Teorema da decomposição primária

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA CATARINA Centro de Ciˆencias F´ısicas e Matem´aticas

Curso de Licenciatura em Matem´atica

TEOREMA DA DECOMPOSIC

¸ ˜

AO PRIM ´

ARIA

Autora: M´arian Concei¸c˜ao

Orientador: Prof. Dr. Aldrovando Lu´ıs Azeredo Ara´ujo Florian´opolis

(2)

M ÁRIAN CONCEIÇ ÃO

Teorema da Decomposi¸c˜

ao Prim´

aria

Trabalho acadêmico de gradua¸cão apresentado à disciplina Trabalho de Conclusão de Curso II, do Curso de Matemática - Habilita¸cão Licenciatura, do Centro Ciências F´ısicas e Matemáticas da Universidade Federal de Santa Catarina

Professora: Carmen Suzane Comitre Gimenez

Florian´opolis Agosto 2006

(3)

(4)

Agradecimentos

Quero agradecer à todos que contribu´ıram para a concretiza¸cão deste traba-lho e também para o encerramento do meu curso de gradua¸cão. Primeira-mente à meus pais, Mário e Madalena, que sempre me apoiaram e continuam acreditando em mim. À meu professor e orientador, Aldrovando Luis, pela sua paciência, estando ao meu lado nas minhas horas dif´ıceis, mostrando ser um verdadeiro amigo. Ao professor Rafael Casali pelas contribui¸cões na digita¸cão do trabalho em latex. Ao professor Rubens Starke, pelo exemplo de caráter e pelas palavras de incentivo no decorrer do curso. Aos colegas de curso que estiveram ao meu lado e aqueles que me abandonaram no meio do caminho, pois, ajudaram no meu crescimento pessoal.

(5)

Sum´

ario

1 Espa¸cos Vetoriais 7

1.1 Defini¸c˜ao de Espa¸co Vetorial . . . 7

1.2 Independˆencia Linear e Bases . . . 9

1.3 Somas de Subespa¸cos Vetoriais . . . 9

1.4 Cn _{e complexifica¸c˜ao de um espa¸co vetorial real . . . .} ₁₁

2 Transforma¸c˜oes Lineares 14 2.1 Transforma¸c˜oes Lineares . . . 14

2.2 N´ucleo e Imagem de uma Transforma¸c˜ao Linear . . . 15

2.3 Isomorfismos . . . 17

2.4 Matriz de uma Transforma¸c˜ao Linear . . . 19

2.5 Operadores Lineares . . . 20

3 Teorema da Decomposi¸c˜ao Prim´aria 26 3.1 Subespa¸cos Invariantes . . . 26

3.2 Autovalores e autovetores . . . 28

3.3 Operadores Irredut´ıveis . . . 32

3.4 Teorema da Decomposi¸c˜ao Prim´aria . . . 39

3.5 Aplica¸c˜oes do Teorema . . . 44

(6)

Introdu¸c˜

ao

A Álgebra Linear é uma área da matemática imprescind´ıvel à inúmeras ou-tras. É tão importante que nos cursos de bacharelado da maioria das Uni-versidades brasileiras seus conteúdos são apresentados em duas disciplinas. A primeira é introdutória e se dedica aos conceitos fundamentais necessários para o core da teoria que é apresentado num segundo semestre. Esta segunda parte, essencialmente se reduz ao estudo dos operadores lineares em espa¸cos de dimensão finita e suas representã¸cões matriciais, que é normalmente de-notado por formas canônicas. Esta parte da teoria é requisito básico para outras disciplinas como por exemplo a Ánalise Real de Fun¸cões de Várias Variáveis, Equa¸cões Diferenciais Ordinárias e Parcias, Cálculo de Fun¸cões de Várias Variáveis etc. É dif´ıcil imaginar alguma disciplina que não use conceitos fundamentais da álgebra linear.

Sendo aluna de licenciatura, durante meu curso não tive a oportunidade de ver esta parte final da álgebra linear. Decidi fazer meu trabalho, por-tanto, sobre algumas destas idéias, mais especificamente, o extraordinário teorema conhecido como Teorema da Decomposi¸cão Primária, primeiro e fundamental passo na constru¸cão das formas canônicas. Conversando com meu orientador, soube que ele conhecia uma prova geométrica deste teo-rema, inexistente na literatura e que seria um trabalho bem interessante apresentá-la à comunidade. Este, é em resumo, o objetivo e conteúdo de meu trabalho: conhecer a teoria e os argumentos envolvidos na constru¸cão das formas canônicas dos operadores lineares em espa¸cos vetoriais de di-mensão finita e apresentar uma versão geométrica elegante do teorema da decomposi¸cão primária.

No primeiro e segundo cap´ıtulos apresentamos os conceitos básicos ne-cessários da teoria da álgebra linear, respectivamente espa¸cos vetoriais e e conceitos gerais sobre transforma¸cões lineares. No terceiro cap´ıtulo introdu-zimos a no¸cão de subespa¸co invariante e a partir da´ı desenvolvemos a teoria que leva ao teorema da decomposi¸cão primária. A demonstra¸cão deste teo-rema é puramente geométrica e não se encontra na literatura, ao menos na literatura que meu orientador conhece. O argumento principal é usual em sistemas dinâmicos e consiste em obter o subespa¸co invariante procurado como o ponto fixo de uma aplica¸cão de gráfico. O argumento é muito seme-lhante a prova do teorema da variedade estável para difeomorfismos de uma

(7)

variedade .

Não é do escopo deste trabalho apresentar resultados sobre operadores agindo em espa¸cos com produto interno. Em particular, nada é mencionado sobre o teorema espectral ou resultados equivalentes, apesar de importância dos mesmos. Optamos por uma álgebra linear que prescinde da defini¸cão de determinante, o que torna algumas defini¸cões como a de polinômio carac-ter´ıstico e outras, mais complicadas. No entanto, outros conceitos e provas ganham uma nova luz com este approach que consideramos compensar as desvantagens.

Quanto a nota¸c˜ao, gostar´ıamos de observar que todas as provas terminam com um quadrado sem preenchimento, nota¸c˜ao esta adotada pela AMS, que facilita ao leitor saber onde termina o argumento da prova.

(8)

Cap´ıtulo 1

Espa¸cos Vetoriais

1.1 Defini¸c˜

ao de Espa¸co Vetorial

Defini¸c˜ao 1.1 (Espa¸co vetorial ) Um conjunto V é um espa¸co vetorial sobre um corpo K, que no nosso caso seráRou C, se existem duas opera¸cões definidas sobre os elementos deste conjunto, que denominaremos por abuso de nota¸cão de adi¸cão e multiplica¸cão por um escalar do corpo K. Estas duas opera¸cões

E × E → E (u, v) → u + v

K × E → E (a, v) → a ∗ v devem satisfazer o seguinte conjunto de propriedades:

• (Associatividade da soma)(u + v) + w = u + (v + w) para todo u, v e w em E.

• (Comutatividade da soma) u + v = v + u para todo u e v ∈ E. • (Existˆencia de neutro aditivo) H´a um elemento 0 ∈ E, tal que u + 0 =

u para todo u ∈ E.

• (Existˆencia de inverso aditivo) Para todo elemento v ∈ E h´a um ele-mento u ∈ E tal que u + v = O.

• a ∗ (b ∗ u) = (a · b) ∗ u para a, b ∈ K e u ∈ E.

• Se e ∈ K ´e a unidade de F , e ∗ u = u para todo u ∈ E. • a ∗ (u + v) = a ∗ u + a ∗ vpara a ∈ K e todo u, v ∈ E. • (a + b) ∗ u = a ∗ u + b ∗ u para para todo a, b ∈ K e u ∈ E.

(9)

vetores. Já os elementos do corpo são chamados de escalares. A opera¸cão de soma será denotada por soma de vetores e a opera¸cão de multiplica¸cão será denotada por multiplica¸cão por escalar. Como exemplo de espa¸cos vetorias podemos citar:

Exemplo 1.1. Rn _{= {(x}

1, x2, · · · , xn) : x1, x2, · · · , xn ∈ R} com as

opera¸c˜oes usuais a saber

(x₁, x₂, · · · , x_n) + (y₁, y₂, · · · , y_n) = (x₁+ y₁, x₂+ y₂, · · · , x_n+ y_n) e

λ ∗ (x1, x2, · · · , xn) = (λx1, λx2, · · · , λxn)

onde λ denota um elemento de R . Exemplo 1.2. Cn_{= {(z} 1, z2, · · · , zn) : z1, z2, · · · , zn∈ C} com as opera¸c˜oes usuais a saber (z1, z2, · · · , zn) + (w1, w2, · · · , wn) = (z1+ w1, z2+ w2, · · · , zn+ wn) e λ ∗ (z1, z2, · · · , zn) = (λz1, λz2, · · · , λzn)

onde λ denota um elemento de C .

Exemplo 1.3. P_m = {p(x) = a_mxm_{+ · · · a}

1x + a0| a0, a1, a2, · · · , am ∈ R}

com as opera¸c˜oes usuais a saber

[p + q](x) = p(x) + q(x)) e λ ∗ p(x) = λp(x) onde λ denota um elemento de R .

Defini¸c˜ao 1.2 Seja E é um espa¸co vetorial. Um subconjunto F ⊂ E é um subespa¸co vetorial se F é fechado sob as opera¸cões de adi¸cão e de multiplica¸cão por escalar em E; a saber, para todo v, u ∈ F e λ ∈ K

u + v ∈ F, λ ∗ u ∈ W.

Segue que com estas opera¸cões F satisfaz as 8 propriedades de espa¸co vetorial e portanto, F é também um espa¸co vetorial sobre K. Se F contém apenas o 0 escrevemos F = 0 e dizemos que F é o subespa¸co trivial. Se F 6= E dizemos que F é um subespa¸co próprio de E.

Defini¸c˜ao 1.3 Dados um subconjunto de vetores de um espa¸co vetorial, {u₁, u₂, · · · , u_k} ∈ E e escalares λ₁, λ₂, · · · λ_k ∈ K ao vetor

λ1u1+ λ2u2+ · · · + λkuk∈ E

(10)

Defini¸c˜ao 1.4 Um subconjunto S = {u1, u2, · · · , uk} ∈ E ´e um

com-junto gerador (gera E) se todo vetor em E é uma combina¸cão linear de u₁, u₂, · · · , u_k; isto é, para todo u ∈ E existem escalares λ₁, λ₂, · · · λ_k tais que

u = λ1u1+ λ2u2+ · · · + λkuk.

1.2 Independˆ

encia Linear e Bases

Defini¸c˜ao 1.5 Dizemos que um subconjunto S = {u1, u2, · · · , uk} ⊂ E ´e

linearmente independente se para todo λ1, λ2, · · · λk∈ K com

λ₁u₁+ λ₂u₂+ · · · + λ_ku_k= 0 ent˜ao, λ1 = 0, λ2= 0, · · · λk= 0.

Defini¸c˜ao 1.6 Uma base de E ´e um conjunto ordenado de vetores de E que ´e linearmente independente e gerador.

Proposi¸c˜ao 1.1. Todo espa¸co vetorial E tem uma base, e toda base de E tem o mesmo n´umero de elementos. Se {u1, u2, · · · , uk} ⊂ E ´e linearmente

independente mas não é uma base, então, sempre podemos acrescentar um conjunto adequado de vetores {u_k+1, u_k+2, · · · , u_n} para formar uma base {u1, u2, · · · , un}

O n´umero de elementos em uma base de E é chamado a dimensão de E, e se denota por dim E. Se S = {u1, u2, · · · , un} é uma base de E, então,

todo vetor u ∈ E pode ser expresso como u =

n

XXX

i=1

λivi λi ∈ R,

já que o conjunto S gera E. Além disso, os escalares λ1, λ2, · · · λnsão únicos

o que decorre facilmente da independˆencia linear do conjunto S. Os escalares

λ1, λ2, · · · λn s˜ao chamados de coordenadas de u na base u1, u2· · · , un. A

base canˆonica de Rn _{ε = {e}

1, e2, · · · , en} ´e definida por

e1= (0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0) i = 1, · · · , n,

onde tem-se 1 na i-´esima posi¸c˜ao e 0 nas demais.

1.3 Somas de Subespa¸cos Vetoriais

Defini¸c˜ao 1.7 Em um espa¸co vetorial E, definimos a soma dos seus su-bespa¸cos F e G, denotada por F + G, como o conjunto de todos os vetores da forma v = u + w, onde u ∈ F e w ∈ G, isto ´e:

(11)

Proposi¸cão 1.2. Se F e G são subespa¸cos de um espa¸co vetorial E, então, a soma F + G é um subespa¸co de E.

Prova. Se v, v0 ∈ F + G existem u, u0∈ F , w, w0∈ G tais que v = u + w e

v0 _{= u}0_{+ w}0_{. Como F e G s˜ao subespa¸cos vetoriais, segue que, u + u}0_{∈ F}

e w + w0 _{∈ G. Logo,}

v + v0 = (u + w) + (u0+ w0) = u + u0+ w + w0∈ F + G.

Al´em disso, se λ ∈ K λu ∈ F e λw ∈ G. Logo,

λv = λ(u + w) = λu + λw ∈ F + G,

provando assim que F + G ´e um subespa¸co vetorial.

Defini¸c˜ao 1.8 Em um espa¸co vetorial E, definimos a interse¸c˜ao dos su-bespa¸cos de F e G, denotada por F ∩G, como o conjunto de todos os vetores pertencentes a ambos os subespa¸cos, isto ´e:

F ∩ G = {v : v ∈ F ; v ∈ G}

Proposi¸cão 1.3. Se F e G são subespa¸cos de um espa¸co vetorial E, então, a interse¸cão F ∩ G é um subespa¸co de E.

Prova. Se v, v0 _{∈ F ∩ G e λ ∈ K ent˜ao, v, v}0 _{∈ F e F sendo subespa¸co}

vetorial segue que v + v0 _{∈ F e λv ∈ F . Do mesmo modo como v, v}0 _∈ Gtem-se que v + v0 _{∈ G e λv ∈ G. Logo, v + v}0_{∈ F ∩ G e λv ∈ F ∩ G.}

Defini¸c˜ao 1.9 Se F e G s˜ao subespa¸cos de um espa¸co vetorial E, definimos a soma direta de F e G, denotada por F ⊕ G, como o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos de uma forma ´unica como v = u + w, onde u ∈ F e w ∈ G.

Teorema 1.1. Sejam F e G subespa¸cos de um espa¸co vetorial E. E = F ⊕G se, e somente se,

E = F + G e F ∩ G = {0}.

Prova. Se E = F ⊕G ent˜ao, sabemos que dado v ∈ E existem ´unicos u ∈ F e w ∈ G tais que v = u + w. Segue que E = F + G. Seja agora v ∈ FTG,

ent˜ao, v = 0 + v ∈ F + G e v = v + 0 ∈ G + V . Como cada vetor de E pode ser escrito de forma ´unica como soma de um vetor de F com um de G segue que v = 0, isto ´e, F ∩ G = {0}.

Para provar a rec´ıproca, suponhamos que E = F + G e que F ∩ G = {0}. Se v ∈ E ent˜ao, existem u ∈ F e w ∈ G tais que v = u + w. Se v = u0+ w0 com u0_{∈ F e w}0_{∈ G ent˜ao,}

0 = v − v = (u + w) − (u0+ w0) ⇒ u − u0= w0− w.

Segue que u + u0 _{∈ F ∩ G. Como F ∩ G = {0}, u − u}0 _{= 0 isto ´e u = u}0_{. Do}

mesmo modo conclu´ımos que w = w0, isto é, que a representa¸cão é única provando assim que E = F ⊕ G.

(12)

Lema 1.1. Sejam F e G subespa¸cos de um espa¸co vetorial E, tais que

E = F ⊕ G.

Então, se α = {u1, u2, · · · , uk} e β = {uk+1, uk+2, · · · , uk+r} são bases de F e G respectivamente então,

γ = {u1, u2, · · · , uk, uk+1, uk+2, · · · , uk+r}

´e uma base de E.

Exemplo 1.4. Seja E o espa¸co vetorial das matrizes quadradas reais de ordem 2, S o subespa¸co de E das matrizes sim´etricas, isto ´e, as matrizes da forma: S = " x y y z #

e T o subespa¸co de E das matrizes anti-sim´etricas, que tˆem a forma geral:

T = " 0 w −w 0 # Assim, E = S ⊕ T , pois, E = S + T e S ∩ T = {0}.

Generalizando, tem-se que toda matriz quadrada de números reais de ordem n, pode ser decomposta de forma única, como soma de uma matriz simétrica e uma matriz anti-simétrica.

Se M é uma matriz quadrada arbitrária de ordem n, então, é poss´ıvel obter uma matriz simétrica M0 _{e uma matriz anti-simétrica M}00 _{dadas por:}

M0 =1

2(M + M

t_{) e M}00₌1

2(M − M

t₎

de modo que existe uma decomposi¸c˜ao ´unica para M , isto ´e, M = M0_{+ M}00_.

1.4 C

n

_{e complexifica¸c˜}

_{ao de um espa¸co vetorial}

real

Dadas as limita¸cões algébricas do corpo dos números reais, temos que muitas vezes, ao estudarmos operadores em espa¸cos vetoriais reais, estendê-los ao chamado complexificado deste espa¸co.

Cn _{´e o espa¸co das n-uplas (z}

1, z2, . . . , zn) de n´umeros complexos com

as opera¸c˜oes usuais de soma de n-uplas e de multiplica¸c˜ao de n-uplas com numeros complexos.

(z1, z2, . . . , zn) + (w1, w2, . . . , wn) = (z1+ w1, z2+ w2, . . . , zn+ wn) λ(z1, z2, . . . , zn) = (λz1λz2, . . . , λzn).

(13)

Observe que podemos considerar Rn _{⊂ C}n _{pela identifica¸c˜ao de R}n _com

o vetores de Cn _(z

1, z2, . . . , zn) onde z1, z2, . . . , zn ∈ R. Seja agora F um

subespa¸co complexo de Cn . Ent˜ao,

F_R= F ∩ Rn

é o conjunto das n-uplas (z1, z2, . . . , zn) que estão em F e são reais. É fácil

ver que F_Ré fechado relativamente as opera¸cões de soma e de multiplica¸cão por n´umeros reais. Deste modo FR é um espa¸co real ou um subespa¸co de

Rn_{se usarmos a identifica¸c˜ao mencionada acima.}

Consideremos agora, a rec´ıproca. Seja E ⊂ Rn _{um subespa¸co de R}n_{, e}

seja EC definido por

E_C= {z ∈ Cn :

k

X

j=1

c_jz_j, z_j ∈ E, c_j ∈ C}. E ´e claramente um subespa¸co complexo de Cn _{. E}

C´e denominado de com-plexificado de E. Observe que

(EC)R= E.

Dado um n´umero complexo z = x + iy define-se o conjugado de z por ¯

z = x − iy. Usando a fun¸c˜ao

σ : C −→ C z 7−→ ¯z,

se escreve ¯z = σ(z). Observe que σ2 _{= σ e que o conjunto dos pontos fixos}

de σ ´e exatamente o conjunto dos n´umeros reais em C . A fun¸c˜ao σ pode ser estendida para Cn como:

σ : Cn _−→ _Cn

(z1, z2, . . . , zn) 7−→ (¯z1, ¯z2, . . . , ¯zn).

Para esta extens˜ao o conjunto dos pontos fixos ´e Rn_.

Lema 1.2. Seja F um subespa¸co de Cn_{. Ent˜ao,} FR= {z ∈ F : σ(z) = z}.

Lema 1.3. Seja F um subespa¸co de Cn . Ent˜ao, existe E ⊂ Rn tal que

F = E_C se e somente se σ(F ) ⊂ F.

Prova. Suponhamos que F = EC para algum E ⊂ Rn. Ent˜ao, dado z ∈ F

existem λ1, λ2, . . . , λr∈ C e z1, z2, . . . , zr ∈ Rn, tais que z = λ1z1+ λ2z2+ · · · + λrzr. Ent˜ao,

σ(z) =σ(λ1z1+ λ2z2+ · · · + λrzr) =

=σ(λ1)σ(z1) + σ(λ2)σ(z2) + · · · + σ(λr)σ(zr)

(14)

pois, σ(zi) = zi j´a que zi ∈ Rn para 1 ≤ i ≤ r.

Reciprocamente, seja F ⊂ Cn_{subespa¸co de C}n_{tal que σ(F ) ⊂ F . Ent˜ao,}

z = x + iy ∈ F com x, y ∈ Rn. Como σ(z) ∈ F e σ(z) = σ(x + iy) = x − iy segue que

x = 1

2[(x + iy) + (x − iy) ∈ F. O mesmo vale para y. Logo, F = (FR)C.

No caso geral de um espa¸co vetorial abstrato sobre o corpo do reais a mesma teoria feita agora se aplica.

Defini¸c˜ao 1.10 Seja E um espa¸co vetorial de dimensão finita sobre o corpo R. Então, a complexifica¸cão de E é o conjunto

EC= {u + iv : u, v ∈ E}

com as opera¸c˜oes

u1+ iv1+ u2+ iv2= (u1+ u2) + i(v1+ v2),

e

(a + ib) ∗ (u + iv) = (au − bv) + i(av + bu).

Lema 1.4. O conjunto EC dotado com as opera¸c˜oes definidas acima ´e um

espa¸co vetorial sobre o corpo C.

Podemos pensar E como um subconjunto de EC, identificando E com o

conjunto

{u + i0 : u ∈ E} ⊂ E_C.

Nestas condi¸cões é fácil ver que qualquer base de E é uma base de E_C, e portanto, a dimensão de E como espa¸co vetorial real é igual a dimensão de

(15)

Cap´ıtulo 2

Transforma¸c˜

oes Lineares

2.1 Transforma¸c˜

oes Lineares

Sejam E, F espa¸cos vetoriais de dimens˜ao finita sobre um corpo K onde

K = R ou K = C.

Defini¸c˜ao 2.1 Uma fun¸cão T : E → F é uma transforma¸cão linear se 1. T (u + v) = T (u) + T (v) para ∀u, v ∈ E

2. T (λv) = λT (v) para ∀λ ∈ K, v ∈ E

Exemplo 2.1. Seja T : E → F definida por T (v) = 0 Exemplo 2.2. Seja T : E → E definida por T (v) = v

Exemplo 2.3. Seja E = Pn(R)=espa¸co dos polinˆomios de grau menor ou

igual a n com coeficientes reais. Ent˜ao, defina o operador

D : P_n(R) → P_n(R) por D(p) = p0 onde

D(a₀+ a₁x + · · · + a_nxn) = a₁+ 2a₂x + · · · + na_nxn−1

O fato desta transforma¸cão ser linear é uma consequência básica das propriedades da diferencia¸cão, a saber:(f + g)0 _{= f}0 _{+ g}0 _{e (λf )}0 _{= λf}0

sempre que f, g forem fun¸cões diferenciáveis e λ ∈ R. Lema 2.1. Se T : E → F é linear então, T (0) = 0 Prova. T (0) = T (2 ¦ 0) = 2T (0) ⇒ T (0) = 0

Se {v1, · · · , vn} é uma base de E e T : E → F é uma transforma¸cão

linear ent˜ao, dado v ∈ E v se escreve de modo ´unico como v = a1v1+ · · · + anvn.

(16)

Logo,

T (v) = T (a1v1+ · · · + anvn) = a1T (v1) + · · · + anT (vn).

Em particular, os valores T (v1) + · · · + T (vn) determinam os valores de T

em um vetor arbitr´ario v ∈ E. Segue que uma transforma¸c˜ao linear fica completamente definida quando especificamos seus valores em uma base de

E.

Denotamos por L (E, F ) o conjunto das transforma¸c˜oes lineares de E em F . Podemos atribuir uma estrutura de espa¸co vetorial a L (E, F ) via: Se T, S ∈ L (E, F ) e λ ∈ K

(T + S)(v) = T (v) + S(v) (λT )(v) = λT (v)

T + S e λT s˜ao claramente elementos de L (E, F ).

Quando E = F os elementos de L (E, E), denotado por L (E), são denomi-nados de operadores lineares e uma opera¸cão de produto pode também ser definida.

(T · S)(v) = T (S(v)

T · S é apenas a composi¸cão T ◦ S dos dois operadores. A nota¸cão usada

ser´a no entanto, T S.

Lema 2.2. Se T, S, R ∈ L (E) e I denota o elemento identidade de L (E) ent˜ao, vale

1. (T S)R = T (SR) 2. T I = IT = T

3. (T + S)R = T R + SR

O produto dos operadores no entanto, n˜ao ´e comutativo. Denotamos por

Tn_{o operador}

Tn=

n vezes

z }| {

T · T · · · T .

2.2 N´

ucleo e Imagem de uma Transforma¸c˜

ao

Li-near

Defini¸c˜ao 2.2 Se T ∈ L (E, F ) então, o núcleo de T , que denotamos por N (T ) é o subconjunto

N (T ) = {v ∈ E | T (v = 0}

e a imagem de T que denotamos por Im(T ) ´e o subconjunto Im(T ) = {T (v) ∈ F | v ∈ E}.

(17)

Lema 2.3. Se T ∈ L (E, F ) então, N (T ) é um subespa¸co de E e Im(T ) é um subespa¸co de F .

Prova. Se u, v ∈ N (T ) e λ ∈ K ent˜ao, T (u) = 0 e T (v) = 0. Logo,

T (u + v) = T (u) + T (v) = 0 + 0 = 0 e T (λu) = λT (u) = λ0 = 0

provando que u + v ∈ N (T ) e λu ∈ N (T ).

Agora se w, z ∈ Im(T ) ent˜ao, existem u, v ∈ E tais que T (u) = w e

T (v) = z. Assim

T (u + v) = T (u) + T (v) = w + z isto ´e w + z ∈ Im(T ).

Finalmente se w ∈ Im(T ) e λ ∈ K existe u ∈ E tal que T (u) = w. Mas

T (λu) = λT (u) = λw, isto ´e λw ∈ Im(T ), terminando assim a prova do lema.

Teorema 2.1. Se T ∈ L (E, F ) ent˜ao,

dim E = dim N (T ) + dim Im(T )

Prova. Seja {u1, . . . , ur} uma base de N (T ). Pela Proposi¸c˜ao (1.1)

pode-mos estender {u1, . . . , ur} a uma base de E, isto ´e existem {w1, . . . , ws} ⊂ E

tais que

{u1, . . . , ur, w1, . . . , ws}

forma uma base de E. Em particular, dim E = r + s. A prova do teorema estar´a terminada se provarmos que T (w1), . . . , T (ws) ´e uma base de Im(T ).

Seja v ∈ Im(T ). Ent˜ao, existe u ∈ E tal que

T (u) = v.

Mas u = a1u1+ · · · + arur+ b1w1+ · · · + bsws. Logo,

v =T (u) = T (a1u1+ · · · + arur+ b1w1+ · · · + bsws) =

=a₁T (u₁) + · · · + a_rT (u_r) + b₁T (w₁) + · · · + b_sT (w_s) = =b1T (w1) + · · · + bsT (ws)

pois, T (ui) = 0 para ∀ 1 ≤ i ≤ r uma vez que ui ∈ N (T ). Segue que T (w₁), . . . , T (w_s) ´e um conjunto gerador de Im(T ).

Para provarmos que T (w1), . . . , T (ws) ´e um conjunto linearmente

inde-pendente, suponha que

c1T (w1) + · · · + csT (ws) = 0.

Ent˜ao,

(18)

e portanto, c1w1 + · · · + csws ∈ N (T ). Mas {u1, . . . , ur} ´e uma base de N (T ). Logo, existem d₁, . . . , d_r∈ K tais que

c1w1+ · · · + csws= d1u1+ · · · + drur

isto ´e

c₁w₁+ · · · + c_sw_s− d₁u₁− · · · − d_ru_r = 0. Como {u1, . . . , ur, w1, . . . , ws} ´e uma base de E, segue que,

c1= c2= . . . = cs= d1= d2 = . . . = dr = 0.

Em particular, c1 = c2 = . . . = cs = 0 provando que T (w1), . . . , T (ws) s˜ao

linearmente independentes.

Lema 2.4. Se T ∈ L (E, F ) então, T é injetivo se e somente se N (T ) = 0. Prova. ⇒ Se N (T ) 6= {0} então, existe u ∈ N (T ) u 6= 0. Mas então,

u 6= 0 e T (u) = T (0) = 0 provando que T n˜ao ´e injetivo.

⇐ Sejam u, v ∈ E tais que T (u) = T (v). Ent˜ao, T (u) − T (v) = 0 =⇒ T (u − v) = 0

isto ´e u − v ∈ N (T ). Como N (T ) = {0} segue que, u − v = 0 e assim u = v provando que T ´e injetiva.

2.3 Isomorfismos

Defini¸c˜ao 2.3 Uma transforma¸c˜ao linear T ∈ L (E, F ) chama-se invers´ıvel quando existe S ∈ L (F, E) tal que

T S = I_|E e ST = I_|F.

Diz-se, então, que T é uma bije¸cão linear entre E e F ou mais apropria-damente que T é uma isomorfismo e que os espa¸cos vetoriais E e F são isomorfos. S é chamada de inversa de T e denota-se por T−1.

Se T ∈ L (E, F ) e R ∈ L (F, G) s˜ao isomorfismos, ent˜ao, T−1 _{∈ L (F, E)}

e RT ∈ L (E, G) também são isomorfismos. Além disso, tem-se que, (RT )−1 = T−1R−1 e para α 6= o, (αT )−1 = 1

αT −1_.

Um isomorfismo entre espa¸cos vetoriais transforma toda base de E numa base de F . Reciprocamente, se uma transforma¸cão linear T ∈ L (E, F ) leva uma base de E em uma base de F então, T é um isomorfismo.

Segue que, dois espa¸cos vetoriais de dimensão finita isomorfos têm a mesma dimensão. A rec´ıproca é verdadeira, como veremos a seguir.

(19)

Lema 2.5. Seja E um espa¸co vetorial de dimens˜ao n sobre K. Fixando uma base β = {u₁, . . . , u_n} de E, podemos definir a transforma¸c˜ao linear

Φβ ∈ L (E, Kn) via,

Φβ : E −→ Kn

u 7−→ (x1, x2, . . . , xn),

onde u = x₁u₁+ x₂u₂+ · · · + x_nu_n é a representa¸cão (única) de u na base

β. Ent˜ao, Φβ ´e um isomorfismo.

Prova. Observe que para 1 ≤ i ≤ n Φβ(ui) = ei onde ² = {e1, . . . , en}

denota a base canˆonica de Kn_{, a saber,}

ei= (0, . . . , 1_|{z} i

, . . . , 0).

Assim Φβ transforma a base β de E na base canˆonica de Kn, e portanto,

Φβ ´e um isomorfismo entre E e Kn.

Corolário 2.1. Sejam E e F espa¸cos vetoriais sobre K de mesma dimensão. Então, E e F são isomorfos.

Seja T ∈ L (E, F ). Sejam {u1, . . . , un} e {w1, . . . , wm} bases de E e F

respectivamente. Como j´a observamos T est´a completamente determinado pelos valores

T (u1), . . . , T (un).

Mas para cada 1 ≤ i ≤ n podemos escrever T (ui) de modo ´unico como

combina¸c˜ao linear de w1, . . . , wm.

T (u1) = a1iw1+ · · · + amiwm

onde aik∈ K para 1 ≤ k ≤ n. Portanto, os escalares (aij)i,j para 1 ≤ k ≤ m

1 ≤ j ≤ n determinam completamente a transforma¸c˜ao linear T . Seja a matriz A = (aij)i,j de ordem m × n, onde os aij’s s˜ao definidos como acima.

Defini¸c˜ao 2.4 Se α = {u1, . . . , un} e β = {w1, . . . , wm} s˜ao bases de E

e F respectivamente e T ∈ L (E, F ), ent˜ao, a matriz A = (aij)i,j de ordem

m × n, onde os aij’s s˜ao definidos por

T (uk) = a1kw1+ · · · + amkwm

para 1 ≤ k ≤ n, denomina-se de matriz de T nas bases α, β e denota-se por A = [T ]β_α.

(20)

2.4 Matriz de uma Transforma¸c˜

ao Linear

Sejam os espa¸cos vetoriais Kne Km. Seja A = (aij)i,j uma matriz de ordem m × n com entradas em K. Ent˜ao, a aplica¸c˜ao

S : Kn→ Km definida por S(x₁, x₂, . . . , x_n) =       a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... . .. ... am1 am2 · · · amn             x1 x2 .. . xn      

é uma transforma¸cão linear de Kn _{em K}m_{, isto é S ∈ L (K}n_{, K}m_).

Deno-tando x = (x1, x2, . . . , xn) podemos escrever S(x) = Axt.

Observe que

S(x + y) = A(x + y)t= A(xt+ yt) = Axt+ Ayt= S(x) + S(y)

S(λx) = A(λx)t= λAxt= λS(x)

provando que S ∈ L (Kn_{, K}m_{). Por outro lado se S ∈ L (K}n_{, K}m_{) ent˜ao,}

se

² = {e₁, . . . , e_n}

onde e_i = (0, . . . , 1_|{z}

i

, . . . , 0) denota o i-´esimo elemento da base canˆonica de Kn_{, defina a matriz A = (a}

ij)i,j por

aij = S(ej)i.

Agora observe que

S(x1, x2, . . . , xn) = S(x1e1+ · · · + xnen) = x1S(e1) + · · · + xnS(en) = x1(a11, . . . , am1) + · · · + xn(a1n, . . . , amn) = (a11x1+ · · · + a1nxn, . . . , am1x1+ · · · + amnxn) =       a11 a12 · · · a1n a21 a22 · · · a2n .. . ... . .. ... am1 am2 · · · amn             x1 x2 .. . xn      

(21)

isto ´e

S(x) = Axt.

Segue que, toda S ∈ L (Kn_{, K}m_{) ´e da forma S(x) = Ax}t_{, onde A ´e uma}

matriz m × n com entradas em K.

Seja E um espa¸co vetorial de dimensão n. Então, se α = {u1, . . . , un} é

uma base de E temos o isomorfismo definido no lema (2.5): Φα : E → Kn

Φα(u) = (x1, x2, . . . , xn)

onde u = x1u1+ · · · + xnun.

Lema 2.6. Sejam T ∈ L (E, F ) e α = {u1, . . . , un}, β = {w1, . . . , wm}

bases de E e F respectivamente. Ent˜ao, definindo S por

S(x1, x2, . . . , xn) = Φα◦ T ◦ Φ−1_β (x1, x2, . . . , xn)

temos que, S ∈ L (Kn, Km), e portanto, S ´e da forma S(x) = Axt onde

A = [T ]β_α.

2.5 Operadores Lineares

Nesta parte final do cap´ıtulo vamos nos restringir às transforma¸cões lineares de um espa¸co vetorial E sobre ele mesmo, isto é, aos elementos T ∈ L (E). Defini¸c˜ao 2.5 Seja T ∈ L (E). Então, dizemos que T é nilpotente se ∀u ∈ E existe n ∈ N n > 0 tal que Tn_{(u) = 0.}

Exemplo 2.4. Seja o operador linear sobre Rn ou Cn dado por

T (x) = Axt com A =         0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 .. . ... ... . .. ... 0 0 0 · · · 1 0 0 0 · · · 0         .

Então, é fácil ver que Tn= 0, e portanto, T é nilpotente.

Lema 2.7. Sejam N ∈ L (E) nilpotente. Ent˜ao, existe 0 < k ≤ dim(E) tal que Nk_{= 0.}

(22)

Prova. Seja 0 6= u ∈ E. Como N ´e nilpotente existe m > 0

Nm(u) = 0.

Tome k = inf{j > 0 : Nj(u) = 0}. Logo, se j < k sabemos que Nj(u) 6= 0. Seja o conjunto de vetores

{u, N (u), N2(u), . . . , Nk−1(u)}.

a prova do lema estará terminada se provarmos que este conjunto é linear-mente independente, pois, neste caso como existem k vetores no conjunto, segue que, k ≤ dim(E). Além disso, como o resultado vale para todo vetor de E, segue que, Nk_{= 0. Provemos pois, que o conjunto}

{u, N (u), N2(u), . . . , Nk−1(u)}

´e linearmente independente. Suponhamos que existam c0, c1, . . . , ck−1 tais

que

c0u + c1N (u) + · · · + ck−1Nk−1(u) = 0.

Primeiro provemos que c0 = 0. Aplicando Nk−1 ´a igualdade obtemos c₀Nk−1(u) + c₁Nk(u) + · · · + c_k−1N2k−2(u) = Nk−1(0) = 0. Como Nj_{(u) = 0 se j > k − 1, segue que, a igualdade fica}

c0Nk−1(u) = 0.

Mas como Nk−1(u) 6= 0, segue que, c0= 0. Suponhamos por indu¸c˜ao finita

que c0 = c1 = . . . = cj = 0 com j < k − 1. Ent˜ao, a igualdade c0u + c1N (u) + · · · + ck−1Nk−1(u) = 0

se reduz

cj+1Nj+1(u) + · · · + ck−1Nk−1(u) = 0.

Aplicamos a igualdade Nk−j−2 _obtemos

cj+1Nk−1(u) + · · · + ck−1N2k−j−3(u) = Nk−j−2(0) = 0

que se reduz a

cj+1Nk−1(u) = 0.

Mas como Nk−1(u) 6= 0 Segue que, cj+1 = 0. Portanto, pelo princ´ıpio de

indu¸c˜ao temos,

c₀= c₁= . . . = c_k−1= 0, terminando assim a prova do lema.

(23)

Lema 2.8. Seja N ∈ L (E) um operador nilpotente. Ent˜ao,

I + N ´e um isomorfismo.

Prova. Observando a s´erie de potˆencias de 1

1 + x = 1 − x + x

2_{− · · · + (−1)}k_xk_{+ · · · ,}

podemos procurar o inverso de I + N via

I + N = I − N + N2− · · · .

Mas como N ´e nilpotente, Nm _{= 0 para algum m ≤ n. Nessas condi¸c˜oes a}

soma infinita acima se torna uma soma finita. Logo, procuramos o operador inverso de I + N da forma

(I + N )−1 = I − N + N2+ · · · + (−1)m−1Nm−1.

Afirmamos que I − N + N2_{+ · · · + (−1)}m−1_Nm−1_{, ´e de fato um inverso de} I + N .

(I + N )(I − N + · · · + (−1)m−1Nm−1)

= I − N + · · · + (−1)m−1Nm−1+ N − N2+ · · ·

· · · + (−1)m−2Nm−1+ (−1)m−1Nm= I + (−1)m−1Nm= I

onde se vê claramente que a soma acima é telescópica e portanto, todos os termos se anulam exceto o primeiro e o ´ultimo, sendo que o primeiro é I e o ´ultimo é (−1)m−1_Nm_{= 0.}

Defini¸c˜ao 2.6 Seja P ∈ L (E). Ent˜ao, se P2 _{= P dizemos que o operador}

P ´e uma proje¸c˜ao.

Exemplo 2.5. Seja uma decomposi¸c˜ao em soma direta

E = F ⊕ G.

Logo, se u ∈ E existem ´unicos v ∈ F e w ∈ G tais que u = v + w. Assim definimos o operador

PF : E → E

por PF(u) = v. Então, PF é de fato, uma proje¸cão, denominada proje¸cão

sobre F associada à decomposi¸cão E = F ⊕ G. De fato se u ∈ E então, u = v + w com v ∈ F e w ∈ G.

PF(u) = v =⇒ PF2(u) = PF(v) = v = PF(u)

(24)

O próximo lema garante que toda proje¸cão é do tipo P = PF para alguma

decomposi¸c˜ao

E = F ⊕ G.

Lema 2.9. Seja P ∈ L (E) uma proje¸cão. Então, existe uma decomposi¸cão

E = F ⊕ G

tal que P = PF.

Prova. Sejam G = N (P ) e F = Im(P ). Ent˜ao, F, G s˜ao subespa¸cos de E. Afirmamos que

E = Im(P ) ⊕ N (P ).

Seja u ∈ E. Ent˜ao, P2_{(u) = P (u). Defina}

v = u − P (u). Ent˜ao,

P (v) = P (u − P (u)) = P (u) − P2(u) = P (u) − P (u) = 0, isto ´e, v = u − P (u) ∈ N (P ). Logo,

u = P (u) + v ∈ Im(P ) + N (P ) isto ´e,

E = Im(P ) + N (P ).

Provemos agora que Im(P ) ∩ N (P ) = {0}. Se u ∈ Im(P ) ∩ N (P ) ent˜ao,

P (u) = 0 e existe v ∈ E tal que u = P (v). Ent˜ao,

0 = P (u) = P (P (v)) = P2(v) = P (v) = u =⇒ u = 0, provando que

Im(P ) ∩ N (P ) = {0}.

Se u ∈ E ent˜ao, pelo que acabamos de mostrar existe v ∈ N (P ) tal que u = P (u) + v ∈ Im(P ) + N (P ). Segue que

P (u) = P_{Im(P )}(u) terminando assim a prova do lema.

(25)

Defini¸c˜ao 2.7 Suponhamos que

E = E1⊕ E2⊕ · · · ⊕ Em,

e que existam operadores T_j ∈ L (E_j) para 1 ≤ j ≤ m. Ent˜ao, o operador T ∈ L (E) definido por

T (u) = T (u1+ u2+ · · · + um) = T1(u1) + T2(u2) + · · · + Tm(um),

onde u = u1 + u2 + · · · + um se denomina soma direta dos operadores

T1, T2, . . . , Tm e se denota por:

T₁⊕ T₂⊕ · · · ⊕ T_m.

Terminamos este cap´ıtulo com a no¸c˜ao de complexificado ou complexi-fica¸c˜ao de um operador sobre Rn_.

Defini¸c˜ao 2.8 Seja F ⊂ Rn _{um subespa¸co de R}n_{. Seja T ∈ L (F ). Ent˜ao,}

o operador

TC : FC−→ FC,

onde, FC´e o complexificado ou complexifica¸c˜ao de F , definido por

se z ∈ FC ent˜ao, z =

X

λjxj =⇒ TC(z)def=

X

λjT (xj)

se denomina de complexificado ou complexifica¸c˜ao de T ´

E fácil ver que esta defini¸cão não depende da escolha da representa¸cão de z ∈ FC.

Se β = {u1, u2, . . . , ur} é uma base de F então, β = {u1, u2, . . . , ur} é

tamb´em uma base de F_C. Al´em disso, [T ]β_β = [TC]β_β.

Lema 2.10. Sejam F ⊂ Rn _{um subespa¸co real e F}

C sua complexifica¸c˜ao.

Seja S ∈ L (FC). Ent˜ao, S = TC para algum T ∈ L (F ) se e somente se, σS = Sσ.

Prova. Se S = TC,

σS(z) = σT_C¡ Xλ_jx_j¢= σXλ_jT (x_j) =Xλ¯_jσ(T (x_j)) =X¯λ_jT (x_j). Por outro lado,

S¡σ(z)¢= S¡σ(Xλjxj) ¢ = S¡ Xλ¯jσ(xj) ¢ = TC( X ¯ λjxj) = X ¯ λjT (xj), provando que σS = Sσ.

(26)

Suponhamos agora que σS = Sσ. Ent˜ao, S(F ) ⊂ F . De fato, se x ∈ F ,

σ(x) = x e

σ(S(x)) = S(σ(x)) = S(x),

logo,

S(x) ∈ {z ∈ FC : σ(z) = z} = FCR= F.

Seja T = SF ∈ L (F ). Da defini¸c˜ao de TC segue que TC= S.

O que fizemos para operadores sobre subespa¸cos de Rn _{pode ser feito}

para operadores sobre um espa¸co vetorial abstrato sobre o corpo R.

Lema 2.11. Seja E um epa¸co vetorial sobre R e T ∈ L (E). Ent˜ao, a fun¸c˜ao TC: EC→ ECdefinida por

TC(u + iv) = T (u) + iT (v),

para todo u + iv ∈ E_C ´e um operador linear sobre E_C, considerado como um espa¸co vetorial sobre o corpo dos complexos.

Defini¸c˜ao 2.9 Seja E um espa¸co vetorial sobre R e T ∈ L (E) um operador linear sobre E. Ent˜ao, o operador

TC∈ L (EC),

definido no lema acima denomina-se de complexificado ou complexifica¸c˜ao do operador T .

Se escolhemos uma base β de E, ent˜ao, esta mesma base ´e uma base de

EC, considerado como espa¸co vetorial sobre o corpo dos complexos. Segue,

imediatamente que a matriz que representa T na base β ´e a mesma matriz que representa TCna base β.

Note que qualquer autovalor real de TC´e tamb´em um autovalor de T porque

se λ ∈ R e

TC(u + iv) = λ(u + iv) = λ(T (u) + iT (v)) =⇒ T (u) = λu, T (v) = λv.

Autovalores n˜ao-reais de TC aparecem aos pares. Mais precisamente,

(TC− λI)(u + iv) = 0 ⇐⇒ (TC− λI)(u − iv) = 0.

(27)

Cap´ıtulo 3

Teorema da Decomposi¸c˜

ao

Prim´

aria

Neste cap´ıtulo estudamos as aplica¸cões lineares de um espa¸co vetorial em si mesmo, isto é os operadores lineares de um espa¸co vetorial dado. O estudo destas aplica¸cões constitue a parte mais importante e densa da álgebra li-near. Mais especificamente nosso objetivo é entender de maneira geométrica a a¸cão de um tal operador. A no¸cão fundamental é o conceito de subespa¸cos

invariantes pelo operador que consiste em subespa¸cos do espa¸co nos quais

o operador atua independentemente. As no¸cões de autovalores e autoveto-res seguirão como consequência natural do conceito de subespa¸co invariante assim como a idéia de formas canônicas. Vamos nos restringir, no entanto, a apresentar o teorema da decomposi¸cão primária. A prova deste teorema usa um argumento usual na teoria de sistemas dinãmicos, a saber a no¸cão de aplica¸cão de gráfico usada para obter o espa¸co todo com decomposi¸cão em soma direta de subespa¸cos invariantes.

3.1 Subespa¸cos Invariantes

Defini¸c˜ao 3.1 Seja E um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita sobre K e T ∈ L (E) um operador linear. Um subespa¸co F de E, ´e invariante pelo operador T se

T (F ) ⊆ F isto ´e, se para todo v ∈ F , T (v) ∈ F .

Observe que se F é invariante por T , então, o operador T pode ser visto como um operador atuando sobre F . Para diferenciarmos do próprio T denotamos por T_|F o operador

(28)

definido por T_|F(v) = T (v) para todo v ∈ F . Vejamos alguns exemplos de subespa¸cos invariantes.

Exemplo 3.1. Se T ∈ L (E) ent˜ao, F = N (T ) ´e claramente um subespa¸co invariante por T .

Exemplo 3.2. Se T ∈ L (E) ent˜ao, F = Im(T ) ´e claramente um subespa¸co invariante por T .

De fato se w ∈ Im(T ) ent˜ao, existe v ∈ E tal que w = T (v). Logo,

T (w) = T (T (v)) ∈ Im(T )

Exemplo 3.3. Se T = I, isto é, T é o operador identidade sobre E, então, qualquer F ⊂ E é um subespa¸co invariante por I.

Defini¸c˜ao 3.2 Seja T ∈ L (E). Um subespa¸co F de E, invariante pelo operador T ´e dito um subespa¸co invariante n˜ao-trivial se

F 6= E e F 6= {0}.

O seguinte lema vai tornar mais claro a importância da no¸cão de subespa¸co invariante, bem como, indicar quais os resultados que necessitamos obter se quisermos entender a¸cão de T sobre E, isto é, como atua o operador T sobre os vetores de E.

Lema 3.1. Suponhamos que T ∈ L (E) e que

E = F ⊕ G

com F, G subespa¸cos invariantes por T n˜ao-triviais de E. Ent˜ao, existe base

² = {u1, . . . , uk+l} de E talq ue, [T ]²_²= Ã A 0 0 B !

onde A, B s˜ao matrizes quadrados de ordem k, l respectivamente onde k =

dim(F ), l = dimG, [T_|F]²1 ²1 = A [T|G] ²2 ²2 = B e ²1 = {u1, . . . , uk}, ²2= {uk+1, . . . , uk+l}.

Prova. Segue do Lema (1.1) que podemos escolher ² = {u1, . . . , uk+l} base

de E com k + l = n, ²1 = {u1, . . . , uk} base de F , e ²2 = {uk+1, . . . , uk+l}

base de G. Como para 1 ≤ i ≤ k, ui ∈ F e T (F ) ⊆ F tem-se que T (ui) = a1iu1+ · · · + akiuk+ 0uk+1+ · · · + 0uk+l.

Do mesmo modo para k + 1 ≤ i ≤ k + l como ui∈ G e T (G) ⊆ G obtˆem-se: T (ui) = 0u1+ · · · + 0uk+ b1iuk+1+ · · · + bliuk+l.

(29)

segue imediatamente a representa¸c˜ao [T ]²_²= Ã A 0 0 B !

onde, A = (aij)k×k, B = (bij)l×l. O restante das conclus˜oes s˜ao imediatas.

O que este lema implica ´e que se queremos entender a a¸c˜ao de T sobre

E a seguinte estrat´egia se evidencia promissora:

1. Obter uma decomposi¸c˜ao de E

E = E1⊕ · · · ⊕ Er

com Ej subespa¸cos invariantes n˜ao-triviais por T para 1 ≤ j ≤ r e

indecompon´ıveis no sentido de n˜ao admitir decomposi¸c˜ao semelhante invariante por T .

2. Obter uma representa¸cão da a¸cão de T_|E_j a mais simplificada poss´ıvel quando os Ej’s são minimais invariantes por T cuja soma direta é E.

Precisamos tornar precisas as no¸c˜oes de indecomponibilidade e de

repre-senta¸c˜ao simplificada. Antes vamos investigar como age um operador linear

sobre um subespa¸co invariante de dimens˜ao 1.

3.2 Autovalores e autovetores

Exemplo 3.4. Seja F um subespa¸co invariante por T e unidimemsional. Seja v0∈ F tal que

F = {αv₀ : α ∈ K}. Ent˜ao, se u ∈ F existe λ ∈ K tal que

u = αv0.

Assim,

T (u) = T (αv0) = αT (v0).

Como T (F ) ⊆ F , T (v₀) = λv₀ para algum λ ∈ K. Logo,

T (u) = T (αv₀) = αT (v₀) = αλv₀ = λαv₀ = λu isto ´e, existe λ ∈ K tal que

T (u) = λu ∀u ∈ F.

podemos escrever a equa¸c˜ao acima como

(30)

Portanto, se F ´e um subespa¸co unidimensional invariante por T existe λ ∈ K tal que

(T − λI)(u) = 0 para todo u ∈ F isto ´e, existe λ ∈ K tal que

(T − λI) : E → E

é um operador com núcleo não-trivial, ou um operador não-invers´ıvel. Defini¸c˜ao 3.3 Um escalar λ ∈ K tal que o operador

(T − λI) : E → E

seja n˜ao-invers´ıvel denomina-sede autovalor de T . Ao subespa¸co F = N (T − λI)

denominamos de autoespa¸co associado ao autovalor λ ∈ K e denotamos por Eλ. Denota-se por esp(T ) ao conjunto

esp(T ) = {λ ∈ K : ´e autovalor de T }.

Lema 3.2. Seja λ ∈ K um autovalor de T . Ent˜ao, Eλ ´e um subespa¸co

invariante por T n˜ao-trivial. Prova.

Eλ = N (T − λI)

Da defini¸c˜ao de autovalor segue que Eλ 6= {0}. Seja v ∈ Eλ. Ent˜ao, como T comuta com (T − λI) segue que

(T − λI)(T (v)) = T (T − λI)(v) = T (0) = 0 isto ´e,

T (v) ∈ N (T − λI) = Eλ

provando que T (Eλ) ⊂ Eλ.

Defini¸c˜ao 3.4 Seja T ∈ L (E) um operador linear. Seja λ ∈ Kum auto-valor de T . Ent˜ao, aos vetores de

E_λ= N (T − λI),

denominamos de autovetores de T associados ao autovalor λ. Várias questôes se colocam na sequência de nosso roteiro:

1. Existem sempre subespa¸cõs invariantes não-triviais, isto é diferentes de E e de {0}?

(31)

2. Existem subespa¸cos invariantes do tipo autoespa¸co associado a algum autovalor? Em outras palavras, sempre existem autovalores?.

Exemplo 3.5. Seja R_π/2 : R2 _{→ R}2 _{a rota¸c˜ao em R}2 _{de um ˆangulo π/2.}

Ent˜ao, [R_π/2]²_²= Ã 0 1 −1 0 !

onde ² denota a base canˆonica de R2_{. Como cada vetor de R}2 _{sofre uma}

rota¸cão de um ângulo π/2, os ´unicos subespa¸cos invariantes são os triviais. Neste caso, estamos numa situa¸cão de inexistência de subespa¸cos invariantes não-triviais.

Exemplo 3.6. Seja T ∈ L (R2, R2) o operador linear cuja matriz na base canônica de R2 _é A = Ã 1 1 0 1 ! . seja v = (1, 0). então, Avt= Ã 1 1 0 1 ! Ã 1 0 ! = Ã 1 0 ! . Logo, (T − I)(1, 0) = (0, 0), isto é, λ = 1 é um autovalor de T .

Calculemos E1. E1= N (A − I). (A − I) = Ã 1 1 0 1 ! = Ã 0 1 0 0 ! . Ã 0 1 0 0 ! Ã x y ! = Ã 0 0 ! ,

cuja solu¸cão é, y = 0 e x é qualquer. Logo,

E1 = {(s, 0) : s ∈ R} = subespa¸co gerado por (1, 0).

Lema 3.3. Se F ⊂ R2_{´e um subespa¸co invariante por T n˜ao-trivial no}

exem-plo anterior então, F = E1. Em particular, não existe uma decomposi¸cão

R2 = E ⊕ F

(32)

Prova. Se {0} 6= F 6= R2 _{´e invariante por T ent˜ao, dim(F ) = 1 e portanto,}

segue do Exemplo (3.4) que T_|F = λI para algum λ ∈ R. Logo, existe 0 6= v ∈ F e λ ∈ R tais que Ã 0 1 0 0 ! Ã x y ! = Ã λx λy ! , isto ´e, x + y = λx e y = λy

com (x, y) 6= (0, 0). Se y 6= 0 ent˜ao, λ = 1. Neste caso, x + y = x ⇒ y = 0 o que ´e um absurdo. Logo, y = 0. Segue que x 6= 0 e como

x + y = x + 0 = λx ⇒ λ = 1.

Portanto, λ = 1 e F = E1, terminando assim a prova do lema.

O exemplo anterior mostra que a ´unica decomposi¸c˜ao R2 = F ⊕ G

em subespa¸cos invariantes por T é F = R2e G = {0} ou G = R2 e F = {0}. Segue que se alguma no¸cão de indecomponibilidade é implementável no caso do corpo ser R então:

A : R2 → R2

deveria ser uma aplica¸cão indecomponivel. precisamos pois, tornar precisa a idéia intuitiva de operador indecompon´ıvel e a´ı chegar a uma caracteriza¸cão geral suficiente que descreva as aplica¸cões indecompon´ıveis. Vejamos mais um exemplo.

Exemplo 3.7. Considere o operador

I_λ: E → E dim (E) ≥ 2

definido por I_λ(v) = λv, isto é I_λ = λI. Então, é óbvio que ∀F ⊂ E subespa¸co de E é invariante por Iλ e portanto, neste caso temos infintas

decomposi¸c˜oes poss´ıveis de E em soma direta de subespa¸cos invariantes n˜ao-triviais.

Este é uma exemplo que impõe certas dificuldades em nosso roteiro, uma vez que desejamos ter algum tipo de unicidade na decomposi¸cão do espa¸co em subespa¸cos invariantes.

Exemplo 3.8. Considere o operador linear dado pela matriz

J_λ=         λ 1 0 · · · 0 0 λ 1 · · · 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 · · · λ 1 0 0 · · · 0 λ         n×n .

(33)

Assim como no Lema (3.3), pode-se mostrar que o único subespa¸co invari-ante 6= Rn_{é F = gerado por (1,0,. . . ,0), e que além disso, não existe G ⊂ R}n

tal que

Rn= F ⊕ G,

e Jλ(G) ⊂ G. Portanto, para este operador a ´unica decomposi¸c˜ao poss´ıvel

seria a formada pelo espa¸co todo. Deste modo dever´ıamos incluir este ope-rador no conjunto dos opeope-radores indecompon´ıveis, isto é aqueles que não admitem decomposi¸cões não-triviais em subespa¸cos invariantes, que vamos definir mais adiante. Observe que

Jλ = λI + N onde N =         0 1 0 · · · 0 0 0 1 · · · 0 .. . ... . .. ... ... 0 0 · · · 0 1 0 0 · · · 0 0         n×n .

J´a vimos anteriormente que o operador N ´e um operador nilpotente, pois,

Nn= 0.

3.3 Operadores Irredut´ıveis

Defini¸c˜ao 3.5 Um operador T ∈ L (E) é dito ser irredut´ıvel se não existe nenhuma decomposi¸cão

E = F ⊕ G com

T (F ) ⊂ F, T (G) ⊂ G subespa¸cos invariantes n˜ao-triviais.

J´a sabemos que os operadores da forma Jλ s˜ao irredut´ıveis sobre E = Rn

ou E = Cn_{. Como j´a observamos antes podemos escrever} Jλ = λI + N

onde N ´e um operador nilpotente de ordem n. A seguinte conjectura se coloca em fun¸c˜ao do observado acima:

Conjectura Se T ∈ L (E) ´e um operador irredut´ıvel ent˜ao, T = λI + N

com λ ∈ K e N ´e um operador nilpotente.

Uma resposta afirmativa `a conjectura ser´a dada mais abaixo. Antes precisamos de alguns resultados.

(34)

Teorema 3.1. Se K = C ent˜ao, qualquer T ∈ L (E) tem pelo menos 1 autovalor.

Prova. Seja 0 6= v ∈ E e considere o conjunto

{v, T (v), T2(v), . . . , Tn(v)}

onde n = dim(E). Segue que o conjunto acima que é constituido de n+1 vetores é linearmente dependente. Logo, existem c0, c1, . . . , cn∈ C não todos

nulos tais que

c0v + c1T (v) + c2T2(v) + · · · + cnTn(v) = 0. Seja p : C → C o polinˆomio p(z) = c0+ c1z + c2z2+ · · · + cnzn. Ent˜ao, p(T ) = c0I + c1T + c2T2+ · · · + cnTn. Logo, p(T )(v) = 0.

Sendo p um polinˆomio sobre os complexos, segue pelo Teorema Fundamental da ´Algebra que podemos escrever

p(z) = n

Y

i=1

(z − λ_i)

com λi∈ C os zeros do polinˆomio p, tomados com repeti¸c˜oes. Logo, p(T ) = n Y i=1 (T − λiI). Mas p(T )(v) = n Y i=1

(T − λiI)(v) = (T − λ1I)(T − λ2I) · · · (T − λnI)(v).

Como p(T )(v) = 0 seja m = sup{1 ≤ j ≤ n : n Y k=j (T − λ_kI)(v) = 0}

Se m = n ent˜ao, (T − λ_nI)(v) = 0 e neste caso λ_n´e um autovalor de T . Se

m < n ent˜ao, definimos w = n Y k=m+1 (T − λkI)(v) 6= 0.

(35)

Ent˜ao, (T − λ_mI)w = (T − λ_mI) n Y k=m+1 (T − λ_kI)(v) = n Y k=m (T − λ_kI)(v) = 0,

provando que λm ´e um autovalor de T .

Para provar a existˆencia de autovalores para operadores sobre espa¸cos vetorias sobre R, precisamos de um teorema antes.

Teorema 3.2. Todo operador T ∈ L (E) onde E ´e um espa¸co vetorial sobre

R admite pelo menos um subespa¸co invariante de dimens˜ao 1 ou 2. Prova. Seja 0 6= v ∈ E. Ent˜ao, considere o conjunto

{v, T (v), T2(v), . . . , Tn(v)}

onde n = dim(E). Segue que o conjunto acima que é constituido de n+1 vetores é linearmente dependente. Logo, existem c0, c1, . . . , cn∈ R não todos

nulos tais que

c0v + c1T (v) + c2T2(v) + · · · + cnTn(v) = 0.

Seja p : R → R o polinˆomio

p(x) = c0+ c1x + c2x2+ · · · + cnxn

que pode ser fatorado como

p(x) = c m Y i=1 (x − λi) r Y i=1 (x2+ aix + bi). Assim p(T ) = c m Y i=1 (T − λiI) r Y i=1 (T2+ aiT + biI) e 0 = p(T )v = c m Y i=1 (T − λiI) r Y i=1 (T2+ aiT + biI)v.

Pelo mesmo racioc´ınio do teorema anterior conclui-se que: ou existe 1 ≤ i ≤

m tal que

(T − λ_iI)w = 0

com w 6= 0 e neste caso λi ´e um autovalor de T ou existe 1 ≤ j ≤ r tal que

(T2+ aiT + biI)w = 0, w 6= 0.

O primeiro caso acarreta que o subespa¸co gerado por w ´e um subespa¸co invariante de dimens˜ao 1. Vamos pois, analisar o segundo caso.

(36)

Seja ent˜ao, w 6= 0 tal que

(T2+ aiT + biI)w = 0.

Seja F o subespa¸co de E gerado por w, T (w). Afirmamos que T (F ) ⊂ F , isto ´e que F ´e um subespa¸co invariante por T . De fato, basta provar que

T (T (w)) ∈ F . Mas

0 = (T2+ aiT + biI)w = T2(w) + ajT (w) + bjw,

logo,

T2(w) = −bjw − ajT (w) ∈ F,

provando o teorema.

Teorema 3.3. Todo operador T ∈ L (E) onde E ´e um espa¸co vetorial sobre

R de dimens˜ao ´ımpar tem 1 autovalor.

Prova. Seja a sequˆencia de afirma¸c˜oes indexada em 0 ≤ i:

P(i):=Se T ∈ L (E) onde E ´e um espa¸co vetorial sobre R de dimens˜ao

2i+1 ent˜ao, T tem uma autovalor.

P(0) ´e verdadeira. ( ´Obvio.)

Suponhamos que P(n) seja verdadeira. Seja T ∈ L (E) um operador sobre E espa¸co vetorial sobre R de dimens˜ao 2n+3. Pelo Teorema (3.2) ou T tem um autovalor, ou existe subespa¸co E1 ⊂ E com dim(E1) = 2

invariante por T , isto ´e, T (E1) ⊂ E1. Seja E = E1⊕ E2

uma decomposi¸cão de E em soma direta. Sejam Π₁ : E → E₁, Π₂ : E → E₂ as proje¸cões associadas à decomposi¸cão dada. Defina

T2= Π2◦ T|E2 ∈ L (E2, E2).

Como dim(E1) = 2 segue que dim(E2) = (2n + 3) − 2 = 2n + 1. Da hip´otese

de indu¸c˜ao o operador

T₂ : E₂ → E₂

tem um autovalor λ ∈ R. Seja 0 6= v ∈ E₂ um autovetor associado a λ, isto ´e,

T2(v) = λv.

Seja

(37)

Seja u + αv um vetor arbitr´ario em F . Ent˜ao,

(T −λI)(u+αv) = T (u)+αT (v)−λu−λαv = T (u)−λu+α(T (v)−λv) = = T (u) − λu + α(Π1T (v) + Π2T (v) + λv) =

T (u) − λu + α(Π1T (v) + (T2− λI)(v)) = T (u) − λu + αΠ1T (v),

pois, (T2− λI)(v) = 0. Resumindo temos

(T − λI)(u + αv) = T (u) − λu + αΠ1T (v) ∈ E1,

pois, u ∈ E1, T (E1) ⊂ E1 e Π1T (v) ∈ E1. Logo, (T − λI)_|F : F → F e Im(T − λI) = E1 F. Segue que N ((T − λI)_|F) 6= {0}.

Segue que existe α ∈ R com u ∈ E₁ tal que w = u + αv satisfaz (T − λI)w = 0,

implicando que λ ´e um autovalor de T completando a prova do teorema. Estamos finalmente prontos para provar o lema fundamental que caracteriza como s˜ao os operadores irredut´ıveis.

Lema 3.4. Seja E um espa¸co vetorial sobre o corpo C e T ∈ L (E) um ope-rador irredut´ıvel. Ent˜ao, existem λ ∈ C e N ∈ L (E), opeope-rador nilpotente tal que

T = λI + N.

Prova. Seja λ ∈ C um autovalor de T dado pelo teorema 4.1 e defina

T0 = T − λI. Seja

E0 = {v : ∃n ≥ 0 tal que T0n(v) = 0}.

E0 é um subespa¸co invariante por T0, isto é, T0(E0) ⊂ E0 e T0|E0 é um

operador nilpotente. Se mostrarmos que E0= E o lema estar´a provado.

Suponhamos por contradi¸c˜ao que E0 6= E. Como λ ´e autovalor de T

segue que E0 6= {0}. Vamos mostrar que existe um subespa¸co E0 ⊂ E tal

que T0(E0) ⊂ E0 e

E = E0⊕ E0.

Como T0 − T − λI segue que se T0(E0) ⊂ E0 ent˜ao, T (E0) ⊂ E0. Mas T (E0) ⊂ E0 contradizendo a irreducibilidade de T .

(38)

Para construir E0 _{tomamos E}

1 tal que E = E0⊕ E1.

Se A ∈ L (E1, E0) denotamos por

graf(A) = {x + Ax : x ∈ E1}.

Para qualquer A ∈ L (E1, E0) graf(A) ´e um subespa¸co de E tal que E = E₀⊕ graf(A).

Para provarmos a afirma¸c˜ao tome v ∈ E = E0⊕ E1. Ent˜ao,

v = v0+ v1= v0+ v1+ Av1− Av1 =

= (v0− Av1) + v1+ Av1 ∈E0⊕ graf(A)

pois, Av₁ ∈ E₀. Logo, v ∈ E₀⊕ graf(A) isto ´e E = E₀ + graf(A). Agora, suponha que v ∈ E0∩ graf(A). Ent˜ao, v ∈ E0 e

v = w + Aw com w ∈ E0.

Logo,

v = w + Aw ⇒ v − Aw = w ∈ E1.

Como v − Aw ∈ E0 e E0∩ E1= {0} segue que w = 0, e portanto, Aw = 0.

Assim

v = w + Aw = 0 + 0 = 0, isto ´e, v = 0. Segue que

E = E0+ graf(A),

como quer´ıamos demonstrar. O subespa¸co invariante por T0 que queremos

encontrar para concluirmos a prova, estará representado como o gráfico de um operador, a saber, graf(A), com A ∈ L (E₁, E₀). Logo, a prova estará terminada se acharmos A ∈ L (E1, E0) tal que

T0(graf(A)) ⊂ graf(A).

Sejam

Π0 : E → E0, Π1 : E → E1

as proje¸cões associadas à decomposi¸cão E = E0⊕ E1, e T₁ def= Π₁T_0|E₁ ∈ L (E₁, E₁)

(39)

Ent˜ao, se A ∈ L (E1, E0), T₀(graf(A)) ={T₀x + T₀Ax : x ∈ E₁} ={Π1T0x + Π0T0T0x + T0Ax : x ∈ E1} ={T1x + T2x + T0Ax : x ∈ E1} ={T1x + (T2+ T0A)x : x ∈ E1}. Logo,

T0(graf(A)) ⊂ graf(A) ⇔T1x + (T2+ T0A)x ∈ graf(A) ∀x ∈ E1 ⇔AT1x = (T2+ T0A)x ∀x ∈ E1

⇔AT₁ = T₂+ T₀A.

Ou seja, a prova est´a reduzida a encontrar A ∈ L (E1, E0) tal que AT₁− T₀A = T₂.

Consideremos o operador

Φ : L (E₁, E₀) → L (E₁, E₀) definido por

Φ(X) = XT1− T0X.

Se provarmos que Φ é injetivo seguirá que é sobrejetivo e portanto, existe

A ∈ L (E1, E0), satisfazendo

AT₁− T₀A = T₂.

Se Φ(X) = 0 tem-se que

XT₁− T₀X = 0 ⇒ XT₁ = T₀X.

Suponha por indu¸c˜ao que XT₁n−1= T₀n−1X ent˜ao,

XT₁n= (XT₁n−1)T1 HI= (T0n−1X)T1 = T0n−1T0X = T0nX,

isto ´e

XT₁n= T₀nX ∀n.

Como T0 ´e nilpotente, existe n tal que T0n= 0. Logo, XT₁n= T₀nX = 0X = 0,

mas T1 ´e um isomorfismo pois,

T₁v = 0 ⇒ Π₁T₀x = 0 ⇒ T₀x ∈ E₀ ⇒ v ∈ E₀.

Como v ∈ E1 resulta que v = 0. Logo, T1n´e um isomorfismo. Assim XT₁m= 0 ⇒ X = 0,

(40)

Corolário 3.1. Seja T ∈ L (E) onde E é um espa¸co vetorial sobre os complexos. Então, existe uma decomposi¸cão

E = E1⊕ E2⊕ · · · ⊕ Em, tal que T (Ej) ⊂ Ej e T|Ej ´e irredut´ıvel.

Prova. Vamos usar indu¸cão na dimensão de E. Se dim(E) = 1 então, o resultado é trivial. Suponhamos que o resultado seja válido para todo operador T ∈ L (E) sempre que dim(E) < n. Seja agora T ∈ L (E) com

dim(E) = n. Então, ou T é irredut´ıvel ( e então, o resultado vale) ou ∃ uma

decomposi¸c˜ao E = E1⊕ E2 tal que T (Ej) ⊂ Ej e 0 < dim(Ei) < n, i = 1, 2.

Aplicando a hip´otese de indu¸c˜ao a T_|E_i, i = 1, 2 o lema fica demonstrado.

3.4 Teorema da Decomposi¸c˜

ao Prim´

aria

Teorema 3.4. [Teorema da Decomposi¸cão Primária] Seja T ∈ L (E), onde E é um espa¸co complexo, ou E é real se todos os autovalores de T são reais. Seja esp(L) = {λ₁, λ₂, . . . , λ_m}. Então, existe uma decomposi¸cão

E = E1⊕ E2⊕ · · · ⊕ Em, tal que T (Ej) ⊂ Ej T_|E_j = λjI + Nj, Nj nilpotente para todo 1 ≤ j ≤ m. Prova. Seja E = F1⊕ F2⊕ · · · ⊕ Fr,

uma decomposi¸cão de E dada pelo Corolário (3.1). Então, T (Fj) ⊂ Fj e T_|F_j é irredut´ıvel para todo 1 ≤ j ≤ r. Então, para cada 1 ≤ j ≤ r existe

λ0_j ∈ C e N_j0 ∈ L (Fj) nilpotente tal que T_|F_j = λ0_jI + N_j0.

Seja a decomposi¸c˜ao

E = E1⊕ E2⊕ · · · ⊕ Em,

obtida somando os Fj para os quais λ0j coincide. Ent˜ao, T (Ei) ⊂ Ei e ∃ λi∈ C e Ni ∈ L (Ei) nilpotente tal que

T_|E_i = λiI + Ni,

e λi 6= λj se i 6= j e 1 ≤ i, j ≤ m. A prova do teorema estar´a terminada se

provarmos que