.
Comentários da professora a esta resolução:
“Não percebo nada … “… “Não sei o que é isto … “ … “É preciso escrever as justificações … “
E a professora completa: x = 1 s : y - 2 3 = 1 - z 2
Estas são equações cartesianas da recta s
[Visualização no espaço, representando o vector por uma caneta e o ponto por um dos seus dedos] s = ( 0 , 3 , -2) um vector director de s
α = ?
O (0 , 0) ∈α
Para que α⊥ s
Então, um vector perpendicular a s será um vector director de s: nα = s, com nα⊥α
α : 0x + 3y - 2z + d = 0
O ∈α d = 0 Logo, α : 3y – 2z = 0
[Explicando melhor o processo utilizado pelo aluno, a professora escreveu:] Seja P (x , y , z) um ponto qualquer do plano α e O ∈α.
OP está contido em α; então α⊥ s ⇔ OP ⊥ s. Logo, OP . s = 0
(x – 0 , y – 0 , z – 0) . (0 , 3 , -2) = 0
3y – 2z = 0 equação pedida do plano
Passou, de seguida, à resolução da ficha F6.
Em cada questão, a professora foi conduzindo os alunos ao melhor raciocínio para a resolver rapidamente [trata-se de questões de escolha múltipla que, habitualmente não envolvem cálculos, mas apenas raciocínio]. A professora chama a atenção para todos os pormenores e ensina a não perder tempo com questões laterais.
[A professora] distribuiu uma outra ficha, com um exercício para resolverem na aula – A árvore do Parque – uma tarefa para resolverem em grupo.
137 A professora lê, em voz alta, e interpreta a situação.
Professora: “Tem um “buraco” no 4”. “E porque é que dá uma recta?” “Vem da simplificação
f(x) = -2.(x - 4)x - 4 ⇔ f(x) = -2 em ℜ\{4}
Os alunos manifestavam total desconhecimento da matéria. Admitiram que não estudaram.
Figura 28 – Excertos de aulas da professora Lena evidenciando o tipo de comunicação mais frequente
Usaram frequentemente a calculadora gráfica, que a professora demonstrava como explorar, usando o “View-Screen” como meio de projecção.
Para resolução da questão 2. (composição), na qual se pedia para utilizar as potencialidades da calculadora gráfica, para indicar quando é que a árvore atingiria os 10 metros de altura e investigar se atingiria os 15 metros, a professora ajudou os alunos com a exploração das funções da calculadora gráfica e com as conclusões, mas depois ditou a resposta correcta para que todos os alunos a registassem:
“Na calculadora (TI 83) considero Y1 = A(t), Y2 = 10 e Y3 = 12, na janela [0,70] x [0,15]. A árvore, no momento em que foi plantada, tinha 1m de altura (A(0)=1).
Com o passar do tempo, foi crescendo (um crescimento mais acentuado nos primeiros anos), sem nunca chegar a atingir os 12 m de altura (y=12 é assímptota horizontal do gráfico da função).
Assim, a árvore nunca chegará a atingir os 15 m de altura (para além disto, tenho conhecimento, através de 1. b) que, por volta dos 70 anos deverá ser substituída, quando deverá ter uma altura de, aproximadamente, 11,4 m).
Os gráficos de Y1 e Y2 intersectam-se no ponto P ( 18 , 10 ) (recorrendo a “Calc/Intersect”), o que significa que, após 18 anos de ter sido plantada, a árvore atingirá os 10 m de altura).”
Seguidamente, continuaram com exercícios sobre o mesmo assunto, mas agora especificamente, sobre a escrita da expressão de funções racionais, das quais se conhecem as assímptotas ao gráfico – verticais, horizontais ou oblíquas e a discussão sobre a melhor janela de visualização, na calculadora gráfica.
Um dos exemplos, f(x) = 8 - 2xx - 4 apresentava, como gráfico, uma recta. A professora desafiava-lhes o espírito crítico:
“A função f é racional e o gráfico dá uma recta … Como é que pode ser?” Os alunos não mostravam qualquer conhecimento do assunto.
Professora:
“Tentem com o “Trace”, calculem a imagem do 4” Alunos: “Não dá!”
Seguidamente, passou à resolução, gráfica e algébrica de inequações fraccionárias, proposto no manual:
Resolver a inequação f(x) > g(x), sendo f(x) = x2 e g(x) = 1 x . Graficamente: f(x) > g(x) ⇔ ⇔ x ∈ ( ] - ∞ , 0 [ ∪ ] 1 , + ∞ [ )
Figura 29 – Excertos de aulas da professora Lena evidenciando o recuso frequente à calculadora gráfica
Das observações feitas verificou-se que os alunos, na sala de aula, tinham um comportamento exemplar, proporcionando um excelente ambiente de trabalho. Na generalidade dos casos, existia empenhamento e vontade de aprender, e os alunos do 11º ano já se mostravam um pouco mais autónomos que os do 10º.
A turma era bem comportada, mas pouco participativa.
Neste dia os alunos (contra o que é habitual nesta escola e nesta turma) entraram com alguma turbulência.
A professora comentou imediatamente:
“Isto é uma sala de aula; a feira hoje é em Espinho… e o polivalente é bem longe! Não gostei!” Os alunos acalmaram-se e não mais foi preciso chamar-lhes a atenção.
Os alunos mantêm-se silenciosos!
Os alunos acompanham a explicação da professora, em silêncio.
A professora tinha planeado acabar a resolução de uma ficha de trabalho. E lembrou aos alunos: “Falta fazer os exercícios 3, 4 e 5”.
Mas [por se tratar de uma aula de REDU] acrescentou: “Mas podemos fazer outra coisa que queiram” Alguns alunos: “Ir embora.”
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Este comentário foi feito na brincadeira, pois logo o ambiente se tornou propício ao trabalho e começaram a resolver os exercícios que a professora propusera e que diziam respeito a progressões
Figura 30 – Excertos de aulas da professora Lena evidenciando o ambiente vivenciado na sala de aula
Ao longo do ano, a professora foi fornecendo aos alunos, por escrito, a resolução dos exames nacionais de 2003, para que não tivessem que adquirir o novo volume de compilação de todos os exames, podendo, assim, aproveitar os do ano anterior, de colegas que já tivessem terminado o Ensino Secundário. Ia chamando a atenção para os exercícios que ainda não conseguiam resolver, mas podiam sempre encontrar alguns compatíveis com o seu nível de conhecimento.
A professora distribuiu aos alunos uma ficha de trabalho (F6), contendo, no grupo I uma colectânea de 18 questões de escolha múltipla, do tipo das do exame nacional42, sobre toda a matéria de Geometria leccionada neste ano lectivo. Referiu que, mais tarde [noutra aula] distribuiria a 2ª parte, com questões de desenvolvimento.
No final, a professora ditou as alíneas que faltavam no último exercício da ficha43.
(…) distribuindo, de seguida, uma ficha com a resolução de todo o exame nacional de 2003.
Figura 31 – Excertos de aulas da professora Lena evidenciando a preocupação da professora com o exame nacional
Também já se referiu a sua característica de, por vezes, cometer, deliberadamente, alguns erros científicos, para avaliar o espírito crítico e o grau de conhecimentos dos alunos; no entanto, nunca passava à frente sem clarificar a situação, mesmo que os alunos não se tivessem apercebido do erro e aproveitava para lhes chamar a atenção para todos os pormenores envolvidos.
Das respostas dos alunos aos questionários, respondidos por 11 alunos, em algumas questões relativas ao funcionamento da aula – o modo de organização predominante do trabalho na sala de aula ou a frequência de utilização de recursos/material didáctico, em que deveriam assinalar, no máximo, duas opções, ou não assinalaram nenhuma opção ou assinalaram todas, impossibilitando concluir o sentido das suas opiniões.
42 Sabe-se que o exame nacional passou a servir, para alguns professores, como programa a leccionar, mas,
noutros casos, teve até, na nossa opinião, um papel positivo, de regulação, de exemplificação do tipo de raciocínio e conexões preconizados nos programas oficiais e interpretados “livremente” por alguns.
43 Embora uma das alíneas se referisse à determinação de um limite de uma função trigonométrica, a
professora pretendia que os alunos conjecturassem, com o auxílio da calculadora ou por análise do círculo trigonométrico, o seu valor – tratava-se de uma questão constante num dos exames nacionais.
No que respeita aos objectivos que se pretende atingir com a disciplina, os alunos atribuíram, maioritariamente, nível 1 ou 2 à autoconfiança, sentido estético, sentido de tolerância ou predisposição para a Matemática, tendo considerado que se atingem com a disciplina (atribuindo-lhes, maioritariamente nível 3 ou 4) objectivos como interesses culturais, hábitos de trabalho, persistência, sentido de responsabilidade, cooperação, capacidade de utilização da disciplina, raciocínio, comunicação e aquisição de conhecimentos específicos. Relativamente à criatividade as opiniões dividiram-se entre os níveis “negativos” (1 e 2) e os “positivos” (3 e 4).