Lista 5 de Exercícios de Cálculo I

Lista de Exercícios de Cálculo I 

Professor Rodrigo 

Turma T03 

 

Derivadas por Definição e Regras de Derivação ‐ 5ª Lista 

 

1) Calcule as seguintes derivadas, por definição.   

a) f(x)=senx 

b) f(x)=cosx 

c) f(x)= x+4 

d) f(x)=3x2+5x−2

e) f(x)=senh(x) 

f) f(x)=cosh(x)   

2) Calcular as derivadas das expressões abaixo, usando as fórmulas de derivação conhecidas  (que se encontram na tabela em anexo) e as regras estudadas em sala de aula: 

a)   y=sen

(

x2 +4x

)

      R:   

(

2x 4

)

cos

(

x 4x

)

dx

dy _{= +} 2 ₊   

b) 

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

= ₂

x 2 cos x

f       R: 

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

′ _{3 2}

x 2 sen x

2 x

f  

c)  _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ =

2 x 3 2 x cos y

3

      R: 

(

)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

+ +

− =

2 x 3 2 x cos 1 x 2 3 dx

dy 3

2  

d) _y=_tg

( )

3 _{x       R :}  2

( )

3

3 2 sec x

x 3

1 dx

dy ₌  

e) f

( )

x =sec

(

6x−1

)

       R : 

( )

3sec

(

6x 1

) (

tg 6x 1

)

dx

x

df _{= − −}  

f)   _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

+ =

b a

x cot y

5

        R:  _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

+ +

− =

b a

x csc b a

x 5 dx

dy 4 2 5  

g)  y=csc

[

(

x+1

)

3

]

         R:  3

(

x 1

)

2csc

[

(

x 1

)

3

]

cot

[

(

x 1

)

3

]

dx

dy _{=− + + +}  

h)  y=e(3x+2)        R:  3e(3x 2) dx

dy ₌ +  

i)  2 2

4

x b

x 2

e

y= −         R: 

₍

(

₎

)

2 2

4

x b

x 2 2 2 2

2 2 3

e x b

x b 2 x 4 dx

dy ₋

− −

=  

j)  ⎟

⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

+ − =

x a

x a ln

y     R:  _{2 2}

x a

a 2 dx dy

−

=  

 

3) Obter a derivada das funções abaixo e determinar os domínios da função e de sua derivada.   

a) y=sen2

(

x+4

)

 

b) y=ln

( )

2x  

c) y=ln

(

x2 −2x+5

)

  

d) y=e4x 

4) Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados.   

a) f(x) = x² ‐ 1 ;  x = 1,  x = 0,  x = a,  a ∈ R. 

b) f(x) = x(3x – 5 );  x = ½,  x = a , a ∈ R. 

c) à curva y = x² ‐ 2x + 1 no ponto (‐2,9).   

5) Em que ponto da parábola y = x2 _{– 7x + 3 a reta tangente a mesma é paralela à reta 5x + y –3 = 0?} 

6) Para que valor de c, a parábola y = cx2 _{é tangente a curva y = ln x?} 

 

7) Resolva a maior quantidade possível de derivadas do anexo à lista.   

 

Tabela

 

de

 

relações

 

entre

 

derivadas

 

de

 

funções

 

trigonométricas

 

inversas

 

( )

( )

dxarccos

( )

u d u 1 1 dx du u arcsen dx d

2 =−

−

=  para u=u

( )

x  

( )

( )

dxarccot

( )

u d u 1 1 dx du u arctan dx d

2 =−

+

=  para u=u

( )

x  

( )

( )

dxarccsc

( )

u

d 1 u u 1 dx du u sec arc dx d

2₋ =−

=  para u=u

( )

x  

 

Tabela

 

das

 

derivadas

 

de

 

funções

 

exponenciais

 

e

 

logarítmicas

 

u u _e dx du e dx

d ₌  

para u=u

( )

x  

( )

u 1 dx du u ln dx

d _{= ⋅}  

para u=u

( )

x  

( )

a ln e dx du a dx

d u ₌ u  _para u=u

( )

_x  

( )

( )

a ln u 1 dx du u log dx d

a = ⋅  para u=u

( )

x  

( )

x ln x dx du ux x dx

d u ₌ u−1 ₊ u _para u=u

( )

_x  

( )

( )

( )

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + = − x v v x u u para dx dv u n u dx du vu u dx

d v v 1 v_l

Tabela

 

das

 

derivadas

 

de

 

funções

 

trigonométricas

 

e

 

suas

 

inversas

 

( )

cos

( )

u

dx du u sen dx

d ₌  

para u=u

( )

x  

( )

sen

( )

u dx

du u

cos dx

d ₌₋  

parau=u

( )

x  

( )

sec

( )

u

dx du u tan dx

d ₌ 2  _para u=u

( )

_x  

( )

_csc

( )

_u

dx du u

cot dx

d ₌₋ 2  _para u=u

( )

_x  

( )

sec

( )

u tan

( )

u dx

du u sec dx

d ₌  

para u=u

( )

x  

( )

csc

( )

u cot

( )

u dx

du u

csc dx

d ₌₋  

para u=u

( )

x  

( )

( )

_u 2

1 1 dx du u arcsen dx d −

=  para u=u

( )

x  

( )

( )

_u 2

1 1 dx du u arccos dx d − −

=  para u=u

( )

x  

( )

( )

_u 2

1 1 dx du u arctan dx d +

=  para u=u

( )

x  

( )

_{( )}

₂ u 1 1 dx du u cot arc dx d + −

=  para u=u

( )

x  

( )

( )

u 1 u 1 dx du u sec arc dx d 2 ₋

=  parau=u

( )

x  

( )

( )

u 1 u 1 dx du u csc arc dx d 2 ₋ −