Aula Grafos Actividade recente do site Portal Virtual de Matemática IFPR Prof°. Giancarlo de França Aguiar Aula Grafos

PESQUISA OPERACIONAL

Prof° Msc. Giancarlo de França Aguiar

GRAFOS, ÁRVORES E REDES

GRAFO OU REDE: é uma coleção de nós (vértices ou pontos) x1, x2 ,..., xn, e uma

coleção de arcos (linhas ou arestas) a1, a2 ,...,

Projeto de Sccheduling (sequenciamento de tarefas);

Planejamento de Produção.

Situações que envolvem tomada de

decisão



_{Qual rota tomar?}



_{Como enviar cargas p/ minimizar}

tempo ou custo?

Estes problemas envolvem determinação de fluxo, podendo ser expressos como P.L. envolvendo uma variável de fluxo para cada arco.

• Problema de Rota Mínima: rota que minimiza por ex. a distância de uma cidade inicial a qualquer cidade da rede.

• Problema de Fluxo Máximo: determina por ex. o fluxo máximo de chamadas telefônicas através de uma rede.

EXEMPLO: Extensão Mínima

Possível solução

• Forma Loop através dos arcos

Solução possível envolvendo 2

árvores

• Um conjunto conectado sem ciclos é uma árvore

Solução viável

• Conecta todos os nós a uma única árvore • Denomina-se “arborescência”

• Uma solução que minimiza o comprimento dos arcos combinados é chamada

Algoritmo de Prim

1.Pegue qualquer nó como o nó inicial “conectado”. Sombreie este nó.

2.Identifique todos os arcos ligando um nó conectado (sombreado) com um nó não conectado.

3.Selecione o arco do passo 2 que tem o mínimo comprimento. Ligue este arco à árvore, reforçando seu arco, e inclua este nó não conectado no conjunto de conectados, sombreando-o.

Solução Ótima

• 10 nós ---- 9 arcos

• Mín D (distância)=

Algoritmo de Kruskal

• Apanhar sempre as menores distâncias e ligá-las

Exercício:

FLUXO MÁXIMO EM REDE

• Suponha que um grafo represente uma rede hidráulica e que ser deseja estabelecer o fluxo máximo de água que pode escoar através deste rede, ou suponha tratar-se de uma rede de telecomunicações com restrição a capacidade de transmissão por linha.

O Modelo Matemático

0

:

.



















x

k

x

x

x

a

s

x

x

F

Máx

( para os nós intermediários K=1,2,...,n-1 conservação de fluxo)

Algoritmo Ford and Fulkerson

• O procedimento esta baseado em achar uma série de caminhos da fonte até o destino. Uma vez um caminho é selecionado a quantidade de máximo fluxo é adicionada pela menor capacidade remanescente por todos os arcos do caminho. Quando nenhum caminho puder ser achado para receber mais fluxo, então a solução ótima foi encontrada.

1. Trace o caminho através da rede da fonte ao destino que aumenta o fluxo. Cada arco na sequência terá seu fluxo mudado pela mesma quantidade, aumentando os fluxos para os arcos forward e decrescendo das capacidades para os arcos

backward. Qualquer arco que não puder ter o fluxo mudado é um arco saturado. O caminho selecionado não pode conter quaisquer arcos saturados. Se tal caminho não existe, os correntes fluxos são ótimos.

2. Determine para cada arco do caminho sua máxima troca de fluxo. A quantidade para os arcos forward (i,j) terão capacidades remanescentes: K_ij – X_ij. A troca máxima de fluxo para os arcos backward é o fluxo corrente. O mínimo dessas trocas de fluxo máximo estabelece o aumento de fluxo.

EXEMPLO

Primeiro caminho

• Escolhendo o caminho A – B – D – F : temos que o máximo fluxo nesse caminho é 15.

• Fazemos a troca de fluxo em todos os ramos do caminho.

• Anote o fluxo de saída do nó inicial e ou o fluxo de chegada no nó final (podem ser anotados os fluxos de saída e chegada).

• O ramo B – D ficou saturado.

(A ) = 15

Solução Ótima

• Encontrando todos os caminhos de A – F e fazendo suas trocas de fluxos, obteremos como solução ótima:

(A ) = 15+2+1+12 = 30 u.m.

( F) = 15+2+1+12 = 30 u.m.

Exercício