Objectivos da disciplina de Matemática
2.2.1 Programa de Matemática A do 10º ano O professor João
A turma do 10º ano que lhe foi distribuída e da qual era director de turma, tinha, inicialmente, 30 alunos e terminou com cerca de 20 alunos – os restantes, ou abandonaram a escola ou ingressaram em cursos profissionais.
Este professor, nas aulas a que se assistiu não usou qualquer outro material que não fosse quadro, giz e o manual, à excepção de uma em que os alunos usaram a calculadora
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gráfica, não tendo, no entanto, o professor, usado qualquer meio de projecção para acompanhar, esclarecer ou sistematizar as conclusões dos alunos; não referiu o uso de qualquer material didáctico de apoio; a “transmissão de conhecimentos” era feita expondo, no quadro, “a matéria”, que os alunos copiavam para o caderno e, de seguida, faziam-se os exercícios de aplicação dessa matéria, a maioria dos quais propostos no manual dos alunos; tudo isto feito sempre em tom de voz um tanto monótono e monocórdico.
De seguida, passou ao tratamento da elipse, representando no quadro uma elipse, em referencial o.n. como a da figura ao lado e revendo, oralmente, com os alunos:
Circunferência: C ( 0 , 0 ) e r = 2 (x-0)2 + (y-0)2 = 22 x2 + y2 = 4 ou seja, x2 4 + y2 4 = 1. Por analogia, definir-se-á a elipse por
x2
4 + y2
1 = 1
O resto da aula foi ocupado com a resolução de exercícios do manual dos alunos, que consistiam em escrever equações de elipses representadas geometricamente ou, inversamente, representar geometricamente elipses dadas pelas suas equações e, ainda, na escrita de condições que caracterizassem regiões do plano, envolvendo elipses.
O professor aguardava que os alunos tentassem resolver cada alínea autonomamente, circulando pela sala, dando algumas pistas de resolução. Seguidamente, corrigia-os no quadro.
Em cada exercício o professor realça todos os pormenores não rotineiros.
O professor resolveu, então, no quadro, as questões em que os alunos tinham apresentado dúvidas e explicava cada passo.
A voz do professor é monocórdica; os alunos estão desatentos, vão falando baixo uns com os outros e alguns vão enviando e recebendo mensagens por telemóvel. Não há barulho na sala, mas quem trabalha é o professor.
Enquanto o professor vai resolvendo exercícios de mero cálculo, os alunos vão copiando o que ele escreve no quadro. Mas quando o professor representa, através de um desenho em perspectiva, um cubo, para nele representar vectores e operar com eles geometricamente (exercício 10), os alunos dizem não entender porque é que o mesmo vector pode ser representado por segmentos orientados diferentes (por exemplo, CF = DE).
Aluno: “É por ser paralelo, professor?”
“ Vamos fazer o 11. Comecem agora.”
Aguardou que os alunos tentassem resolvê-lo autonomamente, dando algumas pistas de resolução, nomeadamente revendo as características dos trapézios.
Após algum tempo, representou no quadro a situação em estudo e pediu a colaboração dos alunos para a resolução.
Professor: “Fazendo a representação dos pontos, parece-nos que, a serem paralelos, serão os lados …”
Alunos: “VU e AL” Professor:
VU = U – V = (3,5) – (-2,0) = (5,5) e
AL = L – A = (6,2) – (0,-4) = (6,6)
[Alguns alunos conversam – em voz baixa – e o “Pedro” continua sem fazer nada] O professor continua:
“Agora temos que ver se estes vectores são colineares. E são, não é? Vamos confirmar: (6,6) = k.(5,5) 6 = 5.k k = 65 ⇔ 6 = 5.k k = 65 Passem ao 13”.
A metodologia utilizada é sempre a mesma:
O professor vai resolvendo os exercícios, um a um, sempre solicitando “ajuda” por parte dos alunos e esclarecendo todos os pormenores não rotineiros e revendo as aprendizagens anteriores necessárias em cada momento.
Escrevia no quadro, enquanto falava … baixo: Vimos que:
m = yx2 - y1
151 mas que, por outro lado, m = uu2
1
Perguntou se havia dúvidas no TC e alguns alunos apresentaram algumas dúvidas, que o professor resolveu no quadro.
Figura 37 – Excertos das aulas do professor João evidenciando o tipo de comunicação vivenciada nas aulas
Mesmo numa das aulas assistidas, em que tentou que os alunos investigassem, em grupo, a influência dos parâmetros no gráfico da função quadrática definida na forma y=a(x-h)2+k, aguardava um pouco, circulando pela sala, de forma a que os alunos tirassem
conclusões ou, pelo menos, conjecturassem e, perante algumas solicitações apresentando dúvidas, acabou por ser o próprio professor a resolver as questões, tirando as conclusões, que sistematizava no quadro, para que os alunos registassem nos cadernos.
A turma mantinha-se em silêncio relativo (a voz do professor continuava a fazer-se ouvir), mas alguns alunos distraíam-se facilmente, conversando ou enviando mensagens por telemóvel entre si. Um dos alunos – repetente, passava as aulas a “olhar para o ar”, sem conversar, mas sem participar na aula fosse de que maneira fosse, manifestando um total alheamento e desinteresse; estava na aula somente para não ter falta; o professor também não o interpelava, porque, segundo nos referiu, todas as vezes que o interpelou foi sem resultado; ainda segundo o professor, o aluno só vinha às aulas para não reprovar por faltas, mas verificava-se que não aproveitava aquele tempo, pois não escrevia, não lia, mas também não conversava nem distraía ninguém. (ver transcrição das aulas – anexo 1.2).
Alguns alunos continuam distraídos e só começam a trabalhar quando o professor, ao circular pela sala, se abeira das suas mesas, interpelando-os.
Há um aluno que, mesmo assim, não faz nada. O professor ignora-o ao passar.
Depois de algum tempo, em que os alunos colocaram as mais diversas dúvidas, o professor resolveu algumas alíneas do exercício no quadro.
A metodologia utilizada é sempre a mesma:
O professor vai resolvendo os exercícios, um a um, sempre solicitando “ajuda” por parte dos alunos e esclarecendo todos os pormenores não rotineiros e revendo as aprendizagens anteriores necessárias em cada momento.
Coordenadas do vector director da recta v = (u1 , u2)
b=2 4
1
Ponto dado [ o professor] Escrevia no quadro, enquanto falava … baixo
De seguida, propõe a resolução do exercício 1 da página 184, que consiste na escrita da equação de rectas, dados um ponto e o declive.
O professor aguarda que os alunos resolvam o exercício autonomamente e circula pela sala, dando algumas indicações.
De seguida, o professor resolve, no quadro, a primeira alínea (em que é dado o ponto de coordenadas (1,4) e o declive 2); aproveitando o resultado obtido ( y = 2x + 2), esclareceu que, com a equação da recta dada desta forma, se torna mais fácil representá-la graficamente:
As duas alíneas restantes eram em tudo semelhantes às anteriores, mas, uma vez mais, foram resolvidas pelo professor.
Professor:
“E se forem dados dois pontos?” Aluno:
“Com esses dois pontos, podemos calcular o declive?”
O professor explicou como se faz, sem grande preocupação com o rigor de linguagem (“substituir na letra” ou “vais pelo vector para ir buscar o quê?”)
Dada esta explicação, dá tempo aos alunos para que resolvam as restantes alíneas, e vai circulando pela sala, observando e dando algumas indicações.
O aluno “Pedro” continua a não fazer nada. O professor continua a ignorá-lo ao passar.
Os alunos continuam a manifestar dificuldades e o professor resolve, então, no quadro, cada um dos exercícios restantes, explicando passo a passo.
O professor, então, propôs mais exercícios do manual, todos semelhantes, para treinar o cálculo do declive de uma recta e para a escrita da equação de rectas, dados o declive e um ponto da recta, ou dois pontos da recta, evitando os que estão assinalados como de “Reflexão/Discussão”, que apelam à utilização da calculadora gráfica para tirar conclusões ou fazer generalizações ou apresentam situações reais, por exemplo.
No entanto, e apesar dos exercícios rotineiros, este professor não perde uma oportunidade para explorar um ou outro pormenor. Por exemplo, a propósito de uma recta horizontal (m=0), o professor perguntou aos alunos qual é o declive de uma recta vertical e os alunos, intuitivamente, responderam ser ∞.
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De seguida, propõe a resolução do exercício 1 da página 184, que consiste na escrita da equação de rectas, dados um ponto e o declive.
O professor aguarda que os alunos resolvam o exercício autonomamente e circula pela sala, dando algumas indicações.
De seguida, o professor resolve, no quadro, a primeira alínea (em que é dado o ponto de coordenadas (1,4) e o declive 2); aproveitando o resultado obtido ( y = 2x + 2), esclareceu que, com a equação da recta dada desta forma, se torna mais fácil representá-la graficamente.
O professor sugere aos alunos que resolvam as restantes alíneas do mesmo exercício que tenta que os alunos resolvam autonomamente, circulando pela sala para observar a sua resolução.
Verifica que os alunos têm muitas dificuldades em resolver equações simples do 1º grau e, então, corrige os exercícios no quadro, explicando passo a passo.
O professor, sempre com o mesmo tom de voz [monocórdica], passou, então, ao assunto previsto para esta aula, questionando:
“Na última aula estivemos a ver o quê?” Um aluno: “Números”
Professor: “Números?” Alunos: “Máximos e mínimos.”
O professor relembrou, então, o que tinham tratado na aula anterior e, de seguida, referiu: “Hoje vamos ver a monotonia de uma função”.
E representou, no quadro, gráficos de funções, levando os alunos a concluir, por observação dos gráficos.
Os alunos trabalhavam autonomamente, enquanto o professor ia circulando pela sala, observando o trabalho dos alunos.
A maioria dos alunos trabalhava em pares.
O professor ia esclarecendo algumas dúvidas colocadas pelos alunos e, pelas respostas dadas pelo professor depreendia-se que, para transmitir a noção de máximos e mínimos, absolutos e relativos, este teria utilizado o exemplo das alturas dos próprios alunos da turma.
O professor concedeu aos alunos tempo para resolverem os exercícios autonomamente, mas, verificando que eles tinham, muitas dúvidas, decidiu resolver no quadro o primeiro deles.
O professor iniciou a aula questionando os alunos sobre o que lhes tinha pedido para fazer: “Espero que tenham visto as transformações de gráficos … “
Considerou, então a função f(x) = x2 e questionou: “O gráfico é … “
Alunos: “Uma parábola” Professor: “Vai passar aonde?”
Os alunos não respondem e o professor prossegue: “Coloquem na máquina … Vai passar na origem … “
Professor: “Consideremos f(x) + 2 = x2 + 2 e vamos também colocá-la na máquina.”
Aguarda um pouco para que os alunos possam obter o gráfico na calculadora gráfica.
Professor: “O que é que aconteceu? O vértice passou a estar em (0,2). A imagem de 1 na 1ª dá 1 e na segunda dá 3 (=1+2). O que aconteceu ao gráfico? O gráfico deslocou-se duas unidades … ”
O professor é que tira sempre as conclusões.
Passaram, então, ao estudo de outro tipo de transformações: o deslocamento horizontal. Professor: “Na calculadora, coloquem agora, f(x) = x3.
Passa também pela origem.
Considerem, agora, também, g(x) = (x – 2)3.”
Aguarda um pouco para que os alunos possam obter o gráfico na calculadora gráfica. Professor: “O que é que aconteceu?”
Os alunos não respondem e o professor prossegue: “Andou duas casas neste sentido: “ Seguidamente, questiona: “E agora se for h(x) = (x + 1)3 ? O que esperam que aconteça agora?”
Alunos: “Vai deslocar-se para a esquerda.” Professor: “Aqui são afectados os objectos.”
Para que os alunos compreendessem melhor o sentido do deslocamento, o professor fez uma analogia com a escrita da equação cartesiana da circunferência.
E sistematizou, no quadro.
Os alunos trabalham autonomamente, enquanto o professor ia circulando pela sala, observando o trabalho dos alunos. No final foram tiradas conclusões em conjunto.
Figura 38 – Excertos das aulas do professor João evidenciando a metodologia utilizada nas aulas
No entanto, das respostas aos questionários, ao qual responderam 15 alunos, ressalta, por um lado, a opinião favorável dos alunos em relação ao professor (“explica
bem”,” motiva os alunos”) e, por outro, a noção de que havia que cumprir o programa e o tempo era escasso: “gostaria que o programa fosse mais pequeno de modo a se ajustar à
carga horária em vigor” ou “se o programa fosse mais pequeno, os professores poderiam
explicar melhor a matéria e com mais calma”.
Em relação aos objectivos a atingir com a disciplina de Matemática A os alunos consideram que são objectivos da Matemática o raciocínio, a aquisição de conhecimentos específicos, a cooperação e a criatividade, sentido de tolerância e de responsabilidade, bem como a comunicação, a capacidade de utilização da Matemática, a persistência, os hábitos de trabalho, o sentido estético e a autoconfiança, considerando que não se atingem objectivos como a predisposição para a Matemática e os interesses culturais.
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Gráfico 44 – Opinião dos alunos do professor João sobre os objectivos da disciplina de Matemática A (1. mínimo a 4. máximo)
De uma forma geral, os alunos consideram que a forma como tem sido abordada a Matemática contribui razoavelmente para a construção de conhecimentos, para o desenvolvimento de atitudes e de capacidades e aptidões.
Formação Pessoal e Social
0 0 8 5 2 1 4 7 2 1 0 3 7 4 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nada Pouco Razoavelmente Muito Sem Opinião
n º d e r e s p o s ta s Construção de conhecimentos/c ompetências Desenvolvimento de atitudes Desenvolvimento de capacidades e aptidões
Gráfico 45 – Opinião dos alunos do professor João sobre a formação pessoal e social na disciplina de Matemática A
Objectivos da disciplina de Matemática A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Autoconfiança Criatividade Sentido estético Interesses culturais Hábitos de trabalho Persistência Sentido de responsabilidade Sentido de tolerância Cooperação Predisposição para a Mat Capacidade de utilização da Mat Raciocínio Comunicação Aquisição de competências/capacidades nº de respostas NS/NR 4 3 2 1
Por sua vez, o professor considera que objectivos como o raciocínio ou a predisposição para a Matemática são pouco exequíveis (nível 2), enquanto que os restantes o serão (nível 3).
Gráfico 46 – Opinião do professor João sobre a exequibilidade dos objectivos da disciplina de Matemática A (1. nada exequível a 4. completamente)
Relativamente à abordagem dos temas de ensino nas aulas, predominam, nas respostas dadas pelos alunos, as opções “exposição do professor em diálogo com o grupo- turma seguida de tarefas a resolver pelos alunos” e “exposição do professor em diálogo com o grupo-turma”, nas aulas de 90 minutos, “exposição do professor” nas aulas de 45 minutos, sem desdobramento da turma e “resolução de tarefas em grupo seguida de uma sistematização de conceitos sob a orientação do professor” nas aulas de 45 minutos com desdobramento da turma.
Forma de abordagem dos temas de ensino
0 5 10 15 20 25
Exposição do professor Exposição do professor em diálogo com o grupo-
turma
Exposição do professor seguida de tarefas a resolver pelos alunos
Resolução de tarefas em grupo Resolução de tarefas individualmente NS/NR nº de respostas Aulas de 45 minutos com desdobramento aulas de 45 munitos sem desdobramento Aulas de 90 minutos
Gráfico 47 – Opinião dos alunos do professor João sobre a abordagem dos temas de ensino nas aulas de Matemática A
Objectivos da disciplina de Matemática A
0 1 2 3 4 Autoconfiança Interesses culturais Hábitos de trabalho Persistência Sentido de responsabilidade Sentido de tolerância e cooperação Predisposição para a Mat Capacidade de utilização da Mat Raciocínio Comunicação Aquisição de conhecimentos específicos
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O professor considera que: (a) nas aulas de 90 minutos aborda os temas quase sempre (nível 3) por meio de exposição do professor em diálogo com o grupo turma, seguida ou não de tarefas a resolver pelos alunos e por meio de resolução de tarefas individualmente seguida de sistematização dos conceitos sob a orientação do professor, raramente (nível 2) por mera exposição do professor e nunca (nível 1) por resolução de tarefas em grupo seguida de uma sistematização de conceitos sob a orientação do professor; (b) nas aulas de 45 minutos - com ou sem desdobramento da turma - a abordagem se realiza quase sempre (nível 3) por meio de exposição do professor em diálogo com o grupo turma, seguida de tarefas a resolver pelos alunos, raramente (nível 2) por exposição do professor em diálogo com o grupo turma e resolução de tarefas individualmente seguida de sistematização dos conceitos sob a orientação do professor e nunca (nível 1) por mera exposição do professor ou por resolução de tarefas em grupo seguida de uma sistematização de conceitos sob a orientação do professor.
Gráfico 48 – Opinião do professor João sobre a abordagem dos temas de ensino nas aulas de Matemática A
Do que se observou, pode concluir-se que a exposição do professor seguida de tarefas a resolver pelos alunos foi a forma de abordagem predominante nas aulas deste professor.
Quanto à frequência de resolução de tarefas matemáticas pelos alunos na sala de aula, predominam, nas respostas dadas pelos alunos, a “resolução de exercícios” e a “resolução de problemas”, sendo mais frequentes os contextos da própria matemática e
Forma de abordagem dos temas de ensino
0 1 2 3 4
Exposição do professor Exposição do professor em diálogo com o grupo-
turma
Exposição do professor seguida de tarefas a resolver pelos alunos
Resolução de tarefas em grupo Resolução de tarefas individualmente
nº de respostas Aulas de 45 minutos com desdobramento aulas de 45 munitos sem desdobramento Aulas de 90 minutos
mesma unidade temática e os contextos da vida real, predominando o trabalho individual dos alunos.
Tarefas propostas aos alunos nas aulas de Matemática A
0 5 10 15 20 25 30 Resolução de exercícios Resolução de problemas Desnvolvimento de investigações Modelação matemática Pesquisa documental Exposição de temas pelos alunos Elaboração de relatórios NS/NR nº de respostas Aulas de 45 minutos com desdobramento aulas de 45 munitos sem desdobramento Aulas de 90 minutos
Gráfico 49 – Opinião dos alunos do professor João sobre as tarefas matemáticas na sala de aula de Matemática A
Gráfico 50 – Opinião dos alunos do professor João sobre os contextos das tarefas matemáticas propostas na aula de Matemática A
Modo de organização predominante do trabalho dos alunos
0 2 4 6 8 10
Trabalho em colectivo Trabalho em pequenos grupos Trabalho aos pares Trabalho individual NS/NR nº de respostas Aulas de 45 minutos com desdobramento Aulas de 45 munitos sem desdobramento Aulas de 90 minutos
Gráfico 51 – Opinião dos alunos do professor João sobre a organização do trabalho na sala de aula
Contextos das tarefas matemáticas propostas aos alunos
0 5 10 15 20
Contextos da mesma unidade temática Conexões com outras unidades temáticas Contextos da vida real Conexões com outras disciplinas História da matemática NS/NR nº de respostas Aulas de 45 minutos com desdobramento aulas de 45 minutos sem desdobramento Aulas de 90 minutos
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Quanto a estes aspectos, o professor considera que recorre sempre (nível 4) à resolução de exercícios e à resolução de problemas, e raramente (nível 2) ao desenvolvimento de investigações, nunca recorrendo às restantes tarefas listadas, nas aulas de 90 minutos, enquanto que nas aulas de 45 minutos considera recorrer quase sempre (nível 3) à resolução de exercícios e à resolução de problemas, nunca recorrendo às restantes tarefas listadas.
Gráfico 52 – Opinião do professor João sobre as tarefas matemáticas na sala de aula de Matemática A (1. nunca a 4. sempre)
No que respeita aos contextos das tarefas propostas aos alunos, o professor considera que, nas aulas de 90 minutos recorre quase sempre (nível 3) a contextos da própria matemática e a contextos da vida real e raramente (nível 2) a conexões com outras disciplinas ou à história da matemática, enquanto que, nas aulas de 45 minutos recorre raramente a contextos da própria matemática e a contextos da vida real e nunca (nível 1) a conexões com outras disciplinas ou à história da matemática.
Gráfico 53 – Opinião do professor João sobre os contextos das tarefas matemáticas propostas na aula de Matemática A (1. nunca a 4. sempre)
Tarefas propostas aos alunos nas aulas de Matemática A
0 1 2 3 4 Resolução de exercícios Resolução de problemas Desnvolvimento de investigações Modelação matemática Pesquisa documental Exposição de temas pelos alunos Elaboração de relatórios nível Aulas de 45 minutos com desdobramento aulas de 45 munitos sem desdobramento Aulas de 90 minutos
Contextos das tarefas matemáticas propostas aos alunos
0 1 2 3 4
Contextos da mesma unidade temática Conexões com outras
unidades temáticas Contextos da vida real
Conexões com outras disciplinas História da matemática
nível Aulas de 45 minutos com desdobramento aulas de 45 minutos sem desdobramento Aulas de 90 minutos
O modo de organização do trabalho dos alunos era, segundo a opinião do professor quase sempre (nível 3) o trabalho em pares ou o trabalho individual e nunca (nível 1) o trabalho em colectivo ou o trabalho em pequenos grupos, em qualquer dos tipos de aulas.
Gráfico 54 – Opinião do professor João sobre a organização do trabalho na sala de aula (1. nunca a 4. sempre)
Do que se observou conclui-se que, nas aulas deste professor, as tarefas predominantes eram a resolução de exercícios, eventualmente sob a forma de situação problemática, sendo os contextos das tarefas propostas os que constavam do manual dos alunos que o professor usava exclusivamente e os alunos trabalhavam individualmente na sala de aula quase sempre.
Os recursos mais frequentemente utilizados nas aulas são, na opinião dos alunos que responderam, a calculadora gráfica e o manual.
Gráfico 55 – Opinião dos alunos do professor João sobre os recursos mais utilizados na sala de aula
Recursos/materiais utilizados com maior frequência nas aulas
0 5 10 15 20 25 30 Acetatos/transparências Diapositivos/diaporamas Software de Matemática Calculadora gráfica Modelos geométricos Papel gráfico Manual escolar Fichas de trabalho NS/NR nº de respostas Aulas de 45 minutos com desdobramento Aulas de 45 munitos sem desdobramento Aulas de 90 minutos
Modo de organização predominante do trabalho dos alunos