Objectivos da disciplina de Matemática
2.2.2 O Programa de Matemática do 11º ano de escolaridade A professora Madalena
Esta era uma professora sempre muito preocupada com a abordagem de todos os conteúdos programáticos e que, por isso, não dava muito espaço à participação activa dos alunos; é verdade que lhe couberam turmas bastante difíceis – uma turma com um elevado
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número de alunos, quase todos repetentes e bastante desmotivados que pareciam não se interessar por nada e uma outra, não tão grande, mas que reagia muito mal a tudo o que fosse aprendizagem formal.
Com os excertos que se seguem, do diário de bordo, tenta-se evidenciar-se o ambiente difícil que se vivenciava nas aulas desta professora:
Alguns alunos estão distraídos, a conversar, e é com alguma dificuldade que a professora lhes consegue prender a atenção.
A professora tinha de interromper frequentemente o seu raciocínio para chamar a atenção de um grupo de alunos que continuava desatento.
Alguns alunos continuam a conversar …
A professora decide, então, resolver ela própria o exercício no quadro.
Figura 44 – Excertos do diário de bordo relativo às aulas da professora Madalena evidenciando o ambiente vivenciado nas aulas
Esta professora, pelo menos nas aulas a que assistimos não usou qualquer outro material que não fosse quadro, giz e o manual, à excepção de uma delas, em que usou a calculadora gráfica; não referiu o uso de qualquer material didáctico de apoio; a “transmissão de conhecimentos” era feita expondo, no quadro, “a matéria”, que os alunos copiavam para o caderno (algumas fazendo explicando simplesmente o que fazia, sem, no entanto, explicar porque fazia) e, de seguida, faziam-se os exercícios de aplicação dessa matéria, a maioria dos quais propostos no manual dos alunos; tudo isto feito sempre manifestando alguma ansiedade, com medo de não haver tempo para leccionar todos os conteúdos.
Enquanto cada aluno de sua vez resolvia os exercícios no quadro (a professora desafiava a turma e conseguia voluntários para ir ao quadro), a professora esforçava-se por esclarecer, individualmente, algumas dúvidas e chamar a atenção dos alunos que estavam distraídos.
Dadas as enormes dificuldades reveladas pelos alunos, a correcção do TC demorou cerca de 70 minutos, tendo-se ocupado o restante tempo (cerca de 10 minutos) a resolver mais exercícios sobre a mesma matéria, retirados do manual dos alunos – a professora propunha um exercício e deixava que os alunos tentassem resolvê-lo autonomamente, circulando pela sala, dando algumas pistas de resolução. Seguidamente, um aluno, voluntário, resolvia-o no quadro.
A professora ia alertando os alunos para a necessidade de realizarem trabalho individual e autónomo, em casa e referiu que, na aula seguinte previa iniciar o estudo do círculo trigonométrico.
Corrigido o TC, que os alunos registaram no caderno, a professora perguntou: “Já posso passar à matéria nova?”
E escreveu no quadro: “Rectas perpendiculares no plano” Questionou, de seguida:
“Se duas rectas são perpendiculares, qual é o ângulo que formam entre si?” Alunos: “900“
Professora: “E vocês até sabem qual é a fórmula que permite calcular o ângulo formado por duas rectas…”
Alunos:
“cos α = || r || . || s || “ | r . s |
Professora:”Então, se duas rectas são perpendiculares, cos α = 0 0 = || r || . || s || | r . s |
Para que esta fracção seja zero, é necessário que o numerador seja igual a zero.
⇔ | r . s | = 0 ⇔ r . s = 0 O que é o vector r e o que é o vector s ?
Alunos: “São os vectores directores das rectas”
A professora escreve a conclusão no quadro e os alunos registam nos cadernos:
“Duas rectas r e s no plano, são perpendiculares se os seus vectores directores o forem.” A professora verifica se os alunos registaram, nos cadernos, a definição, escrita no quadro. Professora:“Já podemos avançar?”
“Vamos lá escrever: Relação entre os declives de duas rectas perpendiculares no plano” r e s são duas rectas perpendiculares no plano
r : y = m . x + b s : y = m’ . x + b’
Quem é capaz de me dizer um vector director da recta r ?
Os alunos não conseguiram responder e a professora deu um exemplo: y = 5x+8 e os alunos concluíram que um vector director desta recta é u = ( 1 , 5 ).
Neste momento, os alunos já conseguiram dar um exemplo de um vector director da recta r e de um vector director da recta s:
r = ( 1 , m ) e s = ( 1 , m’ ) Mas r e s são perpendiculares. Então r e s vão ser perpendiculares.
O que acontece ao produto escalar de r e s ? r . s = 0
( 1 , m ) . ( 1 , m’ ) = 0 A professora escreve no quadro: Como se calcula o produto escalar ? 1 .1 + m . m’ = 0
m.m’ = - 1 ⇔ m’ = - m1
Esta é a relação entre os declives de duas rectas perpendiculares E escreveu no quadro, para os alunos registarem nos cadernos:
“Em rectas perpendiculares, o declive de uma delas é igual ao simétrico do inverso do declive a outra”
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Propôs, então, aos alunos, a resolução de três exercícios do manual, aplicação directa do que tinha acabado de expor .
(…)
Os alunos trabalham autonomamente e a professora vai circulando pela sala, observando o trabalho dos alunos e esclarecendo algumas dúvidas ou dando indicações de resolução.
Quando verificava que a maioria dos alunos já tinha resolvido cada alínea, pedia que fosse corrigida no quadro por um aluno, voluntário, tirando-se sempre as conclusões em conjunto.
Mais exemplos foram remetidos para as aulas supervenientes44.
A professora prossegue:
“Um ponto genérico da recta r: (1-2k , 2+4k , -k) e um ponto genérico da recta s: (1+µ , µ , 1-µ) As rectas não são paralelas. Então existirá um ponto da recta r que pertence à recta s.
Assim, podemos escrever que: (1-2k , 2+4k , -k) = (1+µ , µ , 1-µ) “ Questiona os alunos: “Quando é que dois ternos ordenados são iguais?” Obtêm, em conjunto,
1 – 2k = 1 + µ
2 + 4k = µ
- k = 1 - µ
Este sistema é para resolver em ordem a k e a µ:
1 – 2k = 1 + 2 + 4k - 6k = 2 ⇔ --- ⇔ --- ⇔ - k = 1 – ( 2 + 4k ) - k = 1 – 2 – 4k k = - 26 k = - 13 k = - 13 ⇔ --- ⇔ µ= 2 + 4.(- 13 ) ⇔ µ= 2 - 43 3k = - 1 k = - 13 k = - 13
44 As aulas supervenientes (designação variável de escola para escola) são semiblocos constantes no horário
dos professores, para compensar a “perda” de 5 minutos em cada semibloco de 45 minutos, relativamente às anteriores aulas de 50 minutos; habitualmente, a frequência dos alunos a estas aulas é facultativa; no entanto, é recomendado aos alunos que venham porque, estas horas são destinadas a actividades de reforço. A periodicidade é quinzenal.
k = - 13
⇔ µ= 23
---
Professora:
“Agora, para calcular o ponto de intersecção das duas rectas, vamos substituir k ou µ no ponto genérico da recta correspondente:
k = - 13 ( 1 + 23 , 2 - 43 , 13 ) = ( 53 , 23 , 13 ) ou
µ= 23 (1 + 23 , 3 , 1 - 2 23 ) = ( 53 , 23 , 13 ) O ponto será ( 53 , 23 , 13 ) “ .
[O quadro estava cheiinho. Completamente escrito]. A professora deu tempo para os alunos copiarem.
Mas os alunos estavam mais preocupados com o Carnaval [estamos numa terra com grandes tradições de Carnaval…]. A professora cortou a conversa e tentou chamar os alunos para o que se estava a fazer na aula.
A professora tirou, então, a conclusão:
“A resposta será: As rectas são concorrentes e intersectam–se no ponto de coordenadas (53 , 23 , 13 )“ De seguida propôs de novo: “Agora façam a 18.2”
A professora ia dando indicações de resolução:
“Convém determinar um vector director de cada uma das rectas, porque se forem colineares, vêem logo.”
Os alunos iam resolvendo autonomamente e a professora ia circulando, verificando o que os alunos estavam a fazer.
Quando a maioria dos alunos tinha terminado, a professora resolveu o exercício no quadro.
Seguidamente passou à resolução algébrica da questão, fazendo no quadro e explicando passo a passo, explicando o que fazia, sem, no entanto, explicar porquê.
f(x) > g(x) ⇔ x2 > 1x ⇔ x2 - 1x > 0 ⇔ x
3 - 1
x > 0 “Agora vamos fazer uma tabela como faziam no ano passado.
Figura 45 – Excertos do diário de bordo relativo às aulas da professora Madalena evidenciando a abordagem dos temas de leccionação
Os alunos reagiam muito mal e eram frequentes comentários como – “Vá com
calma, professora” ou “Ó professora, respire … deixe-nos passar!” ou ainda “Ó
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Em uma das aulas observadas, cujo tema era o estudo da posição relativa de planos no espaço, insistiu na resolução de sistemas de três equações com três incógnitas pelo método de substituição, o que se verificou difícil e monótono para os alunos.
Pareceu-nos que, se lhes tivesse ensinado o método de redução, lhes teria facilitado os cálculos e tê-los-ia motivado mais. Não o fez, talvez porque o manual não o refira.
A professora propôs, então, aos alunos a resolução de um exercício do manual, aplicação directa do que tinha sido acabado de concluir: estudar as posições relativas de três planos, definidos pelas suas equações.
A professora tentou que os alunos resolvessem, autonomamente, o exercício, circulando pela sala, a observar o que os alunos faziam.
Mas, verificando que os alunos não se mostravam motivados para o resolver, a professora optou por iniciar a resolução no quadro, interpelando os alunos, para que dessem sugestões de resolução.
A professora começou por escrever e estudar a colinearidade dos vectores normais aos três planos e, após verificar que os planos não eram paralelos, indicou e resolveu o sistema de equações que permitiu concluir acerca da posição relativa dos três planos.
O sistema foi resolvido pela professora, sempre pelo método de substituição.
Então a professora tentava que fossem os alunos a concluir autonomamente a resolução do sistema e circulava pela sala, observando. No final, corrigiu o resto do exercício no quadro, tirando sempre as necessárias conclusões.
Este foi o ambiente comum à resolução das três alíneas, com os alunos frequentemente desatentos e faladores. Exercícios repetitivos e demorados.
Figura 46 – Excertos do diário de bordo relativo às aulas da professora Madalena evidenciando a abordagem do tema relativo à posição relativa de planos no espaço
Não tendo sido leccionado nenhum método novo para resolução de sistemas, poderia, talvez, ter resolvido o sistema na calculadora, deixando aos alunos apenas a parte interpretativa.
No entanto, nem sempre a resolução com a calculadora é vantajosa. Como no caso ilustrado a seguir, em que se pedia para calcular a intersecção da recta r e do plano α dados:
2x + y + z = 0 r :
x + y – 2 = 0 e α : 2x – y + z -3 = 0
Para a resolução [desta alínea], a professora começou por chamar a atenção para o facto da recta estar definida como a intersecção de dois planos e optou por um processo de resolução que consistiu em obter, em primeiro lugar, por resolução do sistema pelo método de substituição, as coordenadas genéricas dos pontos da recta.
z = -2 - x r :
y = 2 – x e, de seguida, indica:
Vamos à equação do plano substituir estes valores de y e de z: 2x – (2 – x) + (-2 – x) – 3 = 0 ⇔
⇔ 2x – 2 + x – 2 – x – 3 = 0 ⇔ ⇔ 2x = 7 ⇔
⇔ x = 72
Pelo que, o ponto de intersecção da recta com o plano tem de coordenadas ( 72 , - 32 , - 112 )
Figura 47 – Excertos do diário de bordo relativo às aulas da professora Madalena evidenciando a abordagem do tema relativo à posição relativa de planos no espaço
Neste caso, se se resolvesse o exercício na calculadora gráfica, podia encontrar-se imediatamente a solução do problema, mas esvaziava-se o exercício, pois perdia-se a parte da interpretação da questão.
Numa outra aula observada, em que o tema era o estudo das funções racionais, usaram a calculadora gráfica, mas a professora preferiu não usar qualquer meio de projecção (como o “View-Screen”, por exemplo) alegando que nem todos os alunos possuíam o mesmo modelo de calculadora; passou, com a sua própria calculadora, de mesa em mesa, mostrando o que pretendia obter. Segundo a sua opinião, este método, embora mais moroso, permitia que esclarecesse o funcionamento de cada calculadora, individualmente.
O que se observou foi que, enquanto a professora procedia a este trabalho, os restantes alunos da turma aproveitavam para se distrair, conversar, fazer barulho.
Para cada um dos casos, a professora representou na sua própria calculadora, o gráfico da função e foi passando pelas mesas, comparando com os gráficos obtidos nas calculadoras dos alunos.
Explicou-lhes como obter rectas verticais e horizontais, dinâmicas, para aproximar as assímptotas e também como, por mudança de escala, se pode obter um gráfico em que aparecem, no écran, rectas verticais e horizontais que aproximam as assímptotas.
Paralelamente à resolução gráfica (em que apenas se obtém uma conjectura) a professora resolveu o problema algebricamente, recorrendo ao quadro resumo do manual:
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Figura 48 – Excerto do diário de bordo relativo a uma aulas da professora Madalena evidenciando a utilização da calculadora gráfica
Este quadro vem acompanhado de uma nota que esclarece que “se p(x) e q(x) têm
factores comuns não é verdade o que no quadro do lado está escrito”.
Numa outra aula ainda, em que o tema era operações com funções, se tivesse previsto a metodologia de trabalho em grupo, com uma ficha orientada, partindo exactamente da determinação da imagem de objectos concretos por cada uma das funções, teria sido, talvez, mais agradável e mais concreta para os alunos que, assim, se teriam envolvido mais no desenvolvimento da aula e poderiam entre ajudar-se.
A professora tentou que os alunos iniciassem o trabalho na aula, mas sem êxito; apenas uma aluna tentou fazer, mas deparou-se imediatamente com uma dificuldade: como calcular (f + g)(3) que a professora referiu ser através de f(3)+g(3).
Figura 49 – Excerto do diário de bordo relativo a uma aulas da professora Madalena evidenciando a abordagem das operações com funções
Se esta matéria tivesse sido abordada em grupo, com uma ficha orientada, partindo exactamente da determinação da imagem de objectos concretos por cada uma das funções, teria sido, talvez, mais agradável e mais concreta para os alunos que, assim, não apresentariam, certamente, este tipo de dúvidas.
Existem, ainda, os vídeos da CMAF-UL …
Nas respostas aos questionários, ao qual responderam 35 alunos, alguns sugerem, por exemplo: “gostava que as aulas fossem dadas de uma forma mais original, mais
criativa, mais cativante”, “existe uma maior preocupação em dar a matéria do que se os
alunos a percebem ou não”, “aplicação da matéria dada mais relacionada com a vida
real”, “os métodos de ensino utilizados pela professora são sempre os mesmos, acabando
por me desmotivar, de certa forma” ou “o facto da turma ser demasiado grande contribui
para a insatisfação”.
De notar que, alguns alunos desta professora deram respostas que roçavam o insultuoso, para com a Escola (enquanto instituição), a disciplina, os Professores (em geral), o sistema de avaliação (exames, fundamentalmente), …
Das respostas aos questionários, verifica-se que, relativamente aos objectivos da disciplina, a maioria dos alunos privilegia o raciocínio, a aquisição de conhecimentos
específicos, a capacidade de utilização da Matemática, a predisposição para a disciplina, a persistência e os hábitos de trabalho.
Objectivos da disciplina de Matemática
0 5 10 15 20 25 Autoconfiança Criatividade Sentido estético Interesses culturais Hábitos de trabalho Persistência Sentido de responsabilidade Sentido de tolerância Cooperação Predisposição para a Matemática Capacidade de utilização da Matemática Raciocínio Comunicação Aquisição de conhecimentos específicos
nº de respostas NS/NR 4 3 2 1
Gráfico 63 – Grau de satisfação dos alunos da professora Madalena relativamente aos objectivos do Programa de Matemática
Formação pessoal e social
0 5 10 15 20 25 30
Nada Pouco Razoavelmente Muito NS/NR
Construção de conhecimentos Desenvolvimento de atitudes Capacidades e aptidões
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A professora, quanto à exequibilidade dos objectivos programáticos, considera não serem exequíveis os interesses culturais, a predisposição para a Matemática e a comunicação, considerando exequíveis os restantes.
Objectivos do Programa de Matemática
0 1 2 3 4 Autoconfiança Interesses culturais Hábitos de trabalho Persistência Sentido de responsabilidade Sentido de tolerância e cooperação Predisposição para a Matemática Capacidade de utilização da Matemática Raciocínio Comunicação Aquisição de conhecimentos específicos
nível
Gráfico 65 – Opinião da professora Madalena relativamente à exequibilidade dos objectivos do Programa de Matemática
No que respeita à abordagem dos temas de ensino nas aulas, consideram predominar, a “exposição do professor em diálogo com o grupo-turma seguida de tarefas a resolver pelos alunos”, “resolução de tarefas individualmente seguida de uma sistematização de conceitos sob a orientação do professor” e “exposição do professor”.
Forma de abordagem dos temas de ensino
14 7 20 8 14 7 Exposição do professor
Diálogo com o grupo-turma
Diálogo seguido de tarefas para os alunos
Resolução de tarefas em grupo c/ sistematização
Resolução de tarefas
individualmente c/ sistematização
Gráfico 66 – Opinião dos alunos da professora Madalena sobre a abordagem dos temas de ensino nas aulas de Matemática
A esta questão a professora respondeu que, nas suas aulas, predominava a exposição do professor em diálogo com o grupo turma (nível 4), valorizando com nível 3 a exposição do professor e a exposição do professor em diálogo com o grupo turma seguida de tarefas a resolver pelos alunos, considerando que raramente se verificavam as restantes hipóteses.
Forma de abordagem dos temas de ensino
0 1 2 3 4
Exposição do professor Exposição do professor em diálogo com o grupo-turma Exposição do professor seguida de tarefas a resolver
pelos alunos
Resolução de tarefas em grupo Resolução de tarefas individualmente
nível
Gráfico 67 – Opinião da professora Madalena relativamente à forma de abordagem dos temas de ensino
Quanto à frequência de resolução de tarefas matemáticas pelos alunos na sala de aulas, predominam, nas respostas dadas pelos alunos, a “resolução de exercícios” e a “resolução de problemas”, sendo mais frequentes os contextos da própria matemática e mesma unidade temática e os contextos da vida real, predominando o trabalho dos alunos individualmente ou em colectivo.
Gráfico 68 – Opinião dos alunos da professora Madalena sobre as tarefas matemáticas na sala de aula de Matemática
Tarefas matemáticas resolvidas pelos alunos
35 26 0 4 0 2 1 2 Resolução de exercícios Resolução de problemas Desenvolvimento de investigações Modelação matemática Pesquisa documental Exposição de temas pelos alunos Elaboração de relatórios Outra/Não Respondeu
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Gráfico 69 – Opinião da professora Madalena sobre as tarefas matemáticas na sala de aula de Matemática
Acerca dos contextos das tarefas matemáticas propostas aos alunos, estes valorizaram os contextos da própria matemática e os contextos da vida real, considerando, no que respeita ao modo de organização do trabalho, que este se desenvolve, predominantemente sob a forma de trabalho individual ou em colectivo.
Gráfico 70 – Opinião dos alunos da professora Madalena sobre os contextos das tarefas matemáticas propostas e modo de organização das actividades na sala de aula de Matemática
A professora, a estas questões respondeu assinalando com nível 4 as mesmas opções dos alunos – no que respeita à frequência de contextos das tarefas matemáticas propostas aos alunos, contextos da própria matemática e quanto à organização do trabalho, trabalho em colectivo.
Contextos das tarefas matemáticas propostas aos alunos
30
12 18
2 2 6
Mesma unidade temática
Outras unidades temáticas
Contextos da vida real
Conexões com outras disciplinas História da matemática
Outra/Não Respondeu
Modo de organização do trabalho dos alunos
8 0
4
9
14 Trabalho em colectivo
Trabalho em pequenos grupos Trabalho aos pares Trabalho individual NS/NR
Tarefas matemáticas resolvidas pelos alunos
0 1 2 3 4 Resolução de exercícios Resolução de problemas Desnvolvimento de investigações Modelação matemática Pesquisa documental Exposição de temas pelos alunos Elaboração de relatórios
Contextos das tarefas matemáticas propostas aos alunos
0 1 2 3 4
Contextos da mesma unidade temática Conexões com outras unidades temáticas Contextos da vida real Conexões com outras disciplinas História da matemática
nível
Modo de organização do trbalho
0 1 2 3 4
Trabalho em colectivo Trabalho em pequenos
grupos Trabalho aos pares
Trabalho individual
nível
Gráfico 71 – Opinião da professora Madalena sobre os contextos das tarefas matemáticas propostas e modo de organização das actividades na sala de aula de Matemática
Os recursos mais frequentemente utilizados nas aulas são, na opinião dos alunos que responderam, a calculadora gráfica e o manual escolar.
Gráfico 72 – Opinião dos alunos da professora Madalena sobre os recursos mais utilizados na sala de aula
A professora, por seu lado, assinalou as respostas “manual escolar” e “calculadora gráfica” com nível 4, as fichas de trabalho com nível 3, os modelos geométricos e os acetatos/transparências com nível 2, assinalando com nível 1 as restantes opções.
Frequência de utilização de recursos/material didáctico
0 1 2 3 4 Acetatos/transparências Software de Matemática Modelos geométricos Manual escolar Jornais ou revistas nível
Gráfico 73 – Opinião da professora Madalena sobre os recursos mais utilizados na sala de aula
Recursos/material didáctico utilizados nas aulas
Acetatos/Transparências Diapositivos/Diaporamas Software de Matemática Calculadora gráfica Modelos geométricos Papel gráfico Manual escolar Fichas de trabalho Jornais/revistas Internet
Sem Opinião/Não responderam
1 26 1 1 1 23 10 7
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Quanto às principais vantagens e às principais desvantagens da utilização da calculadora gráfica por parte dos alunos, considera a professora:
Figura 50 – Opinião da professora Madalena sobre a utilização da calculadora gráfica
No que respeita à relação pedagógica, as respostas dividem-se entre o 1 e o 4: 11% referem o nível 1, 28% o nível 2, 50 % o nível 3 e 11 % o nível 4, indicando que a professora privilegia a relação professor-turma e professor-aluno.
Gráfico 74 – Opinião dos alunos do 11º ano da professora Madalena sobre a relação vivenciada na sala de aula
4 7 6 Relação pedagógica 5 6 17 7 Insatisfação total Insatisfação total Satisfação Satisfação total 3
Tipo de relação que o professor privilegia
Professor-turma Professor-aluno Aluno-turma Aluno-grupo de alunos Aluno-aluno
Sem Opinião/Não responderam 26
25 1 2