1
RESOLUÇÃO PARCIAL DA LISTA DE EXERCÍCIOS 5
1) Use as regras de derivação para derivar as seguintes funções:
(i) y = x
5– 4x
3+ 2x – 3
2
12
5
)
3
(
)
2
(
)
4
(
)
(
)
3
2
4
(
'
4 23 5
3 5
+
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
x
x
dx
d
dx
x
d
dx
x
d
dx
x
d
dx
x
x
x
d
y
(ii)
4 1 3 1 5
,
0 4 + 2 − +
−
= x x x
y
3 1 2 0 , 2
'=− x3+ x− y
(iii)
y =ax2+bx+cb ax y'=2 +
(iv)
y =atm+btm+n1 1
) (
'= m− + + m+n−
bt n m mat
y
(v)
2 2
6
b a
b ax y
+ + =
Sejam:
b ax x
f( )= 6+
,
2 2 )(x a b
g = +
e
) (
) (
x g
x f
y=
, então:
2 ) (
) ( ' ) ( ) ( ) ( ' '
x g
x g x f x g x f
y= −
Calculando:
5 6
6 ) (
) (
' ax
dx b ax d x
2
0
)
(
)
(
'
2 2
=
+
=
dx
b
a
d
x
g
) (
) (
) )(
6 (
) (
) 0 )( ( ) )(
6 ( )
(
) ( ' ) ( ) ( ) ( ' '
2 2 2
2
2 2 5
2 2 2
2 2 5
2
b a b
a
b a ax
b a
x f b a ax x
g
x g x f x g x f y
+ ×
+
+ =
+ − + =
− =
)
(
6
2 2
5
b
a
ax
+
=
(vi)
23 2x
x
y
=
Sejam
f
(
x
)
=
x
2,
g
(
x
)
=
3x
2e
y= f(x)g(x), então:
• f'(x) =2x
• 2/3 1 1/3
3 / 2 3 2
3
2
3
2
)
(
)
(
)
(
'
=
=
=
x
−=
x
−dx
x
d
dx
x
d
x
g
Seja
y'= f'(x)g(x)+ f(x)g'(x), então:
3 / 5 3
/ 5 3 / 1 2 3
/ 2 1 3
/ 1 2
3 / 2
) 3 / 2 ( 2
) 3 / 2 ( 2
) 3 / 2 )( ( ) )( 2 (
' x x x x x x x x
y= + − = + + − = +
3 / 5 3
/ 5
) 3 / 8 ( )
3 / 2 2
( + x = x
=
Ou ainda, observar que:
3 / 8 3 / 2 2 3 2 2
x x x x x
y = = =
Assim:
3 / 5 3
/ 3 3 / 8 1
3 / 8 3
/ 8
) 3 / 8 ( )
3 / 8 ( )
3 / 8 ( ) (
' x x x
dx x d
3
(vii)
3 3 2 x x
b
x a y = −
3 / 4 3 / 2 3
/ 4 3 / 2 3 / 1 3 / 2 3
3 2
−
− −
= −
= −
= −
= ax bx
x b x
a xx
b x
a x x
b
x a y
(
2/3 4/3)
(
2/3) (
4/3)
( )
2/3( )
4/3'= − − − = − − − = − − x−
dx d b x
dx d a bx
dx d ax
dx d bx
ax dx
d y
)
)(
3
/
4
(
)
)(
3
/
2
(
)
)(
3
/
4
(
)
)(
3
/
2
(
−
−2/3−1−
−
−4/3−1=
−
−5/3−
−
−7/3=
a
x
b
x
a
x
b
x
)
)(
3
/
4
(
)
)(
3
/
2
(
−
−5/3+
−7/3=
a
x
b
x
(viii)
dx
c
bx
a
y
+
+
=
Sejam
f(x)=a+bx,
g(x)=c+dxe
) (
) (
x g
x f
y=
, então:
• f'(x)=b
•g'(x)=d
Seja
2) (
) ( ' ) ( ) ( ) ( ' '
x g
x g x f x g x f
y = −
, então:
2 2
2
) ( )
(
) ( ) ( )
(
) ( ' ) ( ) ( ) ( ' '
dx c
bdx ad bdx bc dx
c
d bx a dx c b x
g
x g x f x g x f y
+ − − + = +
+ − + = −
=
2 ) (c dx
ad bc
4
(ix)
5 5 3 2 2− ++ = x x x y
Sejam
f(x)=2x+3,
(
)
=
2−
5
−
5
x
x
x
g
e
) ( ) ( x g x fy=
, então:
• f'(x) =2
•g'(x)=2x−5
Seja
2) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ' x g x g x f x g x f
y = −
, então:
2 2 2 2 ) 5 5 ( ) 5 2 )( 3 2 ( ) 5 5 ( 2 ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ' − − − + − + − = − = x x x x x x x g x g x f x g x f y 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 5 5 ( ) 15 6 10 4 10 10 2 ) 5 5 ( ) 15 6 10 4 ( 10 10 2 − − + − + − + − = − − − + − − + − = x x x x x x x x x x x x x x 2 2 2 ) 5 5 ( 25 6 2 − − + − − = x x x x
(x)
x x x x x x x x x x x x x x y − = − + − = − − − − = − − = 2 2 1 ) 1 2 ( 1 2 2 ) 1 2 ( 1 2 ) 1 2 ( 2 1 1 2 2Sejam
f(x) =1,
g(x)=2x2−xe
) ( ) ( x g x f
y =
, então:
• f'(x)=0
•g'(x)=4x−1
Seja
2) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ' x g x g x f x g x f
y = −
, então:
5
(xi)
z
z
y
−
+
=
1
1
Sejam
1/21 1
)
(z z z
f = + = +
,
1/21 1
)
(x z z
g = − = −
e
) ( ) ( z g z f
y =
, então:
• 1/2
) 2 / 1 ( ) (
' z = z−
f
• 1/2
) 2 / 1 ( ) (
' x =− z−
g
Seja
2) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ' x g x g x f x g x f
y = −
, então:
2 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 ) 1 ( ) 2 / 1 )( 1 ( ) 1 )( 2 / 1 ( ) ( ) ( ' ) ( ) ( ) ( ' ' z z z z z x g x g x f x g x f y − − + − − = − = − − 2 2 / 1 2 / 1 2 / 1 2 2 / 1 2 / 1 2 / 1 ) 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( ) 1 ( ) 1 )( 2 / 1 ( ) 1 )( 2 / 1 ( z z z z z z − + + − = − + + − = − − − − 2 2 / 1 2 / 1 2 2 / 1 2 / 1 ) 1 ( 1 ) 1
( z z z
z
− =
−
= −
3)
Considere a curva (parábola) dada pela função =2=2 −=2=2 −−− 2222.a) Ache o coeficiente angular da reta secante a esta curva nos pontos em que x1=1 e x2=2.
Desenhe o gráfico da função e desta reta secante.
O coeficiente angular da reta secante é dado por:
1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 sec ) 2 ( ) 2 ( ) ( ) ( x x x x x x x x x f x f x x y y x y a − − − − = − − = − − = ∆ ∆ = 1 1 ) 1 ( 0 1 ) 1 2 ( ) 4 4 ( 1 2 ) ) 1 ( 1 * 2 ( ) ) 2 ( ) 2 ( * 2
( 2 2
− = − = − − − = − − − − =
6
b) Ache o coeficiente angular da reta tangente a esta curva no ponto em que x1=1. Desenhe
o gráfico da função e desta reta tangente.
O coeficiente angular da reta tangente é dado por:
1 2
2 1 1 2
2 2 1 2 1
2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 0
)
2
(
)
2
(
lim
)
(
)
(
lim
lim
lim
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
y
y
x
y
a
x x x
x x
x x
tag
−
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
∆
∆
=
→ →
→ →
∆
)
(
))
(
2
)(
(
lim
)
(
)
(
2
lim
)
2
2
(
lim
1 2
1 2 1
2 1 2 1
2
2 1 2 2 1 2 1 2 1
2
2 1 1 2 2 2 1
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x x x
x x
x
−
+
−
−
=
−
−
−
−
=
−
+
−
−
=
→ →
→
) 2 2 ( )) (
2 ( )) (
2 ( lim 1
)) (
2 ((
lim 2 1 1 1 1
1 2 1 2 1
2 x x x x x
x x
x x x
x = − + = − + = −
+ − =
→ →
Ou ainda, sabendo que o coeficiente da reta tangente corresponde a derivada da
função no ponto x1:
A derivada de y é:
x dx
x d dx
x d dx
x x d
y' (2 ) (2 ) ( ) 2 2 2
2
− = −
= − =
No ponto x1 = 1, y’ é igual à:
y
'
(
x
1)
=
2
−
2
x
1=
2
−
2
*
1
=
0
. Ou seja, a reta tangente é paralela ao eixo x e passa no ponto(1,1).-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
Eixo x
E
ix
o
y
7 Seu gráfico é dado por:
c) Ache a equação da reta tangente que passa pelo ponto (1, 1).
Sabendo que o coeficiente angular (encontrado no item (b)) é igual à 0, ou seja, a = 0 da equação y = ax + b tem-se:
y = 0*x + b → y = b
Como a reta passa pelo ponto (1,1), então: y = b → 1 = b
Logo a equação da reta é dada por: y = 1.
4)
Para que valores de a e b a reta 2x + y = b é tangente à parábola y = ax2 quando x = 2?Observando que a equação da reta 2x + y = b é tangente a parábola y = ax2 quando x = 2, isto é, o valor de y pode ser calculando usando-se y = ax2: y = ax2 = a*(2)2 = 4a
Dessa forma, aplicando o ponto (2, 4a) na equação da reta 2x + y = b, resulta em: 2*(2) + 4a = b → b = 4a + 4
Logo, a equação da reta será dada por: 2x + y = 4a + 4 (1)
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
Eixo x
E
ix
o
y
8 Para se determinar o valor de a é necessário lembrar que a inclinação da reta tangente à uma função y é igual a y’, isto é:
atag = y’ =
ax
dx
ax
d
2
)
(
2=
O valor de a
tagno ponto x = 2 é:
atag =2*a*2=4*aDa equação 2x + y = b, obtém-se que: atag = 2.
Assim: 4*a = 2 → a = 1/2
Substituindo este valor de a na equação (1) resulta em:
2x + y = 4a + 4 → 2x + y = 4(1/2) + 4 → 2x + y = 2 + 4 → 2x + y = 6
Portanto, a equação da reta tangente à parábola é: 2x + y = 6 → y =-2x + 6
Para confirmar se a equação anterior satisfaz o enunciado do problema, basta verificar se o ponto (2, 4a) = (2, 2) pertence à parábola e a reta obtida:
• Parábola: y = (1/2)x2 = (1/2)*(2)2 = (1/2)*4 = 2 e assim, com x = 2, obtém-se y = 2 e o ponto (2,2) pertence à parábola.
• Reta obtida: 2x + y =6 = 2 e assim, com x = 2, obtém-se y = 6 – 2x = 6 – 2*2 = 6 – 4 = 2 e o ponto (2,2) pertence à reta obtida.
9
5) Em que pontos a derivada da função (((( ) =) =) =) = 3333 coincidem, numericamente, com o valor da
própria função, isto é, (x)(x)(x)(x) ==== ’(’(’(’( ) ) ) ) ?
Sejam :
•
f(x) = x
3•
23
3
)
(
)
(
'
x
dx
x
d
x
f
=
=
Substituindo os valores em f(x) = f’(x):
x x
x = →3=
3 2 3
Conferindo:
•
Se x = 3, então, f(x) = x
3= (3)
3= 27
•
Se x = 3, então,
f'(x)=3x2 =3(3)2 =3*9=276) Um gestor descobre que o custo anual C (em mil reais) de manutenção de x veículos da frota de sua firma obedece à expressão: (((( ) = 4+2,1 ) = 4+2,1 ) = 4+2,1 ) = 4+2,1 2/32/32/32/3 . A firma tem, na maioria das
vezes, perto de 27 veículos em sua frota. Aproxime a expressão de C(x) para uma função linear (uma reta) para x próximo a 27.
Aproximar C(x) por uma função linear (uma reta) para x próximo a 27 equivale a encontrar a reta tangente a função C(x) no ponto x = 27. Para tanto, deve-se encontrar a inclinação da reta tangente à curva C(x) no ponto x =27:
3 / 1 1
3 / 2 3
/ 2
30 42 )
3 / 2 ( 10
21 ) 1 , 2 4 ( ) (
' = + = x − = x−
dx x d
x C
Para encontrar C’(x = 27), basta fazer:
15 7 30 14 3 * 30
42
3 30
42
27 30
42 )
27 ( 30
42 )
27 ( 30 42 30
42 ) ( '
3 3 3
3 / 1 3
/ 1 3
/
1 = = = = = = =
= x− −
x C
Seja a equação da reta tangente dada por: y = ax + b. O valor de C’(x) corresponde ao coeficiente angular a da reta tangente tal que a = (7/15). Para encontrar o valor de b, basta substituir o valor de x = 27 e y = C(x = 27) = 4+2,1(27)2/3 = 4 + 2,1*(3)2 = 4 + 2,1*9 =4 + 18,9 = 22,9:
22,9 = (7/15)*27 + b → 22,9 = (7/15)*27 + b →b = 10,3
10
7) Às vezes precisamos fazer uma raiz quadrada de um número x próximo a 1. Suponha que
você não tenha disponível uma calculadora e queira calcular esta raiz aproximadamente. Aproxime a função (((( )))) ====
x
, para valores de x próximos de 1, por uma função linear. Qual é esta função? Faça um teste e calcule 1,05 1,05 1,05 1,05 na calculadora e através desta função linear.Encontrar a equação da reta que aproxima f(x) em torno de um ponto x
= 1
equivale a encontrar a equação da reta tangente de f(x) em tornodo
ponto x= 1
. Para tanto, deve-se encontrar a inclinação da reta tangente à curva f(x) no ponto x = 1:2 / 1 1
2 / 1 2
/ 1
)
2
/
1
(
)
2
/
1
(
)
(
)
(
'
=
=
x
−=
x
−dx
x
d
x
f
Para encontrar f’(x = 1), basta fazer:
2
/
1
)
1
)(
2
/
1
(
)
2
/
1
(
)
1
(
'
x
=
=
x
−1/2=
−1/2=
f
Seja a equação da reta tangente dada por: y = ax + b. O valor de f’(x) corresponde ao coeficiente angular a da reta tangente tal que a = (1/2). Para encontrar o valor de b, basta substituir o valor de x = 1 e y = f(x = 1) = (1)1/2 = 1:
1 = (1/2)*1 + b → 1 – 1/2 = b →b = 1/2
