Espaços Métricos e Espaços Topológicos

ESPAÇOS MÉTRICOS

E

ESPAÇOS TOPOLÓGICOS

Nuno C. Freire e M. F. Veiga Setembro 2010

i

Prefácio

A aplicação da Matemática, em que se consideram unicamente conceitos abstractos ao estudo da realidade Física, reflecte como o pensamento humano é moldado à existência material.

Em Topologia obtem-se uma Teoria relativa aos conceitos de figura, pela caracterização da forma_ Figuras que podem obter-se uma da outra por uma deformação continuada são chamadas homeomorfas; homeomorfismo é um

conceito fundamental em Topologia; e distinguem-se figuras formadas por "um só" ou "vários bocados"_ E de número, pela formulação geral rigorosa do conceito de limite. Assim em particular a Topologia é fundamental em Análise Matemática.

Já da Antiguidade se recolhem os Elementos de Euclides, um primeiro exemplo de uma Teoria Axiomática. Esta obtem-se na dedução de propriedades feita a partir de outras e uma propriedade só é aceite como verdadeira_Um Teorema da Teoria_ Se foi demonstrada ou seja, se ficou provado que é

consequência lógica de propriedades anteriores. Indispensável é assim a Lógica Matemática; esta assenta na distinção entre os valores lógicos Verdadeiro e Falso, e tem como Princípios fundamentais a não contradição (uma proposição não pode ser simultaneamente Verdadeira e Falsa) e o terceiro excluído (dada uma

proposição, esta é Verdadeira ou é Falsa, não podendo dar-se outro caso). E a Teoria de Conjuntos, que dá corpo rigoroso a toda a Matemática, que teve

avanços notáveis no séc. XIX. Este livro é inicialmente concebido como um texto para o estudante que lhe dá chão seguro para proseguir em Análise e, de forma geral para todo o Curso. A matéria é exposta na forma de exercícios resolvidos, recolhida de obras consagradas. Sugere-se ao leitor que vá seguindo as

resoluções para de seguida, pouco a pouco, procurar por si resolver recorrendo quando necessário a uma solução exposta. Inicia com uma abordagem intuitiva de Teoria de Conjuntos e noções básicas de Lógica Matemática no Cap. I.

Aconselha-se a leitura atenta deste Capítulo. Da experiência de um dos Autores, o Aproveitamento é muito melhor quando se começa pelos Espaços Métricos,

expostos no Cap. II; assim se facilita o processo de abstracção. Np Cap. III trata-se a Topologia Geral. As matérias são desenvolvidas de modo a que excedem um Curso habitual de Topologia de um Semestre. Nomeadamente o Cap. IV não terá cabimento nesse âmbito. Para o estudo da Topologia incluímos no Cap. III o esboço de uma Axiomática rigorosa de Teoria de Conjuntos, baseada na Axiomática de Bernays-Gödel-von Neumann que é adoptada pelo texto de referência [Dugundji]. Numa primeira abordagem (quiçá inevitavelmente para um primeiro Curso) é suficiente o Cap. I. Motivados pelo interesse no tema,

apresentamos desenvolvimentos possivelmente apropriados para pós-graduação. São indicadas referências bibliográficas para o aprofundamento em Topologia, que esperamos possam ser úteis para Colegas interessados.

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ÍNDICE

Prefácio ...i

I RELAÇÕES, CONJUNTOS E FUNÇÕES ...1

I.1 Relações numa variável e conjuntos ...2

I.2 Relações binárias e funções ... 21

I.3 Axioma de Zermelo e produto cartesiano infinito Operação de Hilbert ... ...25

I.4 Funções associadas de conjuntos de uma função ... ... .... 26

I.5 Relações de equivalência e relações de ordem ... ... 29

I.6 O conjunto N. Noções de cardinalidade ... ... 36

I.7 Filtros e ultrafiltros. Redes ...47

I. 8 Exercícios e complementos ... 54

Bibliografia do Capítulo I ... 57

II ESPAÇOS MÉTRICOS ... 58

II.1 Desigualdades de Cauchy-Schwarz, Hölder e Minkowski ...59

II.2 Distância num conjunto. Espaço métrico. Sucessões convergentes ... 61

II.3 Vizinhanças de um ponto num espaço métrico ... 72

II.4 Métricas equivalentes ...75

II.5 Topologia de um espaço métrico ... 80

II.6 Topologia de subespaço métrico. Separabilidade ... 97

II.7 Condições de cardinalidade em espaços métricos ... 103

II.8 Limite de uma função entre espaços métricos num ponto e continuidade ...111

II.9 Métricas sobre o produto cartesiano de espaços métricos ... 126

II.10 Espaços métricos completos. Categoria ... ....130

II.11 Separação em espaços métricos ...143

II.12 Compacidade em espaços métricos ...144

II.13 Conjuntos conexos em espaços métricos ... 154

II. 14 Exercícios e complemantos ... .... 161

iii

III ESPAÇOS TOPOLÓGICOS ...165

III.1 Uma axiomática da teoria de conjuntos.. Números ordinais e números cardinais ...166

III.2 Espaço topológico e base de uma topologia ...178

III.3 Vizinhanças de um ponto ...185

III.4 Subespaços topológicos ... 188

III.5 Conjuntos fechados. Definição da topologia pelo operador de fecho ....190

III.6 Conjuntos notáveis associados a um conjunto no espaço topológico ...192

III.7 Convergência no espaço topológico ...197

III.8 Limites e continuidade ... 201

III.9 Separação ... 210

III.10 Topologia produto e topologia ccociente. Espaços completamente regulares. Obtenção de topologias ... 221

III.11 Compacidade ...239

III.12 Conjuntos conexos ...257

III. 13 Exercícios e complementos ...268

IV METRIZABILIDADE ...270

IV.1 Espaços topológicos metrizáveis separáveis ...271

IV.2 Teoremas complementares ... 275

IV.3 Exercícios e complementos ... 280

I RELAÇÕES, CONJUNTOS E FUNÇÕES

I.1 RELAÇÕES NUMA VARIÁVEL E CONJUNTOS

Uma relação Rx numa variável x ∈ U (x pertence a U) é uma expressão em que figuram palavras da linguagem comum, acrescidas ou não de sinais ou símbolos

matemáticos, que se transforma numa afirmação (proposição) para cada valor atribuido à variável x, percorrendo o conjunto U. Neste Cap. I não distinguimos entre os conceitos de colecção ou classe de entes, e o conjunto que constituem; o que é tema de III.1. em que expomos uma teoria axiomática de conjuntos, a que seguimos neste livro. Podem ocorrer numa Teoria matemática, relações numa variável x, que envolvam apenas símbolos matemáticos e a variável x.

Sempre que não é claro no contexto, deve indicar-se expressamente o conjunto de valores que se considera para a variável, escrevendo Rx x ∈ U.

I.1.1 Exemplos (1) Rx ≡ x é divisível por 3 x ∈ N é uma relação em x, considerada para x variando no conjunto dos números naturais N  1, 2, . . . ;

(2) Rx ≡∣ x ∣ 1 x ∈ R é uma relação na variável x percorrendo o conjunto R dos números reais;

(3) Rz ≡∣ z ∣ 1 z ∈ C é uma relação em C, o conjunto dos números complexos;

(4) Rp ≡ p ∈ Q p ∈ N0 é uma relação na variável p, onde p varia no conjunto

dos inteiros não negativos N0 (Q representa o conjunto dos números racionais).

I.1.2 Observações (1) A cada conjunto dado A, podemos associar a relação correspondente x ∈ A, que é uma relação na variável x. No entanto, uma relação numa variável pode não definir nenhum conjunto. Aceitamos os princípios do terceiro excluido e da não contradição (uma proposição é verdadeira ou é falsa, e não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente) da Lógica Clássica, e conclui-se facilmente que a relação x ∉ x não define nenhum conjunto: se A é o conjunto dos elementos x tais que x ∉ x, suponhamos

A ∈ A; então A ∉ A, de modo que não pode ser A ∈ A, pelo princípio da não contradição.

Pelo princípio do terceiro excluído, deve ter-se portanto A ∉ A; mas então A ∈ A, pela definição do conjunto A, o que não pode ser, de novo pelo princípio da não contradição.

(2) O aluno já terá distinguido que expressões como " x ∉ x" , " x ∈ x" , serão ”absurdas”. Esta última, por exemplo porque uma vez conceptualizado um conjunto X, há que distinguir o conjunto dos elementos que lhe pertencem, e que são exactamente os objectos que satisfazem a relação x ∈ X. Deste modo deve escrever-se 1 ∈ 0, 1, 4 no lugar de1 ∈ 0, 1, 4,  ∈  em vez de  ∈ ; em ambos os casos, se X é um conjunto formado por elementos a, b, u, escrevemos X  a, b, u por exemplo. (A relação

Rx ≡ x ∈  x ∈ N não é ”absurda”, recorde-se, mas uma relação impossível pois não é

verificada por nenhum número natural). Questões como estas inserem-se na Teoria da Lógica Matemática aprofundada, e neste curso aceitaremos tacitamente axiomas de

regularidade (numa Teoria Matemática, aceitam-se como verdadeiras certas hipóteses sem necessidade de demonstração, que se chamam axiomas), que dão lugar aos conceitos e notações habituais em Teoria dos Conjuntos.

I.1.3 Substituições numa relação

Se Rx x ∈ U é uma relação em x, e c ∈ U, diz-se que a proposição Rc é obtida por substituição da variável x pela constante c

I.1.4 Os valores lógicos V, F

Segundo os princípios do terceiro excluido e da não contradição, a cada proposição P corresponde ou o valor lógico V, se a proposição é verdadeira, ou o valor lógico F, se é falsa; e não pode ocorrer um terceiro caso. Para simplificar, escreve-se P  V, P  F respectivamente no primeiro (segundo) caso.

I.1.5 Exercício Em cada um dos exemplos (1),...,(4) anteriores, determine o valor lógico das proposições R4 e R1. (Note que 1, 4 pertencem ao conjunto relativo à variável em cada exemplo).

Resolução

(1) R1  F. R4  F.

(2) R1 ≡∣ 1 ∣ 1  V. R4 ≡∣ 4 ∣ 1  4  1  F. (3) R1 ≡∣ 1 ∣ 1  V. R4 ≡∣ 4 ∣ 1  4  1  F.

(4) R1 ≡ 1 ∈ Q  1 ∈ Q  V. R4 ≡ 4 ∈ Q  2 ∈ Q  V.

I.1.6 Formação de novas relações e tabelas de verdade

Sendo Rx, Sx duas relações numa variável x percorrendo um mesmo conjunto U, então para cada substituição de x por uma constnte c ∈ U a proposição Rc ou Sc pode não significar o mesmo que Rc, nem que Sc. A proposição Rc ou Sc, ou mais

geralmente R ou S, em que R, S são quaisquer proposições, designa-se por R∨ S, neste caso

Rc ∨ Sc. Uma vez que podemos considerar a proposição Rc ∨ Sc para cada valor da

constante c tomada em U, faz sentido considerar a relação Rx ∨ Sx x ∈ U.

Analogamente, dadas Rx, Sx, ambas relações em x ∈ U pode considerar-se a relação

Rx e Sx, que se representa por Rx ∧ Sx. E assim como dada uma proposição R

podemos considerar a sua negação, que notamos ~R, a negação da relação Rx x ∈ U é a relação ~Rx x ∈ U, sendo ~Rc a negação da proposição Rc, para cada substituição da variável x pela constante c fixada em U. Importante é também saber se uma relação Rx implica uma relação Sx, para a variável x tomando valores em U. Isto é verdade sse (abreviatura de ”se e só se”) para cada substituição da variável x por um elemento c ∈ U, as proposições obtidas Rc, Sc respectivamente verificam Rc  Sc isto é, se sempre que se dá Rc  V então tem-se Sc  V; escreve-se neste caso Rx  Sx x ∈ U.

Rx, Sx são equivalentes quando Rx  Sx e reciprocamente Sx  Rx, nota-se

então Rx  Sx. Frequentemente, interessa ter informação sobre o valor lógico de uma proposição, ou de uma relação numa variável, obtida a partir de outras por utilização dos símbolos lógicos∨, ∧, ~, , não apenas no caso em que a proposição obtida é verdadeira (ou a proposição obtida por substituições numa relação), para estudar um problema; para isso utilizam-se as tabelas de verdade do cálculo proposicional, que indicam a variação dos valores lógicos.

I.1.7 Tabelas de verdade da disjunção, conjunção, negação, implicação e equivalência P Q P∨ Q P ∧ Q ~P P  Q P  Q V V V V F V V V F V F F F F F V V F V V F F F F F V V V

I.1.8 Exemplos (1) Sabendo-se que uma disjunção P∨ Q  V, e que P  F, pode inferir-se pela observação da tabela, que Q  V;

(2) Se soubermos que uma implicação P  Q é verdadeira (i.e, P  Q  V, e portanto se verifica o caso da 1ª linha, ou os casos da 3ª ou 4ª linhas da tabela de verdade), e que o consequente Q da implicação é Q  F, podemos concluir que P  F pela

observação da tabela.

I.1.9 Observação As tabelas de verdade aplicam-se também a relações, indicando-se o conjunto em que se considera a variável. Para uma relação Rx x ∈ U, põe-se

Rx  V x ∈ A se Rc  V para cada subtituição da variável por qualquer constante c ∈ A ⊂ U. Por exemplo x2 _{ 0 x ∈ R é falsa, e x}2 _{ 0 x ∈ R\0 é verdadeira.}

Também x2 _{ 1  x  1 x ∈ R é falsa, e x}2 _{ 1  x  1 x ∈ R} 0

_{ é verdadeira, onde}

R0 é o conjunto dos números reais não negativos. Para significar que duas relações

Rx, Sx x ∈ U têm o mesmo valor lógico (i.e., para cada substituição da variável por

uma constante c, as proposições Rc, Sc têm o mesmo valor lógico, Rc  Sc), escreve-se Rx  Sx. Por exemplo as relações em x ∈ N, Rx ≡ x é divisível por 4, e

Sx ≡ x é divisível por 2 ,verificam Rx ∨ Sx  Sx, Rx ∧ Sx  Rx. Diz-se que

as proposições R, S (respectivamente as relações em x, Rx, Sx) são equivalentes sse

R  S (respectivamente Rx  Sx)

I.1.10 Exemplo Dadas quaisquer proposições R, S, as tabelas de verdade de R  S e de ~R∨ S mostram que R  S  ~R ∨ S: R S ~R R  S ~R ∨ S R  S  ~R ∨ S V V F V V V V F F F F V F V V V V V F F V V V V

Uma proposição que assume sempre o valor lógico V diz-se uma tautologia. Assim

I.1.11 Exercícios (1) Verifique usando uma tabela de verdade, que ~ ~R  R é uma tautologia.

(2) Mostre que são tautologias, utilizando tabelas de verdade: (i) R  R ∨ S; (ii) R∧ S  R; (iii)R  S  R  S ∧ S  R; (iv)R  T ∧ S  T  R ∨ S  T; (v)H  T  ~T  ~H; (vi)R  S ∧ R  T  R  S ∧ T. (vii) R  S  ~R ∨ S.

(3) Utilizando o exercício anterior, pode concluir que se R, S   0 são relações na variável ∈ R, onde Ré o conjunto dos números reais positivos, então as implicações

(i) R  R ∨ S e (ii) R ∧ S  R são verdadeiras? Porquê? (4) Sendo x0 ∈ a, b  A ⊂ R,   0,

(i) determine o maior subconjunto_{E de R} tal que R ≡ x0− , x0  ⊂ A é

verdadeira, com x0  ab₂ , para todo o ∈ E.

(ii) indique um valor de x0tal que, para qualquer  0, sejam verdadeiras

simultãneamentex0 − , x0   ∩ A ≠ , x0 − , x0   ∩ Ac ≠ . (Ac  R\A é o conjunto complementar de A em R). Resolução (1) R ~R ~ ~R V F V F V F

Uma vez que R, ~ ~R assumem sempre o mesmo valor lógico, conclui-se que ~ ~R  R é uma tautologia. (2) (i) R S R∨ S R  R ∨ S V V V V V F V V F V V V F F F V (ii) R S R∧ S R ∧ S  R V V V V V F F V F V F V F F F V

(iii) R S R  S R  S S  R R  S ∧ S  R

V V V V V V

V F F F V F

F V F V F F

F F V V V V

Uma vez que os valores lógicos nas 3ª e última coluna coincidem, conclui-se a tautologia. (iv) R S T R∨ S R  T S  T R  T ∧ S  T R ∨ S  T V V V V V V V V V V F V F F F F V F V V V V V V V F F V F V F F F V V V V V V V F V F V V F F F F F V F V V V V F F F F V V V V

Uma vez que sempre que o antecedenteR  T ∧ S  T na penúltima coluna é verdadeiro, também o consequente R∨ S  T na última coluna é verdadeiro, concluimos que a implicaçãoR  T ∧ S  T  R ∨ S  T é verdadeira.

(v) H T ~H ~T H  T ~T  ~H

V V F F V V

V F F V F F

F V V F F F

F F V V V V

Uma vez que os valores lógicos de H  T, ~T  ~H coincidem nas 5ª e 6ª colunas coincidem, conclui-se queH  T  ~T  ~H.

(vi) R S T S∧ T R  S R  T R  S ∧ R  T R  S ∧ T V V V V V V V V V V F F V F F F V F V F F V F F V F F F V V V V F V V V V V V V F V F F V V V V F F V F V V V V F F F F V V V V

Coincidindo os valores lógicos nas duas últimas colunas, conclui-se a equivalência. (vii) R S ~R R  S ~R ∨ S R  S  ~R ∨ S

V V F V V V

V F F F F V

F V V V V V

(3) Sim, porque para cada substituição de por uma constante 0, as implicações

R0  R0 ∨ S0 e R0 ∧ S0  R0 são verdadeiras ((2),(i),(ii)).

(4) (i) O maior valor de para o qual ab₂ − , ab₂   ⊂ a, b é o maior   0 tal que ab₂ −  ≥ a ∧ ab₂   ≤ b  0   ≤ ab₂ − a  b−a₂ ∧  ≤ b−a₂ ; é portanto  b−a₂ . Conclui-se  0, b−a₂ .

(ii) x0  a.

I.1.12 Cálculo Proposicional e obtenção de conjuntos.

Dados conjuntos X, Y definidos respectivamente por relações Rx, Sx, obtêm-se

X Y  x : Rx ∨ Sx  x : x ∈ X ∨ x ∈ Y (”x :” leia-se ”x tal que”), X∩ Y  x : Rx ∧ Sx  x : x ∈ X ∧ x ∈ Y e

Y\X  x : Sx ∧ ~Rx  x ∈ Y : x ∉ X, onde x ∉ Y significa ~x ∈ Y. Se se

consideram todos os conjuntos, como subconjuntos de um mesmo conjunto universal U, nota-se apenas Xc_{no lugar de U\X.}

Mais geralmente, se A1, . . . , An são conjuntos, a reunião (resp. intersecção) finita dos

conjuntos Ak k  1, . . . , n é o conjunto





k ∈ Sn k ∈ Sn



k ∈ Sn

(



k ∈ Sn

Para cada n ∈ N, Sn é a secção de índice n de N, Sn  1, . . . , n.

I.1.13 Observação De I.1.11 (1) concluimos que se A é um subconjunto de um conjunto universo U, tem-seAc_c _{ U.}

I.1.14 Exemplos (1) N0  0, 1, 2, . . .   N  0.

(2) Se k ∈ N, representa-se kN0  0, k, 2k, 3k, . . . , e para cada p ∈ N,

kN p  k  p, 2k  p, 3k  p, . . . . Com k  3, obtem-se





p ∈ S3 p ∈ S3

I.1.15 Definição Se X ≠ , Y ≠ , o par ordenado x, y (x ∈ X, y ∈ Y) pode definir-se como sendo o conjuntox, x, y  x, y. Obtem-se então o conjunto produto cartesiano de X por Y, X Y  x, y : x ∈ X, y ∈ Y. O produto cartesiano X  X representa-se também por X2_{. De modo análogo, sendo X}

1, . . . , Xmconjuntos não vazios, m ∈ N,

define-se o produto cartesiano

X1 . . . Xm 



Xk  x1, . . . , xm : xk ∈ Xk, k  1, . . . , m

Nota-se X1 . . . Xm  Xmse Xk  X k  1, . . . , m, para cada m ∈ N2, onde N2 

 2, 3, . . . .

Exemplos (1) O plano cartesiano real é o produto cartesiano R2. (2)i, −1, −i, 1 ∈ C4, onde C é o plano complexo.

I.1.16 Exercícios (1) Mostre que dados conjuntos não vazios A, B, C, D tem-se: (i) A C  D  A  C  A  D; (ii) A  B  C  A  C  B  C (iii)

A C ∩ D  A  C ∩ A  D; (iv) A ∩ B  C ∩ D  A ∩ C  B ∩ D.

(2) Mostre que se R, S são proposições, a) verificam-se as leis de De Morgan:

~R ∨ S  ~R ∧ ~S e ~R ∧ S  ~R ∨ ~S são tautologias. (Utilize uma tabela de

verdade grande); b) se P, A, B são proposições,

(i) P∧ A ∧ B  P ∧ A ∧ P ∧ B; (ii) P ∧ A ∨ B  P ∧ A ∨ P ∧ B; c) verifique também utilizando uma tabela de verdade, que pode trocar-se em b) (i), (ii)∧  ∨ obtendo outras equivalências.

d) Conclua de b) e a) que se P, R, S são proposições, então (i) P∧ ~R ∨ S  P ∧ ~R ∧ P ∧ ~S;

(ii) P∧ ~R ∧ S  P ∧ ~R ∨ P ∧ ~S.

(3) Determine : (i)





p ∈ S4 p ∈ S4

(4) Determine as intersecções, e interprete graficamente: (i)x, x2_{ : x ∈ R}_{ ∩ x, x}4_{ : x ∈ R} 0 _; (ii)x, 2x  1 : x ∈ R ∩ x, x2_{ : x ∈ R;} (iii)x, x3_{ : x ∈ R ∩ x, x : x ∈ R} 0 _;

(iv)eit _{: t} ∈ 0, 2 ∩ z ∈ C : Rez  Imz, onde Rez  x, Imz  y para

z  x  iy ∈ C.

Resolução

(1) (i)x, y ∈ A  C  D  x ∈ A ∧ y ∈ C  D  x ∈ A ∧ y ∈ C ∨ y ∈ D  x ∈ A ∧ y ∈ C ∨ x ∈ A ∧ y ∈ D  x, y ∈ A  C ∨ x, y ∈ A  D 

x, y ∈ A  C  A  D; (ii)

x, y ∈ A  B  C  x ∈ A  B ∧ y ∈ C  x ∈ A ∨ x ∈ B ∧ y ∈ C  x ∈ A ∧ y ∈ C ∨ x ∈ B ∧ y ∈ C  x, y ∈ A  C ∨ x, y ∈ B  C 

x, y ∈ A  C  B  C;

(iii)x, y ∈ A  C ∩ D  x ∈ A ∧ y ∈ C ∧ y ∈ D  x ∈ A ∧ y ∈ C ∧ x ∈ A ∧ y ∈ D  x, y ∈ A ∩ C  A ∩ D;

(iv)x, y ∈ A ∩ B  C ∩ D  x ∈ A ∩ B ∧ y ∈ C ∩ D 

x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ y ∈ C ∧ y ∈ D  x ∈ A ∧ y ∈ C ∧ x ∈ B ∧ y ∈ D  x, y ∈ A ∩ C  B ∩ D.

2 a) R S ~R ~S R∨ S R ∧ S ~R ∨ S ~R ∧ ~S ~R ∧ S ~R ∨ ~S V V F F V V F F F F V F F V V F F F V V F V V F V F F F V V F F V V F F V V V V

Como os valores lógicos das colunas 7ª e 8ª (resp. 9ª e 10ª) coincidem, concluem-se as leis de De Morgan.

b)

(i) P A B A∧ B P ∧ A P ∧ B P ∧ A ∧ B P ∧ A ∧ P ∧ B

V V V V V V V V V V F F V F F F V F V F F V F F V F F F F F F F F V V V F F F F F V F F F F F F F F V F F F F F F F F F F F F F

Coinicidindo as duas últimas colunas, conclui-se a equivalência (ii) P A B A∨ B P ∧ A ∨ B P ∧ A P ∧ B P ∧ A ∨ P ∧ B

V V V V V V V V V V F V V V F V V F V V V F V V V F F F F F F F F V V V F F F F F V F V F F F F F F V F F F F F F F F F F F F F

Como a 5ª coluna coincide com a última, conclui-se a equivalência. c) P A B A∨ B P ∨ A P ∨ B P ∨ A ∨ B P ∨ A ∨ P ∨ B V V V V V V V V V V F V V V V V V F V V V V V V V F F F V V V V F V V V V V V V F V F V V F V V F F V V F V V V F F F F F F F F

Uma vez que as duas últimas colunas coincidem, concluimos a equivalência

A equivalência restante é P∨ A ∧ B  P ∨ A ∧ P ∨ B: P A B A∧ B P ∨ A ∧ B P ∨ A P ∨ B P ∨ A ∧ P ∨ B V V V V V V V V V V F F V V V V V F V F V V V V V F F F V V V V F V V V V V V V F V F F F V F F F F V F F F V F F F F F F F F F

Como a 4ª e a última coluna coincidem, conclui-se a equivalência. d) (i) Fazendo A ≡ ~R e B ≡ ~S, concluimos de 1 a) e b) (i) que

P∧ ~R ∨ S  P ∧ ~R ∧ ~S  P ∧ A ∧ B  P ∧ A ∧ P ∧ B 

 P ∧ ~R ∧ P ∧ ~S, desde que provemos que se P1  P2então P∧ P1  P ∧ P2.

Determinando então as tabelas de verdade:

P P1 P2 P∧ P1 P∧ P2 V V V V V V V F V F V F V F V V F F F F F V V F F F V F F F F F V F F F F F F F

Verifica-se que quando P1, P2 têm o mesmo valor lógico, nas 1ª, 4ª, 5ª e última

linhas, também P∧ P1, P∧ P2assumem o mesmo valor lógico. Ou seja: se P1  P2, então

também P∧ P1  P ∧ P2.

(ii) Utilizando o resultado provado em (2) b) (i)P1  P2  P ∧ P1  P ∧ P2,

(uma vez sabido que uma implicação P  Q é verdadeira, podemos utilizar este resultado, e designá-lo escrevendo P  Q directamente), obtemos de (1) a), b) (ii):

P∧ ~R ∧ S  P ∧ ~R ∨ ~S  P ∧ A ∨ B  P ∧ A ∨ P ∧ B 

 P ∧ ~R ∨ P ∧ ~S, como queríamos.

(3) (i) Para cada p  1, 2, 3, 4, tem-se: 4N0 p é o conjunto dos números naturais,

cujo resto da divisão por p  1, 2, 3 é p, e zero para p  4. Uma vez que cada número natural verifica pelo menos um destes casos, obtem-se (i)



p ∈ S4

Como nenhum número natural verifica dois destes casos simultãneamente, tem-se também (ii)



(iii) Sendo todo o múltiplo de 4 um múltiplo de 2, tem-se 2N∩ 4N  4N. (4)

(i) O par ordenadox, y pertence à intersecção dos dois conjuntos sse a ordenada y é da forma y  x2 _{ x}4_{, onde x ∈ R, x  0. A única raiz real positiva de x}2 _{ x}4 _sendo

x  1, concluimos que a intersecção é o conjunto 1, 1.

(ii) Para x ∈ R, tem-se 2x  1  x2 _{ x}2 _{− 2x − 1  0  x  2 } 2

2 ; deste modo a

intersecção procurada é2 − ₂2 , 5− 2 , 2  ₂2 , 5 2 . (iii)0, 0, 1, 1.

(iv) eit  cos t  i sin t verifica cost  sin t 0 ≤ t  2 sse t  

4 ∨ t  5

4 , portanto

a intersecção procurada é ₂2  i ₂2 ,− ₂2 − i ₂2 .

I.1.17 Axiomas da selecção e da extensão e inclusão de conjuntos.

I.1.18 Axioma da selecção

A relação Rx na variável x define um conjunto A se existe um conjunto E tal que

Rx  x ∈ E. Põe-se então A  x : Rx.

I.1.19 Inclusão de conjuntos

Se X, Y são conjuntos, pomos X ⊂ Y sse a implicação x ∈ X  x ∈ Y é verdadeira. Diz-se então que X é um subconjunto de Y. Em particular, tem-se sempre X ⊂ X.

I.1.20 Axioma da extensão

Sendo Rx, Sx relações numa variável satisfazendo o axioma da selecção,

A  x : Rx, B  x : Sx, tem-se A  B sse Rx  Sx.

I.1.21 Observações (1) Destes dois axiomas, o axioma da extensão parece ”óbvio” mas é aceitando-os em Teoria dos conjuntos, que podemos utilizar os conceitos intuitivos habituais, lidando com conjuntos e relações. Em particular, resulta deste último axioma e da definição de inclusão de conjuntos, que dados conjuntos A, B, tem-se

A  B  A ⊂ B ∧ B ⊂ A. (as tabelas de verdade mostram imediatamente que, dadas

(2) Notando que o conjunto vazio pode ser definido por qualquer relação impossível, por exemplo  x : Sx com Sx ≡ x ≠ x, ou, sendo Rx uma relação num conjunto,

  x : Rx ∧ ~Rx, ( duas relações impossíveis são equivalentes, pois assumem o

valor lógico F para qualquer substituição da variável por uma constante), reconhece-se, pondo, para cada conjunto X, X  x : x ∈ X que X \ X  . Também

X \  x : x ∈ X ∧ ~x ≠ x  x : x ∈ X ∧ x  x  x : x ∈ X  X.

(3) Uma vez que Rx ∨ Rx  Rx, Rx ∧ Rx  Rx para qualquer relação

Rx, tem-se X  X  X, X ∩ X  X para cada conjunto X.

(4) Das equivalências Rx ∨ Sx  Sx ∨ Rx, Rx ∧ Sx  Sx ∧ Rx (as tabelas de verdade mostram imediatamente que dadas proposições R, S tem-se

R∨ S  S ∨ R e R ∧ S  S ∧ R, (ver I.1.6), concluimos que

X Y  x : x ∈ X ∨ x ∈ Y  x : x ∈ Y ∨ x ∈ X  Y  X e X ∩ Y  Y ∩ X para

quaisquer conjuntos X, Y.

(5) Se P  Q, então P ∨ Q  Q é uma tautologia. Para o verificar, utilizando uma tabela de verdade, basta verificar se, em cada linha tal que P  Q  V, as colunas de

P∨ Q, Q assumem o mesmo valor lógico; o que é o mesmo que, supondo a hipótese P  Q, constatar que P ∨ Q, Q são equivalentes:

P Q P  Q P ∨ Q

V V V V

V F F V

F V V V

F F V F

São os casos da 1ª e 3ª,4ª linhas. Podemos concluir que se Rx, Sx são relações na variável x, tais que Rx  Sx então Rx ∨ Sx  Sx e, pondo para cada conjunto X,

X  x : x ∈ X, que se X ⊂ Y então X  Y  x : x ∈ X ∨ x ∈ Y  x : x ∈ Y  Y.

Analogamente, a tabela de verdade mostra que se R  S, então R ∧ S  R e portanto se X ⊂ Y, tem-se X ∩ Y  X.

I.1.22 Exemplo Se X, Y são subconjuntos de um mesmo conjunto universal U, tem-se:

x ∈ X  Yc _{ x ∈ U ∧ ~x ∈ X  Y  x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∨ x ∈ Y }

 x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∧ x ∈ U ∧ ~x ∈ Y  x ∈ Xc _{∧ x ∈ Y}c _{ x ∈ X}c _{∩ Y}c_, dondeX  Yc _{ X}c _{∩ Y}c_{. (Utilizando o Ex. 1.1.16 (1) d) (i).).}

I.1.23 Exercícios (1) Prove que se X, Y ⊂ U então X ∩ Yc  Xc  Yc_.

(2) No que segue, supomos todos os conjuntos sendo subconjuntos de um mesmo conjunto U. Prove que:

(i) A ⊂ A  B e B ⊂ A  B; (ii) A∩ B ⊂ A e A ∩ B ⊂ B; (iii) A ⊂ B  Bc ⊂ Ac_; (iv) A ⊂ B  A ∩ Bc _{ ;}

(3) Se X é um conjunto, diz-se queA1, . . . , Ap é uma partição de X sse cada Ai ⊂ X

, Ai ∩ Aj   sempre que i ≠ j 1 ≤ i, j ≤ p e



i ∈ Sp

Prove que se p é um número natural, entãopN0  m : 1 ≤ m ≤ p é uma partição

de N.

(4) Mostre que para quaisquer conjuntos A, B, C tem-se (i) C \A  B  C \ A ∩ C \ B;

(ii) C \A ∩ B  C \ A  C \ B.

(5) Prove que A ⊂ A′e B ⊂ B′ sse A B ⊂ A′  B′.

Resolução

(1) x ∈ X ∩ Yc _{ x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∩ Y  x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∧ x ∈ Y } x ∈ U ∧ ~x ∈ X ∨ x ∈ U ∧ ~x ∈ Y  x ∈ Xc _Yc_{, o que prova a igualdade.} (Utilizámos o anterior Ex. 1.1.16 (1) d) (ii)).

(2) (i) Uma vez que a tabela de verdade de mostra que P  P ∨ Q (verifique que é uma tautologia), encontra-se: x ∈ A  x ∈ A ∨ x ∈ B; isto prova, pela definição de A  B, que A ⊂ A  B. Uma vez que P ∨ Q  Q ∨ P é uma tautologia, obtem-se A  B  B  A, e a inclusão B ⊂ A  B conclui-se da demonstração anterior.

(ii) Tem-se P∧ Q  P e P ∧ Q  Q (verifique estas tautologias; note que o símbolo

" _{" separa proposições formadas por outras utilizando os símbolos " ∨" ," ∧" ). Então}

x ∈ A ∩ B  x ∈ A ∧ x ∈ B  x ∈ A, donde A ∩ B ⊂ A e analogamente A ∩ B ⊂ B.

(iii) Suponhamos A ⊂ B; então x ∈ A  x ∈ B, e se x ∉ B (i.e., se x ∈ Bc_{), não} pode portanto ser x ∈ A, donde x ∉ A; assim x ∉ B  x ∉ A, i.e. Bc _{⊂ A}c_{. Como ~} ~P  P, tem-se Acc  A, Bcc  B, e da inclusão provada conclui-se

Bc _{⊂ A}c _{ A ⊂ B, provando a equivalência.}

(iv) Suponhamos A ⊂ B i.e., x ∈ A  x ∈ B. Então se x ∈ A não pode verificar-se

x ∉ B; assim nenhum x verifica x ∈ A ∧ x ∈ Bc _{donde A∩ B}c _{ . Reciprocamente, se}

A∩ Bc _{ , e se x ∈ A, não pode ser x ∈ B}c_{, x ∉ B; conclui-se que se x ∈ A então x ∈ B,} i.e., A ⊂ B.

(3) O resto da divisão por p de um número natural n é zero (caso em que

n ∈ pN0  p), ou um número m, 1 ≤ m  p; desta forma, N 



m ∈ Sp

porque pN0  m 1 ≤ m ≤ p é exactamente o conjunto dos números naturais, cujo resto da

divisão por p é m. Se 1 ≤ m, m′ ≤ p e m ≠ m′ entãopN0  m ∩ pN0  m′  ; assim

pN0  m : 1 ≤ m ≤ p é uma partição de N.

(4) Notar que substituindo o conjunto universal U, por qualquer conjunto C, nos anteriores Exemplo, e Ex (1), o essencial da demonstração se aplica, (X  A e Y  B) obtendo-se as igualdades (i), (ii). (Isto mostra que o caso A, B ⊂ U anteriormente considerado, é um caso particular).

(5) A B ⊂ A′ B′  x, y ∈ A  B  x, y ∈ A′ B′  x ∈ A  x ∈ A′ e

I.1.24 Exercícios (1) Mostre que se X, Y são conjuntos, (i) X ⊂ X  Y; (ii) X ∩ Y ⊂ X. (Sug: I.1.11, (2) (i), (ii).

(2) Utilizando o axioma da extensão e a técnica em I.1.20, (2)...(5), prove que: a) (i) X∩ Y ∩ Z  X ∩ Y  Z; (ii) X  Y  Z  X  Y  Z. (Sug: I.15 b), c)); b) (i) X∩ Y  Z  X ∩ Y  X ∩ Z;

(ii) X Y ∩ Z  X  Y ∩ X  Z. (Sug: I.1.15 b), c)).

c) (i) A relação " X ⊂ Z e Y ⊂ Z" é equivalente a X  Y ⊂ Z. (Sug: I.1.11, (2) ((iv)). (ii) A relação " Z ⊂ X e Z ⊂ Y" é equivalente a Z ⊂ X ∩ Y. (Sug: I.1.11, (2) (vi)).

Resolução

(1) (i) Uma vez que x ∈ X  x ∈ X ∨ x ∈ Y, concluimos X  x : x ∈ X ⊂ x : x ∈ X ∨ x ∈ Y  X  Y.

(ii) Tendo-se x ∈ X ∧ x ∈ Y  x ∈ X conclui-se

X∩ Y  x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ⊂ x : x ∈ X  X. (2) a) (i) X∩ Y ∩ Z  x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ∧ x ∈ Z  x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ∧ x ∈ Z  X ∩ Y ∩ Z; (ii) X Y  Z  x : x ∈ X ∨ X ∈ Y ∨ x ∈ Z  x : x ∈ X ∨ x ∈ Y ∨ x ∈ Z  X  Y  Z. b) (i) X∩ Y  Z  x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ∨ x ∈ Z  x : x ∈ X ∧ x ∈ Y ∨ x ∈ X ∧ x ∈ Z  x : x ∈ X ∧ x ∈ Y  x : x ∈ X ∧ x ∈ Z  X ∩ Y  X ∩ Z; (ii) X Y ∩ Z  x : x ∈ X ∨ x ∈ Y ∧ x ∈ Z  x : x ∈ X ∨ x ∈ Y ∧ x ∈ X ∨ x ∈ Z  X  Y ∩ X  Z.

c) (i)x ∈ X  x ∈ Z ∧ x ∈ Y  x ∈ Z  x ∈ X ∨ x ∈ Y  x ∈ Z, donde se conclui que X ⊂ Z ∧ Y ⊂ Z  X  Y ⊂ Z;

(ii)x ∈ Z  x ∈ X ∧ x ∈ Z  x ∈ Y  x ∈ Z  x ∈ X ∧ x ∈ Y e conclui-se Z ⊂ X ∧ Z ⊂ Y  Z ⊂ X ∩ Y.

I.1.25 Exercícios (1) Prove que para quaisquer conjuntos A, B, C, D se tem: (i) A  A \ B  A ∩ B e A \ B ∩ A ∩ B  ;

(ii) A \ B  A \ A ∩ B  A  B \ B; (iii) A∩ B \ C  A ∩ B \ A ∩ C; (iv)A \ B \ C  A \ B  C;

(v) A \B \ C  A \ B  A ∩ C;

(vi)A \ B ∩ C \ D  A ∩ C \ B  D. (2) Prove que: a) A \ B  A se e só se A ∩ B  ;

b)A \ B  B  A  B \ B se e só se B  . c) A ⊂ B  A ∩ B  A  A  B  B.

(Sug: Verifique, utilizando uma tabela de verdade, que se P, Q são proposições, Q uma tautologia, então P  P ∧ Q (faça sempre V na coluna de Q) e portanto, se R é uma relação impossível, P∧ ~R  P; e que se Q é uma relação impossível então P ∨ Q  P. Pode utilizar (1) (ii) para (2) a), b).

Resoluções

(1) (i) Uma vez que dadas proposições P, Q se tem P  P ∧ ~Q ∨ Q, conclui-se a propriedade correspondente para relações numa variável, obtendo-se

x ∈ A  x ∈ A ∧ x ∉ B ∨ x ∈ B  x ∈ A ∧ x ∉ B ∨ x ∈ A ∧ x ∈ B, donde se

conclui A  A \ B  A ∩ B pelo princípio de extensão. A relação em x,

x ∈ A ∧ x ∉ B ∧ x ∈ A ∧ x ∈ B é equivalente à relação impossível x ∉ B ∧ x ∈ B que define assim o conjunto.

PortantoA \ B ∩ A ∩ B  , pelo axioma da extensão.

(ii) Dadas proposições P, Q tem-se P∧ ~Q  P ∧ P ∧ ~P ∨ P ∧ ~Q 

P∧ P ∧ ~P ∨ ~Q  P ∧ P ∧ ~P ∨ ~Q  P ∧ ~P ∨ ~Q  P ∧ ~P ∧ Q donde

se conclui A \ B  A \ A ∩ B. Também P ∧ ~Q  P ∨ Q ∧ ~Q ∧ ~Q 

P ∨ Q ∧ P ∨ ~Q ∧ ~Q  P ∨ Q ∧ P ∨ ~Q ∧ ~Q  P ∨ Q ∧ ~Q (esta última equivalência porque os valores lógicos deP ∨ ~Q ∧ ~Q e de ~Q são sempre o mesmo, já que se S  R então R ∧ S  S, como mostram as 1ª, 3ª e 4ª linhas da tabela de verdade), donde podemos concluir A \ B  A  B \ B.

(iii) x ∈ A ∩ B \ C  x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ C 

x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ C  x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ x ∉ A ∨ x ∉ C 

x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ ~x ∈ A ∨ ~x ∈ C  x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ ~x ∈ A ∧ x ∈ C  x ∈ A ∧ x ∈ B ∧ ~x ∈ A ∩ C  x ∈ A ∩ B \ A ∩ C, onde a terceira equivalência se justifica porque se P, Q, R são proposições tais que P  Q e Q  R, então as proposições

P∧ Q e P ∧ R são equivalentes, como mostra a tabela de verdade nas 1ª, 5ª, 7ª e 8ª linhas

(fazer P ≡ x ∈ A ∧ x ∈ B, Q ≡ x ∉ C, R ≡ x ∉ A ∨ x ∉ C): P Q R P  Q Q  R P ∧ Q P ∧ R V V V V V V V V V F V F V F V F V F V F V V F F F V F F F V V V V F F F V F V F F F F F V V V F F F F F V V F F e assim A∩ B \ C  A ∩ B \ A ∩ C.

(iv) x ∈ A \ B \ C  x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∧ ~x ∈ C  x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∧ ~x ∈ C  x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∨ x ∈ C  x ∈ A \ B  C (v) x ∈ A \ B \ C  x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∧ ~x ∈ C  x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∨ x ∈ C  x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∨ x ∈ A ∧ x ∈ C   x ∈ A \ B  A ∩ C. (vi) x ∈ A \ B ∩ C \ D  x ∈ A ∧ ~x ∈ B ∧ x ∈ C ∧ ~x ∈ D  x ∈ A ∧ x ∈ C ∧ ~x ∈ B ∧ ~x ∈ D  x ∈ A ∩ C ∧ ~x ∈ B ∨ x ∈ D  x ∈ A ∩ C \ B  D.

(2) a) Por (1), (ii) tem-se A \ B  A \ A ∩ B. Logo se A ∩ B  , A \ A ∩ B  A \

  A (se Sx é uma relação impossível, então ~Sx é uma relação sempre verdadeira, e x ∈ A ∧ ~Sx  x ∈ A). Portanto se A ∩ B   tem-se A \ B  A. Reciprocamente, se A ⊂ A \ A ∩ B então tem-se x ∈ A  x ∈ A ∧ ~x ∈ A ∩ B  V; a tabela de verdade

mostra que, dadas proposições P, Q, se Q pode tomar o valor lógico F, então P  P ∧ Q não toma sempre o valor lógico V. Portanto tem de se verificar ~c ∈ A ∩ B  V para cada substituição de x pela consante c, i.e, c ∈ A ∩ B  F e x ∈ A ∩ B deve ser uma relação impossível, i.e., A∩ B  .

b) Utilizando (1), (ii)A  B \ B  A \ B. A igualdade referida é portanto a igualdade de conjuntosA \ B  B  A \ B, que é verdadeira se B  , pois então B  x : Sx, onde Sx é uma relação impossível, donde se verifica a equivalência x ∈ A \

B∨ Sx  x ∈ A \ B (se S  F então P ∨ S  P para qualquer proposição P).

Reciprocamente, a inclusãoA \ B  B ⊂ A \ B só se verifica se B ⊂ A \ B, porque dadas proposições P, Q, P∨ Q  P só assume o valor lógico V quando Q  P toma o valor lógico V. Então tem de ser x ∈ B  x ∈ A ∧ ~x ∈ B, donde x ∈ B  ~x ∈ B, e por isso tem de ser sempre c ∈ B  F para cada substituição de x pela constante c, i.e., x ∈ B é impossível e B  .

c) Dadas proposições P, Q tem-se: P  Q  P ∧ Q  P é uma tautologia, como se verifica pela tabela de verdade; assim A ⊂ B  A ∩ B  A. Também a proposição

P  Q  P ∨ Q  Q é uma tautologia, donde se conclui que A ⊂ B  A  B  B.

I.1.26 Quantificação

Vimos que dada uma relação numa variável Rx x ∈ E, a substituição de x por uma constante c em E, transforma a relação Rx na proposição Rc. Sendo A ⊂ E, podemos considerar as proposições ”para cada x ∈ A, Rx”, significando que todos os objectos x ∈ A, satisfazem a relação Rx, e ”existe pelo menos um x ∈ A, Rx”, significando que existe pelo menos um objecto x em A que verifica Rx. A proposição ”para cada x ∈ A, Rx”, ou doutro modo, ”para qualquer x ∈ A, Rx”, ou ainda ”para todo o x ∈ A, Rx” escreve-se ∀x ∈ A, Rx, ou também ∀x ∈ A Rx. Convém, para clareza, muitas vezes, colocar Rx entre parêntesis, pondo ∀x ∈ ARx, e pode escrever-se também Rx ∀x ∈ A, utilizando ou não os parêntesis. A proposição ”existe pelo menos um

x ∈ A, Rx” escreve-se ∃x ∈ A, Rx, com a mesma ressalva para o uso de parêntesis. As

proposições assim obtidas, a partir de uma relação numa variável, dizem-se

proposições quantificadas, e ”∀”, ”∃” são respectivamente os quantificadores universal, e existencial. Um outro quantificador, é o que afirma a existência de um único elemento num dado conjunto, verificando a relação. Escreve-se então∃1 _{x, Rx se o conjunto em}

I.1.27 Exemplos (1) Dada a relação Rx ≡ x2 _{ 2 x ∈ R, podem considerar-se as}

proposições quantificadas∀x  0x2 _{ 2  F, ∃x ∈ Rx}2 _{ 2  V;}

∀x ∈ −, 2    2 , x2 _{ 2, verdadeira, ∀x ∈ N}

2x2  2, verdadeira; assim

como∃1x ∈ 1, 2x2  2  V, ∃1x ∈ Qx2  2  F.

(2) Como vemos no exemplo acima, no primeiro e no terceiro casos, o mesmo quantificador pode formar uma proposição falsa a partir da mesma relação numa variável, quantificando a variável num conjunto, mas verdadeira quantificando noutro conjunto.

I.1.28 Exercício Dadas as seguintes relações numa variável, indique quais das proposições quantificadas são verdadeiras ou falsas:

(1) Rx ≡ 3x ∈ Q x ∈ R

(i)∀x, Rx; (ii) ∃x ∈ Z3x ∈ Q; (iii) ∀x ∈ −1, 0, 1 Rx.

(2) Rx ≡∣ x ∣ a  x  a x ∈ R

(i)∀x  0∣ x ∣ a  x  a (ii) ∃1_{x,∣ x ∣ a  x  a (iii) ∀x, Rx}

(3) R ≡ 2 _{    0}

(i)∀  0, 12 _{ ; (ii) ∀  ∈ 0, 1R; (iii) ∃  ∈ −1, 1R.}

Resolução

(1) (i)∀x ∈ R3x ∈ Q  F, pois por exemplo 2 ∈ R, 3₂ ∉ Q.

(ii) V (considere-se x  8) (iii) V (2)

(i) V; (ii) F; (iii) F (3)

(i) V; (ii) F; (iii) V

I.1.29 Exercício Sendo 0    1 fixo, indique quais das proposições seguintes são verdadeiras, ou falsas:

a)∃ n ∈ N0  1n  ; b) ∀ n ∈ N1n  ; c) _n1n  ∀n ∈ N.

Resolução a) V; b) F; c) F.

I.1.30 Observações (1) Quando se consideram proposições compostas por diversas proposições quantificadas, a indicação, que deve constar em cada uma destas proposições quantificadas, da variável que se quantifica e do respectivo conjunto, permite ler a

proposição obtida considerando de cada vez em cada uma, os símbolos relativos a variáveis que não as quantificadas em cada proposição, como constantes. Em Análise real, segundo a definição do limite u de uma sucessãoun, recorde-se que u  limun s e só se é verdadeira a proposição quantificada∀   0∃ p ∈ Nn ≥ p ∣ un −u ∣ .

(2) Em expressões envolvendo mais que uma proposição quantificada, a ordem pela qual são feitas as quantificações respeitantes é importante. Por exemplo considerando a proposição quantificada acima, a proposição∃ p ∈ N∀   0n ≥ p ∣ un− u ∣  significa queun é constante e igual a u a partir de uma ordem p; esta proposição é falsa se considerarmos u ≠ 0, un  _nnu_2, mas lim _nnu_2  u segundo a definição.

I.1.31 Exercícios (1) Indique quais das seguintes proposições são verdadeiras ou falsas:

(i)∀ a ∈ 0, 1∃   0Ia,  ⊂ 0, 1, onde Ia,   a − , a  ; (ii)∀ a ∈ 0, 1∃   0Ia,  ⊂ 0, 1; (iii)∃ a ∈ 0, 2 ∩ 0, 1∀   0Ia,  ⊂ 0, 2 ∩ 0, 1; (iv)∃ a ∈ 0, 1∀   0Ia,  ⊂ 0, 1; (v)∃   0∀a ∈ 0, 1Ia,  ⊂ 0, 1; (vi)∀x ∈ R∀   0∃ n ∈ N1n ∣ x ∣  ; (vii)∀x ∈ R∃ n ∈ N∀   01 n ∣ x ∣  ; (viii)∀ n ∈ N_nn_1  1  n1n ; (ix)∀ a ∈ Ra  1 n ∀ n ∈ N  a ≤ 0; (x)∀x ∈ N∀   0∃ y ∈ R∣ x − y ∣    ∀x ∈ N∀  1∃ b ∈ R_1  ∣ xb ∣ 

(2) Indique, justificando, quais das seguintes proposições são ou não verdadeiras: a)∃ a ∈ Z∀ m ∈ Za  m  0; b)∀ m ∈ Z∃ a ∈ Za  m  0; c)∃  ∈ Q∀ q ∈ Qq  q  q. Resolução (1) (i) F (a  1; (ii) V; (iii) F; (iv) F; (v) F ; (vi) V; (vii) F; (viii) V; (ix) V;

(2) a) F. (O elemento m que satisfaz a m  0, para cada a ∈ Z considerado, é único, m  −a).

b) V.

c) V (  1).

I.1.32 Propriedade Seja Rx x ∈ X uma relação numa variável. Pelo significado da proposição∀x, Rx, ”para todo o x, verifica-se Rx”, a sua negação é a proposição ”existe pelo menos um x que não verifica Rx”. Obtem-se assim a propriedade da negação do quantificador universal, ~∀x, Rx  ∃x, ~Rx. A negação de ”existe pelo menos um x tal que Rx” é ”para todo o x, ~Rx”, i.e., ~∃x, Rx  ∀x, ~Rx.

Para a negação de uma implicação∀x, Px  Qx, atendendo a que

Px  Qx  ~Px ∨ Qx, e portanto

~Px  Qx  ~~Px ∨ Qx  ~~Px ∧ ~Qx  Px ∧ ~Qx, obtem-se ~∀x, Px  Qx  ∃x, Px ∧ ~Qx. Analogamente,

~∃x, Px  Qx  ∀x, Px ∧ ~Qx.

I.1.33 Exemplos (1) A negação de∃x ∈ R, x2  −1 é ∀x ∈ R, x2 ≠ −1.

(2) Sexn é uma sucessão real, a ∈ R, a negação de limxn  a é

~∀  0, ∃p ∈ N, ∀n ∈ N, n ≥ p ∣ xn − a ∣ , portanto é a proposição ∃  0, ~∃p ∈ N, ∀n ∈ N, n ≥ p ∣ xn − a ∣  

∃  0, ∀p ∈ N, ∃n ∈ N, n ≥ p ∧∣ xn − a ∣≥ .

I.1.34 Exercícios (1) Negue as proposições quantificadas: (i)∀m ∈ Z, m2 _{ m;}

(ii)∃q ∈ Q, q2  2;

(iii)∀x ∈ R, ∀y ∈ R, x2_{ y}2 _{ x  y.}

(2) Explicite em linguagem lógica que a sucessão realun não é um infinitamente grande positivo.

(3) Sendo f uma função real da variável real, exprima logicamente que não se verifica limx→0fx  1. Resoluções (1) (i)∃m ∈ Z, m2 _{≤ m;} (ii)∀q ∈ Q, q2 ≠ 2; (iii)∃x ∈ R, ∃y ∈ R, x2 _{ y}2 _{∧ x ≤ y.} (2) A negação de∀  0, ∃p ∈ N ∀n ∈, n ≥ p  un  1  é ∃  0, ∀p ∈ N ∃n ∈ N, n ≥ p ∧ un ≤ 1 . (3) Trata-se de negar a proposição

∀  0, ∃  0 ∀x ∈ R, ∣ x ∣  ∣ fx − 1 ∣ . Obtem-se ∃  0, ∀  0 ∃x ∈ R, ∣ x ∣  ∧∣ fx − 1 ∣≥ .

I.1.35 Definição Se_{C  X} :  ∈ A é uma classe não vazia de conjuntos, indiciada num conjunto de índicesA, dizemos que C é uma família de conjuntos. A reunião

generalizada (resp. intersecção generalizada) da classe é o conjunto









_





I.1.36 Observações (1) Admitimos o Axioma da reuniâo: Para qualquer classe de conjuntos_{C, existe sempre o conjuto}



(2) Pelas definições tem-se





 ∈ A. (2) Se X :  ∈ A é tal que cada Xverifica A ⊂ X ⊂ B então tem-se

A ⊂





I.1.37 Exercício Determine as intersecções e reuniões generalizadas: (i)





n  : n ∈ N;

(iii)









I.1.38 Resolução (i)x ∈ R : ∃n ∈ N, −n  x ≤ 1  −, 1; (ii)x ∈ R : ∃n ∈ N, 0 ≤ x ≤ 1 − 1

n  0, 1; (iii) R; (iv) 0; (v)x ∈ R : ∀n ∈ N, −1n  x  1n  0;

1− 1

n  x  1  1n,∀n ∈ N  x  1,



I.1.39 Definição Se X, Y são conjuntos não vazios, diz-se que uma parte não vazia

 ⊂ X  Y do conjunto produto cartesiano X  Y, é uma relação de X para Y. Se x, y ∈ ,

nota-se também xy. Por exemplo, com X  N, Y  Q,   n, 1n : n ∈ N é uma relação de N para Q. Tem-se 11, 21

2, 23 1

23 , etc. Se A é um conjunto, representamos

PA  W : W ⊂ A o conjunto das partes de A. Sendo X ≠ , Y ≠ ,   X  Y é uma relação de X para Y tal que∀x ∈ X, ∀y ∈ Y, xy;   PX  PY é uma relação de PX paraPY tal que ∀A ⊂ X∀B ⊂ Y, AB.

I.1.40 Exercício Indique qual das seguintes afirmações é verdadeira: (i)x, yV sse x, y ∈ V é uma relação de V2_{paraPV;}

(ii)x, yV sse x, y ∈ V é uma relação de V  V para V.

Resolução

(i) é verdadeira, pois cada par ordenadox, y ∈ V2_{verificax, yV sse x, y, V é}

I.2 RELAÇÕES BINÁRIAS E FUNÇÕES

I.2.1 Definição Se X  Y ≠  uma relação d e X para Y diz-se uma relação binária em

X; assim uma relação binária em X é uma parte não vazia do produto cartesiano X2_.

Por exemplo x0y sse∃ m ∈ Ny  xmuma relação binária em R tal que

1, 1 ∈ 0,1, 2 ∉ 0,2, 4, 2, 8, 2, 16 ∈ 0. Também a1b sse b  2a é a relação

binária em N,1  1, 2, 2, 4, 3, 6, . . . .

I.2.2 Definição (1) Se a relação f de X para Y verifica a propriedade de cada elemento de X estar na relação com exactamente um elemento de Y, i.e., se

x, y ∈ f ∧ x, y′_{ ∈ f  y}′ _{ y, dizemos que f é uma função de X em Y ou uma aplicação}

de X em Y; nota-se y  fx sse x, y ∈ f. Em I.2.1, 0 não é função,1é uma função de N

em N. O conjunto das funções de X em Y nota-se YX_.

(2) Se X é um conjunto não vazio, uma sucessão em X é uma função u : N → X, habitualmente designada pondo u  un, un : n  un. O conjunto das sucessões em X é portanto o conjunto XN_.

I.2.3 Se f é uma função de X em Y, nota-se f : X → Y, x  fx  y sempre que x, y ∈ f. Se X é um conjunto,  ≠ A ⊂ X, e f ⊂ A  Y é uma função, deve notar-se

f : A ⊂ X → Y.

O conjunto A  x ∈ X : ∃ fx  x ∈ X : ∃ y, x, y ∈ f é o domínio da função f, e representa-se por dom f. O conjuntoy ∈ Y : ∃ x ∈ dom f, x, y ∈ f é chamado o

conjunto imagem de f, codomínio ou contradomínio ou conjunto imagem de f, e representa-se por Imf ou fX..

I.2.4. Exemplo Para a função fx  1

senx deve pôr-se

f : R \k : k ∈ Z ⊂ R → R. O domínio de 1

senx é A  R \ k : k ∈ Z e o codomínio é fA  R \ −1, 1.

I.2.5 Definição Se f : X → Y é uma função,  ≠ A ⊂ X, então x, fx : x ∈ A é uma função de A em Y, que se chama a função restrição de f a A. A função restrição de f a

A representa-se por f

I.2.6 Definição A função f : X → Y diz-se injectiva se

∀x, x′ _{∈ Xfx  fx}′_{  x  x}′_{; sendo  ≠ A ⊂ X, f é injectiva em A sse a função}

restrição de f a A é injectiva. Também se diz então que f é uma injecção de A em Y. f diz-se que é sobrejectiva, ou que é uma sobrejecção de X em Y, sse fX  Y, i.e., sse todo o elemento de Y é imagem de um elemento de X. Para significar que f é uma função sobrejectiva de X em Y, diz-se também que f é uma função de X sobre Y. Se f : X → Y é injectiva, entãofx, x : x ∈ X é uma função de fX em X, chamada a

função inversa da função f, e que se represnta por f−1; dizemos então que f

admite uma inversa e, se f é injectiva e sobrejectiva dizemos que f é invertível com inversa

f−1. A função f−1 inversa de f : X → Y é a função f−1 : Y → X definida por

f−1  y, x : fx  y, x ∈ X, y ∈ Y  fx, x : x ∈ X, f−1y  x sse fx  y. Se f é

injectiva e sobrejectiva, diz-se que f é bijectiva, ou que é uma bijecção.

I.2.7 Exemplos (1) Se ≠ A ⊂ X, a aplicação I : A → X, Ix  x diz-se a aplicação de inclusão; I é injectiva. A aplicação IA : A → A, IAx  x, que se chama a identidade de

A, é uma bijecção.

(2) Dado um produto cartesiano de conjuntos



prk :



Xk → Xk, prkx1, . . . , xm  xk k  1, . . . , m diz-se a projecção de índice k. prk

é sobrejectiva, não é injectiva em geral.

I.2.8 Exercício Determine subconjuntos A, B de R \0, 1 e de Q respectivamente, tais que a função restrição da função f : R \0, 1 → Q, fx  _{Ix}1 2 , onde Ix ”maior

inteiro m ≤ x” é a função característica de x, a A, (i) admita uma inversa;

(ii) seja invertível de A em B. Resolução

(i) A  N;

(ii) A  N, B   1

n2 : n ∈ N.

I.2.9 Exercício a) Esboce no plano cartesiano R2as relações binárias (i)M  x, y ∈ R2 : max∣ x ∣, ∣ y ∣ ≤ 1;

(ii)e  x, y ∈ R2 : x2  y2 ≤ 1; (iii)S  x, y ∈ R2 :∣ x ∣  ∣ y ∣≤ 1;

(iv)M  x, y ∈ R2 : max∣ x ∣, ∣ y ∣  1; (v)e  x, y ∈ R2 : x2 y2  1;

(vi)S  x, y ∈ R2 :∣ x ∣  ∣ y ∣ 1.

(vii) f  x, x2_{ : x ∈ R. (Sug: para (i), (iv), considere as rectas y  x  1).}

b) Indique, justificando, quais das relações binárias anteriores são, ou não, funções. c) Mostre queM  −1, 12.

Resoluções

b) Apenas f em (vii) é uma função, pois em cada uma das outras alíneas, tem-se por exemplo0, −1, 0, 1 ∈ , designando por  a respectiva relação binária.

c) Tem-se∣ a ∣≤ 1  a ∈ −1, 1 a ∈ R, e assim x, y ∈ M  max∣ x ∣, ∣ y ∣ ≤ 1  x, y ∈ −1, 12_.

I.2.10 Observação Considerando uma relação numa variável Rx x ∈ A, pode suceder que a cada x ∈ A tal que Rx  V corresponda um único elemento bem

determinado y. Pode então considerar-se a relação em duas variáveis Rx, y definida por

Rx, y  V sse y verifica Rx, e não é inteiramente óbvio que exista um conjunto não

vazio B tal que Rx, y seja uma relação de A para B; se B existe, então R ⊂ A  B, R é uma relação de A para B e é uma função f : A → B. Aceitamos o seguinte axioma, que assegura que existe B.

Axioma da substituição

Sejam A um conjunto e Rx, y uma relação em duas variáveis. Se para cada x ∈ A, existe um único y que verifica Rx, y, existe uma função f de domínio A tal que y  fx é equivalente a x ∈ A ∧ Rx, y.

I.2.11 Definição Dadas funções f : X → Y, g : Y → Z, diz-se função composta de

g com f, ou composição de g com f, ou ainda função g após f, e representa-se por gof, a

função gof : X → Z definida por gofx  z sse fx  y e gy  z, ou seja,

gof  x, z ∈ X  Z : ∃y ∈ Y, x, y ∈ f ∧ y, z ∈ g. Nota-se gofx  gfx x ∈ X.

Se h : Z → W é outra função, define-se analogamente hogof : X → W que se representa por hogof, hogofx  hgfx x ∈ X e o mesmo para a composição de funções em qualquer número finito.

I.2.12. Observação Se f : X → Y, g : Imf → Z são funções injectivas, então a função gof : X → Img é bijectiva, e tem-se gof−1  f−1og−1. Com efeito, para cada

z ∈ Img, f−1g−1z  f−1y  x sse gy  z, fx  y sse gofx  z, e dom f−1og−1  dom gof−1.

I.2.13 Exemplo Para cada função f : X → Y tem-se foIXx  fIXx  fx x ∈ X e assim foIX  f. Também IYfx  fx x ∈ X donde IYof  f.

I.2.14 Exercícios (1) Prove que: a) Se f : X → Y é bijectiva, então f−1of  IX e

fof−1  IY.

b) Se f : X → Y, g : Y → X são tais que gof  IX e fog  IY, então existe f−1  g. (2) Se dadas f : X → Y, g : Y → X se verifica gof  IX então g é sobrejectiva e f é injectiva.