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Professora Bruna Rodrigues Disciplina: Matemática
AULA 4: O ciclo trigonométrico
Sabendo que um objeto geométrico é orientado quando se escolhe um sentido para ser positivo e o sentido oposto é negativo, temos que em uma reta orientada na qual se fixa um ponto para ser a origem, todos os pontos são associados a um número real da seguinte maneira:
Arcos côngruos
Os ângulos α e β em graus, são côngruos ou congruentes se, e somente se, α – β = k. 360º para algum k ∈ R, ou seja, se α e β têm a mesma imagem no ciclo trigonométrico.
A primeira determinação positiva de um arco α é um arco β, tal que β∈ π [0,2π[ e β ≡ α . Desta forma, um arco pertence ao:
Primeiro quadrante, se sua primeira determinação positiva pertencer ao intervalo ]0,𝜋
2[.
Segundo quadrante, se sua primeira determinação positiva pertencer ao intervalo ] 𝜋
2, 𝜋[.
Terceiro quadrante, se sua primeira determinação positiva pertencer ao intervalo ]𝜋,3𝜋
2[.
Quarto quadrante, se sua primeira determinação positiva pertencer ao intervalo ] 3𝜋
2 , 2𝜋[.
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Ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio unitário, com centro na origem do plano cartesiano, orientada no sentido anti-horário e com o arco de 0 radiano coincidindo com o ponto (0,1).
O ponto O é associado ao número 0;
Um ponto X, qualquer, é associado ao número real OX, na unidade de comprimento adequada;
com isto esta reta passa a ser chamada de eixo e o número real ao qual cada ponto é associado é a coordenada do ponto.
Seno e cosseno
No ciclo trigonométrico cada número real t é associado a um ponto do ciclo. No plano cartesiano um ponto é par ordenado, ou seja, cada t é associado à (x(t), y(t)).
A partir daí, define-se cos t = x(t) e sen t = y(t), ou seja, a abscissa do arco t é o cosseno de t e a ordenada de t é o seno de t.
2 Exercícios
1) Obtenha as menores determinações não negativas dos arcos.
a) 1300º b) 1440º c) 1700º d) rad 2 11
e) rad 5 43
f) – 1200º
2) Dê as expressões gerais dos arcos côngruos a:
a) 1700º b) – 700º c) rad 4 49
d) 11.rad e) rad 8 33
3) Marque um “X” nos pares que representam arcos côngruos.
( ) 740º e 1460º ( ) 400º e 940º ( ) rad 3 38
e rad
3 26
( ) rad 5 74
e rad
5 19
4) A roda dianteira de uma bicicleta tem 40cm de raio. Quantos metros ela percorre ao dar 5.000 voltas? Quantas voltas ela deve dar para percorrer 9420m?
5) As rodas de um automóvel têm 70cm de diâmetro. Determine o número de voltas efetuadas pelas rodas quando o automóvel percorre 9.891 km. Adote 3,14.
6) (UFPA) Qual a menor determinação positiva de um arco de 1000°?
a) 270° b) 280° c) 290° d) 300° e) 310°
7) Os arcos da forma k.180º(1)k.30º, kZ, têm extremidades em que quadrantes?
8) . Calcule a soma: sen²1º + sen²2º ... sen² 88º + sen² 89°.
Tangente
Para a definição da tangente pelo ciclo trigonométrico é necessário usar um eixo auxiliar que tangencia o ciclo trigonométrico no ponto (1,0). A tangente de um arco t é obtida traçando uma reta que passa pela origem do sistema de coordenadas, pelo arco t e cruza com o eixo auxiliar. A coordenada do ponto de cruzamento é a tangente do arco t.
