Aula 7 - Modelo de crescimento
populacional logístico
LCE-0164 Matemática Aplicada em Dinâmica Populacional 2º semestre de 2020
Profa. Dra. Clarice Garcia Borges Demétrio Prof. Dr. Marcelo Andrade da Silva
I O modelo de crescimento populacional logístico é também chamado de modelo de Verhulst ou modelo verhulstiano;
I Pierre François Verhulst (1804-1849) era um matemático
belga;
I Verhulst desenvolveu a função logística em uma série de
três artigos entre 1838 e 1847, com base na pesquisa sobre modelagem de crescimento populacional.
I O modelo de crescimento exponencial, dado por dN
dt = (|b{z−d)}
r ·N,
assume (sem realismo) que os recursos para o crescimento populacional são ilimitados;
I Como consequência, as taxas de natalidade (b) e
mortalidade (d) são constantes;
I Nesta aula, vamos assumir que os recursos para
crescimento e reprodução são limitados;
I Como consequência, as taxas de crescimento e
I Para construir o modelo de crescimento logístico, tomamos a equação do modelo de crescimento exponencial
dN
dt = (b
0−d0) ·N,
em que b0e d0passam a ser dependentes de N;
I A expectativa (real) é de que a taxa de natalidade diminua
devido à falta de recursos;
I A maneira mais simples de modelarmos este processo é
considerar uma diminuição linear, ou seja,
b0 =b−a·N,
em que b0é a taxa de natalidade por indivíduo, a constante
b é a taxa de natalidade que seria atingida em condições ideais e a constante a mede a diminuição da taxa de natalidade devido à denso-dependência.
I De forma semelhante, a expectativa (real) é que a taxa de mortalidade aumente, linearmente, a medida que a população cresce, ou seja,
d0 =d+c·N,
em que d0 é a taxa de mortalidade por indivíduo, a
constante d é a taxa de mortalidade que seria atingida em condições ideais e a constante c mede o aumento da taxa de mortalidade devido à denso-dependência;
I Substituindo as expressões de b0 e d0 na equação
diferencial, temos dN
dt = [(b−a·N) − (d+c·N)] ·N.
I Rearranjando os termos, temos
dN
I Em seguida, multiplicamos a expressão por (b−d) (b−d) dN dt = (b−d) (b−d) · ((b−d) − (a+c) ·N) ·N = (b−d) · (b−d) (b−d)− (a+c) (b−d)·N ·N = (b−d) · 1− (a+c) (b−d)·N ·N =r·N· 1− (a+c) (b−d)·N
I Como a, b, c e d são constantes, definimos convenientemente uma nova constante,
K = (b−d)
(a+c).
I Dessa forma, a equação diferencial do modelo de
crescimento logístico fica definida como dN dt =rN 1− N K .
I A constante K tem uma interpretação biológica muito
importante. Ela representa a capacidade de suporte do ambiente;
I K representa o tamanho populacional máximo suportável.
0 200 400 600 800 1000 1200 −60 −20 0 20 40 60 dN/dt vs N Tamanho da população (N) dN/dt
Figura:Taxa de crescimento do modelo de crescimento logístico em
I Qual o impacto do termo entre parênteses 1− N K no modelo? a) Suponha N=7 e K=100. b) Suponha N=98 e K=100.
Construção do modelo logístico
I Tal como no modelo de crescimento exponencial, podemos
encontrar a solução da equação diferencial do modelo de crescimento logístico; N(t) = K 1+ K−N(0) N(0) ·e−rt ,
em que N(t)é o tamanho da população no tempo t, K é a
capacidade de suporte, N(0)é o tamanho da população
inicial, e é uma constante base dos logaritmos naturais
I Tal como no modelo de crescimento exponencial, podemos encontrar a solução da equação diferencial do modelo de crescimento logístico;
I Temos como solução a função
N(t) = K 1+ K−N(0) N(0) ·e−rt ,
em que N(t)é o tamanho da população no tempo t, K é a
capacidade de suporte, N(0)é o tamanho da população
inicial, e é uma constante base dos logaritmos naturais
0 5 10 15 20 25 30 0 200 400 600 800
Curva de crescimento logístico
Tempo (t)
T
amanho da população (N)
Figura:Tamanho da população de acordo com o tempo t, com
r=0.25 e K=1000. O ponto em N(t) = K
2 é onde a curva possui
0 5 10 15 20 25 30 0 200 400 600 800
Curvas de crescimento logístico
Tempo (t) T amanho da população (N) r=1 r=0.5 r=0.25 r=0.15
Figura:As trajetórias de crescimento logístico de uma população,
calculadas variando a taxa de crescimento e com N(0) =100 e
0 5 10 15 20 25 30
0
500
1000
1500
Curvas de crescimento logístico
Tempo (t) T amanho da população (N) N(0)=1500 N(0)=1000 N(0)=500 N(0)=100
Figura:As trajetórias de crescimento logístico de uma população,
calculadas variando a população inicial e com r=0.25 e K=1000
0 5 10 15 20 25 30
0
500
1000
1500
Curvas de crescimento logístico
Tempo (t) T amanho da população (N) K=1500 K=1200 K=900 K=600
Figura:As trajetórias de crescimento logístico de uma população,
calculadas variando a capacidade de suporte e com r=0.25 e
0 5 10 15 20 25 30
0
500
1000
1500
Curvas de crescimento logístico
Tempo (t)
T
amanho da população (N)
0 5 10 15 20 25 30 0 10 20 30 40 50 60 dN/dt vs t Tempo (t) dN/dt
Figura:Derivada da função do modelo logístico em relação ao tempo
t. O ponto de máximo dedN
dt é t tal que N(t) =
K
Exemplo 1:Suponha que uma população cresce de acordo com a equação diferencial dN dt =0, 007N 1− N 5000 , em que t representa o tempo em dias. Forneça:
a) A função matemática N(t)que representa esse crescimento
populacional, supondo que a população inicial é composta por 175 indivíduos.
b) O gráfico do modelo matemático representando o
crescimento da população no período de t =0 a t=1000.
c) O tempo t, em dias, tal que a taxa de crescimento
populacional seja máxima.
d) Uma tabela que apresente o crescimento da população
desde o instante inicial t=0 até t=1000, com intervalo de
Exemplo 2:
Casos de covid−19 no Brasil
Semanas epidemiológicas
Número de casos (em milhões)
0 5 10 15 20 25 30 0 1 2 3 4 5 6 Casos reais Modelo de Malthus Modelo de Verhulst
Figura:Casos de covid-19 no Brasil (dados retirados do site do Ministério da Saúde) comparados com o modelo de Malthus e o modelo de Verhulst.
Boyce, W. E., DiPrima, R. C. (2012). Elementary differential equations and boundary value problems.
Gotelli, N. J. (2009). Ecologia. Editora Planta, Londrina. Brasil. Ministério da Saúde. Website referente à covid-19: https://covid.saude.gov.br
Stewart, J. (2010) Cálculo: volume 2. São Paulo: Cengage Learning.
