Espaço topológico e base de uma topologia

III.2.1. Definição pela classe dos abertos

Seja X um conjunto não vazio. Diz-se que a classe_{T ⊂ PX é uma topologia sobre X} se tem as propriedades

T1 , X ∈ T

T2 A ∈ T  ∈ A 



A :  ∈ A ∈ T T3 A1, A2 ∈ T  A1∩ A2 ∈ T

SeT é uma topologia sobre X, o par X, T é um espaço topológico; os conjuntos que constituem a topologia chamam-se os conjuntos abertos da topologia, ou do espaço topológico. Podem considerar-se diferentes topologias sobre X, se X não se reduz a um elemento; não havendo risco de confusão uma vez estabelecida a topologia que se considera, nota-se apenas X para designar o espaço topológico.

No que segue supomos X um conjunto não vazio.

III.2.2 Exemplos (1) A classeG  , X é uma topologia sobre X, a topologia grosseira ou topologia grossa de X. (2)_{D  PX é a topologia discreta de X. (3) A classe} , A ⊂ X : Ac _{é finito diz-se a topologia cofinita de X. (4) Se X  0, 1, a classe} S  , 0, 0, 1 é a topologia de Sierpínski. (5) A classe

, X, a, c, p, a, c, p, b, c, p, q é uma topologia sobre o conjunto X  a, b, c, p, q. (6) O Teorema II.5.4 mostra que seE, d é um espaço métrico, a topologia da métrica TE é um exemplo de uma topologia sobre E.

III.2.3 Observação Sendo dRa métrica usual de R, é importante em Análise a topologia sobre R definida do modo seguinte: um conjunto não vazio é aberto se e só se, cada vez que lhe pertence um ponto p, o conjunto contém um intervalo aberto de centro p. Esta é a

topologia usualU de R; trata-se de um caso particular do exemplo (6) em III.1.2. III.2.4 Definição Cada conjunto complementar de um conjunto aberto no espaço topológicoX, T diz-se um conjunto fechado

III.2.5 Exercícios 1. Verifique os Exemplos (3), (4), (5) e indique quais os conjuntos fechados. 2. A que condição deve obedecer X para que as topologias em (2) e (3)

coincidam? Justifique. 3. As classesT1  1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 3, 4, 5,  e

T2  1, 2, 3, 4, 5,  são topologias sobre o conjunto X  1, 2, 3, 4, 5? E a classe

III.2.6 Resoluções 1. (3)T1 é verificada, pois Xc   é um conjunto finito; T2 se cada A ⊂ X satisfaz Ac finito, então



A :  ∈ Ac 



Ac :  ∈ A é finito; T3 A1 ∩ A2c  A1c  A2c é um conjunto finito se ambos A1c, A2c são finitos.

Os conjuntos fechados são X e os conjuntos finitos. (4) Verifica-se_{T1. Dado que S é} uma classe finita e a reunião ou intersecção de quaisquer dois conjuntos emS está em S, T2 e T3 são verificadas. Os conjuntos fechados são , 0 e 0, 1. (5) T1 é satisfeita; T2 é verificada por a, c, p, a, c, p e a reunião de qualquer um destes conjuntos com b, c, p, q está ainda na classe; T3 as intersecções de dois conjuntos diferentes de ,X são

 ∈ T, a ∈ T ou c,p ∈ T. Os fechados (complementares dos abertos) são ,X,

b, c, q, p, a, a, b, q e b, q. 2. Deve ser X finito, pois obtem-se a topologia PX; mas se o conjunto X não é finito não se obtem a topologia discreta de X, pois se p ∈ X então pc _{não é um conjunto finito. 3.}

T1não é uma topologia sobre X, pois a intersecção

3  1, 2, 3 ∩ 3, 4, 5 ∉ T1.T2 não é, pois X ∉ T2.T3é uma topologia, porque

verifica_T1, T2 e T3.

III.2.7 Definição Diz-se que um espaço topológicoX, T, ou a topologia T de X é metrizável se existe uma métrica d sobre X tal que_{T é a topologia T}X do espaço métrico X, d (ver II.5.1 e II.5.4).

III.2.8 Observação II.5.3 mostra que o espaço topológico discretoX, D é metrizável. Se c é um número real positivo,D é a topologia do espaço métrico X, d, onde d é a métrica sobre X, dx, y  0 x  y, dx, y  c x ≠ y. O espaço do Exemplo (3) acima não é metrizável, se X é um conjunto infinito. (4) e (5) não são metrizáveis. (6), e em particular a topologia usual de R, é metrizável pela definição.

III.2.9 Vemos em III.1.6 que uma mesma topologia metrizável pode ser dada por duas métricas diferentes.

III.2.10 Exercícios (1) Prove que seM, ≤ é um conjunto parcialmente ordenado, a classe_{T   L, onde U ∈ L se e só se verifica a condição x ∈ U ∧ y ≤ x  y ∈ U é} uma topologia sobre M. (2) Mostre que a classe formada por e cada subconjunto C de N tal que, se n ∈ C então todos os divisores de n estão em C, é uma topologia sobre N que é diferente da topologia discreta_{D  PN.}

III.2.11 Observação Conforme a III.1.2 (6), a classe_{U dos conjuntos O da forma}

O 



x − x, x x : x ∈ C, C ⊂ R x  0 é uma topologia sobre R, a topologia usual de R. Tem-se_{U  }



I :  ∈ A : Ié um intervalo aberto,A é um qualquer

conjunto de índices. Notar que a reunião vazia  ∈ U, R 



R : R ∈ R ∈ U, a

reunião







I, : ,  ∈ A :  ∈ Γ 



I, : ,  ∈



A :  ∈ Γ e, quanto a_{T3, tem-se}





I :  ∈ A ∩ 



I :  ∈ B 



I∩ I : ,  ∈ A  B. A classe I dos intervalos abertos de R verifica



I : I ∈ C  R e se I,J ∈ C e I ∩ J ≠  então para cada ponto p ∈ I ∩ J, certo L ∈ C verifica p ∈ L ⊂ I ∩ J. Põe-se

III.2.12 Definição SeX, T é um espaço topológico, a classe B ⊂ T é uma base da topologia_{T se tem as propriedades equivalentes}

B ≡ ∀O ∈ T,∃BO ⊂ B,O 



B : B ∈ BO i.e., cada aberto é uma reunião generalizada de conjuntos na base;

B′_{ ≡ ∀O ∈ T,∀x ∈ O,,∃B}

x ∈ B : x ∈ Bx ⊂ O.

III.2.13 Se_{B é base da topologia T e B}1, B2 ∈ B então B1∩ B2é um aberto; logoB

verifica a condição: quaisquer que sejam B1, B2 ∈ B, se x ∈ B1 ∩ B2, existe Bx ∈ B tal que

x ∈ Bx ⊂ B1∩ B2.

III.2.14 Exemplos (1) Qualquer topologia_{T é uma base de T. A classe I em III.1.10 é} uma base da topologia usual de R. (2) Dado X ≠ , a classe p : p ∈ X dos conjuntos singleton de X é uma base da topologia discretaD de X. (3) X é uma bae da topologia grossa de X ≠ . (4) Se F é um filtro sobre X, F é uma base da topologia   F sobre X.

Continuamos a supor X ≠ .

III.2.15 Observação Decorre deB′ em III.1.12 que X 



B : B ∈ B. Se uma classe_{C ⊂ PX verifica X }



B : B ∈ C e a condição em III.1.13 então a classe das reuniões generalizadas de conjuntos em_{C é um topologia TC} sobre X.

III.2.16 Exercício Verifique a Observação III.1.10.

III.2.17 Resolução Tem-se 



B : B ∈  ∈ T_C, X ∈ T_C. Dadas

O 



B, :  ∈ A  ∈ Γ tem-se



O :  ∈ Γ 



B, :  ∈ Γ,  ∈ A ∈ TC. E quanto aT3 verifica-se que dados

B, B′ ∈ C, o conjunto B ∩ B′ ⊂



B′′ : B′′ ⊂ B ∩ B′ uma vez que cada x ∈ B ∩ B′ pertence a certo Bx ⊂ B ∩ B′; e B′ ∩ B′′ ⊃



Bx : Bx ⊂ B ∩ B′, logo

B∩ B′ 



Bx : Bx ⊂ B ∩ B′. Então dados O 



B :  ∈ A,B ∈ C e

O′ 



B_′ :  ∈ A′, B_′ ∈ A′ tem-se

O∩ O′ 



B ∩ B_′ : ,  ∈ A  A′ 



Bx : x ∈ B ∩ B,,  ∈ A  A′ ∈ T_C como consequência de, já provado,T2.

III.2.18 Definição Diz-se que a classe_{C ⊂ PX é base para uma topologia sobre X se} B1 X 



B : B ∈ C;

B2 Para cada dois conjuntos B1, B2 emC e cada ponto x ∈ B1∩ B2, certo conjunto Bx

na classeC existe tal que x ∈ Bx ⊂ B1∩ B2.

A topologia_TC diz-se que é a topologia gerada pela base_{C, ou que a classe C} gera a topologia_T.

III.2.19 Observações (1) Nem toda a classe não vaziaM ⊂ PX é base para uma topologia sobre X, ainda que_{M satisfaça B1). Por exemplo, com X  a, b, c, a classe} M  a, b, b, c não pode ser base de uma topologia sobre X: Pois a intersecção dos abertosb  a, b ∩ b, c deveria ser um aberto, logo reunião de conjuntos na classe M. (2) A condição B2 em III.1.15 verifica-se em particular se para cada B1, B2 ∈ C, a

intersecção B1∩ B2 ∈ C. (3) Em se constatando que uma classe C ⊂ PX verifica sa

condições_{B1 e B2, obtem-se uma topologia sobre X, nomeadamente a topologia TC} (Observação III.1.15). (4) Dada uma classe não vaziaS ⊂ PX, se B é uma para uma topologia_{T sobre X e B ⊃ S, então B é uma base de T e cada conjunto em S é um} aberto.(4) Se em particular em (2),_{C é uma partição de X, a classe das reuniões} generalizadas dos conjuntos emC é uma topologia sobre X.

III.2.20 Exercício Prove que se_{B, B}∗são bases para topologias_{T e T}∗ respectivamente sobre X, entãoT∗ ⊃ T se e só se é verificada a relação ∀B ∈ B, ∀p ∈ B, ∃B∗ _{∈ B}∗ _{: p ∈ B}∗ _{⊂ B.}

III.2.21 Resolução Condição necessária: Se_T∗ ⊃ T e p ∈ B, onde B ∈ B então B é aberto emX, T; pelo teorema anterior, existe B∗ ∈ B∗tal que p ∈ B∗ ⊂ B. Condição suficiente: Na hipótese dada, cada B ∈ B é uma reunião generalizada B 



Bp∗ : p ∈ B onde para cada p ∈ B, Bp∗ ∈ B∗satisfaz p ∈ Bp∗ ⊂ B (Verifique). Donde se O ∈ T tem-se

O 



B :  ∈ A 







B∗,p : p ∈ B :  ∈ A 



B,p∗ :  ∈ A,p ∈ B ∈ T∗ eT ⊂ T∗.

III.2.22 Dada uma cadeia não vaziaX, ≤, onde pomos a ≨ b com o significado óbvio a, b ∈ X, notando a, b  x ∈ X : a ≨ x ≨ b um intervalo aberto de X, tem-se que a intersecção dos intervalosa, b ∩ c, d ou é vazia ou é um intervalo aberto; em particular a classe dos intervalos abertos de X verifica a condiçãoB2 em III.1.18. Se X não tem

elemento mínimo nem elemento máximo, então cada ponto x ∈ X pertence a um intervalo de X, e verfica-se também a condiçãoB1. Supondo que existe um elemento mínimo a0

(respectivamente um elemento máximo b0) em X, verifica-se facilmente que a classe

constituída pelos intervalos abertos e pelos intervalos da forma

a0, b  x ∈ X : a0 ≤ x ≨ b (resp. pelos intervalos abertos e pelos intervalos da forma

a, b0  x ∈ X : a ≨ x ≤ b0) de X é uma base para uma topologia sobre X. Esta é a

topologia da ordem deX, ≤.

III.2.23 Exemplos (1) A topologia usual de R é a topologia da ordem usual. (2) Em R2 pode considerar-se a ordem lexicográficax, y ≤ a, b sse x ≨ a ou x  a ∧ y ≤ b e obter sobre o plano cartesiano a respectiva topologia da ordem. Sugere-se representar graficamente as possibilidades para um intervalo aberto.

III.2.24 Exemplo A topologia_Usobre R gerada pela classe_I  a, b : a, b ∈ R é a topologia do limite superiorUde R. Para esta topologia, cada intervaloa, b a ≨ b é um aberto. Analogamente se obtem a topologia do limite inferior_U−, gerada pela classe I−  a, b : a, b ∈ R.

III.2.26 Resolução ConsiderandoI, tem-se R 



−n, n : n ∈ N. Também a intersecção de dois intervalos da formaa, b é um intervalo da mesma forma se não é vazia. Analogamente paraI−

III.2.27 Definição Dadas topologias_{T e T}∗sobre X, diz-se que_T∗é mais fina que_{T ou} queT é menos fina que T∗ seT∗ ⊃ T. T∗é estritamente mais fina queT (T estritamente menos fina que_T′∗) se_T∗  T.

III.2.28 (1) Mostre que a topologia do limite superior_Isobre R é estritamente mais fina que a topologia usualU de R. (2) Mostre que no conjunto parcialmente ordenado M, ⊂, M a classe das topologias sobre X, existe máximo e mínimo.

III.2.29 Resoluções (1) A classeI dos intervalos abertos em III.1.7 gera U. Tem-se −, b 

_

−n, b − 1/n : n ∈ N logo cada intervalo −, b ∈ TI; como cada

a,  



a, a  n : n ∈ N ∈ TIconclui-se que cada intervalo aberto

a, b ∈ TI  U. PortantoU ⊃ I, donde U ⊃ U. O conjunto 0,1 é aberto em R,U

mas não é aberto em_{U, logo U}é estritamente mais fina que_{U. (2) Dado X, tem-se} G ⊂ T ⊂ D para cada topologia T sobre X.

III.2.30 Exercício Seja C0, 1 o conjunto das funções reais contínuas sobre 0, 1.

a Prove que as seguintes classes são bases para topologias sobre C0, 1:

i a classe M formada pelos conjuntos Mf,  g ∈ C0,1 :



₀1 ∣ f − g ∣  f ∈ C0, 1,   0, onde o integral é o integral à Riemann ou à Lebesgue;

ii B constituída pelos conjuntos

Uf,   g ∈ C0, 1 : sup∣ fx − gx ∣: x ∈ 0, 1  ;

iii a classe L dos conjuntos

Uf, W,   g ∈ C0, 1 : sup∣ fx − gx ∣: x ∈ W   onde W é um subconjunto

finito de0, 1,   0.

b Mostre que T_Bé mais fina queTL.

c Prove que T_M e_TL não são comparáveis no conjunto parcialmente ordenado M0, 1, ⊂, M0, 1 a classe das topologias sobre C0, 1.

d T_Mé metrizável?_TB é metrizável? Justifique. III.2.31 Resolução

a i Sendo f0x  0 0 ≤ x ≤ 1 tem-se C0, 1 



Mf0, n : n ∈ N. Dadas

f1, f2 ∈ C0, 1, 1,2  0, se f ∈ Mf1,1 ∩ Mf2,2 então para cada g ∈ Mf, , onde

  min1 −



0 1 ∣ f − f1 ∣, 2 −



0 1 ∣ f − f2 ∣ tem-se



₀1 ∣ g − f ∣  



0 1 ∣ g − fi ∣≤



0 1 ∣ g − f ∣ 



0 1 ∣ f − fi ∣  



0 1 ∣ f − fi ∣≤ i i  1, 2 donde Mf,  ⊂ Mf1,1 ∩ Mf2,2.

ii Com f0 como emi, tem-se C0, 1 



Uf0, n : n ∈ N. Dados

Uf1,1, Uf2,2, dada f ∈ Uf1,1 ∩ Uf2,2,

  mini − sup∣ fx − fix ∣: 0 ≤ x ≤ 1, i  1, 2 verifica

sup∣ gx − fx ∣   sup∣ gx − fix ∣: 0 ≤ x ≤ 1    sup∣ fix − fx ∣: 0 i  1, 2 e Uf,  ⊂ Uf1,1 ∩ Uf2,2.

iii Sendo f0 como emi, ii, W  0, tem-se C0, 1 



Uf0,0, n : n ∈ N.

Também dados W1, W2subconjuntos finitos de0, 1, 1,2  0 e dadas

fi, i  1, 2 ∈ C0, 1, f ∈ Uf1, W1,1 ∩ Uf2, W2,2 então com

  mini − sup∣ fx − fix ∣: x ∈ Wi : i  1, 2  0, W  W1  W2encontra-se

g ∈ Uf, W,   sup∣ gx − fix ∣: x ∈ Wi    supfix − fx ∣: x ∈ Wi ≤ i

i  1, 2. assim Uf, W,  ⊂ Uf1, W1,1 ∩ Uf2, W2,2.

b Utilizando III.1.17, temos. dado Uf, W,  e dada g ∈ Uf, W,  então com    − sup∣ fx − gx ∣: 0 ≤ x ≤ 1  0 verifica-se Ug,  ⊂ Uf, W, .

Efectivamente,

sup∣ gx − x ∣: 0 ≤ x ≤ 1    sup∣ fx − x ∣: x ∈ W  . (Preencha os detalhes). Assim, III.1.17 mostra queTB ⊃ TL.

c Se dadas f, g ∈ C0, 1 tais que g ∈ Mf, 1 mostrarmos que não existem um

subconjunto finito W e  0 para os quais Ug, W,  ⊂ Mf, 1 teremos provado que

Mf, 1 não é reunião generalizada de conjuntos em L, donde T_L não é mais fina que_TM. Com efeito, qualquer que seja  0 e para cada subconjunto finito W  x1, . . . , xn de 0, 1, g ∈ Mf, 1, tem-se: se W  x1  0, existe uma função contíunua crescente

 : 0, 1 → R tal que 0  g0  /2 e x  2   ∣ g0 ∣  ∣ fx ∣

1/2 ≤ x ≤ 1; vem  ∈ Ug, W,  mas  ∉ Mf, 1.

Analogamente se W  1, considerando certa C0, 1 decrescente, tal

que1  g1  /2. Para outros conjuntos finitos W vê-se facilmente que existe uma função contínua ∈ C0, 1 tal que xi  gxi 1 ≤ i ≤ n e



0 1

∣  − f ∣≥ 1. Então ∈ Ug, W, \Mf, 1.

Reciprocamente, podemos também considerar, dadas g, f tais que g ∈ Uf, W, 1 e sendo  0, uma função  ∈ C0, 1 tal que  ∈ Mg, \Uf, W, 1: existe uma função contínua : 0, 1 → R tal quexk ∣ gxk ∣ 1, onde xk ∈ W verificando



₀1

∣ g ∣ .

d A métrica d1f, g 



0 1

∣ f − g ∣ em II.4.4 (5) a) verifica que a bola aberta

B0f,   Mf, . Assim a topologia TMé metrizável. Verifica-se facilmente, utilizando a

desigualdade supa  b :  ∈ A ≤ supa :  ∈ A  supb :  ∈ A que a função

df, g  sup∣ fx − gx ∣: 0 ≤ x ≤ 1 é uma métrica sobre C0, 1; tem-se para a bola

aberta B0f,   Uf, , donde a topologia TBé a topologia do espaço métricoC0, 1, d.

III.2.32 Observação Dada qualquer classe não vaziaH de subconjuntos de X, existe uma topologia_{TH sobre X tal que H ⊂ TH ⊂ T para toda a topologia T sobre X tal} que todo o conjunto em_{H é aberto no espaço topológico X, T. De facto, a classe}

H∗  



k1

n _{Ck : Ck}

∈ H,n ∈ N é uma base de TH, que é portanto a menor

topologia sobre X, no conjunto parcialmente ordenadoM, ⊂ das topologias sobre X, que contém a classe_H.

III.2.33 Exercício Verifique a observação acima.

III.2.34 Definição Dada uma classe de conjuntos_{H ⊂ PX, a topologia TH diz-se} a topologia que tem_{H como subbase.}

III.2.35 Observações (1) Notar que toda a classe não vazia de subconjuntos de X é subbase de uma topologia sobre X. (2) Seguindo III.2.19 (4), se_{S é uma subbase de T, e B é} uma base deT, a classe das intersecções finitas de conjuntos em S é uma base B′ deT, B′ ⊂ B.

III.2.36 Exemplo SeΓ é um número ordinal, podemos considerar sobre o conjunto de ordinais0, Γ   ∈ M : 0 ≤  ≤ Γ onde M é a classe de todos os ordinais, a topologia que tem como subbase os intervalos0,   ∈ M : 0 ≤    e

, Γ   ∈ M :    ≤ Γ. Obtem-se assim o espaço ordinal 0, Γ e podemos considerar o subespaço0, Γ. Os conjuntos ,   ∈ M :      formam uma base da topologia. Notar que,  é aberto se e só se   0 ou  tem um predecessor imediato. Também um sigleton,  ≠ Γ, é aberto se e só se  tem um predecessor imediato.

III. 2.37 Definição Dada uma classe não vaziaN T :  ∈ A de topologias sobre o conjunto X, a topologia supremo∨T :  ∈ A da classe N é a topologia sobre X que tem a classe



T :  ∈ A como subbase.

III.2.38 Observação Verifica-se facilmente que∨T :  ∈ A ⊃ T ∈ A e, se T é uma topologia sobre X mais fina que todas asT, entãoT ⊃ ∨T :  ∈ A. Também ∧T :  ∈ A 



T :  ∈ A é uma topologia menos fina que cada T e, se a

topologia_T0 é menos fina que cadaTentão∧T :  ∈ A é mais fina que T0. Conclui-se

a

III.2.39 Propriedade Dado um conjunto X, existem o ínfimo e o supremo de cada conjunto no conjunto parcialmente ordenadoM, ⊂ de todas as topologias sobre X.

III.2.40 Exercício Considere as classes_B  a,  : a ∈ R, B−  −, b : b ∈ R.

a Mostre que Be_B− são bases para topologias Ue_U−respectivamente sobre

R.

b Prove que em U(U−) qualquer intersecção generalizada de abertos é um aberto.

c Qual é a topologia ∨U,_U−?

III.2.41 Exemplo As classes, X, 0 e , X, 1, X  −1, 0, 1, mostram que a reunião de duas topologias sobre X pode não ser uma topologia sobre X.

No documento Espaços Métricos e Espaços Topológicos (páginas 182-189)