MECÂNICA DOS MATERIAIS

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RICARDO GASPAR

MECÂNICA DOS MATERIAIS

Notas de aula da disciplina Resistência

dos Materiais ministrada pelo

Prof. Leandro Mouta Trautwein ao

curso de Engenharia Civil do Centro

Universitário Nove de Julho.

São Paulo 2005

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Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar

SUMÁRIO

1 MECÂNICA _____________________________________________________________________ 1 1.1 Introdução ____________________________________________________________________ 1 1.2 Conceitos Fundamentais _________________________________________________________ 2 1.3 Sistema Internacional de Unidades _________________________________________________ 2 1.4 Trigonometria__________________________________________________________________ 4 1.5 Alfabeto Grego _________________________________________________________________ 6 2 ESTÁTICA ______________________________________________________________________ 7 2.1 Forças no plano ________________________________________________________________ 7 2.2 Equilíbrio de um ponto material ___________________________________________________ 7 2.3 Resultante de uma força _________________________________________________________ 8 2.4 Momento de uma força _________________________________________________________ 14 2.4.1 Momento de um sistema de forças coplanares _____________________________________ 14 2.4.2 Teorema de Varignon ________________________________________________________ 14 2.4.3 Momento de um binário ______________________________________________________ 15 2.4.4 Equilíbrio de corpos rígidos ___________________________________________________ 18 2.5 Apoios _______________________________________________________________________ 19 2.6 Tipos de Estruturas ____________________________________________________________ 20 2.6.1 Estruturas hipostáticas _______________________________________________________ 20 2.6.2 Estruturas isostáticas_________________________________________________________ 20 2.6.3 Estruturas hiperestáticas______________________________________________________ 20 3 TRELIÇAS _____________________________________________________________________ 21 3.1 Definição ____________________________________________________________________ 21 3.2 Método do equilíbrio dos nós _____________________________________________________ 22 4 TENSÕES E DEFORMAÇÕES_____________________________________________________ 28 4.1 Introdução ___________________________________________________________________ 28 4.2 Diagrama tensão-deformação ____________________________________________________ 29 4.3 Tensão admissível______________________________________________________________ 30 4.4 Lei de Hooke__________________________________________________________________ 30 4.4.1 Coeficiente de Poisson________________________________________________________ 32 4.4.2 Forma geral da Lei de Hooke __________________________________________________ 32 4.5 Estruturas estaticamente indeterminadas ___________________________________________ 35 4.6 Tensões iniciais e Tensões Térmicas _______________________________________________ 38 4.7 Tensão de cisalhamento _________________________________________________________ 41 5 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS _________________________ 44 5.1 Área_________________________________________________________________________ 44 5.2 Momento Estático______________________________________________________________ 45 5.3 Centro de Gravidade____________________________________________________________ 46 5.4 Momento de Inércia ____________________________________________________________ 50 5.5 Translação de eixos ____________________________________________________________ 51 5.6 Módulo Resistente _____________________________________________________________ 53 5.7 Raio de Giração _______________________________________________________________ 54 6 ESFORÇOS SOLICITANTES ______________________________________________________ 57 6.1 Introdução ___________________________________________________________________ 57 6.2 Classificação dos esforços solicitantes _____________________________________________ 57 6.3 Convenção de sinais ____________________________________________________________ 58 7 VIGAS _________________________________________________________________________ 60 7.1 Introdução ___________________________________________________________________ 60 7.2 Tipos de cargas ________________________________________________________________ 60 7.2.1 Cargas distribuídas __________________________________________________________ 60 7.3 Apoios ou vínculos _____________________________________________________________ 61 7.4 Equações diferenciais de equilíbrio________________________________________________ 75 8 TENSÕES E DEFORMAÇÕES NA FLEXÃO _________________________________________ 85 8.1 Hipóteses admitidas ____________________________________________________________ 85 8.2 Tensões normais na flexão ______________________________________________________ 86 8.3 Tensões de cisalhamento na flexão ________________________________________________ 92 9 DEFORMAÇÕES NAS VIGAS _____________________________________________________ 97 BIBLIOGRAFIA ____________________________________________________________________ 104

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Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar

LISTA DE SÍMBOLOS

letras maiúsculas A área E módulo de elasticidade F força I momento de inércia L comprimento

M momento, momento fletor

Ms momento estático

N força normal

P carga concentrada

R resultante de forças, esforço resistente S esforço solicitante V força cortante letras minúsculas a aceleração b largura g aceleração da gravidade h dimensão, altura l comprimento m metro, massa max máximo min mínimo q carga distribuída s segundo v deslocamento vertical

x distância da linha neutra ao ponto de maior encurtamento na seção

transversal de uma peça fletida

letras gregas α, θ ângulo, coeficiente δ deslocamento φ diâmetro ε deformação específica f

γ coeficiente de majoração das ações σ tensão normal

σ tensão normal admissível τ tensão tangencial τ tensão tangencial admissível

υ coeficiente de Poisson índices adm admissível c compressão f ação t tração, transversal

w alma das vigas

max máximo min mínimo

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Mecânica dos Materiais Ricardo Gaspar 1

MECÂNICA DOS MATERIAIS

1 MECÂNICA

1.1 Introdução

A Mecânica é uma ciência física aplicada que trata dos estudos das forças e dos movimentos. A Mecânica descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de corpos sob a ação de forças.

A finalidade da Mecânica é explicar e prever fenômenos físicos, fornecendo, assim, os fundamentos para as aplicações da Engenharia.

A Mecânica é subdividida em três grandes ramos: Mecânica dos Corpos Rígidos, Mecânica dos Corpos Deformáveis e Mecânica dos Fluídos, como indicado abaixo.

Estática

Mecânica dos corpos rígidos Cinemática

Dinâmica

Mecânica Mecânica dos corpos deformáveis Resistência dos Materiais

Fluídos incompressíveis → líquidos

Mecânica dos fluídos

Fluídos compressíveis → gases

Mecânica dos corpos rígidos: é subdividida em Estática, Cinemática e Dinâmica.

A Estática se refere aos corpos em repouso e estuda as forças em equilíbrio, independentemente do movimento por elas produzido. Na Estática, os corpos analisados são considerados rígidos, conseqüentemente, os resultados obtidos independem das propriedades do material.

A Cinemática estuda os movimentos em si e as leis que os regem:

• movimento uniforme – móvel percorrendo espaços iguais em tempos iguais para quaisquer trechos de trajetória;

• movimento uniformemente variado – a velocidade do móvel varia de valores iguais em tempos iguais. Se houver crescimento da velocidade, o movimento será uniformemente acelerado; se houver decréscimo, o movimento será uniformemente retardado;

• movimentos de rotação.

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Mecânica dos corpos deformáveis: as estruturas e as máquinas nunca são

absolutamente rígidas, deformando-se sob a ação das cargas a que estão submetidas. Estas deformações são geralmente pequenas e não alteram apreciavelmente as condições de equilíbrio ou de movimento da estrutura considerada.

No entanto, essas deformações terão importância quando houver riscos de ruptura do material. A Mecânica dos corpos deformáveis é estudada pela Resistência dos Materiais, Mecânica dos Materiais ou Mecânica dos Sólidos, como também são conhecidas.

O estudo dos corpos deformáveis resume-se na determinação da resistência mecânica, da rigidez e da estabilidade de elementos estruturais.

Mecânica dos fluídos: A Mecânica dos Fluídos é subdividida no estudo dos fluidos

incompressíveis (líquidos) e fluidos compressíveis (gases). Uma importante subdivisão do estudo de fluidos incompressíveis é a hidráulica.

1.2 Conceitos Fundamentais

Os conceitos fundamentais da Mecânica baseiam-se na Mecânica Newtonia:

• espaço: o conceito de espaço é associado à noção de posição de um ponto material, o qual pode ser definido por três comprimentos, medidos a partir de um certo ponto de referência, ou de origem, segundo três direções dadas. Estes comprimentos são conhecidos como as coordenadas do ponto;

• tempo: para se definir um evento não é suficiente definir sua posição no espaço. O tempo ou instante em que o evento ocorre também deve ser dado;

• força: a força representa a ação de um corpo sobre outro; é a causa que tende a produzir movimento ou a modificá-lo. A força é caracterizada pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido; uma força é representada por um vetor;

1.3 Sistema Internacional de Unidades

O Sistema Internacional de Unidades (SI) é subdividido em unidades básicas e unidades derivadas.

As unidades básicas são: metro (m), quilograma (kg) e segundo (s). As unidades derivadas são, entre outras, força, trabalho, pressão, etc...

As unidades do SI formam um sistema absoluto de unidades. Isto significa que as três unidades básicas escolhidas são independentes dos locais onde são feitas as medições. A força é medida em Newton (N) que é definido como a força que imprime a aceleração de 1 m/s2 à massa de 1 kg. A partir da Equação F=m.a (segunda Lei de Newton), escreve-se: 1 N = 1 kg × 1 m/s2

.

As medidas estáticas de forças são efetuadas por meio de instrumentos chamados dinamômetros.

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O peso de um corpo também é uma força e é expresso em Newton (N). Da Equação

P=m.g (terceira Lei de Newton ou Lei da Gravitação) segue-se que o peso de um corpo de

massa 1 kg é = (1 kg)×(9,81 m/s2

) = 9,81 N, onde g=9,81m/s2 é a aceleração da gravidade. A pressão é medida no SI em Pascal (Pa) que é definido como a pressão exercida por uma força de 1 Newton uniformemente distribuída sobre uma superfície plana de 1 metro quadrado de área, perpendicular à direção da força Pa= N/ m2. Pascal é também unidade de tensões normais (compressão ou tração) ou tensões tangenciais (cisalhamento).

Múltiplos e submúltiplos

Nome Símbolo fator pelo qual a unidade é multiplicada

exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000 peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000 tera T 1012 = 1 000 000 000 000 giga G 109 = 1 000 000 000 mega M 106 = 1 000 000 quilo k 103 = 1 000 hecto h 102 = 100 deca da 10 deci d 10-1 = 0,1 centi c 10-2 = 0,01 mili m 10-3 = 0,001 micro µ 10-6 = 0,000 001 nano n 10-9 = 0,000 000 001 pico p 10-12 = 0,000 000 000 001 femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001 atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001 Conversão de Unidades A unidade é equivalente a 1MPa 1 N/mm2 1 MPa 1 x 106 N/m2 1 GPa 1 x 109 N/m2 1 m 100 cm 1 cm 0,01 m 1 kgf 9,81 N 1 kgf 2,20 lb 1 polegada (ou 1") 2,54 cm 1 m2 10000 cm2

Exemplo de conversão de medidas de pressão:

4 2 2 10 × = = cm N m N Pa 10 10 10 10 2 4 2 6 2 6 × = × × = × = cm kN cm N m N MPa 2 2 4 2 9 2 9 10 10 10 10 cm kN cm N m N GPa = × × × = × =

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1.4 Trigonometria

Para o estudo da Mecânica necessitam-se dos conceitos fundamentais da trigonometria.

A palavra trigonometria significa medida dos três ângulos de um triângulo e determina um ramo da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados e dos ângulos de um triângulo.

Círculo e Funções Trigonométricas

EF senα = OF = α cos AB tgα = DC gα = cot OB = α sec OC ecα = cos 1 = = R OE Triângulo retângulo

No triângulo retângulo, os catetos são os lados que formam o ângulo de 90º. A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90º e é determinada pela relação: a2 =b2 +c2.

Relações trigonométricas a c hipotenusa oposto cateto senα = = a b hipotenusa adjacente cateto = = α cos b c adjacente cateto oposto cateto tgα = = b a adjacente cateto hipotenusa = = α sec b c arctg = α a c arcsen = α a b arccos = α b C a α A B c triângulo retângulo

Relação fundamental da trigonometria: sen2x+cos2x=1

Razões Trigonométricas Especiais

30º 45º 60º Seno 2 1 2 2 2 3 Cosseno 2 3 2 2 2 1 Tangente 3 3 1 3

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Exemplos

1. Calcule o valor de c da figura

20 º 30 c sen = 20 2 1 c = 20 2c= c=10 m

2. Determine o valor de b da figura

20 º 30 cos = b 20 2 3 b = 3 20 2b= b=10 3 m b 20 m 30° c

3. Calcule o valor de a da figura 2 2 2 3 4 + = a 2 2 ₃ 4 + = a a=5 m

4. Determine o valor do ângulo α da figura 4 3 arctg = α α =36,87º 4 m α a 3 m Triângulo qualquer

Lei dos senos: R

C c B b A a 2 sen sen sen = = =

Lei dos cossenos

A bc c b a2 = 2 + 2−2 ×cos B ac c a b2 = 2 + 2−2 ×cos C ab b a c2 = 2+ 2−2 ×cos

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1.5 Alfabeto Grego

Os problemas usuais em engenharia são definidos por formulações matemáticas, as quais, usualmente, utilizam letras do alfabeto grego. É, pois, necessário, seu conhecimento para as práticas comuns da Engenharia.

Alfabeto Grego Símbolo Nome Maiúscula Minúscula Alfa Α α Beta Β β Gama Γ γ Delta ∆ δ Épsilon Ε ε Zeta Ζ ζ Eta Η η Teta Θ θ Iota Ι ι Capa Κ κ Lambda Λ λ Mi Μ µ Ni Ν ν Csi Ξ ξ Ômicron Ο ο Pi Π π Rô Ρ ρ Sigma Σ σ Thau Τ τ Upsilon Υ υ Phi Φ ϕ Chi Χ χ Psi Ψ ψ Omega Ω ω

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2 ESTÁTICA

2.1 Forças no plano

A Força representa a ação de um corpo sobre o outro e é caracterizada pelo seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido.

A intensidade de uma força é expressa em Newton (N) no Sistema Internacional de Unidades (SI).

A direção de uma força é definida por sua linha de ação, ou seja, é a reta ao longo da qual a força atua, sendo caracterizada pelo ângulo que forma com algum eixo fixo, como indicado na Figura 1 abaixo.

F

α

F

α

Figura 2.1

O sentido da força é indicado por uma seta (vetor).

Denomina-se Grupo de forças, o conjunto de forças aplicadas em um único ponto de um corpo.

Sistema de forças é o conjunto de forças aplicadas simultaneamente em pontos diversos de um mesmo corpo.

2.2 Equilíbrio de um ponto material

Ponto material é uma pequena porção de matéria que pode ser considerada como se ocupasse um ponto no espaço.

Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é nula, este ponto está em equilíbrio. Este princípio é conseqüência da primeira lei de Newton: “se a força resultante que atua sobre um ponto material é zero, este ponto permanece em repouso (se estava originalmente em repouso) ou move-se ao longo de uma reta com velocidade constante (se originalmente estava em movimento)”.

Para exprimir algebricamente as condições de equilíbrio de um ponto material, escreve-se: 0 = = ΣF R onde: F = força