Limite de uma função entre espaços métricos num ponto

Recordar da Análise Real (ver por exemplo [Guerreiro]) que dados uma função

f : X ⊂ R → R e um ponto a ∈ X, dizemos que o limite de fx quando x tende para a é

certo b ∈ R se para cada número positivo , existe pelo menos um número positivo  tal que a relação x ∈ X e ∣ x − a ∣  implica ∣ fx − b ∣ . O conceito de limite num ponto para uma função definida num subconjunto de um espaço métrico e tomando valores noutro espaço métrico, generaliza-se directamente da forma seguinte:

II.8.1 Definição SejamE, dE, F, dF espaços métricos, f : X ⊂ E → F uma função e a ∈ X.

(1) O ponto b ∈ F é um limite de fx quando x tende para a, e notando-se limfx  b

x → a

se para cada  0 existe certo   0 de tal modo que para todo o x ∈ X, a implicação

dEx, a    dFfx, b   é verdadeira. Diz-se então também que b é um limite de f

em a. (2) Se,

em (1), a ∈ X diz-se também que a função f é contínua em a ou no ponto a. (3) Com a ∈ A ⊂ X, o ponto b é um limite de fx quando x

tende para a por valores em A se a implicação x ∈ A e dEx, a    dFfx, b   é verdadeira. Designa-se então lim fx  b.

x → a, x ∈ A

II.8.2 Observações (1) Verifica-se lim fx  b (a ∈ domf) se e só se, em linguagem lógica

x → a

lim fx  b ≡ ∀  0, ∃  0, x ∈ domf e dEx, a    dFfx, b  

x → a

ou, equivalentemente

lim fx  b ≡ ∀  0, ∃  0, fX ∩ B0a,  ⊂ B0b, .

(2) Pela propriedade de separação de Hausdorff num espaço métrico, conclui-se que se b  limfx e b′  limfx então necessariamete b  b′.

x → a x → a

Por outras palavras, se existe o limite de fx quando x tende para a, então o limite é único. Analogamente se conclui que no caso a ∈ A, se existe o limite de fx quando x tende para a por valores em A então o limite é fa.

(3) Sendo f : X ⊂ E, dE → F, dF, a um ponto não isolado de

X, se existe o limite lim fx chama-se-lhe o limite de fx quado x tende para a por

valores

x → a, x ∈ X\a

diferentes de a. Em Análise Real, certos autores definem lim fx  b se b é o limite de fx

x → a

quando x tende para a por valores diferentes de a; então, se a ∈ X, a função f é contínua em a sse o limite de fx quando x tende para a existe e coincide com o valor de f no ponto

De acordo com II.8.1, consideramos a função f contínua num ponto a do domínio se existe o limite de f em a.

II.8.3 Exercícios (1) Traduza em linguagem lógica a definição do limite de fx quando x tende para a por valores em A, no contexto de (3), Definição II.8.1.

(2) Verifique II.8.2 (2).

II.8.4 Resoluçoes (1) Com a ∈ A ⊂ X e f : X ⊂ E, dE → F, dF, lim fx  b ≡ ∀  0, ∃  0, x ∈ A e dEx, a    dFfx, b  . Equivalentemente, x → a, x ∈ A

lim fx  b ≡ ∀  0, ∃  0, fA ∩ B0a,  ⊂ B0b, .

x → a, x ∈ A

(2) Provemos por redução ao absurdo que a existência de

b, b′ ∈ F, b ≠ b′ tais que

lim fx  b e limfx  b′ _{leva a uma contradição.}

x → a x → a

Sendo d  dFb, b′  0, existirá   0 tal que x ∈ domf e

dEx, a   implica dFfx, b  d/2 e dFfx, b′  d/2 (como poderá obter um tal ?); existindo pelo menos um certo x verificando o antecedente desta implicação (porquê?) conclui-se utilizando a desigualdade triangular de dF que dFb, b′  d/2  d/2  d contra o que tínhamos assumido. Fica provado que o limite num ponto se existe é único. Se

a ∈ domf e limfx  b

x → a

então para cada  0, existindo   0 tal que fa ∈ fdomf ∩ B0a,  ⊂ B0b, 

conclui-se que fa ∈ ∩B0b,  :   0  b, fa  b.

II.8.5 Exemplos (1) Para a função f : domf  R → R, fx  1 x ≠ 1

n, n ∈ N e

f1n  1n n ∈ N tem-se, com A   1n : n ∈ N, e considerando a métrica usual em R lim fx  0 e limfx  1. Consequentemente (ver II.8.6 seguinte) não existe limfx.

x → 0, x ∈ A x → 0, x ∈ R\A x → 0

(2) A função f : 0,  ⊂ R, d→R,d fx  1x (d a métrica usual) é contínua em cada ponto do domínio. Se di é a métrica discreta, e considerarmos

f : R, d → R, di, não existe o limite limfx em nenhum ponto a  0, pois existe uma

bola aberta reduzida ao centro 1

a emR, di.

II.8.6 Observação Dada uma função f : X ⊂ E, dE → F, dF, e sendo a ∈ A ⊂ X para certo conjunto A, conclui-se das definições que se não existe o limite de fx quando x tende para a por valores em A, então também não existe lim fx.

x → a

Também se A, B ⊂ X e a ∈ A ∩ B, f : X ⊂ E, dE → F, dF e existem o limite de fx quando x tende para a por valores em A e o limite de fx quando x tende para a por valores em B, mas são diferentes, então não existe o limite de f em a. Pois designando estes limites diferentes por b, b′ respectivamente, escolha-se  0 tal que B0b,  ∩ B0b′,  ; não

existe  0 tal que fX ∩ B0a,  ⊂ B0b, , pois para pelo menos certo ′  0, ′  

II.8.7 Exercícios (1) Verifique os exemplos (1), (2) em II.8.5. (2) Mostre que toda a função entre espaços métricos é contínua em cada ponto isolado do domínio.

II.8.8 Resoluções (1) Dado  0, tem-se com    que ∣ 1

n ∣  ∣ f1n ∣  i.e, x ∈ A e ∣ x − 0 ∣  ∣ fx − 0 ∣ . Se x ∈ R\A então ∣ x − 0 ∣  

∣ fx − 1 ∣ 0   verifica-se para qualquer escolha de   0 e para cada número positivo

 dado. Atendendo a II.8.6, não existe o limite de f em 0. Para a função fx  1

x em (2) tem-se: dado  0, fazendo   mina2_{/2, a/2  0 então x  0 e}

∣ x − a ∣  ∣ 1

x − 1a ∣∣ x − a ∣ /xa  a2/22/a2  , pois a − x ≤∣ x − a ∣ a2

implica x ≥ a₂ e xa ≥ a2_{/2 em cada ponto a}  0.

(2) Se a é um ponto isolado de X, com f : X ⊂ E, dE → F, dF, então existe  0 tal que X ∩ B0a,   a. Donde

fX ∩ B0a,   fa ⊂ B0fa,  qualquer que seja   0 a priori dado.

II.8.9 Observações (1) No Cálculo em RN considera-.se habitualmente a métrica euclideana dex1, . . . , xN, y1, . . . , yN  

∑

_kN_1 ∣ xk − yk ∣2 

1

2 (II.2.18) em RN. O

conceito de limite direccional de uma função f : domf ⊂ RN → R (considera-se a métrica usual em R) num ponto de acumulação a do domínio, segundo uma recta a tv

(v ∈ RN\0, . . . , 0, t ∈ R, ver por exemplo [Agudo]) é, pela definição, o limite de f em a por valores no conjunto Av  a  tv : −  t  , que se determina calculando

limt→0fa  tv. De acordo com II.8.6, se existem vectores v, w ≠ 0 tais que os limites de

fx no ponto a, por valores em Av e em Awsão diferentes, ou se um desses limites não existe, então não existe o limite da função f em a; no entanto, a existência e igualdade de todos os limites direccionais no ponto não implica a existência de limite nesse ponto, como pode constatar-se por exemplo com a função f : R2\0, 0 → R, fx, y  x2_y/x4  y2,

que não tem limite no ponto 0, sendo todos os limites direccionais em 0 iguais a zero (o limite da função no ponto por valores na parábola P  x, x2_{ : x ∈ R é diferente de}

zero).

(2) Uma função f : domf ⊂ RN → R pode ser separadamente contínua em relação a todas as variáveis num ponto a  a1, . . . , aN do domínio, ou seja,. tal que as funções

restrição de f a cada conjunto

C1  a1  RN−1, . . . , Ck  Rk−1 ak  RN−k, . . . , CN  RN−1 aN são contínuas em a (existe o limite em a por valores em cada um destes conjuntos), e no entanto a função f não ser contínua no ponto a. Por exemplo, a função fx, y  xy/x2 _{ y}2_{ x}2 _{ y}2 _{≠ 0,}

f0, 0  0 é separadamente contínua em relação a x e a y no ponto 0, 0, mas não é

contínua neste ponto, pois os limites direccionais em0, 0 segundo as rectas

r  x, x : x ∈ R e s  x, −x : x ∈ R são diferentes. Conclui-se a não continuidade

no ponto usando II.8.6. Significa isto que para a existência de limite num ponto a, é necessário que as imagens pela função de pontos que se aproximem de a sem qualquer restrição ao modo como se aproximem de a, se tornem indefinidamente próximas do limite; considerando arbitrárias sucessõesan convergindo para a, a convergência de todas as sucessões fan para um mesmo ponto do conjunto imagem, já é suficiente para a existência do limite de f em a, como mostra o seguinte

II.8.10 Teorema SeE, dE, F, dF são espaços métricos, f : X ⊂ E → F é uma função e a ∈ X, b ∈ F, então é condição necessária e suficinte para que limfx  b que para cada sucessão

x → a

xn em X convergente para a, se verifique limfxn  b. II.8.11 Exercício Demonstre o teorema anterior e conclua:

II.8.12 Corolário Nas condições do Teorema II.8.10, se a ∈ X então f é contínua no ponto a se e só se para cada sucessãoxn em X convergente para a, a sucessão fxn converge para fa.

II.8.13 Resolução A condição é necessária, pois da hipótese

(1)∀  0, ∃  0, fX ∩ B0a,  ⊂ B0b,  conclui-se que dado   0, sendo

n ∈ N tal que xn ∈ B0a,  para todo o n ≥ n, então fxn ∈ B0b,  desde que

n ≥ n; e n naquela condição existe para cada   0, se a sucessão xn em X

converge para a. A condição é suficiente, como pode provar-se pela contra-recíproca. Com efeito, a negação de (1) é que existe certo  0 tal que, para cada número positivo , existe pelo menos um ponto x ∈ X ∩ B0a,  cuja imagem por f não pertence a B0b, ;

escolhendo da forma   1/n para cada n  1, 2, . . . conclui-se que existe uma sucessão de pontos x1, x2, . . . , xn, . . . , cada xn ∈ B0a, 1/n tal que fxn ∉ B0b, . Então xn → a mas a sucessão fxn não converge para b, e fica assim provado que se f verifica a propriedade relativa à convergência das sucessões, então verifica a condição (1) i.e, então lim fx  b, c.q.d. O corolário conclui-se imediatamente de II.8.2 (2).

x → a

II.8.14 Teorema SeE, dE, F, dF são espaços métricos, f : X ⊂ E → F, a ∈ X e

b  limfx então b ∈ fX. x → a

Dem. Há a provar que existe uma sucessãobn em fX tal que bn → b. Como

a ∈ X, existe uma sucessão xn de pontos de X com xn → a; então a sucessão

bn  fxn satisfaz a condição requerida, pelo Teorema II.8.10 c.q.d.

II.8.15 Corolário SejamE, dE, F, dF e G, dG espaços métricos, f : X ⊂ E → F tal que fX ⊂ Y e g : Y ⊂ F → G. Se a ∈ X, limfx  b e limgy  c então limgofx  c.

x → a y → b x → a

Consequentemente, se b ∈ Y e g é contínua em b, então limgofx  gb.

x → a

A função composta gof das funções f, contínua em a e g, contínua em fa, é contínua no ponto a.

II.8.16 Demonstre o corolário acima (usando II.8.14, mostre que o ponto b ∈ Y).

II.8.17 Resolução Conclui-se de II.8.14 que b ∈ fX ⊂ Y, pois fX ⊂ Y. Se xn é uma sucessão em X convergente para a, conclui-se da hipótese, usando o Teorema II.8.10 que fxn → b e, do mesmo modo, que gofxn → c. Então limgofx  c, de novo utilizando II.8.10.

x → a

As duas últimas asserções são consequência de II.8.2 (2).

II.8.18 Definição SeE, dE, F, dF são espaços métricos e f : X ⊂ E → F, a função

f diz-se contínua (em X) se f é contínua em cada ponto a ∈ X.

II.8.19 Observações (1) II.8.15 mostra que a função composta de duas funções

contínuas é uma função contínua. (2) SeE, dE, F, dF são espaços métricos e f : E → F é uma função, C ⊂ E, então f écontínua em C se e só se a função restrição

f∣C : C, dC → F, dF é contínua, onde dCé a métrica induzida. Se f é contínua então certamente f é contínua em C; mas pode ser f : C ⊂ E → F contínua, e a função

f : E → F não ser contínua. (Por exemplo, com F, dF  R, d, d a métrica usual, E não

reduzido a um ponto, C  p onde p ∈ E e fp  0, fx  1 se x ≠ p; o limite de f em p por valores diferentes de p é diferente de fp).

II.8.20 Exercício Mostre que seE, dE, F, dF são espaços métricos, f : E → F e

a ∈ E então f é contínua em a se e só se a imagem inversa f−1V de cada vizinhança V de fa em F é uma vizinhança de a em E.

II.8.21 Resolução Pelas definições, f é contínua em a se e só se o limite de f no ponto

a existe e é fa, o que pode exprimir-se em linguagem lógica por (1)

∀  0, ∃  0, fB0a,  ⊂ B0fa, . Tem-se a equivalência (2)

fB0a,  ⊂ B0fa,  sse (2’) B0a,  ⊂ f−1B0fa, ; então se V é uma vizinhança

de fa, tem-se B0fa,  ⊂ V, certo   0, donde usando (1) e (2’) vem que

B0a,  ⊂ f−1V para certo   0 e assim que f−1V é uma vizinhança de a.

Reciprocamente, se f−1V é uma vizinhança de a, para cada vizinhança V de fa, então tomando V  B0fa, ,   0, conclui-se que f−1B0fa,  contém certa bola aberta

B0a,  e obtem-se (1) pela equivalência de (2) e (2’).

II.8.22 Teorema SejamE1, d1, E2, d2 espaços métricos e f : E1 → E2uma função.

São equivalentes: a f é contínua;

b fC ⊂ fC para cada subconjunto C de E1;

c para cada subconjunto fechado F de E2, f−1F é fechado em E1;

Demonstração. Provemosa  b Isto conclui-se de II.8.14, pois se x ∈ C então existe uma sucessãoxn em C tal que xn → x; então fxn → fx pela hipótese, donde fx ∈ fC. Seguidamente b  c, pois dado F ⊂ E2tal que F  F, se

x ∈ f−1F então usando b e ff−1F  F vem fx ∈ F  F, donde x ∈ f−1F e este

conjunto é fechado.c  d. Se A é aberto então F  Ac _{é fechado, e usando a hipótese,}

f−1Ac_{ é fechado, donde se conclui d pela igualdade f}−1_Ac_{  f}−1_Ac _{.d  a, pois} admitindod, seja a um ponto em E1, e considere-se  0. f−1B0fa,  sendo um

conjunto aberto a que pertence a, é uma vizinhança de a, e conclui-se que f é contínua no ponto a usando II.8.20, c.q.d.

II.8.23 Exercício Prove que dada uma função f : E1, d1 → E2, d2 são equivalentes:

(i) f é contínua; (ii) para cada B ⊂ E2, f−1intB ⊂ intf−1B;

(iii) para cada B ⊂ E2 tem-se f−1B ⊂ f−1B.

(Sug: Prove (i)(ii) e, seguidamente (ii)(iii) recordando II.5.49 (c) e I.8.9 (c). II.8.24 Resolução (i)(ii) Dado a ∈ f−1_{intB, fa ∈ intB e intB é uma}

vizinhança de fa. Usando II.8.20, f−1_{intB é uma vizinhança de a, a qual está contida}

em f−1B e conclui-se que a é um ponto interior de f−1B. (ii)(i) Se B é aberto em E2,

B  intB, conclui-se de f−1B ⊂ intf−1B que f−1B é aberto em E1 e assim (i),

usando II.8.22d. (ii)  para cada B ⊂ E2,

f−1_{intB}c _{⊃ intf}−1_{B}c _{ f}−1_Bc_{  f}−1_{intB}c_{ ⊃ f}−1_Bc _{ f}−1_Bc_{ }

para cada B ⊂ E2, f−1B ⊃ f−1B c.q.d..

II.8.25 Definição Uma função f : E, dE → F, dF diz-se uma isometria se

dFfx, fy  dEx, y para cada x, y em E. Os espaços métricos E, dE e F, dF dizem-se isométricos se existe uma bijecção f : E → F que é uma isometria.

II.8.26 Observações (1) Uma isometria é uma função injectiva (aplicar a condição (D1) à métrica dF e (D4) à métrica dE). (2) Se dois espaços métricos E, F são isométricos, as propriedades topológicas das respectivas topologias das métricas são as mesmas, pois com f : E → F uma isometria sobrejectiva, um subconjunto A de E é aberto se e só se fA é aberto em F como resulta da definição de ponto interior de um conjunto. Com efeito, se

a ∈ E, r  0 então fB0a, r  B0fa, r, representando pelo mesmo símbolo B0 a bola

aberta. Uma sucessãoan em E converge para um ponto a de E se e só se fan → fa em

F e, do ponto de vista das propriedades da topologia da métrica, E, F diferem apenas pelos

”nomes” dos seus elementos. (3) Se f : X → Y é uma função injectiva e se o conjunto X está munido de uma métrica d, então a função dffa, fb  da, b é uma métrica em

fX  Yf e os espaços métricosX, d e Yf, df são isométricos. Deste modo é possível munir um conjunto de uma métrica se existe uma bijecção de certo espaço métrico sobre o conjunto; certos autores designam df acima como a métrica transportada da métrica d em X.

II.8.27 Exercício Verifique a observação (3) acima.

II.8.28 Resolução Tem-se que df : Yf  Yf → R está bem definida, pois dados ponto

a′  fa, b′  fb em Yf, corresponde ao par ordenadoa′, b′ o único para ordenado a, b ∈ X  X para o qual se põe dfa′_{, b}′_{  da, b. Devido a d ser uma métrica,}

verificam-se: (D1) dffa, fb ≥ 0 e dffa, fa  da, a  0; (D2)

dffa, fb  da, b  db, a  dffb, fa; (D3) dados pontos

a′  fa, b′  fb, c′  fc, é

dfa′, c′  dffa, fc  da, c ≤ da, b  db, c  dffa, fb  dffb, fc 

dfa′, b′  dfb′, c′; (D4) dados a′  fa, b′  fb,

dfa′, b′  0  dffa, fb  da, b  0. o que implica a  b e a′  b. II.8.29 A função fx  x

1∣x∣ é uma bijecção de R sobre o intervalo−1, 1, de

inversa gx  x

1−∣x∣. Como é sabido da Análise Real e assim se costuma designar,

limx→−fx  −1, limx→fx  1. Acrescentando a R os objectos −,  com as

convenções habituais−  x   x ∈ R, obtem-se a recta acabada R, e podemos considerar uma extensão f : R → −1, 1 pondo f x  fx x ∈ R e f −  −1,

f  1. f é uma bijecção e a sua inversa g : −1, 1 → R é uma bijecção.

Considerando a métrica induzida sobre−1, 1 pela métrica usual usual da, b ∣ a − b ∣, a métrica transportada dgx, y  dggf x, gf y ∣ f x − f y ∣ é uma distância em

R para a qual dgx,   _1∣x∣1 e dgx, −  _1∣x∣1 se respectivamente x  0 e x  0.

II.8.30 Exercício Mostre que a métrica usual de R é equivalente à métrica induzida pela métrica transportafa dgacima em R. (Sug: considere sucessões convergentes).

II.8.31 Resolução Para o cálculo de dga, b, no caso em que a, b ∈ R podemos fazer

dga, b  dggfa, gfb ∣ fa − fb ∣. Se xn → x em R, d, d a métrica usual,

tem-se xn/1 ∣ xn ∣ → x/1 ∣ x ∣ neste espaço métrico, donde

dgxn, x ∣ xn/1 ∣ xn ∣ − x/1 ∣ x ∣ ∣→ 0 e xn → x em R, dg. Assim d é mais

fina que a restição de dg a R em R. Reciprocamente, distinguindo os casos x  0 e x  0, com xn, x ∈ R obtem-se que xn/1 ∣ xn ∣ → x/1 ∣ x ∣ implica ∣ xn − x ∣→ 0; logo a restrição de d_ga R é mais fina que d.

II.8.32 Definição A função f : E, dE → F, dF do espaço métrico E, dE para o espaço métricoF, dF diz-se lipschitziana com constante de Lipschitz L se

dFfx, fy ≤ LdEx, y para cada x, y ∈ E.

II.8.33 Em II.8.32 é necessariamente L ≥ 0; uma função constante é lipschitziana e só para uma tal função pode tomar-se L  0. Se L  1 diz-se também que f é uma contracção

II.8.34 Observações (1) Toda a função lipschitziana é contínua. (2) Uma função

f : E → F ser uma isometria é obviamente o mesmo que ambas f e a função inversa f−1 : fE → E serem lipsichitzianas com a constante de Lipschitz L  1.

II.8.35 Exercício Verifique II.8.34 (1).

II.8.36 Resolução. Dado  0, tome-se   /L.

II.8.37 Definição Diz-se que uma função f : E, dE → F, dF do espaço métrico E para o espaço métrico F é um homeomorfismo se f é bijectiva e ambas as funções f e f−1 são contínuas. Se existe um homeomorfismo f : E, dE → F, dF diz-se que estes espaços métricos são homeomorfos.

II.8.38 Exemplos (1) Dado o espaço métricoE, d, F um subespaço métrico de E, d, a bijecção identidade de F, IdF : F, d → F, d, IdFx  x é um homeomorfismo. (2) Como consequência do Teorema do limite da função monótona da Análise Real, toda a função estritamente crescente f de um intervalo I ⊂ R sobre um intervalo J de R é um homeomorfismo deI, d sobre J, d, notando ainda por d as respectivas métricas induzidas sobre I, J pela métrica usual d de R. (3) Se f : a, b ⊂ R, d → R, d é uma função injeciva e contínua, d a métrica usual, então os subespaços métricosa, b e fa, b de R, d são homeomorfos. Este é um caso particular de uma propriedade que veremos adiante. (4) Se A ⊃ B0a, r, uma bola no espaço métrico R2, de, os espaços métricos

A, dA e A, di, onde dA é a métrica induzida por de e di é a métrica discreta, não são homeomorfos. (5) Verifica-se facilmente que os espaços métricos0, 1, di e 0, 1, 2di, onde di é a métrica discreta, são homeomorfos mas não são isométricos.

II.8.39 Exercícios (1) Enuncie e demonstre uma condição necessária e suficiente que deve verificar um subconjunto A de R para que os espaços métricosA, dA e A, di,

dAx, y ∣ x − y ∣ e di a métrica discreta sobre A, sejam homeomorfos. (2) Prove que a relação h ⊂ SE  SE, A, B ∈ h  A, B são subespaço homeomorfos do espaço

métricoE, dE é uma relação de equivalência no conjunto SE dos subespaços métricos de E, dE. (3) Mostre que se as funções f : E, dE → F, dF e g : F, dF → G, dG são lipschitzianas então a função composta gof : E, dE → G, dG é lipschitziana.

II.8.40 Resoluções. (1) Se existe uma bijecção contínua f :A, dA → A, di, a ∈ A, então existe  0 tal que fa − , a   ∩ A ⊂ fa, e portanto

a − , a   ∩ A  a. Conclui-se já que para que os espaços sejam homeomorfos cada ponto de A deve ser um ponto isolado de A emR, d, d a métrica usual, e esta é uma condição necessária. A condição é também suficiente; pois se cada ponto a ∈ A é um ponto isolado deste conjunto no espaço métricoR, d, o raciocínio acima mostra que a função identidade de A é um homeomorfismo deA, dA sobre A, di. A condição necessária e suficiente pretendida é pois que o conjunto A seja constituído por pontos isolados, no espaço métrico R munido da métrica usual. (2) Conclui-se de II.8.19 (1) atendendo a que dadas bijecções f : E → F e g : F → G se tem gof−1  f−1og−1; e porque a composta de dois homeomorfismos é um homeomorfismo. (3) Se L, M são constantes tais que

dFfx, fy ≤ LdEx, y e dGgfx, gfy ≤ MdFfx, fy então

dGgofx, gofy ≤ MLdEx, y e gof é lipschitziana com constante de Lipschitz ML.

II.8.41 Uma função contínua de um espaço métrico noutro não transforma em geral sucessões de Cauchy do domínio em sucessões de Cauchy no espaço imagem. Por exemplo, considerando em0,  a métrica dx, y ∣ x − y ∣, a função fx  1/x é um

homeomorfismo deste espaço métrico sobre si mesmo; no entanto, a imagem da sucessão de Cauchy1/n não é uma sucessão de Cauchy.

II.8.42 Exercício. Prove que se f : E, dE → F, dF é uma função lipschitziana e xn é uma sucessão de Cauchy em E, então fxn é uma sucessão de Cauchy em F. Conclua que a função em II.8.41 não é lipschitziana.

II.8.43 Resolução Das hipóteses dFfx, fy ≤ LdEx, y x, y ∈ E e

∀  0, ∃p ∈ N, n, m ≥ p  dExn, xm  /L vem

∀  0, ∃p ∈ N, n, m ≥ p  dFfxn, fxm  . Se a função

f : 0, , d → 0, , d, fx  1/x fosse lipschitziana, então a sucessão dos números

naturais seria uma sucessão de Cauchy em0, , d, o que é falso, pois não é convergente.

II.8.44 Definição (a) SendoE, dE e F, dF espaços métricos, a função

f : E, dE → F, dF diz-se uniformemente contínua se verifica a condição

uc ≡ ∀  0, ∃  0, ∀x, y ∈ E, dEx, y    dFfx, fy   ou, equivalentemente,

∀  0, ∃  0, diamEA    diamFfA  , ∀A ⊂ E, A ≠ , onde

diamEA  supdEx, y : x, y ∈ A é o diâmetro de A em E, dE e analogamente para diamFfA.

(b) Se a função f : E, dE → F, dF é bijectiva e ambas f, f−1são uniformemente contínuas, diz-se que f é um homeomorfismo uniforme deE, dE sobre F, dF.

II.8.45 Observações (1) Obviamente, se f é uma função uniformemente contínua, então é contínua.

(2) Toda a função lipschitziana f : E, dE → F, dF é uniformemente contínua. (3) Existem no entanto funções uniformemente contínuas que não são lipschitzianas, por exemplo, com d a distância usual em R, a função IR : R, min1, d → R, d, IRx  x é um homeomorfismo uniforme e não é lipschitziana.

II.8.46 Exercícios. (1) Verifique (1) em II.8.45. (2) Verifique II.8.45 (2). (3) Prove que a função f : R, d → R, d, onde d é a métrica usual, fx  1  x2 _{é lipschitziana com}

constante de Lipschitz L  1 e mostre que f não é uma contracção. (4) Mostre que sendo d como em (3), para a função f : R, d → R, d, fx  x2 _{se tem:i f é contínua; ii f é}

lipschitziana em cada intervalo de extremos a, b ∈ R, mas não é lipschitziana em R; iii f não é uniformemente contínua. (Sug: paraii recorde um Teorema da Análise Real e prove que f é lipschitziana ema, b, concluindo o caso geral; justifique que não existe nenhum número real L tal que dfx, f0/dx, 0 ≤ L para todo o x  0). (5) Prove que toda a função uniformemente contínua transforma sucessões de Cauchy em sucessões de Cauchy. A recíproca é válida? (6) Prove que se f : E, dE → R, d é uma função contínua, onde d é a métrica usual, então para cada c ∈ R, o conjunto Ec  x ∈ E : fx  c é aberto. (7) Sendo f : E, d → E, d uma função, o ponto x ∈ E diz-se um ponto fixo de f se x  fx. Mostre que se f é contínua então o conjunto F dos pontos fixos de f é fechado em E. (8) Mostre que a função f : 0, 1  2, d → 0, 1, d, onde d é a métrica usual de R,

II.8.47 Resoluções (1) Se para cada número positivo existe certo   0 tal que para cada a, x ∈ E se verifica dffx, fa   sempre que dEx, a  , então em particular dado um ponto a em E, o número satisfaz a condição de ser dFfx, fa   se x verifica dEx, a  ,   0 a priori dado. (2) Da hipótese dFfx, fy ≤ LdEx, y, L  0 uma constante independente de x, y ∈ E, dE para a função f : E, dE → F, dF,

conclui-se que dFfx, fy   sempre que x, y ∈ E e dEx, y    /L. Se L  0 então a função f é constante, donde contínua. (3)∣ 1  x2 _{− 1  y}2 _∣

∣ x2 − y2/ 1  x2  1  y2 ∣∣ x − y ∣∣ x  y ∣ / 1  x2  1  y2 ≤

∣ x ∣  ∣ y ∣/ 1  x2 _{ 1  y}2_{ ∣ x − y ∣∣ x − y ∣; no entanto}

limx→ 1  x2 − 1/x − 1  1 e não exite K  1 tal que

∣ 1  x2 _{− 1  y}2 _{∣ / ∣ x − y ∣≤ K para todos os x, y ∈ R; (faça-se y  0). (4) i Em}

cada a, x ∈ R tem-se ∣ x − a ∣   /∣ x  a ∣ 1 ∣ x2 _{− a}2 _{∣ ,   0. ii Se}

a ≤ x  y ≤ b então ∣ fx − fy ∣≤ sup∣ f′t ∣: x  t  y ∣ x − y ∣≤ L ∣ x − y ∣

onde L  2 max∣ a ∣, ∣ b ∣. Não existe L  0 verificando a condição para f ser lipschitziana em R, pois supx2_{/ ∣ x ∣: x ≠ 0  sup0,   . iii Se f fosse}

uniformemente contínua existiria, dado  1  0, certo número positivo  verificando a condição 1 ≤ a  x, x − a    x2 _{− a}2 _{ 1; mas não existe   0 verificando a}

implicação, como se vê tomando a  n ∈ N, onde n  1/ para  dado, e x  n  /2. Assim a hipótese f uniformemente contínua leva a uma contradição, e conclui-seiii pelo método de redução ao absurdo. (5) Se f : E, dE → F, dF é uniformemente contínua e a sucessãoxn em E verifica n. m ≥ p  dExn, xm  , certa ordem p na implicação existindo para cada  0 a priori dado, consideremos   0. Pela continuidade uniforme de f, existirá um número positivo tal que a implicação x, y ∈ E e

dEx, y    dFfx, fy   é verdadeira; a partir da ordem p, os termos xn, xm verificam o antecedente desta implicação e consequentemente verificam

dFfxn, fxm  .

A recíproca não é válida, pois por exemplo para a função fx  x2 _{em (4)iii, se xn}

é uma sucessão de Cauchy emR, d então existe x  limxn ∈ R donde fxn → fx pela continuidade de f, efxn é uma sucessão de Cauchy.

(6) Ec  f−1−, c é um conjunto aberto dado que −, c é aberto em R, d e f é contínua. (7) Há a provar que sexn é uma sucessão em F e xn → x em E, d então x ∈ F. Como xn  fxn para cada n, tem-se x  limxn  limfxn  fx pela continuidasde de f. (8) f é claramente bijectiva; f é contínua, pois se 0 ≤ xn  1 e xn → x ∈ 0, 1 então lim fxn  limxn  x  fx, e assim f é contínua em cada ponto x ∈ 0, 1; no ponto 2, f é contínua, pois este ponto é um ponto isolado do domínio. Tem-se xn  _n1n ∈ 0, 1,

xn → 1 e lim f−1xn  limxn ≠ 2  f−1limxn, a função f−1não é contínua.

II.8.48 Exercícios (1) Prove que a função dx, y ∣ e−x − e−y ∣ 0 ≤ x, y  ,

dx,   d, x  e−x , d,   0 é uma métrica em 0, , onde se

convenciona x ≤  para 0 ≤ x   e assim se entende este intervalo. (2) Mostre que sendo : 0, , d → 0, , d uma função, tem-se limx→0x  0 em

0, , d se e só se limx→0∣0,1x  0 em 0, 1, d, onde ∣0,1 é a função restrição

II.8.49 Resoluções (1) Para x, y ∈ 0, , tem-se: (D1) dx, y ≥ 0 e dx, x  0;

(D2) Se x, y ∈ R então dx, y ∣ e−x− e−y ∣∣ −e−x − e−y ∣ dy, x e se x ∈ R

então dx,   d, x pela definição; (D3) Para x, y, z reais,

dx, z ∣ e−x − e−z ∣≤∣ e−x − e−y ∣  ∣ e−y − e−z ∣ dx, y  dy, z; para

y  , x, z ∈ R, dx, z ∣ e−x− e−z ∣≤ e−x e−z  dx, y  dy, z e se z  

obtem-se dx, z  e−x ≤ e−x  dx, y  dy, z; (D4) Se x, y ∈ R, x ≠ y é e−x ≠ e−y,

dx, y ≠ 0 e se x ∈ R então dx,   e−x ≠ 0, portanto verifica-se (D4). (2) Se

limx→0x  0 em 0, , d tem-se: para cada sucessão xn em 0, 1 tal que

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