PUC-SP
Lauro de Camargo Júnior
Um estudo sobre a abordagem de Matrizes
no Caderno do Professor
do Programa “São Paulo faz Escola”
Mestrado Profissional em Educação Matemática
São Paulo
PUC-SP
Lauro de Camargo Júnior
Um estudo sobre a abordagem de Matrizes
no Caderno do Professor
do Programa “São Paulo faz Escola”
Trabalho final apresentado à Banca Examinadora como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, sob a orientação da Professora Doutora Silvia Dias Alcântara Machado.
São Paulo
Banca Examinadora
________________________________________________
________________________________________________
Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial
desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.
Dedico este trabalho aos meus queridos
pais, Lauro e Neide e à minha estimada
A Deus, por estar sempre presente em minha vida, iluminando os meus
caminhos e dando-me força para superar as dificuldades.
À professora doutora Silvia Dias Alcântara Machado, minha orientadora, pela
dedicação, paciência e confiança. Registro aqui o meu respeito e admiração.
Às professoras doutoras Bárbara Lutaif Bianchini, Carmen Teresa Kaiber e
Renata Rossini, pelas sugestões apresentadas no exame de qualificação que
muito contribuíram para o aprimoramento deste trabalho.
À minha esposa Cristiane, pelo apoio e compreensão.
À minha filha Laura, pelos momentos em que os compromissos fizeram com
que eu não pudesse lhe dar a atenção merecida.
Aos meus pais, Lauro e Neide, pelo carinho, total apoio e encorajamento,
fundamentais para a conclusão desse trabalho.
À minha irmã Roseli, pelo incentivo e carinho em todos os momentos.
Aos colegas do curso e do grupo GPEA, pela colaboração e companheirismo.
Aos colegas de trabalho de todas as escolas que lecionei durante o período do
curso, pelo apoio e incentivo.
À Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, pela concessão da bolsa
de estudo.
Aos funcionários da Delegacia de Ensino de Osasco, em especial à equipe de
supervisores responsável pelo programa Bolsa-Mestrado e equipe do
Protocolo, pela cordialidade, paciência e apoio em todos os momentos em que
O presente trabalho relata uma pesquisa qualitativa cujo objetivo foi de
investigar como o Caderno do Professor de Matemática, material didático
integrante da Proposta Curricular do Estado de São Paulo implantada em 2008,
aborda o conteúdo de Matrizes. Para a coleta de dados, utilizei a metodologia
de análise de conteúdo no sentido de Bardin (2009). O corpus da pesquisa
constou de alguns documentos oficiais que regem o ensino de matemática, os
cadernos do Professor de Matemática de 2008 e 2009 e dois livros didáticos de
matemática para o Ensino Médio. Investiguei o assunto em sua forma explícita
e implícita nos cadernos, relacionando a abordagem apresentada com as
orientações desses documentos oficiais e comparando com a abordagem
apresentada nos livros didáticos escolhidos. O estudo do corpus possibilitou
constatar que a abordagem de matrizes nos cadernos se apresenta de acordo
com as propostas dos documentos oficiais que regem o ensino de matemática
no Ensino Médio; que a abordagem, de modo geral, assemelha-se com aquela
apresentada em um dos livros didáticos aprovados no PNLEM 2006, aquele
que teve uma maior preocupação de seguir as orientações de documentos
oficiais e que o caderno do professor de Matemática de 2009 apresentou
aprimoramentos em relação ao de 2008.
This work reports on a qualitative research aiming to investigate how the
Caderno do Professor de Matemática, Mathematics educational material
comprised in the the Proposta Curricular do Estado de São Paulo (Curriculum
Proposal of the Sao Paulo State) launched in 2008, approaches the topic of
Matrices. To collect data for the study I used the content analysis methodology,
as proposed by Bardin (2009). The resulting corpus consists of some official
documents that regulate the teaching of Mathematics in Brazil, the 2008 and the
2009 editions of the aforementioned Caderno, as well as two high school
textbooks of Mathematics. I researched the topic in its explicit and implicit forms
in the Caderno, comparing the observed approach with the guidelines seen in
the official documents, and with the approaches presented by the textbooks.
The analysis of the corpus allowed me to conclude that: i) the approach of the
matrices set forth in the Cadernos is in accordance with the guidelines
proposed by the official documents that regulate the teaching of Mathematics in
Brazilian high school education; ii) such approach, in general, closely resembles
the approach used by one of the textbooks approved by the 2006 edition of the
PNLEM (Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio - Brazilian
Program of High School Textbooks), the one that displayed a greater concern in
following the official recommendations; iii) the 2009 edition of the Cadernos
introduces significant improvements as compared to the previous 2008 edition.
Keywords: Matrices; Content Analysis; Caderno do Professor de Matemática;
Introdução... 12
Capítulo I: Problemática e Objetivo ... 14
Capítulo II: Escolhas teórico-metodológicas... 19
Capítulo III: Análise do corpus... 24
Análise dos documentos oficiais... 24
Análise dos livros didáticos... 28
Análise do livro Matemática – Ensino Médio, de Smole e Diniz (2003) ... 29
Análise do livro Matemática – Ciência e Aplicações, de Iezzi et al. (2004) .. 41
Considerações das análises dos livros didáticos... 51
Capítulo IV: Análise dos Cadernos do Professor de 2008 e 2009... 53
Sobre os Cadernos do Professor... 53
O conteúdo Matrizes no Caderno do Professor de 2008 ... 54
O conteúdo Matrizes no Caderno do Professor de 2009 ... 68
Capítulo V... 82
Referências ... 87
Quadros referentes ao livro Matemática – Ensino Médio, 2ª série (Smole e Diniz, 2003)
Quadro 1 – Índice da parte 2 – Álgebra... 30
Quadro 2 – Definição de matriz... 31
Quadro 3 – Matriz genérica... 31
Quadro 4 – Seção “O Elo Matemática”... 32
Quadro 5 – Seção “Flash matemático”... 34
Quadro 6 – Problemas e exercícios... 35
Quadro 7 – Seção “Invente você”... 36
Quadro 8 – Seção “Invente você... 37
Quadro 9 – Exercícios com uso de calculadora... 39
Quadros referentes ao livro Matemática – Ciência e aplicação – 2ª série (Iezzi et al., 2004) Quadro 10 – Sumário do segundo volume Livro de Iezzi et al. ... 43
Quadro 11 – Tabelas numéricas – exemplos contextualizados... 44
Quadro 12 – Obtenção de uma matriz por uma regra de formação... 45
Quadro 13 – Exercício contextualizado... 45
Quadro 14 – Exercício articulado com o conteúdo trigonometria... 46
Quadro 17 – Conteúdos de matemática do Ensino Médio... 55
Quadros referentes ao Caderno do Professor de 2008 Quadro 18 – Unidades do 2° bimestre da 2ª série do Ensino Médio... 56
Quadro 19 – Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 1... 58
Quadro 20 - Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 2... 60
Quadro 21 - Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 3... 61
Quadro 22 - Situação de Aprendizagem 2 – Atividades 1 e 2... 64
Quadro 23 - Situação de Aprendizagem 2 – Atividade 3... 65
Quadros referentes ao Caderno do Professor de 2009 Quadro 24 - Conteúdos de matemática do Ensino Médio... 70
Quadro 25 - Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 1 – Problema 1.... 72
Quadro 26 - Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 1 – Problema 2... 73
Quadro 27 - Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 3... 74
Quadro 28 - Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 4... 75
Quadro 29 - Situação de Aprendizagem 4 – Atividade 1 – Cálculo da área de um polígono... 77
Quadro 30 - Situação de Aprendizagem 1 – Atividade 4 – exemplos... 78
Introdução
O interesse em desenvolver uma pesquisa sobre o tema “matrizes”
surgiu após ingressar no curso de Mestrado Profissional em Educação
Matemática da PUC/SP. Ao integrar-me ao Grupo de Pesquisa em Educação
Algébrica – GPEA – que desenvolve o projeto “Qual a álgebra a ser ensinada
na formação de professores?”, me interessei pelo subprojeto “Em busca de
situações propicias para aprendizagem de conceitos básicos de Álgebra
Linear”.
Como professor do Ensino Médio, sempre abordei o conteúdo de
Matrizes segundo o modelo de ensino orientado ao uso de técnicas de
algoritmos, de forma estanque e sem conexão com outros conteúdos, tendo
por referência o livro didático que utilizava em minhas aulas. Considerava esse
conteúdo fácil de ensinar, mas preocupava-me um questionamento feito pelos
alunos do “para que serve?”, demonstrando que esta abordagem não estava
sendo significativa para os alunos.
Por meio de reuniões do grupo GPEA, os membros sugeriram-me
leituras, através das quais pude constatar que a pesquisa de SANCHES (2002)
trazia informações que corroboram minhas impressões iniciais sobre o ensino
de matrizes, além de outras contribuições que vieram a me motivar na
continuidade desse trabalho.
No ano de 2008, enquanto eu definia o meu projeto de pesquisa, a
Secretaria da Educação do Estado de São Paulo implanta uma nova Proposta
Curricular denominada “São Paulo faz escola”, elaborando um material
endereçado aos professores de sua rede de ensino – os Cadernos do
Professor- destacando nestes a contextualização dos conteúdos e a articulação
dos mesmos.
Decidi, então, orientar esta pesquisa com o objetivo de investigar como
os Cadernos do Professor de Matemática abordam o conteúdo de Matrizes,
dos atuais documentos oficiais que regem o ensino de matemática e se
apresentam inovações em relação aos livros didáticos.
Este trabalho está dividido em cinco capítulos, descritos da seguinte
forma:
• No capítulo I, apresento a problemática e o objetivo que nortearam o desenvolvimento da pesquisa, evidenciando os motivos que levaram à
escolha por esse tema e a sua importância.
• No capítulo II, apresento a metodologia de pesquisa baseada na Análise de Conteúdo, segundo Bardin (2009), os procedimentos metodológicos
adotados e o aporte teórico que fundamentou o desenvolvimento desta
pesquisa.
• No capítulo III, apresento as análises dos documentos oficiais e dos livros didáticos selecionados para esta pesquisa.
• O capítulo IV é destinado à análise do Caderno do Professor de 2008 e 2009 que tratam do ensino de matrizes.
• As considerações finais são expostas no capítulo V, destacando alguns resultados obtidos na análise dos Cadernos do Professor de 2008 e
2009, dos documentos oficiais e dos livros didáticos. Nesse capítulo,
Capítulo I
Problemática e Objetivo
Constantemente o ensino da Matemática no Brasil tem sido noticiado
mediante o baixo desempenho dos alunos nas avaliações institucionais
propostas por diferentes esferas educacionais. Segundo reportagem veiculada
no site do jornal O Estado de São Paulo em 15 de maio de 2008, o IDESP -
Índice de Desenvolvimento da Educação de São Paulo - mostra que as escolas
estaduais paulistas estão longe de alcançar o nível de ensino de países
desenvolvidos, conforme pretendido pela Secretaria da Educação de São
Paulo até 2030. De acordo com dados dessa Secretaria, a pior situação
encontra-se no Ensino Médio, em que o índice é de 1,41 ainda mais baixo que
os do Ensino Fundamental I cujo IDESP é de 3,23 e do Fundamental II de
IDESP 2,541. Em relação ao SARESP - Sistema de Avaliação de Rendimento
Escolar do Estado de São Paulo - aplicado em 2007, o site do jornal Folha
Online, de 13 de março de 2008, noticiou que “71% dos alunos do Ensino
Médio apresentam deficiências em realizar operações básicas”, segundo dados
da Secretaria da Educação.
Diante desse cenário, pesquisadores investigam as causas desse baixo
desempenho dos alunos em Matemática e dentre as muitas pesquisas, há
aquelas que buscam metodologias diferenciadas de ensino para superar essas
dificuldades, tais como as de Ponte, Brocardo, Oliveira (2003) e de Chevallard,
Bosch e Gascon (2001). Para esses e outros pesquisadores, o ensino centrado
em procedimentos mecânicos, sem conexão com outros conceitos
matemáticos ou de outras disciplinas é apontado como uma das causas das
dificuldades enfrentadas na aprendizagem. Nele, o foco da aprendizagem está
na memorização, não se preocupando com a construção de significados dos
1
conceitos pelo aluno. Contrapondo este fato, percebe-se nas pesquisas que a
educação atual passa por um momento de reflexão acerca das possibilidades
de um ensino mais significativo. Esta reflexão, justamente, está presente nos
documentos oficiais que regem a educação.
Um desses documentos são os Parâmetros Curriculares Nacionais do
Ensino Médio – PCNEM (BRASIL, 2002), que prescrevem no ensino a
prevalência da perspectiva interdisciplinar e a contextualização dos
conhecimentos, visto que a integração dos diferentes conhecimentos pode criar
as condições necessárias para uma “aprendizagem motivadora”. Esta
orientação também está presente nos Parâmetros Curriculares Nacionais “+” -
PCN+ (BRASIL, 2002), direcionada ao ensino de Matemática:
[…] Aprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e relacionada a outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de competências e habilidades que são essencialmente formadoras, à medida que instrumentalizam e estruturam o pensamento do aluno, capacitando-o para compreender e interpretar situações, para se apropriar de linguagens específicas, argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar decisões, generalizar e para muitas outras ações necessárias à sua formação (BRASIL, 2002, p. 92).
Ao confrontar a situação apontada pelo IDESP e essas sugestões dos
parâmetros com minha experiência profissional, vieram à tona alguns
questionamentos sobre os conteúdos de Matemática do Ensino Médio e a
forma de abordagem dos mesmos. Por exemplo, sempre abordei o conteúdo
de Matrizes segundo o modelo de ensino orientado pelo uso de técnicas de
algoritmos e o apresentava de forma estanque e sem conexão com outros
conteúdos matemáticos ou de outras disciplinas, tendo por referência o apoio
no livro didático que tinha à disposição. Considerava esse conteúdo fácil de
ensinar e motivador do interesse dos alunos. Quando questionado pelos alunos
do “para que serve?”, respondia que aquele conteúdo poderia ajudá-los
futuramente numa graduação na área de Ciências Exatas, já que o havia
estudado na disciplina de Álgebra Linear durante as graduações de Matemática
e Ciência da Computação. Na realidade, essa resposta não convencia nem
mesmo a mim, pois estava claro que alguns métodos de resolução de sistemas
lineares utilizavam a representação matricial, mas, no entanto, haviam outros
questionando a inserção desse conteúdo no currículo de Matemática do Ensino
Médio.
A respeito desse ensino de forma estanque e sem conexão com outras
áreas do conhecimento, MATOS e SERRAZINA (1996) argumentam que:
[...] A Matemática tem de deixar de ser um domínio isolado das outras áreas de conhecimento, ancorada na lógica. A Educação Matemática em especial não se destina a formar matemáticos, mas sim pessoas que possuam uma cultura matemática que lhes permita aplicar a Matemática, nas suas atividades e na sua vida diária (MATOS e SERRAZINA, 1996, p.23)
Ao ingressar no curso de Mestrado Profissional em Educação
Matemática da PUC/SP, beneficiado pelo programa de bolsa de estudo para os
professores da rede da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo, tive
condições de poder refletir sobre minha prática ao me aprofundar nos estudos
sobre Educação Matemática. Durante o curso, tive a oportunidade de
apresentar um seminário na disciplina de Geometria com o tema: A Geometria
na Computação Gráfica. A escolha pelo tema proposto ocorreu por uma
curiosidade em relação à articulação entre diferentes conteúdos dos cursos da
minha formação. Ao pesquisar livros de Computação Gráfica utilizados no
Ensino Superior, qual não foi a minha surpresa ao constatar a grande utilização
de matrizes na transformação de imagens no computador. Após a
apresentação deste seminário, senti-me incentivado a continuar a pesquisa
sobre as matrizes com o objetivo não somente de responder a questão dos
alunos acerca do conteúdo, mas aprimorar-me profissionalmente.
Integrei-me ao Grupo de Pesquisa em Educação Algébrica – GPEA –
onde me interessei principalmente pelo subprojeto “Em busca de situações
propicias para aprendizagem de conceitos básicos de Álgebra Linear”. Dentre
as leituras sugeridas pelos membros do projeto, pude constatar que a pesquisa
de SANCHES (2002) traz informações que corroboravam minhas impressões
iniciais sobre o ensino de matrizes, pois essa autora analisou alguns livros
didáticos do Ensino Médio focando o tema de meu interesse. De acordo com
[...] os conceitos são apresentados formalizados, a organização do conteúdo é fechada e em sua forma final, os exemplos utilizados são puramente algébricos sem aplicações práticas, seguidos de exercícios de fixação do tipo fechado (SANCHES, 2002, p.102).
Em contraposição a essas conclusões, a autora cita resultados de
pesquisas de Glidden2 (1990) e de Alexander3 (1985) que comprovam uma
melhoria na aprendizagem dos alunos sobre matrizes, quando o assunto é
utilizado como ferramenta na resolução de problemas contextualizados.
Em 2008, na época em que definia meu projeto de pesquisa para o
Trabalho de Conclusão do Mestrado Profissional, a Secretaria de Educação do
Estado de São Paulo4 iniciou a implantação de uma nova Proposta Curricular
(São Paulo, 2008a). O objetivo declarado dessa proposta é de melhorar a
qualidade de ensino e propor uma base comum para toda a sua rede. Para
atingir este objetivo, foi elaborado um material dirigido especialmente aos
professores, organizado em publicações bimestrais, para ser utilizado durante
o ano letivo: os Cadernos do Professor. Neste material, os temas escolhidos
para compor o conteúdo disciplinar de cada bimestre seguiram orientações
contidas na nova proposta e, segundo a Secretaria da Educação, não diferem,
de maneira geral, do que é apresentado nos diversos sistemas de ensino. A
inovação pretendida refere-se à abordagem dos temas que é sugerido nos
Cadernos de cada um dos bimestres, destacando, entre outros elementos, a
contextualização dos conteúdos e a articulação dos mesmos.
O estudo de Matrizes é abordado nos Cadernos do professor, de 2008 e
2009, no segundo bimestre do segundo ano do Ensino Médio, junto com noção
de determinante de uma matriz quadrada e da resolução e discussão de
sistemas lineares.
Ora, com esse material, não só pela relevância da publicação, mas
também como um componente disponível para o exercício de meu trabalho
profissional como professor da rede estadual paulista, surgiu uma oportunidade
de observar de que maneira o tema de matrizes se engajava na disposição de
ensino contextualizado e articulado para o qual acenava a Proposta Curricular
2
GLIDDEN, P.L. (1990). From graphics to matrices. Mathematics Teacher. Vol 83, nº 2, p. 127-130 3
ALEXANDER, D. C. (1985). A matrix application technique for secondary level mathematics. Mathematics Teacher. Vol 78, nº 4, p. 282-285
4
e, por consequência, como absorvia as inovações de pesquisas em Educação
Matemática com as quais eu vinha tendo contato. Assim, considerando minhas
indagações iniciais acerca do ensino de matrizes, o material elaborado para a
implantação da nova Proposta Curricular de 2008 do Estado de São Paulo e a
análise de documentos institucionais e pesquisas que abordam o ensino e a
aprendizagem de Matemática em geral e de matrizes em particular, levantei a
seguinte questão:
• Como os Cadernos do Professor de 2008 e 2009 do projeto São Paulo
faz escola abordam Matrizes?
Essa questão se desdobra em outras mais específicas:
• Os Cadernos do Professor de Matemática de 2008 do Ensino Médio abordam matrizes seguindo as recomendações dos documentos oficiais
atuais sobre o ensino de Matemática?
• A abordagem do conteúdo de Matrizes no Caderno do Professor de Matemática de 2008 segue a dos livros didáticos sugeridos pelo PNLEM
de 2006?
• Houve mudanças na abordagem do conteúdo de Matrizes dos Cadernos do Professor de Matemática de 2008 e nos de 2009?
Assim, a partir desses questionamentos, o trabalho de investigação que
ora se apresenta busca provocar reflexões sobre ensino de Matemática em
geral e especificamente sobre o ensino de matrizes no Ensino Médio e que
estas venham a servir de incentivo para outras pesquisas, contribuindo para
Capítulo
II
Escolhas teórico-metodológicas
Neste capítulo apresento a metodologia, as idéias teóricas sobre
abordagem e os procedimentos metodológicos adotados em meus estudos.
Para responder as questões de pesquisa, realizei uma pesquisa
qualitativa do tipo documental baseado na Análise de Conteúdo, conforme
descrito por Bardin (2009). A autora designa sob o termo análise de conteúdo
Um conjunto de técnicas de análise das comunicações visando obter por procedimentos sistemáticos e objectivos de descrição do conteúdo das mensagens indicadores (quantitativos ou não) que permitam a inferência de conhecimentos relativos às condições de produção/recepção (variáveis inferidas) destas mensagens (BARDIN, 2009, p.44).
Segundo a autora, as inferências citadas podem responder a dois tipos
de problemas: a) o que é que conduziu a um determinado enunciado? e b)
quais conseqüências um determinado enunciado provavelmente provocará?
Bardin considera que as pesquisas da análise de conteúdo se organizam em
torno de três fases:
• A pré-análise – que tem por objetivo a organização, a qual corresponde ao período da escolha dos documentos, a
formulação de hipóteses e objetivos e a elaboração de
indicadores que fundamentem a interpretação final. Diz respeito,
especialmente, ao conjunto de documentos selecionados para
serem analisados, o que denominamos de corpus.
• A exploração do material – fase em que ocorre um estudo aprofundado sobre o corpus, sendo orientado pelos indicadores e
hipóteses estabelecidos na pré-análise.
significativos e válidos. Nesta fase o pesquisador pode propor
inferências e adiantar interpretações de acordo com os objetivos
previstos ou que digam respeito a outras descobertas. Os
resultados obtidos, a confrontação sistemática e as inferências
alcançadas podem servir de base para uma nova análise, que se
utilize de uma nova dimensão teórica ou praticada por meio de
uma técnica diferente.
É importante notar que essas fases não são estanques; são articuladas
e, muitas vezes, há necessidade de se retornar a organização preliminar para
incluir um documento, que se fez necessário para melhor compreensão do
assunto.
Passo a seguir a discriminar o que encontrei ao investigar o que existe
na literatura de Educação Matemática sobre o ensino e a aprendizagem de
Matrizes, pois, segundo Umberto Eco, em seu livro “Como se faz uma tese”, o
estudo deve dizer do objeto algo que ainda não foi dito ou rever sob uma óptica
diferente o que já se disse (ECO, 1996 p.22). Nesse sentido, o resultado das
incursões à literatura especializada foi sistematizado na exposição a seguir.
Um sobrevoo sobre pesquisa de Educação Matemática que trataram das matrizes como objeto de ensino
A procura de pesquisas sobre o ensino e a aprendizagem de matrizes
em sites de Universidades, em revistas científicas, e livros de Educação
Matemática revelou uma escassa produção acerca desse tema. Esse fato pode
ser consequência de vários fatores, dentre eles, o de que os professores de
Matemática não enfrentam dificuldade em lecionar o conteúdo, como era meu
caso, mesmo o fato de que, embora as matrizes façam parte do currículo de
Matemática do Ensino Médio, elas não são consideradas um assunto prioritário
nesse nível de ensino. Desse modo, como resultado dessas fase de
investigação, detalho a seguir três trabalhos que, de alguma forma,
Sanches (2002) e a tese de Karrer (2006) e o artigo de Carvalho (2009) na
Revista do Professor de Matemática nº 70.
Em sua dissertação, Sanches realizou uma pesquisa empírica com o
objetivo de verificar a eficácia de um método sugerido nas pesquisas de
Glidden(1990) e de Alexander(1985), o qual introduz matrizes por meio de
situações contextualizadas, via resolução de problemas. Interessante notar que
a própria autora, na apresentação, admite que encontrou poucos trabalhos
sobre o ensino e aprendizagem de matrizes, o que foi corroborado por minha
busca conforme já apresentado anteriormente.
A autora apresenta a analise de dois grupos de estudantes, um
experimental e outro de controle, num total de 105 alunos de quatro cursos
técnicos profissionalizantes, com idades variando entre 15 a 18 anos,
matriculados na segunda série do Ensino Médio de uma escola particular do
ABC Paulista. O pré-teste consta de dois instrumentos, um teste formal e outro
não-formal, aplicados simultaneamente durante aulas de Matemática antes da
introdução do estudo de Matrizes. O teste não-formal consta de quadrados
mágicos e de outros problemas que utilizam conhecimento prévio do aluno. O
teste formal consta de problemas contextualizados que envolvem outros
conteúdos, como geometria, análise combinatória e vetores e que cuja
resolução é facilitada pela utilização de matrizes.
Ao grupo controle o conteúdo de Matrizes foi apresentado na forma
tradicional, isto é, definição, o desenvolvimento de fórmulas e exercícios de
fixação. Já os alunos do grupo experimental foram submetidos a uma
intervenção com dinâmicas de grupo, utilização de situações-problemas
elaboradas a partir de conhecimentos anteriores dos alunos e realização de
atividades interdisciplinares. No pós-teste os instrumentos foram novamente
aplicados aos dois grupos. Sanches concluiu que, após a utilização de
estratégias diferenciadas de ensino, os sujeitos do grupo experimental
apresentaram resultados melhores do que os do grupo controle.
De fato, o resultado dessa pesquisa sugere a pertinência de se tentar uma
abordagem diferenciada, via resolução de problemas, por exemplo, para propiciar
Karrer (2006) teve como objetivo de sua pesquisa o estudo de questões
relativas ao ensino e à aprendizagem de conceitos da Álgebra Linear no Ensino
Superior. Embora a autora não tenha estabelecido como assunto de
investigação o ensino de matrizes, como as mesmas são obrigatoriamente
estudadas em Álgebra Linear, julguei pertinente o estudo de sua tese.
Em seus estudos preliminares, Karrer analisou livros didáticos de
Álgebra Linear, e verificou que os livros mais recentes tratavam de aplicações
da Álgebra Linear em outras áreas, principalmente de aplicações gráficas, o
que naturalmente despertou meu interesse, pois conforme descrevi
anteriormente, as matrizes aparecem muito nessas aplicações.
Inspirado nas constatações da autora sobre os livros didáticos
analisados, empreendi uma investigação em dois dos livros analisados em sua
pesquisa: Esses livros foram: Álgebra Linear e suas Aplicações, de Lay (1997)
e Álgebra Linear com Aplicações, de Anton e Rorres (2001). O estudo desses
livros me levou a perceber que as aplicações envolvendo matrizes são
abrangentes e que algumas destas podem, quando devidamente adaptadas ao
Ensino Médio, ser utilizadas no ensino de matrizes, proporcionando um ensino
de forma integrada e articulada.
Carvalho (2009), em seu artigo “Uma representação matricial para o
algoritmo de Euclides”, dá um exemplo de contextualização da representação
matricial intramatemática, e argumenta que o emprego de matrizes em problemas
interessantes deveria ser encorajado no Ensino Médio, evitando apresentar as
definições e noções do cálculo matricial sem empregá-los em problemas
significativos. Assim, a leitura de Carvalho reafirmou a possibilidade de tratar o
ensino de matrizes de uma forma mais motivadora e significativa para o aluno.
O estudo das pesquisas tanto de Carvalho (2009), como de Sanches
(2002) me convenceram da importância da forma de abordagem no ensino de
matrizes para a obtenção de uma aprendizagem significativa5. Assim, esse
ponto de vista estará dirigindo minhas análises dos Cadernos do Professor.
5
Por sua vez, a leitura da tese de Karrer (2006), especialmente da análise
dos livros didáticos de Álgebra Linear, me sugeriu a verificação de como os livros
didáticos de Matemática do Ensino Médio tratavam de aplicações de matrizes. De
alguma forma, pareceu-me que tal investigação contribuiria sensivelmente para a
análise dos Cadernos do Professor, permitindo uma comparação da apresentação
do conteúdo de Matrizes nos Cadernos e nos livros didáticos.
Procedimentos metodológicos
Nesta seção, aponto os procedimentos metodológicos utilizados para
responder as questões de minha pesquisa.
Na fase da pré-análise, fiz um levantamento e seleção de documentos oficiais atuais para me inteirar sobre propostas e tendências regentes no
Ensino Médio. Além desse material oficial, selecionei alguns livros didáticos de
matemática do Ensino Médio e bem como os Cadernos do Professor
distribuídos na rede estadual de São Paulo durante todo o ano de 2008 e 2009.
Assim o corpus desta análise documental se constitui dos Parâmetros
Curriculares Nacionais do Ensino Médio – PCNEM (BRASIL, 1999); dos PCN+
(BRASIL, 2002), das Orientações Curriculares para o Ensino Médio – OCEM
(BRASIL, 2006), da Proposta Curricular do Estado de São Paulo – Matemática
(SÃO PAULO, 2008a) e dos Cadernos do Professor de Matemática do Ensino
Médio distribuídos no ano de 2008 e 2009, além de dois livros didáticos do
Ensino Médio.
Ao mesmo tempo a participação no GPEA me proporcionou a
oportunidade de coletar outras informações relevantes ao tema de pesquisa,
contribuindo para a formulação de hipóteses e delimitar os objetivos do trabalho,
além de propiciar a maturação da pesquisa e da trajetória de investigação.
No capítulo seguinte, passei para a fase de exploração do material, onde realizei uma leitura criteriosa de todo o corpus, orientado por minhas
Capítulo III
Análise do
corpus
A análise do corpus foi dividida em dois capítulos. Neste capítulo,
exponho a análise dos documentos oficiais selecionados, bem como a análise
de livros didáticos do Ensino Médio. No 4° capítulo, apresento a análise dos
Cadernos do Professor de Matemática de 2008 e 2009, a fim de dedicar
especial atenção ao vínculo dessa análise com minhas questões de pesquisa.
Análise dos documentos oficiais
Inicialmente, na análise desses documentos, decidi situar a organização
do Ensino Médio atual no Brasil, o que, em decorrência, leva a procura de
referenciais sobre a perspectiva do ensino da Matemática no que se refere à
abordagem de ensino e seleção dos conteúdos. Dado o objeto de pesquisa,
esse material selecionado foi investigado no sentido de buscar evidências do
ensino de Matrizes nesses documentos.
Assim, analisei os seguintes documentos oficiais: os “Parâmetros
Curriculares Nacionais do Ensino Médio” – PCNEM (BRASIL, 1999), “PCN+”
(BRASIL, 2002), “Orientações Curriculares para o Ensino Médio” (BRASIL,
2006) e a “Proposta Curricular do Estado de São Paulo – Matemática – Ensino
Fundamental e Médio” – PCESP (SÃO PAULO, 2008a). Cumpre ressaltar que,
embora seja citada, a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (Lei
9.394/96), doravante denominada LDB, não pertence ao corpus desta
pesquisa, e portanto, não mereceu uma análise em profundidade.
De acordo com os PCN+, a LDB, propiciou uma reformulação do
currículo do Ensino Médio, conferindo-lhe uma nova identidade. Na perspectiva
da nova Lei, o Ensino Médio, como parte da educação escolar, deverá
vincular-se ao mundo do trabalho e à prática social. A finalidade do Ensino Médio é
Art. 35. “O ensino médio, etapa final da educação básica, com duração mínima de três anos, terá como finalidades:
I - a consolidação e o aprofundamento dos conhecimentos adquiridos no ensino fundamental, possibilitando o prosseguimento de estudos; II - a preparação básica para o trabalho e a cidadania do educando, para continuar aprendendo, de modo a ser capaz de se adaptar com flexibilidade a novas condições de ocupação ou aperfeiçoamento posteriores;
III - o aprimoramento do educando como pessoa humana, incluindo a formação ética e o desenvolvimento da autonomia intelectual e do pensamento crítico;
IV - a compreensão dos fundamentos científico-tecnológicos dos processos produtivos, relacionando a teoria com a prática no ensino de cada disciplina.” (BRASIL, 2002, p. 33).
Segundo os PCNEM (1999), a concepção da preparação para o trabalho
descrita na LDB (Art. 35) destacará a relação da teoria com a prática e a
compreensão dos processos produtivos enquanto aplicações das ciências, em
todos os conteúdos curriculares, não estando vinculada a nenhum componente
curricular em particular. Tal relação, por conseguinte, é reafirmada na PCESP
(2008), citando novamente a LDB, que determina que essa relação se dê em
cada disciplina do currículo, uma vez que boa parte dos problemas de
qualidade do ensino decorre da dificuldade dos alunos em destacar a dimensão
prática do conhecimento, tornando-o verbalista e abstrato. Enfim, a relação
teoria e prática é mencionada em todos os documentos analisados.
Os PCNEM apontam como um dos pressupostos da organização
curricular do Ensino Médio a
[...] abertura e sensibilidade para identificar as relações que existem entre os conteúdos do ensino e das situações de aprendizagem e os muitos contextos de vida social e pessoal, de modo a estabelecer uma relação ativa entre o aluno e o objeto do conhecimento e a desenvolver a capacidade de relacionar o aprendido com o observado, a teoria com suas conseqüências e aplicações práticas (BRASIL, 1999, p.74).
Ainda no aspecto curricular, os PCNEM citam que o Art. 26 da LDB
determina a obrigatoriedade do estudo de Matemática e outros conhecimentos,
apontando, porém, para um planejamento ou desenvolvimento curricular de
forma a superar a organização por disciplinas estanques e destacar a
De acordo com os PCN+ (2002), no Ensino Médio, a Matemática deve
ser compreendida como uma parcela do conhecimento humano essencial para
a formação de todos os jovens, que contribui para a construção de uma visão
de mundo, para ler e interpretar a realidade e para desenvolver capacidades
que deles serão exigidas ao longo da vida social e profissional (BRASIL, 2002,
p. 92). O seu ensino, no entanto, não deve ter um enfoque meramente
disciplinar, segmentado, compartimentizado. Segundo os PCNEM (1999), a
atual proposta de reforma curricular estabelece que no ensino prevaleça a
perspectiva interdisciplinar e a contextualização dos conhecimentos,
contribuindo para que, gradativamente se supere o tratamento estanque que
caracteriza o conhecimento escolar.
Os estudos realizados permitem concluir que os documentos oficiais de
âmbito nacional propõem uma articulação no ensino da Matemática no Ensino
Médio com temas atuais da ciência e tecnologia e um esforço na superação do
ensino de forma estanque e segmentado utilizando uma perspectiva
interdisciplinar. Além disso, esses documentos sugerem que os estudos nessa
área devem levar em conta que a Matemática é uma linguagem de expressão e
comunicação para diversas ciências e que permitem compreender os princípios
científicos presentes nas tecnologias e associá-las aos problemas que se
propõe solucionar aplicando aqueles princípios científicos a situações reais ou
simuladas.
Segundo os PCNEM (1999), esta visão atende às duas dimensões do
Ensino Médio determinadas pela LDB e exemplificam que ao operar um
algoritmo, o estudante precisa entender que está diante de uma sentença da
linguagem matemática que representa uma leitura e escrita da realidade ou de
uma situação desta e que esta possibilita o desenvolvimento de competências
básicas, características da dimensão de preparação para prosseguimento de
estudos. Por outro lado, aponta que o mesmo algoritmo seja um instrumento
que possibilite a solução de um problema concreto, que pode auxiliar na etapa
de planejamento, gestão ou produção de um bem, competências
características da dimensão de preparação para o trabalho (BRASIL, 1999, p.
No que tange à estruturação curricular, os documentos analisados
organizam o ensino da Matemática em diferentes temas ou blocos. Nos PCN+
(2002), os conteúdos matemáticos podem ser sistematizados em três eixos ou
temas estruturadores, sendo orientado o desenvolvimento dos mesmos de
forma concomitante e articulada nas três séries do ensino médio. Nas OCNEM
(2006), os conteúdos estão organizados em blocos, o que segundo as
orientações desse documento não significa que os conteúdos ali presentes
devam ser trabalhados de forma estanque, mas, ao contrário, deve-se também
desenvolvê-los de forma articulada constantemente (BRASIL, 2006, p.70).
Quanto aos conteúdos específicos, os PCN+ (2002) não fazem
nenhuma referência ao estudo de Matrizes. Existe uma citação implícita
quando o documento aborda o estudo de equações polinomiais e de sistemas
lineares, sugerindo estender os conhecimentos que os alunos possuem sobre a
resolução de sistemas de duas equações e duas incógnitas para sistemas
lineares 3 por 3, aplicando esse estudo à resolução de problemas simples de
outras áreas do conhecimento (BRASIL, 2002, p.122).
Ainda no estudo de sistemas lineares, as OCEM (2006) sugerem o
abandono da regra de Crammer na resolução de sistemas de equação 3x3,
alegando ser um procedimento custoso (no geral, apresentado sem
demonstração, e, portanto de pouco significado para o aluno), limitado (só
permite resolver os sistemas lineares quadrados com solução única) e também
dispensam o estudo de determinantes (BRASIL, 2006, p.78).
A PCESP (2008) justifica a inclusão do estudo das matrizes pela ampla
utilização na programação de computadores e salienta que esse conteúdo seja
realizado dentro do componente Tratamento da Informação, eixo que completa
a atualização curricular proposta (SÃO PAULO, 2008a, p. 47). Interessante
observar que apesar de todas as restrições mencionadas ao ensino de
determinantes e à regra de Crammer pelas OCEM, o estudo de Matrizes não é
citado nessa lista. Ao contrário, este é um dos poucos temas mencionados na
atual proposta estadual, ainda que de forma superficial e sendo justificada a
sua inclusão pela articulação deste conteúdo com aplicações da tecnologia.
Ao término dessa análise, descrevendo um percurso que partiu de uma
documentos propõem uma abordagem de ensino pautada: na contextualização,
na interdisciplinaridade, no ensino através de situações-problema e na relação
teoria-prática (aplicabilidade).
Análise dos livros didáticos
Apesar de Sanches (2002) ter realizado uma análise de livros didáticos
em sua pesquisa, considerei necessária uma nova análise e explicito por quais
razões: primeiro, porque os livros analisados pela autora provavelmente
encontram-se defasados em relação às orientações dos documentos oficiais
atuais, que foram publicados posteriormente à publicação dos livros
analisados. Segundo, para verificar se o conteúdo de estudo apresentado em
recentes publicações seguiu orientações desses documentos. E terceiro,
porque julguei pertinente um exame cuidadoso para fins de comparação
posterior com o material apostilado da SEE/SP, isto é, os Cadernos do
Professor.
O critério para a seleção dos livros baseou-se na relação dos livros
aprovados na avaliação do Programa Nacional do Livro para o Ensino Médio -
PNLEM/2006; isto é, a escolha partiu de uma lista consagrada oficialmente e
que precede à implementação dos Cadernos do Professor. O PNLEM é um
programa, implantado em 2004, que prevê a distribuição de livros didáticos
para os alunos do Ensino Médio de todo o país, sendo essas obras escolhidas
pelos professores nas escolas através de um catálogo impresso, enviado pelo
Ministério da Educação (MEC). De acordo com o site do MEC, a distribuição
desses livros ocorre de forma progressiva aos alunos do Ensino Médio de todo
o Brasil, e o intervalo para uma nova escolha é de três anos. Em 2006, ocorreu
a primeira participação do estado de São Paulo na distribuição dos livros
aprovados pelo PNLEM, sendo que as coleções escolhidas permaneceram a
mesma até 2008, havendo, nesse período, somente reposição dos livros
escolhidos.
No ano de 2006 foram propostas 11 coleções de livros didáticos de
Matemática, das quais duas foram selecionadas por cada escola da rede
Para efeito de análise, selecionei os dois livros escolhidos pela escola
estadual em que lecionava em 2006. São eles:
• SMOLE, K. S.; DINIZ, M. I. Matemática - Ensino Médio. 4. ed. ref. São Paulo: Editora Saraiva, 2003. v. 2, 476 p.
• IEZZI, G. et al. Matemática - Ciência e Aplicações, 2ª série. 2. ed. São Paulo: Atual Editora, 2004. 544 p.
O objetivo desta análise é levantar dados referentes à abordagem do
conteúdo de Matrizes para subsidiar a análise dos Cadernos do Professor de
Matemática de 2008 e 2009. Para tanto, apresento a descrição e análise
desses livros didáticos considerando: a) apresentação e descrição da coleção e, em especial, do segundo volume no qual aborda-se o conteúdo de Matrizes;
b) a abordagem específica de Matrizes.
Análise do livro Matemática – Ensino Médio, de Smole e Diniz (2003)
A primeira coleção analisada foi a de Smole e Diniz (2003). Trata-se de uma coleção composta por três volumes, cada um relativo a uma série do
Ensino Médio.
Segundo os dados da publicação, esta é sua quarta reformulação (2004)
e na apresentação é relatado que o objetivo da obra é complementar os
conhecimentos sobre números, operações, álgebra e geometria, focando em
dois aspectos da Matemática: como linguagem das ciências a serviço de outras
áreas e como ciência, com a sua forma de organizar os conceitos e as
técnicas.
O 2º volume tem 476 páginas e é composto de quatro Partes6. Parte 1:
Estatística, Contagem e Probabilidade; Parte 2: Álgebra; Parte 3: Geometria
espacial ; Parte 4: Trigonometria. Cada uma dessas partes é composta por
unidades. Cada unidade é subdividida em itens os quais por sua vez possuem
diversos tópicos.
Os tópicos em geral são desenvolvidos, em sua maioria, com a
explanação e definição dos conceitos, exemplos e exercícios resolvidos e os
6
exercícios, denominados na obra como Problemas e exercícios. Cada unidade
é composta, ainda, pelas seções: “O Elo matemático”, que aborda a relação
teoria e prática, “Flash matemático”, apresentando tópicos da história da
Matemática relativo ao conteúdo estudado ou informações complementares,
como a articulação com outros conteúdos e “Invente você”, que sugere ao
aluno a elaboração de problemas de acordo com uma situação apresentada na
forma numérica, algébrica, geométrica, figural e outras.
O Quadro 1 mostra o índice da parte 2 referente a Álgebra, que possui 3
unidades: a Unidade 4 – Sistemas Lineares -; a Unidade 5 - Matrizes - e a
Unidade 6 - Determinantes. Os itens 7, da Unidade 5, e itens 5 e 6, da Unidade
6, aparecem com uma flecha vermelha ao lado, indicando que são optativos.
Quadro 1 – Índice da parte 2 - Álgebra7 (Smole e Diniz, 2003)
7
Observa-se, por esse índice, que a Unidade 4 começa com uma revisão
de assuntos já tratados no Ensino Fundamental, tais como as equações
lineares. Embora desenvolva a noção de sistemas lineares 2x2 e 3x3, deixa a
discussão da solução dos sistemas para a Unidade 6 - Determinantes.
Passo agora a descrever e analisar a abordagem específica que essa
obra dedica ao tema Matrizes.
O conteúdo de Matrizes é iniciado com considerações sobre 3 situações
que podem ser organizadas em tabelas numéricas; neste caso, na última, a
tabela é apresentada no Programa Excel. Em seguida, é apresentado o
seguinte Quadro:
Quadro 2 – definição de matriz (Smole e Diniz, 2003, p. 143)
De fato, com esse percurso, as autoras demonstram uma preocupação
em contextualizar, via situações do cotidiano, antes de apresentar a definição
de Matriz. É interessante observar que a definição traz nota explicando como
se lê m x n.
Após a definição, seguem-se exemplos, com diferentes formas de
representar matrizes do tipo 3x5 e 2x4, colocando os dados da tabela entre
parênteses ou colchetes. Só então, a obra apresenta uma matriz genérica com
uma notação abreviada a ser adotada, conforme mostra o Quadro 3:
Quadro 3 – matriz genérica (Smole e Diniz, 2003, p. 144)
Na sequência, as autoras destacam algumas matrizes com
características especiais. Na primeira delas, matriz quadrada, ressalta suas
diferentes denominações - matriz quadrada de ordem n, matriz quadrada n x n,
ou simplesmente, matriz n x n. Também aborda a definição dos elementos que
constituem as diagonais principal e secundária, sendo estes representados
matriz transposta) são apresentados de forma sintética: explanação e
exemplos. O item “igualdade e desigualdade de matrizes” é apresentado de
forma semelhante, seguido de dois exercícios resolvidos, sendo que no
primeiro é abordada a igualdade matricial e no segundo, a obtenção de uma
matriz transposta a partir de uma fórmula matemática. Os dois exercícios
trabalham com a manipulação dos elementos que constituem as matrizes.
Apesar do uso do termo “desigualdade”, a obra não faz nenhuma referência ao
mesmo, quer explicando quer utilizando exemplos.
Nas páginas 147 e 149, temos duas seções denominadas: “O Elo
Matemática” e “Flash Matemático”, que abordam aplicações de matrizes.
A primeira seção refere-se às conexões de voos entre quatro cidades
representadas em uma figura, conforme se observa no Quadro 4. Através de regras
estabelecidas, essas conexões são associadas a uma matriz, estabelecendo se há
ou não voos entre as cidades. De acordo com o texto, a figura pode parecer mais
simples que a matriz, mas numa situação de se representar conexões de 200 ou
mais cidades, as matrizes possibilitariam consultas mais fáceis, sobretudo se elas
Quadro 4 – seção “O Elo Matemática” (Smole e Diniz, 2003, p. 147)
Na outra seção, há mais um exemplo de matrizes como modelo
descrevendo uma situação real. Trata-se de um modelo que representa três
conjuntos de semáforos de um cruzamento, em que as matrizes indicam o
tempo, em minutos em que os semáforos se mantêm simultaneamente abertos,
segundo uma seqüência dada. Interessante notar que as matrizes
representantes da situação são obtidas de um estudo das vias desse
cruzamento, ainda que este seja implícito, sendo mencionado que numa
situação de engarrafamento, o problema pode ser solucionado alterando
valores nessas matrizes. Para isto, são efetuados cálculos com essas matrizes
– multiplicação de um número real por uma matriz – ainda que este item não
Quadro 5 – seção “Flash Matemático” (Smole e Diniz, 2003, p. 149-150)
A partir dessas análises, é possível dizer que as duas seções descritas
apesar da apresentação já finalizada, evidencia uma preocupação das autoras
pelas sugestões de abordagens de ensino presentes nos documentos oficiais.
No tópico “Problemas e Exercícios” (p.148), são apresentadas nove
questões, sendo sete referentes aos assuntos estudados até então. Dois dos
exercícios (Exercícios 8 e 9) tratam de matriz simétrica, sendo que a
explanação ocorre na própria questão (exercício 8). O item apresenta um
exercício contextualizado (exercício 6) e três em que as matrizes são obtidas
por figuras e regras estabelecidas (Exercícios 3, 4 e 5).
Quadro 6 – Problemas e exercícios (Smole e Diniz, 2003, p. 148)
O tópico “Invente você” (p. 149), por sua vez, apresenta três questões
interessantes, posto que exigem do aluno a observação e criatividade,
condição de expectador passivo na aprendizagem, favorecendo a construção
de significados pelos alunos e possibilitando a identificação das relações
existentes entre os conteúdos do ensino e os muitos contextos de vida social e
pessoal (BRASIL, 1999, p.74).
Quadro 7 – seção “Invente você” (Smole e Diniz, 2003, p. 147)
A análise cuidadosa desse material revelou que, ao abordar as
operações definidas no conjunto de matrizes, as autoras inicialmente propõem
situações contextualizadas para somente depois sistematizá-las. No entanto,
no que se refere às noções, o mesmo percurso não é desenvolvido.
Por exemplo, o item “adição de matrizes” é iniciado pela proposta de
uma situação prática de produção de automóveis, sendo possível a sua
resolução pelos próprios alunos, ainda que não tenham “conhecimentos
formais” do tópico para, na sequência, ser apresentada a definição de adição
de matrizes. Após esta sistematização, as definições de outras noções
relacionadas como matriz nula, matriz oposta, propriedades da adição e
subtração de matrizes são apresentados de forma sintética: explanação e
exemplos.
O capítulo prossegue, de todo modo, apresentando dois “Exercícios
sequência, propõem três exercícios (seção “Problemas e Exercícios”, p.154),
exigindo do aluno somente uma reprodução dos exemplos.
A abordagem contextualizada seguida das definições e exemplos ocorre
também com a “multiplicação de matrizes”, apresentando uma situação que
pode ser resolvida de forma intuitiva pelos alunos, sem conhecimentos formais
de definições e procedimentos. Na apresentação de “Exercícios Resolvidos”
(p.157), aparece um problema contextualizado envolvendo a produção de
componentes de uma indústria e dois com uma abordagem pelo uso da
técnica.
Em “Problemas e Exercícios”, a obra apresenta cinco exercícios
(numerados de 13 a 18), sendo dois contextualizados. Nesses dois exercícios,
é interessante notar que as questões propostas envolvem cálculos com os
dados fornecidos diretamente nas tabelas e em projeções futuras, quando o
aluno deve primeiro obter uma matriz que corresponda a essa situação futura
para, só então, responder a questão através de cálculos matriciais.
No tópico “Invente você” solicita-se ao aluno que elabore um problema
com base em tabelas dadas, conforme mostra o Quadro 8.
Quadro 8 – seção “Invente você” (Smole e Diniz, 2003, p. 160)
A partir do tópico “Matriz identidade ou matriz unidade”, a obra não
apresenta mais situações contextualizadas, vindo na sequência o item 7 -
“propriedades das operações com matrizes” - (a ser desenvolvido em caráter
inversível. Os exercícios (numerados de 19 a 27) seguem reproduzindo os
exemplos e exercícios resolvidos.
Na seção “Flash matemático”, o livro em análise apresenta um quadro
biográfico “tradicional” de Carl Friedrich Gauss, parecido ao de vários livros
didáticos antigos. De acordo com as OCEM (2006), a utilização da história da
Matemática em sala de aula pode ser vista como um elemento importante no
processo de atribuição de significados aos conceitos matemáticos, no entanto
elas alertam que esse recurso não deve ficar limitado à apresentação de
biografias. Nesse caso, a única razão para a inclusão dessa biografia no livro
aparenta ser o fato de que as autoras tratam do método de Gauss no item
seguinte. De fato, não é possível perceber qualquer outro efeito da biografia
sobre o aluno-leitor como o de motivá-lo, ou de apresentar o processo histórico
de construção de conhecimentos matemáticos.
No item 8 - Matrizes e resolução de sistemas - último dessa unidade, a
resolução de sistemas lineares é proposta pelo método de eliminação de
Gauss, também conhecido por escalonamento. Para esse tópico, a obra dedica
um número considerável de páginas na explanação detalhada e
exemplificação. Talvez isso se dê em função da complexidade do assunto e
pelo longo procedimento do método. A discussão e a determinação do conjunto
solução de sistemas lineares também são abordadas nesse item.
A unidade é encerrada com uma situação contextualizada orientada ao
Quadro 9 – exercício com uso de calculadora (Smole e Diniz, 2003, p. 169-170)
O fato de se deixar essa atividade para o final da unidade, como se
fosse um adendo, pode parecer ao professor ou ao aluno que ela tem menor
importância. Considero inadequada a localização dessa atividade como última
da unidade, visto que o trabalho com calculadora constitui um eficiente
instrumento de ensino, contemplado nos atuais documentos oficiais.
A Unidade seis, contrariando a sugestão das OCEM (2006), desenvolve
o estudo de determinantes.
Essa unidade - Estudo de determinantes - tem a representação matricial
como base em seus tópicos. O conteúdo é quase todo apresentado de uma
forma tradicional (teoria, exemplo, exercício), repleta de regras, apresentando
somente três dos exercícios (enumerados de 13 a 15, p.179), com situações de
aprendizagem contextualizadas.
Nessa unidade, a resolução de sistemas lineares do tipo n x n volta a ser
discutida (antes fora discutida na Unidade quatro). Mas, agora, com o uso de
determinantes e, por consequência, usando a representação matricial. Sua
utilização, no entanto, é restrita àqueles sistemas em que o número de
equações é o mesmo que o número de incógnitas. Cumpre ressaltar que, dada
esta restrição, as OCEM (2006) sugerem o abandono da regra de Crammer na
custoso, limitado (só permitindo resolver os sistemas quadrados com solução
única) e de pouco significado para o aluno.
Os tópicos abordados nesta unidade são: o cálculo de determinante de
ordem 2x2 e 3x3 pela regra de Sarrus, a resolução de sistemas pela regra de
Cramer e análise de sistemas por determinantes. Também inclui o estudo dos
sistemas lineares homogêneos, determinante de matriz quadrada de ordem n
utilizando o teorema de Laplace e inversão de matrizes.
No final do livro há uma seção de testes de vestibulares com oito
questões sobre o conteúdo, sendo quatro abordando resoluções teóricas e
quatro práticas contextualizadas. Trata-se dos testes 38 a 45 (p. 423-425).
Ao final dessa análise, é possível dizer que as autoras Smole e Diniz
tiveram a preocupação de focar a Matemática como ciência e como linguagem
a serviço de outras áreas. Considero que esses dois aspectos, de forma geral,
foram utilizados em equilíbrio no desenvolvimento da obra.
A abordagem dada pelas autoras utiliza um número considerável de
exemplos e exercícios interessantes do ponto de vista da contextualização na
Unidade 5 (Matrizes).
No entanto, na Unidade 6 (Determinantes), que utiliza matrizes como
ferramenta para o desenvolvimento de determinantes, o conteúdo, em sua
maior parte, é apresentado numa linguagem formal-matemática com exercícios
de reprodução de método dos exercícios resolvidos, o que não atende as
orientações dos documentos oficiais. Desse modo é possível concluir que a
Unidade 6 é apresentada de uma forma a não facilitar que o leitor dê
significado aos conhecimentos ali tratados, contrariando as recomendações
das OCEM (2006).
É preciso, contudo, ponderar o fato de que o professor não é obrigado a
percorrer todas as unidades com seus alunos e, se esse professor refletir nas
sugestões das OCEM e concordar com elas, poderá “pular” essa unidade sem
prejuízo ao aprendizado do aluno.
De forma geral, a obra apresenta o conteúdo de Matrizes
adequadamente na Unidade 5, utilizando em grande parte dos itens de estudo
exemplo, situações do cotidiano vinculadas à Matemática e outras articuladas
com outros conhecimentos. A abordagem interdisciplinar aparece na utilização
de tabelas de dupla entrada, utilizadas em Estatística e a relação teoria-prática
também é abordada (seção “O Elo Matemática”).
Há de se destacar, também, as atividades com o uso da calculadora,
bem como a elaboração/criação de exercícios, que estimulam a criatividade e
autonomia dos alunos, favorecendo a compreensão dos conteúdos. Isso vem
de encontro às orientações dos PCN+ (2002) que preconizam
[...] O aspecto desafiador das atividades deve estar presente todo o tempo, permitindo o engajamento e a continuidade desses alunos no processo de aprender (PCN+, 2002, p. 129).
Análise do livro Matemática – Ciência e Aplicações, de Iezzi et al. (2004)
A segunda coleção analisada foi “Matemática – Ciências e aplicações” de Iezzi, G.; Dolce, O.; Degenszajn,D.; Périgo, R.; Almeida, N. (2004).
Trata-se de uma coleção composta de três volumes, cada um relativo a
uma serie do Ensino Médio e que, pelo que se afirma na apresentação, não
sofreu nenhuma reformulação desde a sua primeira impressão. Segundo o
manual do professor que acompanha o livro, os objetivos gerais dessa obra
são: contribuir para a integração do aluno na sociedade em que vive,
desenvolver no aluno competências e habilidades que lhe possibilitem competir
no mercado de trabalho, possibilitar o reconhecimento das inter-relações entre
os vários campos da Matemática e desta com outras áreas do conhecimento e
proporcionar conhecimentos básicos que lhe permitam a continuidade dos
estudos.
Segundo os autores, a obra apresenta muitos exemplos de aplicação
matemática às outras ciências e à realidade dos alunos, inclusive
relacionando-os com relacionando-os temas transversais. Afirmam, além disso, ter-se optado por uma
introdução intuitiva dos assuntos estudados, utilizando uma linguagem mais
coloquial e na formalização dos conceitos, uma linguagem precisa, rigorosa.
O conteúdo de Matrizes é abordado no segundo volume, composto de
geometria do espaço, determinantes e sistemas lineares, análise combinatória,
binômio e probabilidades. Esse volume é dividido em 12 capítulos, sendo o
sexto capítulo o objeto de nossa análise. Os capítulos apresentam ainda, as
seções “Testes de vestibulares”, “Desafios8” e “Matemática no tempo”, como
mostra o sumário do segundo volume no Quadro 10.
8
Quadro 10 – Sumário do segundo volume (Iezzi et al, 2004)
A sequência da apresentação dos tópicos de matrizes é semelhante a
apresentando tabelas com informações numéricas relacionadas a situações
cotidianas dos alunos, tal qual se pode observar no Quadro 11.
Quadro 11 – Tabelas numéricas: exemplos contextualizados (Iezzi et al, 2004, p.140)
Em seguida, os autores apresentam a definição de matrizes seguidas de
exemplos e da definição genérica no tópico dois (representação de uma
matriz). As definições de matrizes são iguais àquelas encontradas no livro de
obtida utilizando uma “regra de formação” dos elementos da matriz solicitada,
manipulando, assim, os elementos formadores desta matriz.
Quadro 12 – Obtenção de uma matriz por uma regra de formação (Iezzi et al.,2004, p.143)
Seguindo conforme a ordem de apresentação do livro em análise,
verifica-se que do tópico três – “matrizes especiais” – até o verifica-seis – “multiplicação de um
número real por uma matriz”, o conteúdo é abordado de uma forma sistematizada,
pronta, permeado de exemplos e sequências de exercícios que reproduzem as
técnicas apresentadas nos exemplos. O tópico três, especificamente, abrange:
matriz coluna, matriz linha e matriz quadrada.
Na sequência, aparecem dois exercícios contextualizados (Exercícios 9 e
10), num total de 10 propostos, sendo um deles mostrado no Quadro 13.
Nos exercícios do tópico quatro – “Igualdade de matrizes”, temos uma
situação interessante de cálculo matricial envolvendo razões trigonométricas,
retomando um estudo do capítulo anterior. Essa situação pode ser observada
no Quadro 14:
Quadro 14 – Exercício articulado com o conteúdo trigonometria (Iezzi et al, 2004, p.147)
A articulação com outros conhecimentos, como apresentada no
exercício acima, é proposta pelos PCNEM (1999) e pela PCESP (2008), que
sugerem que esta ocorra entre inúmeras formas possíveis, num processo
permanente de interdisciplinaridade.
Dando sequência à análise, no tópico seis, a obra apresenta mais dois
exercícios diferenciados em que novos conceitos foram incorporados nos
próprios enunciados (Exercícios 33 e 37), abordando matriz transposta e matriz
simétrica.
No tópico sete – “Multiplicação de matrizes” – a abordagem é
contextualizada, utilizando uma situação do cotidiano para, a partir dela,
estimular a construção dos conceitos envolvidos e seus significados. Observe o
Após a definição do conceito, a obra apresenta quatro exemplos
utilizando a técnica da multiplicação. Além disso, nos 23 exercícios da
sequência, encontram-se apenas três exercícios contextualizados (Exercícios
51, 54 e 61), sendo dois semelhantes ao utilizado na introdução do tópico e o
último semelhante a uma situação apresentada no livro de Smole e Diniz
(2003) na seção “O elo matemática” (cf. Quadro 4 da p. 27), com exceção da
falta da representação da situação por meio de uma figura. Este exercício é
reproduzido no Quadro 16.
Quadro 16 – Exercício contextualizado (Iezzi et al, 2004, p.164)
Aparece, nessa mesma sequência, mais um exercício articulado com o
conteúdo trigonometria (Exercício 60).
Os tópicos finais, oito e nove, e os exercícios seguintes (Exercícios 63 a
75) seguem a mesma estrutura já descrita no tópico três: definição, exemplos e
exercícios.
O capítulo oferece ainda testes de vestibulares, com 26 questões sendo
uma contextualizada e uma articulada com outros conhecimentos matemáticos
(logaritmo, potenciação e radiciação), os Desafios, apresentando seis questões
semelhantes as dos vestibulares, tendo uma questão abrangendo trigonometria
capítulo finaliza com um quadro chamado “Matemática no tempo”, por meio do
qual se aborda a vida de Arthur Cayley e a origem das matrizes.
A utilização da história da Matemática é interessante no ensino da
matemática, já que para muitos essa disciplina é transmitida como se fosse um
conhecimento pronto e acabado e não um conhecimento historicamente
construído e em permanente evolução. Dessa forma, os autores procuram não
incorrer no erro apontado por D’Ambrósio (1996), de apresentar a Matemática
como uma coisa acabada, morta e absolutamente fora do contexto que faz com
que se torne difícil motivar os alunos para uma ciência cristalizada.
Apesar do elevado número de exercícios propostos no capítulo – 75
exercícios, 25 testes de vestibular e 6 desafios - encontramos somente oito
exercícios contextualizados e quatro relacionando conhecimentos matemáticos.
O capítulo sete, que vem na sequência, estuda o conteúdo
“determinante”, relacionando aos tópicos: definições e regra prática (Sarrus),
cofator, Teorema de Laplace, propriedades e abaixamento de ordem de um
determinante. Neste capítulo, todos os 44 exercícios presentes exigem do
aluno somente o uso das técnicas de cálculo apresentadas.
O capítulo oito contempla o estudo de Matrizes em três tópicos: sistema
linear (representação matricial), regra de Cramer e discussão de um sistema.
Assim como na obra de Smole e Diniz (2003), nenhum método de resolução de
sistemas lineares é priorizado. A esse respeito, importa salientar que, segundo
as orientações do manual do professor desta coleção, o método de
escalonamento é apresentado como a forma mais importante na resolução de
um sistema linear, o que não se verifica na análise do capítulo. Neste capítulo,
os autores utilizam situações contextualizadas na introdução do estudo e em
14 exercícios propostos num total de 81.
Em geral, os exercícios dessa obra reproduzem os exemplos dados,
sendo repetitivos e enfatizando o aspecto teórico desse conteúdo. De acordo
com os PCN+ (2002), quando o professor propõe apenas exercícios de
aplicação dos conceitos e técnicas matemáticas, o aluno não desenvolve as
competências almejadas, visto que o aluno busca na memória um exercício
semelhante e desenvolve passos análogos aos daquela situação. Os PCN+,
