Elementos de Matemática
Cleide Martins
DMat - UFPE - 2018.1
Objetivo
De nir uma relação de equivalência para construir Z a partir de N
Um sistema numérico de nido a partir de N × N
N = {1, 2, 3, . . . } Considere o conjunto N × N e de na a relação ∼
(a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a + d = b + c
∼é re exiva ∼é simétrica ∼é transitiva
Um sistema numérico de nido a partir de N × N
N = {1, 2, 3, . . . } Considere o conjunto N × N e de na a relação ∼
(a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a + d = b + c ∼é re exiva
∼é simétrica ∼é transitiva
Um sistema numérico de nido a partir de N × N
N = {1, 2, 3, . . . } Considere o conjunto N × N e de na a relação ∼
(a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a + d = b + c ∼é re exiva
∼é simétrica
Um sistema numérico de nido a partir de N × N
N = {1, 2, 3, . . . } Considere o conjunto N × N e de na a relação ∼
(a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a + d = b + c ∼é re exiva
∼é simétrica ∼é transitiva
Um sistema numérico de nido a partir de N × N
N = {1, 2, 3, . . . } Considere o conjunto N × N e de na a relação ∼
(a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ a + d = b + c ∼é re exiva
∼é simétrica ∼é transitiva
Classes de equivalência de ∼
Por exemplo
A classe de equivalência de (4, 9) contém todos os pares da forma (4 + k, 9 + k) k ∈ N
e contém também os pares
(3, 8), (2, 7) e (1, 6)
A classe de equivalência de (11, 7) contém todos os pares da forma (11 + k, 7 + k) k ∈ N
e contém também os pares
(10, 6), (9, 5), (8, 4), (7, 3), (6, 2)e (5, 1) A classe de equivalência de (6, 6) contém todos os pares da forma
Classes de equivalência de ∼
Por exemplo
A classe de equivalência de (4, 9) contém todos os pares da forma (4 + k, 9 + k) k ∈ N
e contém também os pares
(3, 8), (2, 7) e (1, 6)
A classe de equivalência de (11, 7) contém todos os pares da forma (11 + k, 7 + k) k ∈ N
e contém também os pares
(10, 6), (9, 5), (8, 4), (7, 3), (6, 2)e (5, 1)
A classe de equivalência de (6, 6) contém todos os pares da forma
Classes de equivalência de ∼
Por exemplo
A classe de equivalência de (4, 9) contém todos os pares da forma (4 + k, 9 + k) k ∈ N
e contém também os pares
(3, 8), (2, 7) e (1, 6)
A classe de equivalência de (11, 7) contém todos os pares da forma (11 + k, 7 + k) k ∈ N
e contém também os pares
(10, 6), (9, 5), (8, 4), (7, 3), (6, 2)e (5, 1) A classe de equivalência de (6, 6) contém todos os pares da forma
Generalizando
Dado (a, b) ∈ N × N, para simpli car a notação, denote sua classe de equivalência por [a, b] em vez de [(a, b)] Se a = b = n então [n, n] = [1, 1] Se b > a e n = b − a então [a, b] = [1, b − a + 1] = [1, n + 1] Se b < a e n = a − b então [a, b] = [a − b + 1, 1] = [n + 1, 1]
Partição de N × N induzida por ∼
Temos
N × N = [1, 1] ∪ {[1, n + 1] : n ∈ N} ∪ {[n + 1, 1] : n ∈ N} onde escolhemos o SRD
T = {(1, 1)} ∪ {(1, n + 1) : n ∈ N} ∪ {(n + 1, 1) : n ∈ N}
Vamos agora acrescentar uma estrutura a esse sistema numérico de nindo uma soma (+) e um produto (.) entre as classes de equivalência de ∼.
Soma
De na
[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]
Precisamos assegurar que essa operação está bem de nida. Ou seja, não depende da escolha dos representantes: se [x, y] = [a, b] e [t, z] = [c, d] então [x + t, y + z] = [a + c, b + d]. De fato,
x + b = y + a
t + d = z + c ⇒ (x + t) + (b + d) = (y + z) + (a + c) ⇒ (x + t, y + z) ∼ (a + c, b + d) ⇒ [x + t, y + z] = [a + c, b + d]
Propriedades da soma
Como exercício justi que: a soma de nida é comutativa
é associativa
tem um elemento neutro
Propriedades da soma
Como exercício justi que: a soma de nida é comutativa
é associativa
tem um elemento neutro
Propriedades da soma
Como exercício justi que: a soma de nida é comutativa
é associativa
tem um elemento neutro
Propriedades da soma
Como exercício justi que: a soma de nida é comutativa
é associativa
tem um elemento neutro
Elemento neutro da soma
Observe que
[a, b] + [1, 1] = [a + 1, b + 1] = [a, b] Portanto
Inverso aditivo: simétrico
Observe que
[a, b] + [b, a] = [a + b, b + a] = [1, 1]
No SRD o representante de [a, b] é [1, b − a + 1] se b > a e é [a − b + 1, 1] se b < a. Portanto, usando o representante no SRD temos
[1, n + 1] + [n + 1, 1] = [n + 2, n + 2] = [1, 1] Ou seja
Semelhanças com Z
Semelhanças com Z
Observe as semelhanças entre o sistema contruído até agora e o nosso conhecido conjunto Z Para cada n ∈ N temos
N × N Z
[1, 1] 0
[n + 1, 1] n
Semelhanças com Z
Observe as semelhanças entre o sistema contruído até agora e o nosso conhecido conjunto Z Para cada n ∈ N temos
N × N Z [1, 1] 0 [n + 1, 1] n [1, n + 1] −n Além disso [n + 1, 1] + [m + 1, 1] = [m + n + 2, 2] = [m + n + 1, 1] e [1, n + 1] + [1, m + 1] = [2, n + m + 2] = [1, n + m + 1]
Produto
De na
[a, b].[c, d] = [ac + bd, ad + bc]
Precisamos assegurar que essa operação está bem de nida . Ou seja, não depende da escolha dos representantes (EXERCÍCIO).
Mais semelhanças com Z
A unidade de N × N
[a, b].[2, 1] = [2a + b, a + 2b] = [2a + b − (a + b), a + 2b − (a + b)] = [a, b]
[n+1, 1].[m+1, 1] = [(n+1)(m+1)+1, n+1+m+1] = [n+m+nm+2, n+m+2] = [nm+1, 1] e
Propriedades do produto (exercícios)
Justi que:
O produto de nido é comutativo
é associativo
Propriedades do produto (exercícios)
Justi que:
O produto de nido é comutativo é associativo
Propriedades do produto (exercícios)
Justi que:
O produto de nido é comutativo é associativo
Propriedades do produto (exercícios)
Justi que:
O produto de nido é comutativo é associativo
tem um elemento neutro Além disso
O produto de nido em N × N não depende da escolha dos representantes
Se [a0, b0] = [a, b] e [c0, d0] = [c, d] então [a0, b0].[c0, d0] = [a, b].[c, d].
Podemos separar em casos de acordo com o representante dessas classes no SDR. Uma possibilidade é [a, b] = [1, n + 1] e [c, d] = [m + 1, 1] (o que equivale a b > a e c > d).
Precisamos também comparar a com a0 e c com c0. Uma possibilidade é a > a0 e c0 > c. Nesse
caso, existe natural k tal que a = a0+ k e b = b0+ ke existe natural t tal que c0 = c + te
d0 = d + t. Precisamos mostrar que existe inteiro h tal que a0c0+ b0d0= ac + bd + h a0d0+ b0c0= ad + bc + h
