o~~ ~------~

(1)

MAT1351 Cálculo para Funções de uma Variável Real I

-TRIGONOMETRIA·

As Funçoes trigonométricas no triângulo retângulo

Analisando a figura a seguir, temos que os triângulos retângulos b.DAIBI e b.DA2B2, são semelhantes, pois possuem ângulos correspondentes congruentes.

o~~---~---~---

_BJ.

_B~

Segue-se desta semelhança, as seguintes relações:

AIBI A2B2 DBI DB2 AIBI A2B2

DAI DA2 DAI DA2 DBI DB2

Observe que estas relações dependem apenas do ângulo

O

e não dos comprimentos

-envolvidos, onde () é o ângulo AiDBi. Definimos então, para 0°

< ()<

90°, as seguintes funções

AIBI DBI AIBI

serd)= DAI cosO= DAI tgO= DBI

que se chamam, respectivamente, seno de O, cosseno de O e tangente de

o.

Note que estas funções, chamadas de funções trigonométricas, estão relacionadas entre si.

Exercício 1:

Demonstre que para 0°

<

O

<

90° valem as seguintes relações: (a) sen20

+

cos2(} = l.

(b) tgO= ~~~:.

(c) sen(90° -

O)

=cosO.

Exercício 2:

Calcule o valor de cosO, sené e tgO, para:

(a)

0=30°

e

0=60°.

(Dica: tome um triângulo equilátero de lado 1). (b)

0=45°.

(c) O =36° e O = 18°. (Dica: utilize o triângulo isósceles abaixo).

c

A B

(2)

Observe que o domínio das funções definidas acima é ]0°,90°[, no entanto, não nos interessa esta limitação do domínio nem tampouco o uso da unidade grau para os valores do domínio, pois queremos definir funções cujos domínios sejam os maiores possíveis dentro do conjunto de todos os números reais. Para isso precisamos aban-donar o triângulo retângulo e procurar um outro modelo geométrico que nos permita estabelecer relações análogas àquelas válidas no triângulo.

Medidas de ângulos e de arcos. Radianos

Dada uma circunferência, estamos acostumados a usar expressões do tipo, arco de 40°, para nos referir ao arco que subentende um ângulo central de 40°. Assim podemos nos referir aos arcos

AB

e C

D

como arcos de 40°.

,-----..., <, "-

,.

-,

\ \

.

\ \ I I I / / / / ./ ....•... /'

--

_----

...-/

Note que, dado um ângulo, podemos considerar infinitas circunferências centradas no vértice do ângulo. Para cada uma delas, o ângulo dado subentende um arco difer-ente, cujo comprimento depende do raio da circunferência aó qual ele pertence. As-sim, na figura, comprimento de

AB

é menor que o comprimento de C D sendo ambos chamados de arcos de 40°.

Temos então que um arco de circunferência corresponde a um único ângulo central, mas a um ângulo correspondem uma infinidade de arcos. No entanto, mostra-se, que se

AB

e C D são arcos correspondentes ao mesmo ângulo central em circunferências de raios r e ri, então

r

_r = l2., onde p é o comprimento do arco

AB

e PI é o comprimento

rI

do arco

CD.

Definição: A medida de um ângulo em radianos é a razão entre o comprimento do arco determinado pelo ângulo em uma circunferência centrada no vértice do ângulo e o raio da circunferência.

Pela figura, temos

- --. P PI

CGD

=

AGB

= -

radianos

= -

radianos.

r ri

No caso do comprimento

P

de uma semi-circunferência de raio r, a razão, já conhecida desde os Gregos antigos, é chamada de número ']f, então segue-se que

P

.

180°= - =']f radianos

(3)

o

bserve que a medida de um ângulo em radianos não depende da unidade de com-primento considerado, pois por exemplo, se o raio da circunferência é igual a

2K

m, o arco correspondente ao ângulo de

~radianos

mede 7r quilômetros; se o raio da cir-cunferência mede 2 polegadas o arco correspondente ao ângulo de

~radianos

mede 7r

polegadas.

Funções Trigonométricas

A CIRCUNFERÊNCIA

ORIENTADA

Para prosseguir vamos considerar uma circunferência de raio 1e tendo em mente o que foi discutido até aqui vamos identificar os ângulos e arcos correspondentes. Assim, para simplificar a nossa comunicação, vamos nos referir sem distinção ao ângulo 7r e ao arco 7r.

Vamos associar a cada número real um ponto sobre uma circunferência de raio 1, para depois disso podermos definir as funções trigonométricas de qualquer número real. Isto será feito da seguinte forma:

Sobre uma circunferência

C

de raio

1

vamos fixar um ponto A que será a origem dos arcos e a partir deste ponto vamos escolher o sentido anti-horário de percurso sobre a circunferência como sendo positivo para a representação dos arcos. Isto é, definimos a medida algébrica de um arco

AB

desta circunferência como sendo o comprimento deste arco, associado a um sinal positivo se o sentido de A para B for anti-horário, e negativo se o sentido do percurso de

A

para

B

for horário.

No caso do desenho abaixo, a medi~il. ~l~ét,rica do arco

AB

(no sentido anti-horário) é um número positivo igual ao compr\.~ do arco

AB

ou a medida em radiano do ângulo central correspondente. Já no ~Q5Q

do

arco AF (no sentido horário) sua medida

algébrica

é

um número negativo igual

o:

~e1Ps o comprimento do arco AF.

Exercfcio l.Representre na circunferência abaixo os pontos correspondentes aos arcos de medidas: 7r medida de

AB

=

"8

medida de

AD

=-3 . 37r medida de AC =

4

medida de AE =O

(4)

Com o que fizemos até agora para cada número

x

do intervalo [-27r, 27r] corresponde um ponto

P

=

P(x)

sobre a circunferência de tal forma que o arco

AP

tenha medida Ixl e o percurso de

A

para

P

seja anti-horário ou horário dependendo do sinal de

x.

Como estender esta correspondência para números além deste intervalo?

Vamos definir uma função que a cada número real faz corresponder um ponto

P(x)

na circunferência assim: se

x

é positivo percorremos sobre a circunferência no sentido anti-horário um comprimento igual a

x

até determinar

P(x),

se

x

é negativo este percurso é feito no sentido horário.

Então se

x

< -

27r ou X

>

27r será necessário dar mais de uma volta na circun-ferência para atingir

P(x)

num ou noutro sentido. Por outro lado, um mesmo ponto P da circunferência corresponder á a uma infinidade de números reais.

Exercícios

2. Quantas voltas serão dadas na circunferência para se representar os números 257r

-

₃

e -12?

_.

3. Se um ponto K da circunferência corresponde ao número ~ a que outros números este mesmo ponto corresponde?

4. Se um ponto

P

da circunferência corresponde a um número x qual é a forma dos outros números que também correspondem a este mesmo ponto? Estes números são chamados as várias determinações do arco

AP.

AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Consideremos um sistema de coordenadas cuja origem é o centro de uma circun-ferência

C

de raio 1 e tome A = (1, O) a origem dos arcos sobre

C.

Para cada número real

x,

seja

P(x)

o ponto na circunferência

C

onde a medida de

AP

=

x.

Definimos cosx = abscissa de

P

senx = ordenada de P senx tgx = -- se cosx

i=

O cosx ·A

Observe que tomando

P

=

A

foi possível definir cosO=1 e senO=O, e tomando

(5)

5. Verifique que estas definições coincidem com as definições anteriores de funções trigonométricas no triângulo retângulo para arcos no 1

º

quadrante. Calcule

. 37r

ainda os valores de seno e cosseno para

x

= 7r,X

=

"""2

e

x

=

27r.

Aqui queremos chamar a atenção para a vantagem de estarmos medindo os ângulos centrais em radianos e não

em

graus. Observe que, não importa a unidade de medida escolhida para a unidade do sistema de coordenadas, teremos os arcos e os ângulos centrais (em radianos) representando os valores de

x

e os valores de

senx, cosx

e tgx todos na mesma unidade. Por isso, no Cálculo e em suas aplicações, a convenção adotada é medir ângulos em radianos, para evitar confusões pois ao estudarmos funções da forma

F(x)

=

x+ senx,

se escolhermos como unidade do sistema de coordenadas 1 centímetro, cada ponto

(x, F(x))

do gráfico desta função terá suas ordenadas expressas em em.

Exercícios

6. Verifique que, para todo número real

x,

temos:

sen

2

x

+

cosêz = 1.

7. Quais são os valores máximos e mínimos para

senx

e para

cosx?

O que podemos dizer sobre os valores da função tangente?

8. Para que valores de

x

não é possível definir tgx?

9. Verifique que para todo número inteiro

k

e todo número real

x

temos:

cosx

=

cos(x

+

2k7r). Isto quer dizer que a função cosseno é periódica de período 27r. A mesma igualdade vale para as funções seno e tangente? Por quê?

10. As funções seno e cosseno mudam de sinal dependendo do valor de

x,

ou seja, dependendo a posição do ponto

P(x)

em cada um dos quadrantes do sistema de coordenadas. Além disso, estas funções são crescentes ou decrescentes em cada um dos quatro quadrantes. Observe estes fatos e complete a tabela a seguir:

P(x) no 10 P(x) no 20 P(x)no30 P(x) no 40 \

Quadrante Ouadrante oUadrante Quadrante·

saRO poSitiva e

crescente

cosseno negativa e

(6)

11. Com base nos resultados obtidos até aqui faça um esboço dos gráficos das funções seno e cosseno. S,

f-I

-li,. o f1:r,. r(

,.

~O: x

-o (/1 _X

Para analisarmos o comportamento da função tg e construirmos seu gráfico é mais adequada uma outra interpretação de tgx sem depender das funções seno e cosseno, mas apenas do ponto

P(x).

Para isso, vamos introduzir um outro eixo de coordenadas tendo como origem o ponto

A

e a direção da reta tangente

à

circunferência no ponto

A,

orientada positivamente como o eixo dos y do sistema original.

Sobre este eixo escolhemos a unidade de medida igual à do raio da circunferência.

Se

AB

é um arco de medida x, a reta que passa por O e por

B

encontra a circunferência em

B'

e o novo eixo em

T.

Vamos mostrar que tgx =medida de

AT,

isto é, tgx é a medida algébrica de

AT.

Para se convencer disso faça os dois próximos exercícios:

12.

Se o ponto

B

está no 1º ou no 3º quadrantes, considere que a medida de

AB

=

x

e a medida de

AB'

=x

+

7r. Use a semelhança dos triângulos para completar as igualdades: senx tgx = -- = --- = medida de

AT

cosx ( ) sen(x

+

7r) tg x

+

7r = _-2-_~ cos(x

+

7r) ____ =medida de

AT

(7)

13. Se o ponto B está no 2º ou no 4º quadrantes, repita o mesmo raciocínio para concluir que: tgx = - medida de

AT.

14. Usando esta nova interpretação para tgx e os cálculos feitos, mostre que a função tangente

é

periódica de período rr. Assim, para fazer seu gráfico basta saber seu sinal e o seu crescimento para

x

nos dois primeiros quadrantes. Faça o gráfico desta função: I 1.. I ! i r . I

Bibliografia básica para este texto: Carmo, M.P., Morgado, A.C., Wagner, E. -Trigonometria, Números Complexos. IMPA, VITAE, 1992.

Exercícios:

15. Seja p o lado de um polígono regular de

n

lados e

r

o raio do círculo inscrito neste polígono. Mostre que:

p

=

2rtg ~.

16. As desigualdades abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique.

(a) sen

2

>

O

(b) cos

4

<

O

(c) sen

3

>

sen

2

(d) cos

3

>

cos

2

(e) tg

5

>

tg

6

(J) cos~

<

cos

1

(g) cosvÍ3

<

1

(8)

Cotangente, Secante e Cossecante

Definimos:

• cotg a

= cos a

a --'-

k7f

k

E ~'

sen a' I ,

• sec a

= co; a'

a

=I- (~

+

k7f), k

E ~,

• cosec a

= se~ a'

a

=I- kx,

k

E ~,

17. Verifique que as extremidades dos arcos

x

e

-x

são simétricas em relação ao eixo das abscissas; que as extremidades dos arcos

x

e 7f -

x

são simétricas em relação

ao exio das ordenadas; que as extremidades das arcos

x

e 7f

+

x

são simétricas

em relação

à

origem e que as extremidades das arcos

x

e ~ -

x

são simétricas en relação

à

bissetriz dos quadrantes ímpares. Conclua que:

sen( -x)

=

-senx

cos( -x)

=

cosx

tg( -x)

=

-tgx

sen(7f - x)

=

senx

cos(7f -

x)

=

-cosx

tg(7f - x)

=

-tgx

sen(7f

+

x)

=

-senx

cos(7f

+

x)

=

-cosx

tg(7f

+

x)

=

tgx

sen(~ - x)

=

cosx

cos(~ - x)

=

senx

tg(~ - x)

=

cotgx

18. Usando o exercício anterior, mostre que

(a) sen(%

+

x)

=

cosx

(b) cos(~

+

x)

=

-senx

(c) tg(~

+

x)

=

-cotgx

(d) senei

- x)

=

-cosx

(e) cose

rr -

x)

=

-senx

(f)

tg( ; - x)

=

cotgx

(g) sen(g;

+

x)

=

-cosx

(h) cose;

+

x)

=

senx

(i) tge;

+

x)

=

-cotgx

19. Observando-se as figuras abaixo e sabendo-se que a medida do arco

AP

vale x:

-1 o 1 t ---i-

//=- '.

-=::::::~ Vi ' ! p I I I ~' / ' !

:/

i /'

\1

li ~ ;. 1 I ~ i

A/t---·~~---t_

A

\ / ' \ /,'

/

\.' ; I "",

:

/'

...

,...----+_..---ctg

.,.-Figura

L.I

Figura ;;..

(a)

Mostre que

cotgx

=

t,

(figura 1)

(b)

Determine a equação da reta tangente

à

circunferência, no ponto

P,

(figura 2)

(9)

20. Verifique as relações: (a) sec'« = 1

+

tg2x,

(b) cosec'»

= 1

+

cotg2x, _1 se

x =I-

k!!. (c) cotgx = { tgx' 2 O, se x = ~

+

kt:

21. Calcular m para que exista um ângulo x com 2

cosx=

--m-1 tgx =

vm-2

22. O que significa uma função ser par? E ser ímpar? O que podemos dizer sobre as funções sen x e cos x? Explique.

23. O que significa uma função ser periódica? Quais das funções trigonométricas estudadas são periódicas? Explique.

24. Mostre que sen(a

+

b) =sen a cos b

+

sen b cos a. (Sugestão: use a fórmula do cos(a -

b)

para os arcos ~ - a e

b).

25. Encontre fórmulas, em termos de senos e cossenos de a e de b, para: (a) sen(a -

b)

(b)

sen 2a (c) cos 2a

26. Usando as fórmulas cos2x+sen2x = 1 ecos 2x =cos2x-sen2x encontre fórmulas para coe: (~) e eeo? (~).

27. Deduza fórmulas para tg(a

+

b)

e tg(a -

b).

28. Nas fórmulas do produto faça a

=

a

+

f3 e b

=

a - f3 e mostre que: (a) cos

(a!b)

cos

(a;b)

=

H

cos a

+

cos

b)

(b)

sen

(a!b)

sen

(a;b)

= ~(cos a - cos

b)

29. Encontre as fórmulas correspondentes para (sen a

+

sen

b)

e (sen a - seti

b).

30. Deduza as seguintes identidades:

( ) 2 - 2 tg a

(b)

2 _ 1-tg a

a sen a - 1+tg2 a cos a - 1+tg2 a

(c)

tg 2a = 2 tg a

1-tg2 a

(d)

(sec a - tg a)2 = l-sen a l+sen a

(e) tg2!! = sec a -1

2 sec a +1

(f)

sec(a

+

b)

= sec a sec b tg b - tg a

(10)

32. Uma pessoa inspira e expira, completando o ciclo respiratório a cada 3 segundos.

O volume mínimo e máximo de ar nos pulmões é, em média, de 2 litros e 4 litros,