Aulas UERGS Do professor Irineu

Transformadores

Os transformadores são máquinas eléctricas estáticas que elevam ou abaixam uma determinada tensão alternada.

1. Princípio de funcionamento

O funcionamento do transformador baseia-se nos fenómenos de mútua indução entre dois circuitos electricamente isolados, mas magneticamente ligados.

Um transformador é constituído por dois circuitos enrolados sobre um núcleo comum (daí magneticamente ligados) coberto por verniz (daí electricamente isolados). Este núcleo é chapeado para diminuir as induções de fuga (perdas) e deve ter alta permeabilidade e pequena relutância para melhorar a ligação magnética.

Para uma melhor explicação do funcionamento do transformador, vamos considerá-lo ideal.

É aplicada uma tensão V1 ao circuito primário. Esta tensão criará uma corrente Iµ (corrente magnetizante) desfasada em atraso 90º da tensão, porque o circuito é puramente indutivo, visto termos desprezado as resistências ôhmicas. Por sua vez, esta corrente, ao passar pelo circuito, cria um fluxomagnético com a mesma fase da corrente que se concentra totalmente no núcleo, já que consideramos as dispersões magnéticas nulas. Em contrapartida, este fluxo de valor máximo Φ, induz em cada espira que o abraça uma força electromotriz (f.e.m.) de valor máximo EM.

Segundo a lei de Lenz, a direcção desta f.e.m. é tal de modo a que produza uma corrente que crie um fluxo que contrarie o fluxo Φ. Sendo assim, a f.e.m. produzida tem que estar desfasada 180º em relação a V1, ou seja, 90º em atraso com respeito ao fluxo Φ. Portanto cria-se no enrolamento primário uma f.e.m. E1 de valor máximo

1 1

E

N

E

=

_M

⋅

em que N1 é o número de espiras no enrolamento primário.

Analogamente, o mesmo fluxo induz no enrolamento secundário uma f.e.m. E2 de valor máximo

E

₂

=

E

_M

⋅

N

₂. Dividindo as duas equações obtemos a chamada razão de transformação ou relação de transformação:

2 1 2 1 2

1 2

1

N

N

E

E

N

E

N

E

E

E

M

M

⇔

=

⋅

⋅

=

Se o circuito secundário estiver ligado a uma carga, a f.e.m. E2 faz percorrer uma corrente I2 pelo circuito, desfasada em relação à f.e.m. de um ângulo φ2, dependente da componente não resistiva da carga. Esta corrente, pelo mesmo processo acima descrito, altera o fluxo no núcleo, o que por sua vez altera as f.e.m.s induzidas. Isto provoca um desequilíbrio entre a tensão V1 e a f.e.m. E1, o que faz o primário absorver mais corrente, sendo a corrente total agora I1 = I’1 + Iµ. Esta corrente adicional I’1 (corrente primária de reacção) induz uma força magnetomotriz (f.m.m.)

Transformador ideal:

- resistências eléctricas dos enrolamentos nulas

de modo a equilibrar a f.m.m. induzida pela corrente I2 para restabelecer o equilíbrio entre a tensão V1 e a f.e.m. correspondente.

Observando o seguinte diagrama fasorial, verifica-se que a resultante das f.m.m.s é N1 Iµ, o que origina o fluxo inicial. Verifica-se também que o desfasamento entre a tensão e a corrente primária depende do desfasamento entre a tensão e a corrente secundária.

Quando o secundário trabalha com uma carga reduzida, ou seja, com uma corrente secundária reduzida, a corrente de reacção também é reduzida e a corrente total do primário tende para a corrente magnetizante com um desfasamento de 90º. Quando o transformador trabalha em plena carga, ou seja, quando a corrente secundária é elevada, a corrente de reacção também o é e pode-se praticamente desprezar a corrente magnetizante e relacionar I1 e I2 por:

1 2 2 1 1 1 2 2 ' 1 1 2 2

N

N

I

I

I

N

I

N

I

N

I

N

=

⇔

=

⇔

=

Fig.2. Diagrama fasorial

2. Modelo matemático

O modelo de um transformador ideal é representado pelo seguinte esquema:



















=

=

=

=

=

=

=

=

Z

a

I

U

a

I

I

U

U

I

U

U

U

I

I

U

I

I

U

Z

a

I

I

N

N

U

U

2 2

2 2 2 1 2

2 2 1

1 2 2

1 2 2

1 1 21

1 2 2 1 2 1

Os cálculos laterais indicam como se pode transferir uma impedância de um lado para o outro sem alterar o esquema equivalente. Mais tarde se verá que dá muito jeito transferir todas as impedâncias para um só lado.

Mas para ser mais fiel ao transformador verdadeiro, o modelo tem que simular as imperfeições de maior importância do transformador. Estas são:

¾ Os dois enrolamentos apresentam resistência. Existem perdas por efeito de Joule (Pj)

¾ Existem perdas no núcleo do transformador devido a correntes de Foucault (Pf)

¾ Existem perdas por histerese (Ph)

¾ Existem fluxos de fuga nos dois enrolamentos (Pb)

Para pormenores sobre electromagnetismo ver Apêndice A: Electromagnetismo

U

1

U

2

N

2

N

1

_Z

U

1

U

2

N

2

N

1

_Z

R

0

jX

0

jX

1

R

1

jX

21

=a

2

jX

2

R

21

=a

2

R

2

I

1

I

2

I

21

=I

2

/a

U

21

=aU

2

Z

1

Z

0

Z

21

U

1

_U

2

N

2

N

1

R

0

Z

a

2

jX

0

a

2

jX

12

=jX

1

/a

2

R

12

=R

1

/a

2

jX

2

R

2

I

12

=aI

1

I

2

I

2

U

12

=U

1

/a

_Z

02

Z

2

Z

12

As perdas de Joule dos enrolamentos do transformador são representadas por resistências em série com o circuito em cada lado.

As correntes de Foucault e de histerese são provocados no núcleo e por isso, são representadas pela resistência R0

Os fluxos de fuga provocam uma f.e.m. desfasada 90º em relação à corrente percorrida e por isso são representados por uma bobine em série com o circuito em cada lado.

A reactância X0 está no modelo devido à corrente magnetizante Iµ. O ramo que contem esta bobine é percorrido por esta corrente que, como vimos, era necessária para a criação do fluxo e em nada conta para a alimentação da carga.

Vamos aplicar a regra de referir um dos lados ao outro:

• Referir as impedâncias ao primário (Fig.1):

• Referir as impedâncias ao secundário (Fig.2):

Este esquema é de difícil análise devido ao nó criado pela impedância Z0 ou Z02. De notar que a corrente que passa por esse ramo é muito menor que a corrente total, já que, por norma, a impedância Z0 ou Z02 é muito maior do que as outras impedâncias Z1 e Z21,ou Z12 e Z2, respectivamente. Deste modo, é possível simplificar o esquema, sem elevar muito o erro, mudando o ramo que contem a impedância Z0 ou Z02 para antes da impedância Z1 ou Z12:

U

1

U

2

N

2

N

1

_Z

R

0

jX

0

jX

1

R

1

jX

2

R

2

U

1N

R

02

jX

02

U

20

jX

2t

R

2t

I

12

=aI

10

I

10

U

2

=U

1N

a

U

20

I

2

=0

U

1

_U

2

N

2

N

1

R

0

Z

a

2

jX

0

a

2

jX

12

=jX

1

/a

2

R

12

=R

1

/a

2

jX

2

R

2

I

12

=aI

1

I

1

I

2

Z

2t

U

1

_U

2

N

2

N

1

_Z

R

0

jX

0

jX

1

R

1

jX

21

=a

2

jX

2

R

21

=a

2

R

2

I

1

I

2

I

21

=I

2

/a

U

21

=aU

2

Z

1t

Fig.3. Circuito equivalente simplificado “em L” do transformador referido ao primário

Fig. 4. Circuito equivalente simplificado “em L” do transformador referido ao secundário

Está claro que se pode unir as impedâncias Z1 e Z21 ou Z12 e Z2 numa única impedância:

t t

t

Z

Z

R

jX

Z

₁

=

₁

+

₂₁

=

₁

+

₁

Z

_2t

=

Z

₁₂

+

Z

₂

=

R

_2t

+

jX

_2t

Para determinar estas impedâncias, basta apenas fazer dois ensaios: em vazio (circuito aberto) e em curto-circuito.

• Ensaio em vazio:

O valor lido pelo wattímetro é P10. Visto que foi aplicada uma tensão nominal no primário, U20 terá o

valor nominal de U2 (U2N).

Fig. 5. Montagem para o ensaio em vazio

Fig. 6. Circuito equivalente do transformador para o ensaio em vazio

W

A

V

U

20

U

1N

I

10

W

A

V

I

2C

U

1C

I

1C

A

U

1C

R

02

jX

02

jX

2t

R

2t

I

1C2

=aI

1C

I

1C

U

1C2

=U

1C

a

I

2C Com este ensaio podemos calcular:

¾ A razão de transformação:

20 1

U

U

a

=

N

¾ Perdas no ferro:

Para este modelo simplificado, no ensaio em vazio, a corrente percorrida nas

impedâncias exteriores ao núcleo (Z2t) é nula, logo todas as perdas serão resultantes de perdas do núcleo, ou perdas no ferro (

P

_FE

=

P

₁₀).

¾ Factor de potência:

absorvida

aparente

potência

absorvida

activa

potência

)

cos(

10 1

10 10

←

←

=

=

I

U

P

N

ϕ

¾ R0 e X0:

{

{

{

{

m m

m m

a a

a a

m a

m a

m a

I

U

X

I

aU

X

aI

U

a

X

I

U

a

X

X

I

U

R

I

aU

R

aI

U

a

R

I

U

a

R

R

jaI

aI

jI

I

a

aI

I

jI

I

I

j

I

I

jI

I

I

j

I

I

1 0 20

0 20

2 0 2

20 2

0 02

1 0 20 0

20 2 0 2

20 2 0 02

10 10

10 10

0 12

10 12

10 12

jX por passa k corrente

2 R

por passa k corrente

2 12

10 10

10 10

jX por passa k corrente R

por passa k corrente 0

))

sin(

)

cos(

(

)

sin(

)

cos(

)

sin(

)

cos(

02 02

0 0

=

⇔

=

⇔

=

⇔

=

=

=

⇔

=

⇔

=

⇔

=

=

+

=

+

=

=

+

=

+

=

+

=

+

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

• Ensaio em curto-circuito

O Wattímetro lê o valor P1C. A tensão U1C é tal que motive a corrente nominal em ambos os enrolamentos.

Fig.7. Montagem para o ensaio em curto-circuito

Com este ensaio podemos calcular:

¾ Tensão de curto-circuito nominal:

N C CC

U

U

u

1 1

=

Tensão de curto-circuito nominal é, portanto, a razão entre a tensão necessária para percorreram as correntes nominais no circuito em curto-circuito, e a tensão nominal. Também pode ser determinado de outras formas, como por exemplo:

X R N N t N j N N t N t N N N N t t N N N N t t N N t t B t N N t N N t N C N C CC

je

e

S

I

X

j

S

P

S

I

jX

I

R

I

U

I

I

jX

R

I

U

I

I

jX

R

U

I

jX

R

Z

Z

U

I

Z

U

I

Z

U

U

U

U

u

+

=

+

=

+

=

+

=

=

+

=

+

=

=

=

=

=

=

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1

Estes dois últimos termos têm como nome: queda óhmica nominal ( eR ) e queda indutiva nominal ( eX).

¾ R1t, X1t e perdas nominais no cobre:

Em geral, a impedância Z02 é muito maior que Z2t o que faz percorrer pelo ramo de Z02 uma corrente muito pequena. Se a desprezarmos, temos PFE.C = 0 e I2C = I1C2 o que resulta:

cobre

no

nominais

perdas

. 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1

←

=

−

=

+

=

=

=

⇔

=

=

JN C FE JN C t t t C C t C C t C t C t C

P

P

P

P

X

Z

X

I

U

Z

I

P

R

I

R

I

R

P

Para referir as impedâncias para o primário, basta multiplicar por a2. A impedância t

t t

t

a

Z

R

jX

Z

₁

=

2 ₂

=

₁

+

₁ é chamada impedância combinada de fugas.

Diagrama Fasorial

Um diagrama fasorial representa as grandezas de um circuito de uma forma fasorial, mostrando facilmente a relação entre as fases, e se for feito à escala, a relação entre os módulos.

Vamos ver como é um diagrama fasorial para um ensaio em vazio de um transformador:

Fig.9. Circuito equivalente do transformador para o ensaio em vazio

U

1

U

2

N

2

N

1

R

0

jX

0

jX

1

R

1

jX

2

R

2

I

1

I

2

=0

E

1

E

2

I

m

I

a

φ

ω

φ

ω

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

2 2

1 1

2 2

1 1 1 1 1

0 1 2 0

)

(

0

N

j

E

N

j

E

U

E

I

jX

R

E

U

I

I

I

I

I

I

_{a m}

−

=

=

−

=

+

+

−

=

=

=

+

=

Fig.10. Diagrama fasorial para um ensaio em vazio e respectivas equações

Os vectores (fasores) não estão à escala, mas a ideia mantém-se. A corrente I0 é

composta pelas duas correntes Ia e Im. Essa corrente que também é igual a I1 passa pela

impedância Z1 = R1 + jX1 o que provoca uma queda de tensão. A f.e.m. E1 será igual, em

módulo, a U1 menos essa queda de tensão, mas com fase oposta. Como não há corrente no

secundário, a tensão U2 é igual a f.e.m. induzida E2.

Vamos fazer agora uma análise mais complexa, colocando uma carga no secundário.

Fig.11. Circuito equivalente do transformador para o ensaio com uma determinada carga

φ

ω

φ

ω

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

2 2

1 1

2 2 2 2 2

21 2

1 1 1 1 1

0 21 1

)

(

)

(

N

j

E

N

j

E

I

jX

R

E

U

I

a

I

I

jX

R

E

U

I

I

I

−

=

=

−

+

−

=

−

=

+

+

−

=

+

=

Agora temos um circuito com carga. Já existe uma corrente no secundário cuja fase depende do factor de potência de Z. A corrente I1 é agora a soma da corrente

I0 com a corrente que vai para o secundário I21. Existem

perdas no secundário o que provoca uma queda de tensão igual a E2 – U2. De notar que:

1 2 2 1 21

2 2 1 2 1

I

I

U

U

I

I

E

E

N

N

a

=

=

=

≠

≠

Compara este diagrama com o da fig.2.

Fig.12. Diagrama fasorial para um ensaio com carga e respectivas equações

I

0

=I

1

I

a

I

m

-E

1

R

1

I

1

jX

1

I

1

U

1

E

2

=U

2

φ

U

1

U

2

N

2

N

1

R

0

jX

0

jX

1

R

1

jX

2

R

2

I

1

I

2

E

1

E

2

I

m

I

a

I

0

Z

I

21

I

0

-E

1

R

1

I

1

jX

1

I

1

U

1

E

2

φ

I

1

I

21

U

2

I

2

R

2

I

2

jX

2

I

2 1

ϕ

2

Fig.13. Excerto do diagrama fasorial da fig.12

Este excerto da parte inferior do diagrama da fig.12. é importante pelo facto de deduzir uma aproximação. Se considerarmos que o vector

E

r

₂ é praticamente igual à sua componente horizontal na fig. 13, podemos aproximá-lo por:

ϕ

ϕ

sin

cos

_{2 2}

2 2 2

2

U

R

I

X

I

E

≈

+

+

Todas as variáveis desta equação são escalares, e não vectores.

Perdas

Qualquer que seja a máquina eléctrica, ela tem perdas. Quanto maiores as perdas, pior o aproveitamento da máquina. A grandeza que mede o seu aproveitamento é o rendimento.

O rendimento é calculado pela expressão:

p u

u abs

u

P

P

P

P

P

+

=

=

η

em que Pu é igual à potência útil, Pabs é igual à potência absorvida e Pp é igual às perdas. No caso do transformador, as perdas são as perdas no cobre ( PJ ) e as perdas no

ferro ( PFE ).

Seguindo as grandezas da fig.11, a potência útil é igual a potência activa fornecida à carga, logo:

)

cos(

₂ 2 2

I

ϕ

U

P

_u

=

A potência absorvida é a potência fornecida ao transformador, logo:

)

cos(

₁ 1 1

I

ϕ

U

P

_abs

=

As perdas no cobre são as potências dissipadas nas resistências R1 e R2, logo:

2 2 2 2 1 1

I

R

I

R

P

_J

=

+

As perdas no ferro são a potência dissipada na resistência R0. logo:

2 0 a FE

R

I

P

=

Portanto, a equação do rendimento pode ser reescrita da seguinte forma:

2 0 2 2 2 2 1 1 2 2

2

2 2

2 1

1 1

2 2

2

)

cos(

)

cos(

)

cos(

)

cos(

a p

u u abs

u

I

R

I

R

I

R

I

U

I

U

P

P

P

I

U

I

U

P

P

+

+

+

=

+

=

=

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

η

Para o caso dos circuitos equivalentes simplificados, a fórmula é naturalmente mais simples, por isso, fica para vocês fazerem.

A fig. 13 representa a curva característica do rendimento, dependendo de I2. Nela se repara que o rendimento é máximo quando as perdas no cobre são iguais às perdas no ferro e que o valor da corrente para esse rendimento é menor que o valor da corrente nominal.

É obvio que em circuito aberto (em vazio) e em curto-circuito o rendimento é nulo, visto que em circuito aberto não há potência útil porque não há corrente, e em curto-circuito não há potência útil porque não há carga.

Fig.14. Curva de característica do rendimento

I

2

η

η

max

I

2N

P

J

= P

FE

vazio c.c.

2 2

I

R

r

jX

₂

I

r

₂

ϕ

sin

2 2

I

X

ϕ

cos

2 2

I

R

2

U

r

2

E

r

2

I

r

Exemplo

Como exemplo veremos um transformador trifásico e faremos a comparação entre o monofásico e o trifásico. As suas características são as seguintes:

Dyn5, 1000 kVA, 50 Hz, 15000±5% / 400V

Ensaia-se o transformador em vazio pelo lado BT (baixa tensão), visto ser mais fácil aplicar uma tensão de 400 V do que 15000 V. Os resultados foram os seguintes:

Ensaio em vazio

A1 15.5 A

A2 14.0 A

A3 15.3 A

W1 850 W

W2 680 W

W3 410 W

V 400 V (tensão composta)

De notar que um transformador em vazio não é um sistema equilibrado porque os circuitos magnéticos não conseguem ser iguais para as fases montadas em cada coluna do núcleo. A potência em vazio, ou seja, as perdas no ferro, é a soma das potências de cada fase:

W

P

P

_FE

=

₀

=

850

+

680

+

410

=

1940

Passemos agora para o ensaio em curto-circuito. Sabemos (e se não sabemos, passamos a saber) que a tensão de curto-circuito é aproximadamente 5% da tensão nominal, o que pode variar de transformador para transformador. Relembremos também que, para um ensaio em curto-circuito, é preciso aplicar no primário uma tensão que provoque a circulação de correntes nominais nos enrolamentos. Ou seja, no lado primário percorrerá uma corrente de valor nominal ao ser aplicada uma tensão de valor igual a 5% do valor de tensão nominal. Deste modo, vejamos de que lado é mais vantajoso aplicar essa tensão:

Nota: Para transformadores monofásicos, só haveria tensão simples, uma potência e uma corrente. As perdas no ferro seriam iguais à única potência.

V

A

1

A

2

A

3

W

1

W

2

W

3

r

s

t

n

R

S

Lado Tensão (U1N)

Corrente :

N N N

U

S

I

1 1

3

⋅

=

1

Tensão de c.c :

u

_CC

=

5

%

⋅

U

_1N

AT 15000

I

_N

38

.

5

A

15000

3

1000000

1

=

×

=

u

_CC

=

0

.

05

×

15000

=

750

V

BT 400

I

N

1443

.

4

A

400

3

1000000

1

=

×

=

u

_CC

=

0

.

05

×

400

=

20

V

Está claro que é muito mais fácil arranjar uma fonte de alimentação de 750 V que possa debitar 38.5 A do que uma de 20 V que possa debitar 1443.4 A. Assim sendo, a alimentação é feita pelo lado AT.

As leituras foram as seguintes:

Ensaio em curto-circuito

A1 34.5 A

A2 34.0 A

A3 34.6 A

W1 4250 W

W2 4020 W

W3 4160 W

V 660 V (tensão composta U) As perdas no cobre serão a soma das potências lidas:

W

P

_J

=

4250

+

4020

+

4160

=

12430

A corrente que passa por fase é, em média:

A

I

₁

=

34

.

5

+

34

.

0

+

34

.

6

=

34

.

4

Mas afinal I1 não é a corrente nominal!! Sendo assim, nem U é a tensão de curto-circuito, nem as perdas no cobre nominais são PJ. Por uma regra simples, pode-se converter todos os valores para valores nominais.

1

SN é a potência nominal das três fases. Para analisar só uma fase divide-se SN por 3. U1N é a tensão composta, ou seja, entre 2 fases. Para analisar a tensão simples divide-se U1N por 3. A corrente I1N já é de só uma fase. Reduz-se todas as grandezas a uma só fase:

3 1 1 1 3 1 3

N U

N S N I N I N U N S

= ⇔

= .

V

A

1

A

2

A

3

W

1

W

2

W

3

R

S

T

n

s

r

A relação entre a corrente nominal e a corrente obtida é:

119

.

1

4

.

34

5

.

38

1

1

=

=

I

I

_N

Para obter a tensão de curto-circuito basta multiplicar por esta razão:

5

.

738

119

.

1

660

1

1

=

×

=

⋅

=

I

I

U

u

_CC N V

Como a potência segue uma relação quadrática com a corrente ( P = RI2 ), multiplica-se a potência obtida pelo quadrado da razão para obter as perdas no cobre nominais:

5

.

15569

119

.

1

12430

2 2

1

1

=

×

=









=

I

I

P

P

_{JN J} N W

Sabe-se que a potência total é igual às resistências totais vezes o quadrado da corrente que passa por essas resistências. Se considerarmos as resistências de cada fase iguais, assim como as correntes que passam por elas, é fácil calcular essas resistências:

Ω

=

×

=

=

⇔

=

Ω

=

×

=

=

⇔

=

501

.

3

4

.

34

3

12430

3

3

501

.

3

5

.

38

3

5

.

15569

3

3

2 2

1 1 2 1 1

2 2

1 1 2

1 1

I

P

R

I

R

P

I

P

R

I

R

P

J J

N JN N

JN

Como era de esperar, os valores são iguais das duas maneiras. De notar que este valor é a resistência dos enrolamentos referida ao primário (R1t do esquema da fig.3).

A impedância Z1t do esquema da fig.3 que aqui designaremos por Z1 é calculada através da simples lei de Ohm. É igual à razão entre a tensão (simples) aplicada numa das fases do primário e a corrente que a percorre:

Ω

=

=

=

11

.

08

4

.

34

3

660

1 1

I

U

Z

s

Já agora, X1 será:

Ω

=

+

=

₁2 ₁2

10

.

51

1

Z

R

X

Qual a tensão no secundário quando o transformador estiver a ¾ de plena carga com

0.8

cos

2

=

ϕ

indutivo?

¾ Usamos a fórmula derivada da fig. 13:

E

₂

≈

U

₂

+

R

₂

I

₂

cos

ϕ

₂

+

X

₂

I

₂

sin

ϕ

₂.

¾ ¾ de plena carga equivale a dizer que passa uma corrente no secundário de valor igual a ¾ da corrente nominal no secundário.

¾ A razão de transformação é

a

=

15000

/

400

=

37

.

5

¾

R

₂

=

R

₁

/

a

2

=

0

.

0022

Ω

¾

X

₂

=

X

₁

/

a

2

=

0

.

0075

Ω

¾ A fórmula pode ser reescrita da seguinte forma:

2 2

2 2 2

2 2

20

U

S

R

3

₄

I

N

cos

ϕ

X

3

₄

I

N

sin

ϕ

U

=

+

+

¾ Substituindo os valores:

V

U

U

S S

2

.

224

6

.

0

4

.

1443

4

3

0075

.

0

8

.

0

4

.

1443

4

3

0022

.

0

3

400

2 2

=

×

×

×

+

×

×

×

+

=

¾ Finalmente, o resultado deve ser dado em tensão composta:

V

U

₂

=

224

.

2

×

3

=

388

Nota: Se o factor de potência fosse capacitivo, a fórmula seria

ϕ

ϕ

sin

cos

_{2 2}

2 2 2

2

U

R

I

X

I

Qual o rendimento a 7/8 de plena carga com

cos

ϕ

₂

=

0.9

_capacitivo? J FE

P

P

I

U

I

U

+

+

=

)

cos(

3

)

cos(

3

2 2 2 2 2 2

ϕ

ϕ

η

Em regime nominal o rendimento é:

JN FE N N JN FE N N N N

P

P

S

S

P

P

I

U

I

U

+

+

=

+

+

=

)

cos(

)

cos(

)

cos(

3

)

cos(

3

2 2 2 2 2 2 2 2

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

η

A 7/8 de plena carga o rendimento é:

{

%

3

.

98

983

.

0

8

7

15569

1940

9

.

0

8

7

1000000

9

.

0

8

7

1000000

8

7

)

cos(

8

7

)

cos(

8

7

2 2 carga da depende não 2 2

=

=













⋅

+

+

⋅

⋅

⋅

⋅

=













⋅

+

+

⋅

⋅

⋅

⋅

=

JN FE N N

P

P

S

S

ϕ

ϕ

η

Qual o rendimento máximo para 1000 A?

Nestas condições, o rendimento é máximo quando

cos

ϕ

₂

=

1

.

%

7

.

98

987

.

0

4

.

1443

1000

15569

1940

1

1000

3

400

3

1

1000

3

400

3

)

cos(

3

)

cos(

3

2 2 2 2 2 2 2

=

=













⋅

+

+

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

+

+

=

J FE

P

P

I

U

I

U

ϕ

ϕ

η

Qual o rendimento máximo dos máximos?

O rendimento é máximo quando as perdas no cobre são iguais às perdas no ferro e quando

1

cos

ϕ

₂

=

. Quando a primeira condição se verifica, verifica-se também a seguinte relação:

JN FE N FE J

P

P

I

I

P

P

=

⇒

=

2 2 JN FE N N N N N N N

P

P

S

S

I

I

S

S

I

U

S

I

U

S

⋅

=





 →



⋅

=

⇒







=

=

nestecaso

2 2 2 2 2 2

3

3

{

%

9

.

98

989

.

0

1940

1940

1

5

.

15569

1940

1000000

1

5

.

15569

1940

1000000

)

cos(

)

cos(

2 2

=

=

+

+

⋅

⋅

⋅

⋅

=

+

+

⋅

⋅

=

=PFE