Exercícios e complementos

I.8.1 Mostre quePA ∩ B  PA ∩ PB.

I.8.2 a) Prove que se f : X → Y é uma função então ff−1B  B ∩ fX para cada

B ⊂ Y;

b) dê um exemplo em que A ⊂ X e f−1fA ≠ A.

I.8.3 SejamAi : i ∈ I uma classe não vazia de conjuntos, B um conjunto. Mostre que:

a)∀i ∈ I, Ai ⊂ B  Ai : i ∈ I ⊂ B; b)∀i ∈ I, B ⊂ Ai  B ⊂ ∩Ai : i ∈ I.

I.8.4 Sejam A ⊂ X, I, J ≠  e Ai : i ∈ I, Bj : j ∈ J ⊂ PX. a) Mostre que:

(1) A∩ 



Bj : j ∈ J 



A ∩ Bj : j ∈ J;

(2)



Ai : i ∈ I  



Bj : j ∈ J 



Ai ∩ Bj : i, j ∈ I  J. b) Verifique a lei da dualidade, obtendo

(1’) A 



Bj : j ∈ J 



A  Bj : j ∈ J e

(2’)



Ai : i ∈ I  



Bj : j ∈ J 



Ai  Bj : i, j ∈ I  J.

I.8.5 a) Dadas classes de conjuntosX1, X2, Y1, Y2 e um conjunto Y, mostre que:

(i)X1  X2  Y1  Y2  X1  Y1  X1  Y2  X2  Y1  X2  Y2;

(ii)X1 ∩ X2  Y1 ∩ Y2  X1  Y1 ∩ X2  Y2;

(iii)X1\X2  Y  X1  Y\X2 Y.

b) Prove que X1 Y1  X2 Y2  X1  X2 ∧ Y1  Y2.

c) Prove que se A ⊂ X, B ⊂ Y então (i) A B  A  Y ∩ X  B;

(ii)A  Bc _{ A}c _{ Y  X  B}c_.

I.8.6 Mostre que seAs : s ∈ S, Bt : t ∈ T são classes não vazias de conjuntos não vazios, então

a)As : s ∈ S  Bt : t ∈ T  As  Bt : s, t ∈ S  T; b)∩As : s ∈ S  ∩Bt : t ∈ T  ∩As  Bt : s, t ∈ S  T.

I.8.7 Note que se X, Y são conjuntos não vazios, Rx é uma relação em X e Sy é uma relação em Y, entãox, y ∈ X  Y : Sy  X  y ∈ Y : Sy. Utilizando

x, y ∈ X  Y : Rx ∨ Sy  x ∈ X : Rx  Y  X  y ∈ Y : Sy conclua quex, y ∈ X  Y : x ∈ A ∨ y ∈ B  A  Y  B  X.

I.8.8 Sendo f : X → Y uma função, A, A1, A2 ⊂ X, B, B1, B2 ⊂ Y,

a) (i) mostre que A1 ⊂ A2  fA1 ⊂ fA2;

b) Prove que fA   sse A  .

c) Mostre que f−1B1\B2  f−1B1\f−1B2.

d) Mostre que f−1B   sse B ∩ fX  .

e) (i) Prove que fA ∩ B  fA ∩ f−1_{B, e conclua que}

(ii) fA ∩ B   sse A ∩ f−1_{B   e}

(iii) fA ⊂ B  A ⊂ f−1_B.

I.8.9 Note que se f : X → Y é uma função e g é a função restrição de f a A ⊂ X,

A ≠ , então g−1B  A ∩ f−1B para cada B ⊂ Y. Prove que se Ai : i ∈ I é uma classe não vazia de subconjuntos não vazios de X tal que X  Ai : i ∈ I, e gi é a função restrição de f a Ai para cada i ∈ I, então f−1B  gi−1B : i ∈ I.

I.8.10 Sejam X, Y0, Y1conjuntos não vazios, f0 : X → Y0 e f1 : X → Y1funções.

Mostre que definindo f : X → Y0  Y1por fx  f0x, f1x se tem:

a) fA ⊂ f0A  f1A para cada A ⊂ X;

b) f−1B0  B1  f0−1B0 ∩ f1−1B1 se B0 ⊂ Y0, B1 ⊂ Y1.

I.8.11 Sejam f0 : X0 → Y0 e f1 : X1 → Y1 funções. Considere a função

g : X0  X1 → Y0  Y1 definida por gx0, x1  f0x0, f1x1. Prove que:

a) gA0 A1  f0A0  f1A1 Ai ⊂ Xi, i  0, 1;

b) g−1B0  B1  f0−1B0  f1−1B1 Bj ⊂ Yj, j  0, 1.

I.8.12 Um número real diz-se algébrico se é uma raiz de um polinómio de coeficientes inteiros; caso contrário diz-se transcendente. Mostre que o conjunto dos números algébricos é numerável e conclua que o conjunto dos números transcendentes tem o cardinal do

contínuo.

I.8.13 Uma parte A de um conjunto não vazio X diz-se uma parte própria de X se

A ≠ X.

a) Prove que um conjunto infinito é equipotente a uma parte própria. (Sug: princípio da boa ordenação; método de indução dos números naturais.)

b) Pode caracterizar os conjuntos infinitos, como sendo os conjuntos equipotentes a uma parte própria ? Justifique.

I.8.14 a) Deternine os cardinais: (i) #Q2_{; (ii) #R}2_.

b) Demonstre por indução em n ∈ N que #Qn  #0e #Rn  c.

I.8.15 O conjunto de Cantor ([Kuratowski]) é o conjunto_{C dos números reais s no} intervalo [0,1] que são da forma s  1

3 

2

32 

3

33 . . . , onde n ∈ 0, 2 para cada n ∈ N.

Mostre que #C  c.

I.8.16 SeXt : t ∈ T é uma classe disjunta não vazia de conjuntos não vazios, Y é um conjunto não vazio, cada função f  x, fx : x ∈ Xt : t ∈ T ∈ YXt:t∈T_pode

identificar-se com o t−énuplo x, ftx : x ∈ Xt ∈



_t∈TYXt_{, onde ft é a função}

restrição de f a cada conjunto Xt t ∈ T. Conclui-se que se os cardinais , t t ∈ T são não nulos, então

∑

t∈Tt  P_t∈Tt_{. Também, se}Yt _{: t} ∈ T é uma classe disjunta não

vazia de conjuntos não vazios, X é um conjunto não vazio, podem identificar-se os

conjuntos



_t∈TYtX e



_t∈TYtX, donde sendo, t t ∈ T numeros cardinais diferentes de zero,Pt∈Tt  Pt∈Tt.

I.8.17 Não pode concluir-se utilizando os axiomas citados até agora, se existe algum cardinal tal que #0    2#0. A hipótese de que não existe um tal cardinal diz-se a

I.8.18 Dado o conjunto N dos números naturais, podemos considerar os conjuntos PN, PPN e assim sucessivamente. Obtidos, desta forma,

P1  PN,P2  PPN,..., PnN, podemos obter Pn1N e considerar a classe C  Pn_{N : n ∈ N. Prova-se ([Oliveira]) que para cada n, #P}n_{  #C. Cada}

cardinal de um conjunto_PnN diz-se um cardinal acessível. Existem portanto números cardinais não acessíveis.

. I.8.19 Sendo_{A uma classe de conjuntos, diremos que uma parte H de A é uma torre} emA se para cada A, B ∈ H se tem A ⊂ B ou B ⊂ A. Uma torre M em A é maximal se nehuma torre_{N em A verifica M ⊂ N e N ≠ M. Dizemos ainda que uma classe A de} conjuntos tem carácter finito se cada subconjunto finito de um conjunto em_{A está em A e} se um conjunto A é tal que toda a sua parte finita está emA, então A está também em A. Recordar ainda a noção de quase-ordem num conjunto em I.5.29 (ou pré-ordem).

Dado que aceitamos o símbolo da escolha de Hilbert em I.3.4, fica implícito que aceitamos as proposições equivalentes seguintes:

Princípio maximal de Hausdorff _ Se_{A é uma classe de conjuntos e N é uma torre em} A, existe uma torre maximal M em A que contem N

Princípio maximal _ Se para cada torre_{N em A existe um conjunto em A que contem} cada conjunto emN, então existe um conjunto M ∈ A tal que para nenhum N ∈ A se verifica M ⊂ N

Lema de Tukey _ Existe um elemento maximal em toda a classe não vazia de carácterr finito

Lema de Kuratowski _ Toda a cadeia num conjunto parcialmente ordenado está contida numa cadeia maximal

Lema de Zorn _ Se toda a cadeia não vazia no conjunto parcialmente ordenado X tem um majorante, então existe em X um elemento maximal.

Axioma da Escolha de Zermelo _ Dada uma família constituída por conjuntos Xi indiciada num conjunto não vazio de índices I, existe uma função de escolha, o selector de Zermelo, tal quei ∈ Xi para cada índice i ∈ I

Postulado de Zermelo _ SeA é uma classe não vazia de conjuntos não vazios e dois a dois disjuntos, existe um conjunto C tal que A∩ C é um conjunto reduzido a um elemento, para cada A ∈ A

Princípio da Boa Ordem _ Dado qualquer conjunto C, existe uma boa ordem em C Produto infinito _ SeX :  ∈ A é uma família não vazia de conjuntos não vazios, então



_∈AX ≠ 

I.8.20 O Lema de Zorn pode ser formulado, segundo [Dugundji] de modo mais geral; dada uma quase-ordem≤ no conjunto X consideram-se os conceitos de cadeia em X, elemento maximal em X, analogamente à situação em que≤ é uma ordem parcial. Tem-se então o enunciado equivalente

Sendo X um conjunto munido de uma quase-ordem, se toda a cadeia não vazia tem um majorante então existe em X um elemento maximal.

BIBLIOGRAFIA DO CAPÍTULO I

[Aliprantis, Burkinshaw] _ALIPRANTIS, C. D., BURKINSHAW, O. ”Principles of Real Analysis”, Academic Press San Diego.New

York.Boston.London.Sydney.Tokyo.Toronto. (1990).

[Cohn] _COHN, P. M. ”Algebra”, Second Edition, Volume 2.John Wiley & Sons, Chichester.New York.Brisbane.Toronto.Singapore. (1989).

[Costa] _COSTA, A. A. ”Cours d’Algèbre Générale”, Volume I, 2nde Édition, Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa (1969).

[Dieudonné] _DIEUDONNÉ, J. ”Fundamentos de Análisis Moderno”, Editorial Reverté, S.A. Barcelona.Buenos Aires. México. (1966).

[Dugundji] _ DUGUNDJI, JAMES ”Topology”, Allyn and Bacon, Inc. Boston, London, Sydney, Toronto (1966).

[Guerreiro] _GUERREIRO, J. SANTOS ”Curso de Análise Matemática”, Escolar Editora, Lisboa (1989).

[Kelley] _KELLEY, JOHN L. ”General Topology”, Graduate Texts in Mathematics, 27 Springer-Verlag, New york.Berlin.Heidelberg.London.Paris.Tokyo.Hong Kong.Barcelona. (1955).

[Kolmogorov, Fomin] _KOLMOGOROV, A. N., FOMIN, S. V. ”Elementos da Teoria das Funções e de Análise Funcional”, Editora Mir-Moscou. (1982).

[Kuratowski] _KURATOWSKI, K. ”Topology”. Volume I, Academic Press, New York and London, PWN_Polish Scientific Publishers, Warszawa. (1966).

[Machado] _ MACHADO, ARMANDO ”Introdução à Análise Funcional”, Escolar Editora. (1991).

[Oliveira] _OLIVEIRA, FRANCO ”Teoria dos Conjuntos, Intuitiva e Axiomática (ZFC)”, Escolar Editora (1982).

[Schwartz] _SCHWARTZ, LAURENT ”Analyse, Deuxième Partie Topologie générale et analyse fonctionnelle”, Collection Enseignement des sciences, 11 Hermann, Paris.

II.1 DESIGUALDADES DE CAUCHY-SCHWARZ, HOLDER E MINKOWSKI

II.1.1 Propriedade (desigualdade de Cauchy-Schwarz).

Se uk, vk são números reais não nrgativos, k  1, 2, . . . , n, n ∈ N, então

∑

_kn_1 ukvk ≤ 

∑

_k1 n uk2 1 2

∑

k1 n vk2 1 2

Dem. Dados números reais a, b, a  b, o intervalo a, b é o conjunto

a, b  1 − a  b : 0 ≤  ≤ 1. Uma vez que a função y  log x tem a concavidade voltada para cima, se 0  a  b, a imagem y0  log1 − a  b não é menor que

1 − ya  yb, onde ya  log a, yb  log b. Assim tem-se

1 −  log a   log b ≤ log1 − a  b. Sendo a função exponencial crescente, obtem-se exp1 −  log a   log b ≤ 1 − a  b, ou seja a1−_b _{≤ 1 − a  b. Notar que esta} desigualdade é verdadeira para quaisquer a, b ≥ 0, e a igualdade dá-se se e só se a  b.

Dados números reais positivos ak, bk,1 ≤ k ≤ n obtemos com

A 

∑

_kn_1ak, B 

∑

_k1 n

bk, fazendo a  ak/A e b  bk/B para cada k,

(1)ak1−/A1−bk/B ≤ 1 − ak/A  bk/B. Adicionando,

(2)

∑

_kn_1ak1−bk/A1−B ≤ 1 − 

∑

_k1 n ak/A  

∑

_k1 n bk/B  1, e (3)

∑

_kn_1ak1−bk ≤ 

∑

_k1 n ak1−

∑

_k1 n bk. Pondo uk  ak1−, vk  bk, e fazendo  1₂, obtemos a desigualdade pretendida, c.q.d.

II.1.2 Exercícios

1. Utilizando a demonstração anterior, obtenha uma demonstração da desigualdade de Holder:

Se p, q  1 verificam 1p  1q  1, uk, vk ≥ 0 1 ≤ k ≤ n, n ∈ N então

∑

_kn_1 ukvk ≤ 

∑

_kn_1uk p 1 p

∑

k1 n vk q 1 q_.

2. Analisando a demonstração, conclua que só se verifica a igualdade, na desigualdade de Holder, se exite uma mesma constante c ≥ 0 tal que ak  cbk para todo o k  1, . . . , n.

Resoluções

1. Pondo, em (3),  1 − 1p  1q. 2. Pois a igualdade verifica-se em (1) se e só se

II.1.3 Propriedade (desigualdade de Minkowski). Se p ≥ 1, uk, vk ∈ R 1 ≤ k ≤ n, n ∈ N, então 

∑

_kn_1 ∣ uk  vk ∣p  1 p ≤ 

∑

k1 n ∣ uk ∣p _1p  

∑

k1 n ∣ vk ∣p _1p_.

Dem. Para p  1, a desigualdade é óbvia. Se p  1, 1

q  1 − 1p, com

ak ∣ uk ∣, bk ∣ vk ∣ podemos aplicar a desigualdade de Hölder a cada parcela da soma

∑

_k1akak  bkp−1 

∑

_k1 n bkak  bkp−1. Obtemos assim

∑

_kn_1 ∣ uk  vk ∣p _≤

∑

k1 n ak  bkak  bkp−1 ≤ 

∑

_kn_1 ak p 1 p

∑

k1 n ak  bkqp−1 1 q  

∑

k1 n bk p 1 p

∑

k1 n ak  bkqp−11q_.

Então de 1p  1 − 1q, qp − 1  p, obtemos, dado que 

∑

_k1 n ak  bkqp−1_1q  0, 

∑

k1 n ∣ uk  vk ∣p _1p ≤ 

∑

k1 n ak p 1 p  

∑

k1 n bk p 1 p _c.q.d.

II.1.4 As desigualdades em II.1.1, II.1.2 e II.1.3 são casos particulares, para a medida de contagem, das seguintes desigualdades para integrais:

Desigualdade de Holder Se p, q  1, 1p  1q  1, ,

∑

, é um espaço de medida, f, g ∈ R,



_ ∣ fg ∣ d ≤ 



_ ∣ f ∣p _d1p



 ∣ g ∣ q _d1q_. Desigualdade de Minkowski

Se p ≥ 1, ,

∑

, e f, g são como acima,





_ ∣ f  g ∣p _d1p ≤ 



 ∣ f ∣

p _d1p  



 ∣ g ∣

p _d1p_.

II.1.5 Observações (1) Para p  q  2, a desigualdade de Minkowski é também

conhecida por desigualdade de Schwarz; demonstrações de II.1.4 podem ver-se em [Rudin]. (2) Utilizando a medida de contagem se I ⊂ N são válidas

∑

_k∈I ∣ ukvk ∣≤ 

∑

_k∈I ∣ uk ∣p  1 p

∑

k∈I ∣ vk ∣ q _1q p, q ≥ 1, 1 p  1q  1, 

∑

_k∈I∣ uk  vk ∣p _1p ≤ 

∑

k∈I ∣ uk ∣ p _1p  

∑

k∈I ∣ vk ∣ p _1p p ≥ 1 _.

II.2 DISTÂNCIA NUM CONJUNTO. ESPAÇO MÉTRICO. SUCESSÕES CONVERGENTES.

II.2.1 Se a, b são números reais, o número real não negativo∣ a − b ∣ dá a distância entre a e b, entendida como o comprimento do segmento da recta de extremos a, b. Representando da, b ∣ a − b ∣, obtemos uma função d : R  R → R tal que

(D1) dx, y ≥ 0, dx, x  0; (D2) dx, y  dy, x;

(D3) dx, z  dx, y  dy, z (faça-se ∣ x − z ∣∣ x − y  y − z ∣) e (D4) dx, y  0 implica x  y.

O teorema de Pitágoras mostra que, analogamente,

dex1, x2, y1, y2  x1 − y12  x2− y22

1

2 dá a distância intuitiva entre os pontos

x1, x2 e y1, y2 do plano cartesiano R2. Utilizando a desigualdade de Minkowski com

p  2 (também conhecida como desigualdade de Cauchy), vemos que a função de : R2 R2 → R verifica também as propriedades (D1),...,(D4). Se E é um qualquer conjunto não vazio, a função di E E → R definida por dix, y  0, se x  y e dix, y  1

se x ≠ y, tem também as propriedades (D1),...,(D4).

II.2.2 Definição Se E é um conjunto não vazio, uma função d : E E → R

verificando as condições (D1),...,(D4) acima diz-se uma distância ou uma métrica em E, ou sobre E. O parE, d chama-se um espaço métrico.

Notar que de (D3) e (D2), aplicando primeiro (D3) directamente, e depois trocando x com y nesta desigualdade, se conclui que se d é uma métrica em E, então ∣ dx, z − dy, z ∣≤ dx, y.

II.2.3 Exemplos Em II.2.1, d (resp. de, di) são métricas sobre R, respectivamente R2 e

E, eR, d, R2, de, E, di são espaços métricos. A métrica d chama-se a métrica

euclideana ou usual em R, e de é a métrica euclideana em R2_{. A métrica di chama-se a}

II.2.4 Observação A função dM : R2  R2 → R,

dMx1, x2, y1, y2  max∣ x1− y1 ∣, ∣ x2 − y2 ∣ é também uma métrica sobre R2;

R2_{, de e R}2_{, dM são espaços métricos diferentes.}

II.2.5 Exercícios (1) Verifique a observação anterior.

(2) Mostre que se d é uma métrica em E, então são métricas em E: (i) 2d definida por2dx, y  2dx, y x, y ∈ E;

(ii) _d1d definida por _dd_1x, y  _{1dx,y}dx,y ;

(iii) min1, d definida por min1, dx, y  min1, dx, y.

(3) Prove quez1, z2  max∣ Re z1 − Re z2 ∣, ∣ Imz1− Imz2 ∣ é uma distância

em C. II.2.6 Resoluções (1) (D1) dMx\, x2, y1, y2  max∣ x1 − y1 ∣, ∣ x2 − y2 ∣ ≥ 0, e dMx1, x2, x1, x2  max∣ x1− x1 ∣, ∣ x2 − x2 ∣  max0, 0  0. (D2) dMx1, x2, y1, y2  max∣ x1− y1 ∣, ∣ x2 − y2 ∣  max∣ x2− x1,∣ y2 − y1 ∣  dMy1, y2, x1, x2. (D3) dMx1, x2, z1, z2  max∣ x1− z1 ∣, ∣ x2 − z2 ∣ 

max∣ x1− y1  y1 − z1 ∣, ∣ x2 − y2  y2 − z2 ∣≤

max∣ x1− y1 ∣  ∣ y1 − z1 ∣, ∣ x2− y2 ∣  ∣ y2 − z2 ∣ ≤

max∣ x1− y1 ∣, ∣∣ x2 − y2 ∣  max∣ y1− z1 ∣, ∣ y2 − z2 ∣ 

dMx1, x2, y1, y2  dMy1, y2, z1, z2. (D4) dMx1, x2, y1, y2 

max∣ x1− y1 ∣, ∣ x2 − y2 ∣  0 implica ∣ x1 − y1 ∣ 0, x1  y1 e∣ x2− y2 ∣ 0,

donde x2  y2 ex1, x2  y1, y2.

(2) (i) 2d verifica as condições (D1) e (D2), pois d satisfaz (D1), (D2); verifica também (D3), pois2dx, z  2dx, z ≤ 2dx, y  dy, z  2dx, y  2dy, z  2dx, y  2dy, z, uma vez que d verifica (D3); também 2dx, y  0 implica

dx, y  0, que implica x  y, porque d satisfaz (D4), e assim 2d verifica também a

condição (D4), e é uma métrica em E.

(ii) _dd_1x, y  _{1dx,y}dx,y  0, pois dx, y  0; também _dd_1x, x  ₁0_0  0 pois

dx, x  0, e _dd_1 verifica (D1). Como dx, y  dy, x, tem-se _d1d x, y  _d1d y, x, e _dd_1

verifica (D2). A função ft  t

t1 t ≥ 0 é crescente, e portanto tem-se:

d d1x, z  dx,z 1dx,z ≤ dx,ydy,z 1dx,ydy,z ≤ dx,y 1dx,y  dy,z

1dy,z, uma vez que dy, z, dx, y ≥ 0.

Assim _d1d x, z ≤ _d1d x, y  _dd_1y, z, e _d1d satisfaz a condição (D3). (D4) verifica-se também, pois _d1d x, y  0 implica dx, y  0 e então x  y porque d satisfaz (D4).

(iii) min1, dx, y  min1, dx, y ≥ 0, pois dx, y ≥ 0, 1 ≥ 0; e

min1, dx, x  min1, dx, x  min1, 0  0 porque dx, x  0; portanto min1, d verifica (D1). Também, sendo dx, y  dy, x, tem-se min1, dx, y  min1, dy, x e min1, dx, y  min1, dy, x. Para (D3), encontra-se: sendo a, b ≥ 0, então

min1, a  min1, b ≥ 1  min1, b ≥ min1, a  b se a ≥ 1; e, se a, b ≤ 1, então min1, a  b ≤ a  b  min1, a  min1, b. Portanto

min1, dx, z  min1, dx, z ≤ min1, dx, y  dy, z ≤

min1, dx, y  min1, dy, z  min1, dx, y  min1, dy, z e min1, d verifica (D3). Também min1, dx, y  0  dx, y  0, x  y.

(3) (D1)z1, z2  max∣ Re z1 − Re z2 ∣, ∣ Imz1 − Imz2 ∣ ≥ 0, e

z, z  max∣ Re z − Re z ∣, ∣ Imz − Imz ∣  max0, 0  0. (D2) z1, z2  max∣ Re z1 − Re z2 ∣, ∣ Imz1− Imz2 ∣ 

max∣ Re z2 − Re z1 ∣, ∣ Imz2 − Imz1 ∣  z2, z1. (D3)

z1, z3  max∣ Re z1 − Re z3 ∣, ∣ Imz1− Imz3 ∣ 

max∣ Re z1 − Re z2  Re z2− Re z3 ∣, ∣ Imz1 − Imz2  Imz2 − Imz3 ∣≤

max∣ Re z1 − Re z2 ∣  ∣ Re z2 − Re z3 ∣, ∣ Imz1 − Imz2 ∣  ∣ Imz2− Imz3 ∣≤

max∣ Re z1 − Re z2 ∣, ∣ Imz1 − Imz2 ∣ 

max∣ Re z2 − Re z3 ∣, ∣ Imz2− Imz3 ∣  z1, z2  z2, z3. (D4)

z1, z2  max∣ Re z1 − Re z2 ∣, ∣ Imz1− Imz2 ∣  0 implica Re z1  Re z2 e

Im z1  Imz2, logo z1  z2.

II.2.7 Vê-se por II.2.1 que a convergência de uma sucessão de números reaisxn para um ponto a, é entendida como a convergência da sucessão das distâncias a a,

dxn, a ∣ xn − a ∣→ 0 n → . A convergência de uma sucessão xn, yn → a, b em R2

é usualmente entendida de novo, como a convergência da sucessão das distâncias

dexn, yn, a, b dos termos da sucessão ao limite, para zero. Em ambos os casos, os termos da sucessão aproximam-se do limite, e a medida dessa proximidade é dada por os termos, a partir de certa ordem n, verificarem a condição

xn ∈ Ia,   a − , a    x ∈ R : dx, a   no primeiro caso, e

xn, yn ∈ B0a, b,   x, y ∈ R2 : dexn, yn, a, b  . Deste modo, dado um

espaço métricoE, d, pode considerar-se a noção de convergência de uma sucessão de pontos de E para um ponto de E. Põe-se por definição:

II.2.8 Definição SejamE, d um espaço métrico, xn uma sucessão em E, a ∈ E. Diz-se quexn é convergente para a, converge para a ou que tem limite a, se é verificada a condição

l para cada   0, existe uma ordem p  p ∈ N tal que dxn, a   para cada

n ≥ p.

Nota-se então lim xn  a ou xn → a. Em linguagem lógica, lim xn  a ≡ ∀  0, ∃p  p ∈ N, n ≥ p  dxn, a  .

Sexn não é convergente, diz-se também que é divergente.

II.2.9 Propriedade Num espaço métrico, o limite de uma sucessão, se existe é único. Dem. Trata-se de provar que seE, d é um espaço métrico, e xn é uma sucessão em

E, lim xn  a, limxn  b, a, b ∈ E, então a  b. Dado   0, a condição l aplicada a a, b separadamente, mostra que existem p/2 ∈ N, para a, e p′_{/2 para b, tais que, com}

p  maxp/2, p′/2 se tem, para cada n ≥ p0, dxn, a  /2 (pois n ≥ p/2) e

dxn, b  /2, pois então n ≥ p′/2. Em particular, para n  p, verifica-se dxp, a  /2

e dxp, b  /2. Então usando (D2) e (D3), tem-se da, b ≤ da, xp  dxp, b  . Concluímos que não pode ser a ≠ b, pois então seria da, b  0  0 (usando (D1) e

(D4)), e considerando p0/2 e p′0/2 no raciocínio anterior, teríamos simultaneamente

da, b  0, da, b  0. A hipótese de absurdo a ≠ b implica uma contradição, e

II.2.10 Exemplos

(1) A sucessão_nn_1, log2  1n em R2, é convergente emR2, de , para o limite 1, log 2. Com efeito, como n

n1 → 1 e log2 

1

n → log 2 em R munido da métrica usual, tem-se: dado  0, existe uma ordem p1 ∈ N tal que ∣ _nn_1 − 1 ∣ / 2 para cada

n ≥ p1; e existe p2 ∈ N tal que ∣ log2  1n − log 2 ∣ / 2 se n ≥ p2. Se então

n ≥ p0  maxp1, p2 ∈ N, tem-se de_nn_1, log2  1n , 1, log 2   n n1 − 1 2 _{ log2 } 1 n − log 22   2 2  2

2  . A sucessão é convergente para o

mesmo limite, no espaço métricoR2, dM em II.2.4

(2) A sucessão 1n não é convergente em R, di, di a métrica discreta em II.2.1. Com efeito, qualquer que seja a ∈ R, tem-se a ≠ 1

n para uma infinidade de números naturais n, vindo di1

n, a  1; escolhendo então   1/2  0 na condição de limite l, não existe nenhuma ordem p ∈ N tal que di1

n, a  1/2 para cada n ≥ p.

II.2.11 Observação Se xn é constante e igual a a, a partir de certa ordem, a propriedade (D1) da métrica mostra que a satisfaz a condiçãol, e limxn  a.

II.2.12 Exercícios

(1) Mostre que_nn_1, log2  1n  → 1, log 2 em R2, dM. (II.2.4). (2) Prove que a sucessão zn  n sin 1

n  ie−n é convergente para 1 no espaço métrico C, ,  a métrica em II.2.5 (3).

(3) Demonstre que: a) uma sucessãoxn, yn converge para a, b em R2_{, de se e só}

se xn → a e yn → b em R munido da métrica usual.

b)xn, yn → a, b em R2, dM se e só se xn → a e yn → b em R, d, d a métrica usual em R (dscomo em II.2.4).

c) Conclua de a) e b) que uma sucessão é convergente emR2, de sse é convergente, para o mesmo limite, emR2, dM.

(4) Mostre que uma sucessão é convergente num espaço métrico munido da métrica discreta (II.2.3) se e só se é constante, a partir de certa ordem.

Resoluções

(1) Uma vez que _n1n → 1 e log2  1n → log 2 em R munido da métrica usual, tem-se: dado  0, existem p1, p2 ∈ N tais que ∣ _nn_1 − 1 ∣  se n ≥ p1 e

∣ log2  1

n − log 2 ∣  para cada n ≥ p2. Então p  maxp1, p2 ∈ N verifica a

condição: n  p implica

dM_nn_1, log2  1n, 1, log 2  max∣ _nn_1 − 1 ∣, ∣ log2  1n − log 2 ∣  . (2) Tem-se n sin 1

n → 1 e e−n → 0 em R para a métrica usual; portanto para cada

  0, existem ordens p1, p2 ∈ N tais que n ≥ p1 implica∣ Re zn − 1 ∣

∣ n sin 1

n − 1 ∣  e n ≥ p2implica∣ Imzn ∣ . Para n ≥ p  maxp1, p2 é portanto

(3) a) Suponhamos quexn, yn → a, b em R2, de, i.e., para cada   0, existe

p  p ∈ N tal que n ≥ p implica dexn, yn, a, b  xn− a2  yn − b2  .

Então se n ≥ p tem-se ∣ xn− a ∣≤ dexn, yn, a, b   e

∣ yn − b ∣≤ dexn, yn, a, b  , o que mostra que xn → a e yn → b em R munido da métrica usual. Reciprocamente, se lim xn  a e limyn  b, então para cada   0, existem

p1, p2 ∈ N tais que n ≥ p1 implica∣ xn − a ∣ 

2 e n ≥ p2 implica∣ yn − b ∣



2 ;

com p  maxp1, p2, n ≥ p implica dexn, yn, a, b  , e limxn, yn  a, b em

R2_{, de, c.q.d.}

b) Se xn → a, yn → b em R munido da métrica usual, então para cada   0, existem

p1, p2 ∈ N tais que n ≥ p1 implica∣ xn − a ∣ , n ≥ p2 implica∣ yn− b ∣ ; vem para

n ≥ p  maxp1, p2 que ∣ xn − a ∣  e ∣ yn − b ∣ , donde n ≥ p implica

dMxn, yn, a, b  max∣ xn − a ∣, ∣ yn − b ∣  , e xn, yn → a, b em R2, dM,

c.q.d.

c) Tem-se limxn, yn  a, b em R2_{, de sse limxn  a e limyn  b em R munido da}

métrica usual, por a); e lim xn  a, limyn  b sse limxn, yn  a, b em R2_{, dM pela b).}

Assimxn, yn converge para a, b em R2, de sse xn, yn converge para a, b em R2_{, dM.}

(4) Sejamxn uma sucessão em E, di, E um conjunto não vazio, a ∈ E. Se existe uma ordem p tal que xn  a para cada n ≥ p, tem-se limxn  a (II.2.11). Reciprocamente, se lim xn  a, então escolhendo   1/2  0 na condição l, deve existir uma ordem

p  p1/2 tal que para cada n ≥ p, dixn, a  1/2. Para que xnverifique esta condição, tem de ser xn  a, pois se xn ≠ a então dixn, a  1, pela definição da métrica discreta di (II.2.3).

II.2.13 Obsevação SeE, d é um espaço métrico,  ≠ A ⊂ E, a função restrição dA da métrica d ao conjunto A A é uma métrica em A.

II.2.14 Definição SejamE, d um espaço métrico, A uma parte não vazia de E. A métrica dA em A, restrição de d a A A, diz-se a métrica induzida pela métrica d em A. O espaço métricoA, dA diz-se um subespaço métrico de E, d.

II.2.15 Observação Uma sucessão num subespaço métrico pode não ser convergente no subespaço, e no entanto ser convergente no espaço métrico: considere-se por exemplo a sucessão xn  1  1nn emQ, d, convergente em R, d para e, onde d é a métrica usual em R.

II.2.16 Definição SejamE, d um espaço métrico, a ∈ E, r  0. Chama-se bola aberta (resp. bola fechada) de centro a e raio r, o conjunto B0a, r  x ∈ E : dx, a  r

(resp. Ba, r  x ∈ E : dx, a ≤ r).

II.2.17 Exemplos

(1) EmR, d, d a métrica usual, Ia, r  a − r, a  r é, para cada a ∈ R e cada

r  0, a bola aberta B0a, r. Ba, r  a − r, a  r é a bola fechada correspondente.

(2) No espaço métricoC,  em II.2.5 (3), a bola fechada B0, 1 é o quadrado −1, 1  −i, i. A bola aberta correspondente é o quadrado sem os lados.

(3) Se E é um conjunto não vazio, e di é a métrica discreta em E, a ∈ E, tem-se

B0a, 1  x ∈ E : dix, a  1  x ∈ E : dix, a  0  a. Ba, 1  E, pois todo o

x ∈ E verifica a condição dix, a ≤ 1.

II.2.18 Exercícios

(1) Determine a bola aberta e a bola fechada de centro 1

3 e raio 1 no espaço métrico

R, 2d, d a métrica usual (II.2.5 (2) (i)).

(2) a) Prove que as seguintes funções são métricas em Rn, para cada número natural n: (i) dex1, . . . , xn, y1, . . . , yn  

∑

_kn_1 ∣ xk − yk ∣2 

1 2;

(ii) dMx1, . . . , xn, y1, . . . , yn  max∣ xk− yk ∣: k  1, . . . , n;

(iii) dsx1, . . . , xn, y1, . . . , yn 

∑

_k1

n

∣ xk − yk ∣. (Sug: para (i), utilize a desigualdade de Minkowski).

b) Supondo n  1 na a), determine as métricas induzidas por de, dM e dsem

R 0n−1_.

c) Com n  2, esboce no plano cartesiano:

(i) B00, 1, 1 e B0, 1, 1, para as métricas de e dM;

(ii) B0, 0, 1 para cada uma das métricas de, dM, ds.

(3) Sea, b ∈ R2_{, ≠ W ⊂ R}2_{, põe-sea, b  W  a, b  x, y : x, y ∈ W.}

(i) Prove quea, b  B00, 0, r  B0a, b, r e Ba, b, r  a, b  B0, 0, r em

R2_{, de, para cada a, b ∈ R}2_{e cada r  0.}

II.2.19 Resoluções (1) B01₃, 1  x ∈ R : 2 ∣ x − 1₃ ∣ 1  x ∈ R :∣ x − 1₃ ∣ 1₂  x ∈ R : −1 2  x − 1 3  1 2  − 1 6, 5 6. B 1 3, 1  x ∈ R : 2 ∣ x − 1 3 ∣≤ 1  x ∈ R :∣ x − 1 3 ∣≤ 1 2  x ∈ R : −1 2 ≤ x − 1 3 ≤ 1 2  − 1 6, 5 6.

(2) a) (i) (D1) dex1, . . . , xn, y1, . . . , yn  

∑

_k1

n ∣ xk − yk ∣2 _1_{2 ≥ 0; e} dex1, . . . , xn, x1, . . . , xn  

∑

_k1 n ∣ xk − xk ∣2 _1_{2 }

∑

k1 n 0  0. (D2) dex1, . . . , xn, y1, . . . , yn  

∑

_k1 n ∣ xk − yk ∣2 _1_{2 } 

∑

k1 n ∣ yk − xk ∣2 _1_{2  dey} 1, . . . , yn, x1, . . . , xn. (D3) dex1, . . . , xn, z1, . . . , zn  

∑

_kn_1 ∣ xk − zk ∣2  1 2  

∑

_k2_1 ∣ xk − yk  yk − zk ∣2  1 2 ≤ 

∑

k1 n ∣ xk − yk ∣  ∣ yk − zk ∣2_1_{2 ≤} 

∑

_kn_1 ∣ xk − yk ∣2 _1_{2  }

∑

k1 n ∣ yk − zk ∣2 _1_{2 }

dex1, . . . , xn, y1, . . . , yn  dey1, . . . , yn, z1, . . . , zn.

(D4) dex1, . . . , xn, y1, . . . , yn  

∑

_k1

n

∣ xk − yk ∣2 1₂  0 implica

∣ xk − yk ∣ 0 k  1, . . . , n e, portanto, x1, . . . , xn  y1, . . . , yn.

(ii) (D1) dMx1, . . . , xn, y1, . . . , yn  max∣ xk − yk ∣: k  1, . . . , n ≥ 0, e

dMx1, . . . , xn, x1, . . . , xn  max∣ xk − xk ∣: k  1, . . . , n  max0  0.

(D2) dMx1, . . . , xn, y1, . . . , yn  max∣ xk − yk ∣: k  1, . . . , n 

max∣ yk − xk ∣: k  1, . . . , n  dMy1, . . . , yn, x1, . . . , xn.

(D3) dMx1, . . . , xn, z1, . . . , zn  max∣ xk − zk ∣: k  1, . . . , n 

max∣ xk − yk  yk − zk ∣: k  1, . . . , n ≤ max∣ xk − yk ∣  ∣ yk − zk ∣: k  1, . . . , n ≤

max∣ xk − yk ∣: k  1, . . . , n  max∣ yk − zk ∣: k  1, . . . , n 

dMx1, . . . , xn, y1, . . . , yn  dMy1, . . . , yn, z1, . . . , zn.

(D4) dMx1, . . . , xn, y1, . . . , yn  max∣ xk − yk ∣: k  1, . . . , n  0 implica

∣ xk − yk ∣ 0 k  1, . . . , n e x1, . . . , xn  y1, . . . , yn. (iii) (D1) dsx1, . . . , xn, y1, . . . , yn 

∑

_k1 n ∣ xk − yk ∣≥ 0, e dsx1, . . . , xn, x1, . . . , xn 

∑

n_k1 ∣ xk − xk ∣

∑

_kn_10  0. (D2) dsx1, . . . , xn, y1, . . . yn 

∑

_k1 n ∣ xk − yk ∣

∑

_kn_1 ∣ yk − xk ∣ dsy1, . . , yn, x1, . . . , xn. (D3) dsx1, . . . , xn, z1, . . . zn 

∑

_k1 n ∣ xk − zk ∣

∑

_kn_1 ∣ xk − yk  yk − zk ∣≤

∑

_kn_1 ∣ xk − yk ∣  ∣ yk − zk ∣

∑

_kn_1 ∣ xk − yk ∣ 

∑

_kn_1 ∣ yk − zk ∣ dsx1, . . . , xn, y1, . . . , yn  dsy1, . . . , yn, z1, . . . , zn. (D4) dsx1, . . . , xn, y1, . . . , yn 

∑

_k1 n

∣ xk − yk ∣ 0 implica xk  yk para cada k, x1, . . . , xn  y1, . . . , yn.

b) R 0n−1 _{ x, 0, . . . , 0 : x ∈ R . As restrições de de, dMe ds a} x, 0, . . . , 0 : x ∈ R são a função dx, 0, . . . , 0, y, 0, . . . , 0 ∣ x − y ∣.

(3) (i)a, b  B00, 0, r  a, b  x, y ∈ R2 : x2 y2  r 

a  x, b  y ∈ R2 _{: a  x − a}2 _{ b  y − b}2 _{ r }

u, v ∈ R2 _{: u − a}2 _{ v − b}2 _{ r  B}

0a, b, r.

a, b  B0, 0, r  a, b  x, y ∈ R2 _{: x}2_{ y}2 _{≤ r }

u, v ∈ R2 _{: u − a}2 _{ v − b}2 _{≤ r  Ba, b, r).}

(ii) Sim, porque pode substituir-se, no desenvolvimento anterior,

dex, y, 0, 0  x2 y2, dea  x, b  y, a, b  a  x − a2  b  y − b2,

deu, v, a, b  u − a2  v − b2 por dMx, y, 0, 0  max∣ x ∣, ∣ y ∣,

dMa  x, b  y, a, b  max∣ a  x − a ∣, ∣ b  y − b ∣ e

dMu, v, a, b  max∣ u − a ∣, ∣ b − v ∣; ou analogamente pela métrica ds, que

também verifica a propriedade dsa  x, b  y, a, b  dsx, y, 0, 0 e, mais geralmente, dsa, b, c, d  dsa, b  x, y, c, d  x, y para cada

a, b, c, d, x, y ∈ R2_.

II.2.20 Teorema SejamE, d um espaço métrico, A, dA um subespaço métrico de E, d. Se a ∈ A, r  0 tem-se: a bola aberta B0,Aa, r em A, dA é a intersecção

B0,Aa, r  B0a, r ∩ A. Para a bola fechada, BAa, r  Ba, r ∩ A.

Dem Tem-se B0,Aa, r  x ∈ A : dAx, a  r 

x ∈ A : dx, a  r  B0a, r ∩ A. Analogamente para a bola fechada.

II.2.21 Exercícios

(1) Determine BA0, 0, 2 em R2, ds (II.2.18), A  x, y ∈ R2 : x  0. (2) Determine B0,A1, 1 em R, d, d a métrica usual, A  1/n : n ∈ N.

II.2.22 Resoluções

(1) BA0, 0, 2  x, y ∈ R2 _{: x  0, x − 2 ≤ y ≤ 2 − x.}

(2) B0,A1, 1  A.

II.2.23 Obsevação A condiçãol em II.2.8 pode escrever-se, em linguagem lógica l′_{ xn → a ≡ ∀  0, ∃p  p ∈ N, n ≥ p  xn ∈ B}

0a, .

II.2.24 Teorema Se xn → a no espaço métrico E, d e xnk é uma subsucessão de

xn, então xnk → a.

Dem. Pois com p  p na condição l, tem-se nk ≥ k e portanto dxnk, a   para

todo o k ≥ p.

II.2.25 Observação Se o ponto a não é limite de nenhuma subsucessão da sucessão xn, então existe   0 tal que para certo p ∈ N se tem dxn, a  , se n ≥ p. Com efeito, se esta condição não se verifica, temos pela sua negação, em linguagem lógica:

Seja então, para  1, n1 o menor número natural n tal que dxn, a  1, dxn1, a  1;

seguidamente, para  1/2, seja n2o menor número natural n maior que n1 tal que

dxn, a  1/2, dxn2, a  1/2. Repetindo o processo, obtemos uma sucessão estritamente

crescente nk1 nk . . .  n2  n1 tal que dxnk, a  1/k. xnk é então uma subsucessão de

xn tal que 0 ≤ dxnk, a  1/k, donde dxnk, a → 0 k → , e assim limxnk  a, contra a

hipótese admitida.

II.2.26 Definição SejamE, d um espaço métrico, A ⊂ E. O diâmetro de A é o númeroA positivo, nulo, ou  dado por A  supdx, y : x, y ∈ A. Põe-se

  0.

II.2.27 Exemplos (1) Em qualquer espaço métrico, o diâmetro de um conjunto não vazio é zero se e só se o conjunto se reduz a um ponto.

(2) O conjunto N ⊂ 0,  tem diâmetro N   em 0, , d0,, d0, a

métrica induzida pela métrica usual d de R;N  1 em 0,  para a métrica

x, y ∣ 1

x − 1y ∣.

(3) EmR, d d a métrica usual, a, b  a, b  a, b  b − a se a  b.

II.2.28 Exercícios

(1) DetermineB0, 0, r em R2, para cada uma das métricas de, dMe ds em II.2.18 (2).

(2) Verifique queB0a, 1  Ba, 1 em R, di, di a métrica discreta, e

B0a, r  Ba, r para a métrica usual de R, a ∈ R, r  0.

(3) Mostre que em qualquer espaço métrico, se A ⊂ B então A ≤ B.

II.2.29 Resoluções

(1) Tem-se de−1, 0, 1, 0  −1 − 12 _{ 0, 0}2 _{ 4  2. Para quaisquer dois}

pontosx1, y1, x2, y2 tais que x21  y12 ≤ 1, x22  y22 ≤ 1, verifica-se

dex1, y1, x2, y2 ≤ dex1, y1, 0, 0  de0, 0, x2, y2 ≤ 2. Portanto

B0, 0, 1  2 em R2_{, de. Analogamente se conclui que B0, 0, 1  2 em R}2_{, dM e}

emR2, ds.

(2) EmR, di tem-se B0a, 1  a  0. Como Ba, 1  R tem-se

Ba. , 1  sup∣ x − y ∣: x, y ∈ R  . Em R, d, d a métrica usual, tem-se B0a, r  a − r, a  r  a  r − a − r  2r; também

Ba, r  a − r, a  r  2r.

(3) Se A ⊂ B então dx, y : x, y ∈ A ⊂ dx, y : x, y ∈ B e portanto

A  supdx, y : x, y ∈ A ≤ supdx, y : x, y ∈ B  B, uma vez que quando o

conjunto dos valores da variável aumenta, o supremo permanece ou aumenta.

II.2.30 Definição SeE, d é um espaço métrico, A, B são subconjuntos não vazios de

E, a distância entre A e B é o número não negativo dA, B  infdx, y : x ∈ A, y ∈ B. Se A  a, a ∈ E põe-se da, B  da, B.

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