Cap2 Sec6 2x4

(1)

Capítulo 2

Limites e Derivadas

Nas Seções 2.2 e 2.4, estudamos os

limites infinitos e as assíntotas

verticais.

• Lá tomávamos x tendendo a um número. • Como resultado, os valores de y ficavam

arbitrariamente grandes (positivo ou negativo).

2.6 Limites no Infinito;

Assíntotas Horizontais

Nesta seção vamos tornar x arbitrariamente grande (positivo ou negativo) e ver o que acontece com y.

LIMITES E DERIVADAS

Vamos começar pela análise do

comportamento da função f definida

por

quando x aumenta.

2 2

1 ( )

1 x

f x

x

ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

valores dessa função, corretos até a sexta casa decimal.

 O gráfico de f feito por um computador está na Figura. ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

 Quanto maior o x, mais próximos de 1 ficam os valores de f (x).

• De fato, temos a impressão de que podemos tornar os valores de f (x) tão próximos de 1 quanto quisermos se tomarmos um x suficientemente grande.

Essa situação é expressa simbolicamente escrevendo

Em geral, usamos a notação para

indicar que os valores de f (x) ficam cada vez mais próximos de L à medida que x fica maior.

2 2 1 lim 1 1 x x x of ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS lim ( ) xoff x L

 Seja f uma função definida em algum intervalo .

Então, significa que os valores de f (x) ficam arbitrariamente próximos de L tomando x suficientemente grande.

( , )

a f

lim ( )_x_of f x L 1. Definição ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS Outra notação o é quando .

• O símbolo não representa um número. • Todavia, frequentemente a expressão

é lida como:

“o limite de f (x), quando x tende a infinito, é L”

lim ( ) xof f x L f x( )oL x o f lim ( ) xoff x L ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

,

H G

(2)

As ilustrações geométricas da Definição 1 estão nas Figuras.

• Observe que existem muitas formas de o gráfico de f aproximar-se da reta y = L (chamada assíntota horizontal) quando fazemos x ir para a extremidade direita.

Com referência à Figura, vemos que para os valores de x com grande valor absoluto, porém negativos, os valores de f (x) estão próximos de 1.

• Fazendo x decrescer ilimitadamente para valores negativos, podemos tornar f (x) tão próximos de 1 quanto quisermos.

Essa situação é expressa simbolicamente escrevendo

Em geral, usamos a notação .

2 2 1 lim 1 1 x x x of lim ( ) xof f x L ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

 Seja f uma função definida em algum intervalo (, a).

Então significa que os valores de f (x) podem ficar arbitrariamente

próximos de L, tomando-se x

suficientemente grande em valor absoluto, mas negativo.

lim ( )

xof f x L

2. Definição ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

Novamente, o símbolo não representa um número.

Todavia, a expressão é lida como:

“o limite de f (x), quando x tende a menos infinito, é L” lim ( )

xof f x L

A Definição 2 está ilustrada na Figura.

• Observe que o gráfico aproxima-se da reta y = L quando olhamos para a extremidade esquerda.

 A reta y L é chamada assíntota horizontal da curva y f (x) se ou .

lim ( )

xof

f x

L

lim ( )

xof

f x

L

Por exemplo, a curva ilustrada na Figura tem a reta y = 1 como uma assíntota horizontal, pois 2 2 1 lim 1 1 x x x of 3. Definição ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

(3)

Um exemplo de curva com duas

assíntotas horizontais é

y = tg

-1

_x.

De fato,

• Logo, ambas as retas e são assíntotas horizontais.

• Isso segue do fato de que as retas

são assíntotas verticais do gráfico da tangente. 2 y S y S₂ 2 x rS 4. Definição

Encontre os limites infinitos, limites no infinito e assíntotas para a função f cujo gráfico está na Figura.

 Vemos que os valores de f (x) ficam grandes quando

por ambos os lados;

logo .

Exemplo 1 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS 1 x o  lim x 1f (x)

Observe que f (x) torna-se grande em valor absoluto (mas negativo) quando x tende a 2 à esquerda, porém grande e positivo quando x tende a 2 à direita.

• Logo,

e

• Assim, ambas as retas

x = -1 e x = 2 são assíntotas verticais. 2 lim ( ) x_o f x f Exemplo 1 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS 2 lim ( ) x_o f x f

 Quando x torna-se grande, vemos que f (x) tende a 4. Mas quando x decresce, f (x) tende a 2.

• Logo, e

• Isso significa que

y = 4 e y = 2 são assíntotas horizontais. lim ( ) 4 xoff x xlim ( ) 2off x Exemplo 1 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

Encontre e

• Observe que quando x é grande, 1/x é pequeno. • Por exemplo:

• De fato, tomando x grande o bastante, podemos fazer 1/x tão próximo de 0 quanto quisermos. • Portanto, conforme a Definição 1, temos .

1 lim xo f x 1 lim xo f x 1 lim 0 xof_x Exemplo 2 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

Um raciocínio análogo mostra que quando

x é grande em valor absoluto (porém

negativo), 1/x é pequeno em valor absoluto (mas negativo);

• Logo temos também .

• Segue que a reta y = 0

1 lim 0

xofx

Exemplo 2 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

A maioria das Propriedades dos Limites que foram dadas na Seção 2.3 também são válidas para os limites no infinito.

• Pode ser demonstrado que as Propriedades dos

Limites listadas na Seção 2.3 (com exceção das Propriedades 9 e 10) são também válidas se

for substituído por ou .

xoa x o f x o f

(4)

Se r > 0 for um número racional, então

Se r > 0 for um número racional tal

que x

r

_{seja definida para todo x, então}

x

r

_.

1 lim

_r

0

xof

x

1 lim

_r

0

xof

x

5. Teorema ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

Calcule

e indique quais propriedades de limites foram usadas em cada etapa.

• Quando x cresce, ambos, o numerador e o denominador, também crescem

• Logo não é nada óbvio o que ocorre com a razão entre eles.

• Para eliminar essa indeterminação, precisaremos antes manipular algebricamente a expressão.

2 2 3 2 lim 5 4 1 x x x x x o f Exemplo 3 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

Para calcular o limite no infinito de uma função racional, primeiro dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de x que ocorre no denominador.

• Podemos assumir que , uma vez que estamos interessados apenas em valores grandes de x.

• Nesse caso a maior potência de x no denominador é x2._{Entáo temos:} 0 x z Exemplo 3 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS 2 2 ₂ ₂ 2 2 2 2 3 2 ₃ 1 2 3 2

lim lim lim ₄ ₁

5 4 1 5 4 1 ₅ x x x x x x x _x _x _x x x x x x x x of of of

3 0 0 5 0 0 3 5 2 2 1 1

lim3 lim 2lim

1 1

lim5 4lim lim

x x x x x x x x x x of of of of of of 2 2 1 2 lim 3 4 1 lim 5 x x x x x x of of § · ¨ ¸ © ¹ § · ¨ ¸ © ¹ Exemplo 3 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

(Pela Propriedade dos Limites 5)

(Por Propriedades 1, 2 e 3)

(Por Propriedade 7 e pelo Teorema 5)

Um cálculo análogo mostra que o limite quando também é .

• A Figura ilustra o resultado destes cálculos mostrando como o gráfico da função racional dada aproxima-se da assíntota horizontal .

x of

3 5 3 5 y Exemplo 3 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

Determine as assíntotas horizontais e

verticais do gráfico da função

2

1 ( )

3

5 x

f x

x

 Dividindo o numerador e o denominador por x e usando as propriedades de limites, temos

Portanto, a reta

é uma

assíntota horizontal do gráfico de f.

2 / 3

y

(5)

No cálculo do limite quando , devemos lembrar que, para x < 0, temos

• Logo, quando dividimos o numerador por x, para

• Portanto,

x o f

2 x x x 2 2 2 2 1 ₂_x ₁ 1 ₂_x ₁ ₂ 1 x _x x lim_x 2x2 1 3x 5 limx 2 1 x2 3 5 x 2 lim_x 1 x2 3 5 lim_x1 x 2 3 Exemplo 4

Desta forma, a reta é também uma assíntota horizontal.

• Uma assíntota vertical provavelmente ocorre quando o denominador, 3x - 5, é 0, isto é, quando

. Se x estiver próximo de e , então o denominador está próximo de 0, e 3x - 5 é positivo.

• O numerador é sempre positivo, logo f (x) é positivo. • Portanto . 2 3 y  Exemplo 4 5 3 x 5₃ x !5₃ 2 2x 1 2 (5 3) 2 1 lim 3 5 x x x o f

• Se x estiver próximo de mas , então 3x – 5 < 0, logo f (x) é muito grande em valor absoluto (porém negativa).

• Assim, • A assíntota vertical é 5 3 5 3 x  2 (5 3) 2 1 lim 3 5 x x x o f 5 3 x Exemplo 4 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

Calcule

• Como e x são grandes quando x é grande, é difícil ver o que acontece com sua diferença;

• Logo, usamos a álgebra para reescrever a função.

2

lim

1

xof

x

2 ₁ x  Exemplo 5 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

Vamos primeiro multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado radical:

• O Teorema do Confronto poderia ser usado para mostrar que esse limite é 0.

2 2 2 2 2 2 2 2 1 lim 1 lim 1 1 ( 1) 1 lim lim 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x of of of of Exemplo 5 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

Mas o método mais fácil é dividir o numerador e o denominador por x.

• Fazendo isso e usando as Propriedades dos Limites, obtemos:

2

2 2 2 1 1

lim 1 lim lim

1 1 1 0 lim 0 1 1 0 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x of of of of Exemplo 5 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

A Figura ilustra esse resultado.

 O gráfico da função exponencial natural y = ex_{tem a} reta y = 0 (o eixo x) como uma assíntota horizontal. Observe que os valores de ex_{tendem a 0 muito}

rapidamente.

De fato, da Figura 10 e da tabela dos valores

correspondentes vemos que .

• Observe que os

lim x 0

xofe

(6)

Calcule

• Se tomarmos t = 1/x, sabemos que como . • Consequentemente, por (6), 1 0

lim

x x_o

e

0 x_o t o f 1 0 lim x lim t 0 t x_o e _ofe Exemplo 6 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS

Calcule

• Quando x cresce, os valores de sen x oscilam entre 1 e 1 um número infinito de vezes.

• Logo, eles não tendem a qualquer número definido.

• Portanto, não existe.

A notação é usada para indicar que os valores de f (x) tornam-se grandes quanto x se torna grande.

• Significados análogos são dados aos seguintes símbolos:

lim ( )_x_of f x f

lim ( )

xoff x f

LIMITES INFINITOS NO INFINITO

lim ( )

xoff x f lim ( )

xoff x f

Encontre

e .

• Quando x torna-se grande, x3 _{também fica muito}

grande.

• Por exemplo

• Na realidade, podemos fazer x3_{tão grande quanto}

quisermos tomando x grande o suficiente.

• Portanto, podemos escrever .

3 lim_x_ofx

_lim

3 xof

x

3 lim_x_ofx f Exemplo 8 LIMITES INFINITOS NO INFINITO

• Analogamente, quando x é muito grande em módulo, porém negativo, x3_{também o é.} • Assim,

• Essas afirmações sobre limites também podem ser vistas no gráfico de y = x3 na figura. 3 lim xofx f Exemplo 8 LIMITES INFINITOS NO INFINITO

Olhando para a Figura 10 vemos que .  Mas, como ilustra a Figura 12, y = ex_torna-se

grande muito mais rapidamente que y = x3

quando .

lim x xofe f

x o f

LIMITES INFINITOS NO INFINITO

Encontre

• Seria errado escrever

• As Propriedades dos Limites não podem ser aplicadas para os limites infinitos, pois não é um número (não podemos definir ( não pode ser definido).

• Contudo, podemos escrever

• Porque, como x and x - 1 tornam-se arbitrariamente grandes, o mesmo acontece com seu produto.

2

lim(

_x_of

x

)

2 2

lim(_x_ofx x) lim_x_ofx lim_x_ofx f f

2

lim( ) lim ( 1)

xof x x xofx x f

f f

Exemplo 9 LIMITES INFINITOS NO INFINITO

Encontre

• Como no Exemplo 3, vamos dividir o numerador e o denominador pela potência mais elevada do denominador, que é justamente x: pois e quando . 2 lim 3 x x x x of 2 ₁ lim _{lim 3} 3 ₁ x x x x x x x o f o f _f 1 x o f 3 ₁ ₁ x o  x o f Exemplo 10 LIMITES INFINITOS NO INFINITO

(7)

Esboce o gráfico de achando suas intersecções com os eixos e seus limites quando e quando .

• A intersecção com o eixo y é f(0) = (-2)4₍₁₎3_{(-1) = -16.}

• As intersecções com o eixo x são encontradas fazendo-se y = 0: x = 2, -1, 1. 4 3 ( 2) ( 1) ( 1) y x x x x o f x o f Exemplo 11

 Observe que como (x - 2)4 _{é positivo, a}

função não muda de sinal em 2; assim, o gráfico não cruza o eixo x em 2.

• O gráfico cruza o eixo em -1 and 1.

Exemplo 11

 Para os valores grandes de x, todos os três fatores também são grandes;

Logo,

 Quando os valores de x tiverem um módulo grande, porém negativo, o primeiro fator será positivo e grande, ao passo que o segundo e o terceiro fatores têm grande valor absoluto, porém são negativos. Portanto _{lim (} _{2) (}4 _{1) (}3 ₁₎ xof x x x f 4 3 lim( 2) ( 1) ( 1) xof x x x f Exemplo 11 LIMITES INFINITOS NO INFINITO

Podemos enunciar mais precisamente a Definição 1 da seguinte forma.

 Seja f uma função definida em algum intervalo (a, ).

Então, significa que para todo , existe um correspondente número N tal que se se x >N então .

lim ( ) xof f x L 0 H ! ( ) f x L H

DEFINIÇÕES PRECISAS 7. Definição

 Em palavras, isso diz que os valores de f (x) podem ficar arbitrariamente próximos de

L (dentro de uma distância , onde é qualquer número positivo), bastando apenas tomar x suficientemente grande (maior que N, onde N depende de ).

H

DEFINIÇÕES PRECISAS

Graficamente, isso quer dizer que, escolhendo

x suficientemente grande (maior que algum

número N), podemos fazer o gráfico de f ficar entre duas retas horizontais dadas e

.

• Isso deve ser verdadeiro, não importando quão pequeno seja .

y L H

y L

H

A Figura indica que se for escolhido um valor menor de , então poderá ser necessário um maior valor para N.

H

Analogamente, uma versão precisa da Definição 2 é dada pela Definição 8, que está ilustrada na Figura seguinte.  Seja f uma função definida em algum

intervalo (-, a).

Então, significa que para todolim ( ) ,

xoff x L H!0

(8)

Isso está ilustrado na Figura:

No Exemplo 3 calculamos que

No próximo exemplo vamos usar uma ferramenta gráfica para relacionar isso com a Definição 7, com e . 2 2 3 2 3 lim 5 4 1 5 x x x x x of 3 5 L

H

0.1 DEFINIÇÕES PRECISAS

Use um gráfico para encontrar um número N tal que, se x > N

• Vamos escrever a desigualdade dada como:

Exemplo 12 2 2 3 _{2 0.6 0.1} 5 4 1 x x x x 2 2 3 2 0.5 0.7 5 4 1 x x x x DEFINIÇÕES PRECISAS

Precisamos determinar os valores de x para os quais a curva dada fica entre as retas horizontais y = 0,5 e y = 0,7

• Assim, fazemos o gráfico da curva e dessas retas conforme a Figura:

Exemplo 12 DEFINIÇÕES PRECISAS

Então, usamos o cursor para estimar que a curva cruza a reta y = 0.5 quando .

• À direita desse número a curva fica entre as retas

y = 0.5 e y = 0.7.

6.7

x |

Arredondando a favor da segurança, podemos dizer que se x > 7, então

• Em outras palavras, para , podemos escolherN = 7 (ou qualquer número maior) na Definição 7. 2 2 3 _{2 0.6 0.1} 5 4 1 x x x x 0.1 H Exemplo 12 DEFINIÇÕES PRECISAS

Use a Definição 7 para demonstrar que

• Dado , queremos encontrar N tal que se

x > N, então .

• Ao calcular o limite, podemos assumir que x > 0

• Então, . 1 lim 0 xofx 0 H! 1 0 x H 1 _x 1 x H ! H Exemplo 13 DEFINIÇÕES PRECISAS

Escolhendo

Se , então

Logo, pela Definição 7,

1 N _H 1 x N H ! 1 0 1 x x H

1 lim

0

xof

x

(9)

A Figura ilustra a demonstração mostrando alguns valores de e os valores

correspondentes de N.

H

Exemplo 13

Finalmente, observamos que pode ser definido um limite infinito no infinito da forma a seguir. Seja f uma função

definida em algum intervalo (a, ). Então

.

 Isso significa que para todo positivo M existe um correspondente número

positivo N tal que se x > N, então f(x) > M.

lim ( )

xof f x f

9. Definição

A ilustração geométrica está dada na Figura

.

• Definições análogas podem ser feitas quando o símbolo é substituído por -.

Cap2 Sec6 2x4

Limites e Derivadas

 Nas Seções 2.2 e 2.4, estudamos os

limites infinitos e as assíntotas

verticais.

2.6

Limites no Infinito;

Assíntotas Horizontais

 Vamos começar pela análise do

comportamento da função f definida

por

quando x aumenta.

1

( )

1

x

f x

x





( , )

a f

,

H G

lim ( )

f x

L

lim ( )

f x

L

 Um exemplo de curva com duas

assíntotas horizontais é

y = tg

x.

 De fato,

por ambos os lados;

logo .

 Se r > 0 for um número racional, então

 Se r > 0 for um número racional tal

que x

seja definida para todo x, então

x

.

1

lim

0

x

1

lim

0

x

x of

 Determine as assíntotas horizontais e

verticais do gráfico da função

2

1

( )

3

5

x

f x

x





 Portanto, a reta

é uma

assíntota horizontal do gráfico de f.

2 / 3

y

x o f

 Calcule

lim

1

x

 

x

 A Figura ilustra esse resultado.

lim

e

 Encontre

Nas Seções 2.2 e 2.4, estudamos os

Vamos começar pela análise do

Um exemplo de curva com duas

_x.

De fato,

Se r > 0 for um número racional, então

Se r > 0 for um número racional tal

_{seja definida para todo x, então}

_.

x of

Determine as assíntotas horizontais e

Portanto, a reta

x o f

Calcule

A Figura ilustra esse resultado.

Encontre

_lim

Escolhendo

Se , então

Logo, pela Definição 7,