Compacidade em espaços métricos

II.12.1 Definição Seja E ≠ . Se A ⊂ E, uma classe C Oi : i ∈ I diz-se uma cobertura de A se A ⊂



Oi : i ∈ I; diz-se também que C cobre o conjunto A. A cobertura_{C diz-se finita se é constituída por um número finito de conjuntos O}i i.e.,

I  1, . . . , n, n ∈ N. Uma subcobertura da cobertura C é uma parte de C que ainda cobre A

ou seja, é uma classe_C′  Oi : i ∈ J onde J ⊂ I, tal que A ⊂



Oi : i ∈ J e diz-se então que a cobertura_{C é redutível à subcobertura C}′, ou que pode extrair-se de_{C a} subcoberturaC′ de A. SeE, d é um espaço métrico, a cobertura C Oi : i ∈ I de A diz-se que é uma cobertura aberta de A se cada conjunto Oi é um aberto. E diz-se que o conjunto A é compacto emE, d se tem a propriedade de toda a cobertura aberta de A ser redutível a uma subcobertura finita; se A  E dizemos que o espaço métrico E, d é compacto..

II.12.2 Exemplos (1) Todo o subconjunto finito A  a1, . . . , am do espaço métrico

E, d é compacto; pois se C Oi : i ∈ I é uma cobertura aberta de A,

A ⊂



Oi : i ∈ I então existem Oi1, . . . , Oim, i1, . . . , im ∈ I tais que

a1 ∈ Oi1, . . . , am ∈ Oim; donde pode extrair-se deC a subcobertura finita

C′  Oik : 1 ≤ k ≤ m de A. (2) R, d, d a métrica usual, não é compacto: pois

C −n, n : n ∈ N é uma cobertura aberta de R da qual não pode extrair-se nenhuma subcobertura finita. (3) Veremos que cada intervalo fechadoa, b do espaço métrico R, d,

d a métrica usual, é compacto.

II.12.3 Propriedade Se a ≤ b, a, b ∈ R, o intervalo a, b é compacto em R, d, d a métrica usual.

II.12.4 Exercício Justificando as passagens seguintes, obtenha uma demonstração da propriedade:

1. Se a  b a propriedade é verdadeira. Suponhamos pois a  b e seja C Oi : i ∈ I uma cobertura aberta dea, b. Admitamos, com vista a um absurdo, que não pode

extrair-se de_{C uma subcobertura finita.}

2. Sendo c o ponto médio dea, b, um dos subintervalos a, c ou c, b é tal que nehuma classe finita formada por abertos Oi cobre o subintervalo; designemos este subintervalo pora1, b1;

3. existe um subintervaloa2, b2 de a1, b1, onde a2ou b2é o ponto médio dea1, b1,

tal que nenhuma classe finita dos abertos Oi cobrea2, b2. Tem-se b1 − a1  b − a/2,

b2 − a2  b − a/22;

4. para cada n  1, 2, . . . existe um subintervalo an, bn de a, b tal que nenhuma classe finita dos abertos Oi cobrean, bn e bn − an  b − a/2n_.

5. A sucessão crescentean tem um limite , e a sucessão decrescente bn tem um limite;

6. tem-se −  ≤ bn − anpara cada n e  .

7. Certo aberto Oi contém; e existe um intervalo aberto a′, b′ ⊂ Oi tal que

 ∈ a′_{, b}′_;

8. existe n ∈ N tal que an, bn ⊂ Oi. 9. fica provada a propriedade, c. q. d.

II.12.5 Resolução

1. Pois se a  b então a, b  a, conjunto finito como em II.12.2 (1).

2. Porque sea, c ⊂



Oik. 1 ≤ k ≤ m e c, b ⊂



Oik. m 1 ≤ k ≤ n então a, b ⊂ Oi1 . . . Oin contrariamente à hipótese de absurdo em 1.

3. justificação como em 2.; e porque b2 − a2  b1 − a1/2  b − a/22

4. conclui-se por indução: pois uma vez obtidoan, bncom bn − an  b − a/2n_{, o} raciocínio em 2., 3. permite obteran1, bn1 com bn1− an1  b − a/2n1 .

5. Pois ambasan, bn são monótonas limitadas e usando o teorema do limite da sucessão monótona da Análise realan ≤ b, a ≤ bn;

6. porque  liman ∈ an, bn e   limbn ∈ an, bn para cada n; donde 0 ≤  −  ≤ bb − an ≤ b − a/2n _{→ 0.}

7. Pois os abertos Oi cobrema, b,  ∈ a, b e Oi é um aberto deR, d;

8. pois′      b′. É a′    supan : n ∈ N donde existe n1, a′  an para todo o n ≥ n1; e infbn : n ∈ N   donde existe n2 tal que bn  b′desde que

n ≥ n2. Basta considerar n  maxn1, n2 para obter an, bn ⊂ a′, b′ ⊂ Oi.

9. Porque 8. contradiz 4., segundo o qual nenhuma classe finita dos Oi cobrean, bn, já que se oibteve que basta um Oi para cobrir certoan, bn.

II.12.6 Observação Se a, b ∈ R, a  b, o intervalo a, b não é compacto em R munido da métrica usual. Com efeito tem-aea, b 



_n_1a  b−an , b− b−an , mas da cobertura abertaa  b−an , b− b−an  não pode extrair-se nenhuma cobertura finita de a, b.

a, b ⊂

_

_n_1a − 1, b − b−a

II.12.7 Observação SeE, d é um espaço métrico, A ⊂ E e Oi : i ∈ I é uma

cobertura aberta de A entãoA ∩ Oi : i ∈ I é uma cobertura de A constituída por abertos deA, d, onde d representa agora a métrica induzida. Pela Definição II.12.1 vê-se que A é compacto emE, d se e só se o subespaço métrico A, d é compacto.

II.12.8 Exercício Prove que sean é uma sucessão convergente em E, d, liman  a então o conjunto S  a, an : n ∈ N é compacto em E, d.

II.12.9 Resolução SeOi : i ∈ I é uma cobertura aberta de S, existe certo i0 ∈ I tal que a ∈ Oi0; existe então certa ordem p tal que an ∈ Oi0 desee que n ≥ p. Existem

abertos Oik 1 ≤ k ≤ p tais que aik ∈ Oik 1 ≤ k ≤ p e tem-se então S ⊂



_kp_0Oik.

Pode assim extrair-se de cada cobertura aberta de S uma subcobertura finita, e S é compacto, como queríamos.

II.12.10 Exercício Mostre que se A1, . . . , An ⊂ E e os Aj são compactos emE, d

1 ≤ j ≤ n então A  A1 . . . An é compacto emE, d.

II.12.12 Resolução SejaC Oi : i ∈ I uma cobertura aberta de A. Então

Cj  Oi ∩ Aj : i ∈ I é uma cobertura aberta do subespaço métrico Aj munido da métrica induzida1 ≤ j ≤ n. Como cada Aj, d é um espaço métrico compacto (II.12.7), existe para cada j uma subcobertura finitaOi ∩ Aj : i ∈ Ij de Cj de Aj, com Ij ⊂ I, Ij finito. De

Aj ⊂



Oi : i ∈ Ij para cada j  1, . . . , n conclui-se

A  A1. . . An ⊂



Oi : i ∈ L 



Ij : 1 ≤ j ≤ n. Assim pode extrair-se da

cobertura abertaC de A a subcobertura finita C′  Oi : i ∈ L, o que significa que A é compacto, c.q.d.

II.12.13 Observação Considerando a recta acabada R  −, , onde se convenciona −  x   x ∈ R, munida da métrica dx, y ∣ x

1∣x∣ −

y

1∣y∣ ∣ x, y ∈ R,

d−, y  dx, − ∣ −1 − a

1∣a∣ ∣ a  x, y ∈ R, dx,   d, y ∣ 1 − 1∣a∣a ∣

a  x, y ∈ R e d−,   d, −  2, o espaço métrico R, d é ccompacto. Com efeito, tem-se, para 0  r  1, B0−, r  x ∈ R :∣ 1  _1∣x∣x ∣ r  −, 1 − 1r. Assim um conjunto A tal que− ∈ A é aberto se e só se existe certo r  0,

A ⊃ −, 1 − 1r  Também se 0  s  1,

B0, s  x ∈ R :∣ 1 − _1∣x∣x ∣ s  1s − 1, ; um conjunto B tal que  ∈ B é aberto se e só se existe s  0, B ⊃  1s − 1, . Se xn é uma sucessão real tal que

xn → x ∈ R (considerando a métrica usual em R) então _1∣xxn

n∣ → x 1∣x∣; e se xn 1∣xn∣ → x

1∣x∣, x ∈ R, então xn não tem nenhuma subsucessão tendente para  i.e.,

xn é4 limitada, donde tem pelo menos uma subsucessão convergente para certo a ∈ R, vindo xn

1∣xn∣ →

a

1∣a∣ donde a  x, xn → x na métrica usual de R (verifique os detalhes).

Deste modo a métrica d é equivalente à métrica usual dx, y ∣ x − y ∣ em R. Portanto se

Vem que seC Oi : i ∈ I é uma cobertura aberta de R no espaço métrico R, d então: a certo Oi− pertence−, existe r  0, −, 1 − 1r ⊂ Oi−; existirão

analogamente s  0 e certo Oi ⊃ 1s − 1, , e o compacto 1 − 2

r , 1s − 2 ⊂



Oi\−,  : i ∈ I, onde cada Oi\−,  é um aberto de R (porquê?). Pelo que existe J ⊂ I, J finito, 1 − 2r, 1s − 2 ⊂



Oi : i ∈ J concluindo-se

R ⊂ Oi− Oi



Oi : i ∈ J e a cobertura C é redutível a uma subcobertura finita,

R, d é um espaço métrico compacto.

II.12.14 Teorema O espaço métricoE, d é compacto se e só se cada classe de fechados Fi : i ∈ I tal que



Fi : i ∈ I   verifica que existe uma subclasse finita

Fi : i ∈ J, J ⊂ I finito, tal que



Fi : i ∈ J  .

II.12.15 Exercício Prove o teorema acima (Sug: passagem ao complementar e leis de De Morgan).

II.12.16 ResoluçãoE, d compacto sse ∀Oi : i ∈ I cobertura aberta de E, ∃J ⊂ I, J finito, E ⊂



Oi : i ∈ J sse ∀Fi  Oic classe de fechados Fi tal que



Fi : i ∈ I    



Fic : i ∈ Ic  



Oi : i ∈ Ic 



Oi : i ∈ I  E, cada

Oi aberto,∃J ⊂ I, J finito,



Oi : i ∈ J  E sse ∀Fi : i ∈ I classe de fechados tal que



Fi : i ∈ I  , ∃J ⊂ I, J finito,



Fi : i ∈ J  



Fic : i ∈ Jc  



Oi : i ∈ Jc  Ec   c.q.d.

II.12.17 Corolário SeE, d é um espaço métrico compacto e F1, F2, . . . , Fn, . . . é uma

sucessão de subconjuntos fechados não vazios de E tal que Fn ⊃ Fn1 n ∈ N então



n1

 _{Fn ≠ .}

II.12.18 Exercício Prove o corolário anterior.

II.12.19 Resolução Atendendo a II.12.14 tem-se: seE, d é compacto, é verdadeira a implicaçãoFi : i ∈ I classe de fechados e



Fi : i ∈ I    ∃J ⊂ I, J

finito,



Fi : i ∈ J  . Uma implicação tendo o mesmo valor lógico que a contra-recíproca tem-se na hipóteseE, d compacto que dada a classe de fechados Fn : n ∈ N verificando Fn ⊃ Fn1n  1, 2, . . .  e cada Fn ≠  que cada intersecção

finita



Fn : n ∈ J  Fnk ≠ , J ⊂ N, J  n1, . . . , nk n1 . . .  nk implica



Fn : n ∈ N ≠  como se queria.

II.12.20 Teorema Todo o subconjunto compacto C de um espaço métricoE, d é fechado emE, d.

II.12.21 Exercício Justificando as passagens seguintes obtenha uma demonstração do teorema:

1. O teorema ficará provado se provarmos que Cc _{é um aberto.} 2. Seja p ∈ Cc_{; se x ∈ C existem abertos disjuntos Ox, O}

x

′ _{tais que x ∈ Ox, a ∈ Ox}′_;

3. considerando abertos Ox, Ox′ para cada x ∈ C como em 2., tem-se

C ⊂



Ox : x ∈ C e existe um número finito de pontos x1, . . . xm ∈ C tal que

C ⊂



_km_1Oxk;

4. O 



_km_1O_x′_k é aberto e O ⊂ Cc_; 5. pode concluir-se o teorema.

II.12.22 Resolução 1. Pois um conjunto é fechado se e só se o seu complementar é aberto. 2. Pois todo o espaço métrico verifica a propriedade de separação de Hausdorff; pois∀x ∈ C, x ∈ Ox ⊂ C  C ⊂



Ox : x ∈ C e sendo C compacto, pode extrair-se da cobertura abertaOx : x ∈ C uma subcobertura finita; 4. porque uma intersecção finita de abertos é aberto, cada O_x′_ké aberto por 2; assim O é aberto, e tem-se

O∩ C ⊂ O ∩



_km_1Oxk 



_km_1O ∩ Oxk 



m_k1



_km_1Ox′k ∩ Oxk 



k1 m

  e assim O∩ C  ; 5. pois provámos que dado um ponto arbitrário p ∈ Cc _existe,

atendendo a 2. e 4., um aberto O tal que p ∈ O ⊂ Cc _{i.e., concluimos 1., c.q.d.}

II.12.23 Teorema Se o espaço métricoE, d é compacto e F é um subconjunto fechado de E, então F é compacto.

II.12.24 Exercício Justificando as seguintes passagens, obtenha uma demonstração do Teorema II.12.23:

1. SejaFi : i ∈ I uma classe de subconjuntos fechados de F tal que



Fi : i ∈ I  . Então cada Fi é fechado emE, d;

2. existe um subconjunto finito J do conjunto dos índices I tal que



Fi : i ∈ J   e pode concluir-se o teorema.

II.12.25 Resolução 1. Pois F é por hipótese fechado emE, d; 2. pois pela hipótese E, d é compacto, e utilizando II.12.14. O resultado conclui-se atendendendo ao Teorema II.12.14 c.q.d.

II.12.26 Observação Sexn é uma sucessão no espaço métrico E, d que não tem nenhuma subsucessão convergente segue-se de II.5.54 (4) que o conjunto derivado do conjunto dos termosxn : n  1, 2, . . .  é . Uma vez que toda a subsucessão de cada sucessão xk, xk1, xk2, . . . (k fixo) é uma subsucessão dexn, também, para cada k fixo, o

conjunto derivado dexk, xk1, xk2, . . . é o conjunto vazio. Atendendo a II.5.53 (8) e

II.5.38 (2), conclui-se que os conjuntosx1, x2, x3, . . . e xk1, xk2, xk3, . . . são fechados

II.12.27 Teorema As seguintes propriedades de um espaço métricoE, d são equivalentes:

A Toda a sucessão xn em E tem uma subsucessão convergente;

B se F1 ⊃ F2 ⊃. . . ⊃ Fn ⊃ Fn1 ⊃. . . é uma sucessão decrescente de conjuntos

fechados não vazios, então



_n_1Fn ≠ .

Dem.A  B Consideremos uma sucessão xn  Fn : n  1, 2, . . .  onde  é o selector de Zermelo, xn ∈ Fn n ∈ N. Uma subsucessão xnk → x, x ∈ E. Para cada

k  1, 2, . . . tem-se xnk ∈ Fn,∀n ≥ k, donde x ∈ Fk  Fk para todo o k (recordar que

nk ≥ k, donde x ∈



_n_1Fn e verifica-se B; B  A pode provar-se pela

contra-recíproca: se existe uma sucessãoxn em E que não tem nenhuma subsucessão convergente, então conclui-se que considerando Fn  xn1, xn2, . . . obtemos uma

sucessão decrescente de conjuntos fechados e não vazios tal que



_n_1Fn  . Pois se um ponto y ∈



_n_1Fn então vem: dado k  1, existe n1 ∈ N tal que xn1 ∈ F1 e

x1 ∈ B0y, 1/1 (Porquê?); do mesmo modo, existe xn2 ∈ F2 tal que n2  n1,

xn2 ∈ B0y, 1/2 e para cada k  1, 2, . . . , certo xnk ∈ Fk verifica xnk ∈ B0y, 1/k,

podendo considerar-se n1  n2 . . .  nk  nk  1 e isto significa que a subsucessão xnk → y c.q.d.

II.12.28 Teorema Todo o espaço métricoE, d verificando a condição A (equivalentemente,B) no Teorema II.12.26 é separável

Dem. Para cada n ∈ N, toda a cadeia não vazia no conjunto parcialmente ordenado Cn  C ⊂ E : ∀x, y ∈ C, dx, y ≥ 1/n, ⊂ tem o majorante



C : C ∈ Cn; aplicando o Lema de Zorn, existe um elemento maximal Tn ∈ Cnn  1, 2, . . . . Cada tal conjunto Tn é finito; pois se existe um conjunto infinitoxi : i ∈ N ⊂ Tn (recorde que todo o conjunto infinito contèm um conjunto numerável) então a sucessãoxi não tem nenhuma

subsucessão de Cauchy, e portanto não tem nenhuma subsucessão convergente,

contrariando a hipóteseA. Além disso, para cada x ∈ E, tem-se que existe certo n sendo

dx, Tn  infdx, y : y ∈ Tn  1/n (se dx, Tn ≥ 1/n, ∀n ∈ N então:

∀x1 ∈ T1, dx, x1 ≥ 1, logo x ∈ T1 pois T1 é maximal emC1 obtendo-se a contradição

dx, T1  0 ≥ 1). O conjunto T 



_n_1Tn é contável (finito ou numerável) e é denso em

E. Pois para cada x ∈ E tem-se dx, T ≤ dx, Tn  1/n, ∀n ∈ N, e existe uma sucessão

xn em T, xn ∈ Tn, dx, xn → 0 e xn → x c.q.d.

II.12.29 Corolário Se no espaço métrico E toda a sucessão tem uma subsucessão convergente, então cada cobertura abertaC :  ∈ A de E tem uma subcobertura contávelCn : n ∈ N.

Dem. Conclui-se do Teorema II.12.28, utilizando o Teorema II.7.12.

II.12.30 Propriedade O espaço métricoE, d é compacto se e só se cada sucessão em E tem pelo menos uma subsucessão convergente.

II.12.31 Exercício Prove a Propriedade II.12.30. (Sug: para a condição necessária utilize II.12.27 e II.12.17).

II.12.32 Resolução SupondoE, d compacto, seja F1 ⊃ F2 ⊃. . . ⊃ Fn ⊃. . . uma

sucessão de fechados não vazios como no Teorema II.12.27.

Utilizando o Corolário II.12.17 tem-se



_n_1Fn ≠  e conclui-se que E, d tem a propriedadeA do Teorema II.12.27. Reciprocamente, suponhamos que E, d tem esta propriedade, e sejaOi : i ∈ I uma cobertura aberta de E. Pelo Teorema II.12.28 e Teorema II.7.12, existe uma subcobertura contávelOik : k  1, 2, . . .  de E,

E 



_k_1Oik; então também An : n ∈ N, onde An 



_k1 n

Oik é uma cobertura aberta de E, tal que A1 ⊂ A2 ⊂. . . ⊂ An ⊂ An1 ⊂. . . . Significa isto que a intersecção da

classe decrescente de fechados Fn  Anc é



_n_1Fn  



_n_1Anc  . Portanto, pelo Corolário II.12.17, certo Fn  Anc  , e concluimos que An 



k1 n _Oi

k  E i.e. E, d é

compacto, c.q.d.

II.12.33 Teorema Todo o subconjunto compacto C de um espaço métrico compacto E, d é limitado e fechado.

II.12.34 Exercício Justificando as passagens seguintes, obtenha demonstrações de II.12.33.

1. Seja C compacto. Supondo para um absurdo que C não é limitado, se p  x1 é um

ponto de C, existe um ponto x2 ∈ C tal que dp, x2 ≥ 1;

2. existe um ponto x3 ∈ C verificando dx2, x3 ≥ dp, x2  1;

3. obtidos pontos x2, x3, . . . , xn ∈ C com dxk, xk1 ≥ dxk−1, xk  1 para 2 ≤ k ≤ n − 1,

existe um ponto xn1 ∈ C tal que dxn, xn1 ≥ dxn−1, xn  1; assim existe uma sucessão

xn em C tal que dxn, xn1 ≥ 1, ∀n ∈ N;

4. a sucessãoxn não tem nehuma subsucessão convergente, e fica provado que C é um conjunto limitado.

5. Pode concluir-se o teorema II.12.33.

II.12.35 Teorema Se C é um subconjunto compacto do espaço métricoE, dE e

f : C ⊂ E, dE → F, dF é uma função contínua, então fC é compacto em F, dF.

II.12.36 Exercício Demonstre o Teorema II.12.35. (Sug: Pode utilizar a Propriedade II.12.30).

II.12.37 Resolução. Sendoyn uma sucessão em fC, é yn  fxn, onde xn é uma sucessão em C; como existe uma subsucessão xnk → x ∈ C, pois C é compacto, e usando a

Propriedade II.12.30. Como f é contínua, tem-se fxnk → fx ∈ fC em F, dF ou seja,

no subespaço métricofC, dF e aplicando de novo II.12.30, concluimos que fC é compacto c.q.d.

II.12.38 Proposição Se C ⊂ E, d é um subconjunto compacto e a função

f : C ⊂ E, d → R, dR, onde dR é a métrica usual, é uma função contínua então f tem um máximo e um mínimo em C.

II.12.39 Exercício Prove a Proposição II.12.38.

II.12.40 Resolução Atendendo ao Teorema II.12.35, o conjunto fC é compacto em R, dR e portanto, usando o Teorema II.12.33, é fechado e limitado; assim m  inf fC e

M  sup fC são números reais. Tem-se m  limfan, M  limfbn, an, bn ∈ C. Como C é compacto, existem subsucessões ank → a ∈ C e bnk → b ∈ C e pela continuidade de f

vem fank → fa  m, fbnk → fb  M (comprove). Assim a é o mínimo de f em C

e b é o máximo de f em C c.q.d.

II.12.41 Se f : E, dE → F, dF é contínua e E é compacto, então f é uniformemente contínua.

II.12.42 Exercício Justificando as seguintes passagens, obtenha uma demonstração do Teorema II.12.41:

1. Suponhamos f contínua, E compacto e, com vista a um absurdo que se tem ~∀  0, ∃  0 : dEx, y    dFfx, fy  , ∀x, y ∈ E.

2. existe certo  0 tal que duas sucessões de pontos xn, yn em E verificam

dExn, yn → 0 e dFfxn, fyn ≥ ;

3. existe uma subsucessão convergente xnk → x em E, dE;

4. tem-se ynk → x em E, dE;

5. fxnk → fx e fynk → fx;

6. dFfxnk, fynk → 0, ficando provado o Teorema

II.12.43 Resolução 1. É a negação da condição f uniformemente contínua. 2. Pois da negação indicada em 1. conclui-se

∀n ∈ N, ∃xn, yn ∈ E, dExn, yn  1/n ∧ dFfxn, fyn ≥ , certo   0; 3. pois E é compacto, e usando II.12.30; 4. porque dFynk, x ≤ dFxnk, ynk  dFxnk, x → 0; 5. porque f é por hipótese contínua; 6. pois

dFfxnk, fynk ≤ dFfxnk, fx  dFfynk, fx e ambas as parcelas tendem para 0; portanto um  0 como em 2. não pode existir, obtendo-se uma contradição, c.q.d.

II.12.45 Exercício Demonstre o Teorema II.12.44

II.12.46 Resolução Pelo Teorema II.10.10, basta provar que seE, d é compacto e

F1 ⊃ F2 ⊃. . . ⊃ Fn ⊃ Fn1 ⊃. . . é uma sucessão de subconjuntos fechados não vazios de

E, d tal que diamFn → 0, então



n1

 _{Fn ≠ . Pelo Corolário II.12.17, esta condição é}

verificada, concluindo-se queE, d é completo, c.q.d.

II.12.47 Observação Existem espaços métricos completos não compactos; por exemplo R, d, onde d é a métrica usual, é completo mas não é compacto (R não é limitado em R, d, e Teorema II.12.33). Como as métricas d e min1, d são equivalentes em R, o espaço métrico limitadoR, min1, d também não é compacto (é homeomorfo a R, d, recorde-se o Teorema II.12.35).

II.12.48 Observação A propriedade de compacidade permite obter critérios de não continuidade de uma função entre espaços métricos. Por exemplo, não exite nenhuma função contínua f deR, dR em si mesmo tal que f0, 2  1, , pois a imagem do compacto0, 1 teria de ser um conjunto compacto, donde limitado.

II.12.49 Definição SeC Oi : i ∈ I é uma cobertura aberta do espaço métrico E, d, diz-se que o número positivo é um número de Lebesgue para C se todo o subconjunto A de M tal que diamA   está inteiramente contido em pelo menos um dos abertos Oi.

II.12.50 Teorema Toda a cobertura aberta de um espaço métrico compacto tem um número de Lebesgue.

Dem. Para obter uma demonstração por absurdo, suponhamos que existe uma cobertura abertaOi : i ∈ I de E tal que qualquer que seja   0, existe certo subconjunto A de E,

diamA  , tal que A ⊈ Oi se i ∈ I. Então para cada n ∈ N existe

An ⊂ E, diamAn  1/n, tal que A ⊈ Oi, qualquer que seja i ∈ I. Sendo xn ∈ Anpara cada n, a sucessãoxn tem uma subsucessão convergente xnk → x; certo Oi verifica

x ∈ Oi, e existe r  0 tal que B0x, 2r ⊂ Oi (Porquê?). Para k suficientemente grande, tem-se 1/nk  r e dxnk, x  r (Verifique). Então para cada a ∈ Ankverifica-se

dx, a ≤ dx, xnk  dxnk, a  2r, e assim A ⊂ B0x, 2r ⊂ Oi, uma contradição. O

II.12.51 Exercício Prove que seE, d é um espaço métrico compacto, então para cada

  0 existe um conjunto finito x1, . . . , xm de pontos de E tal que E 



_km_1B0xk,.

II.12.52 Resolução. Com efeito a cobertura abertaB0x,  : x ∈ E de E é redutível a

uma subcobertura finita.

II.12.53 Teorema (Tikhonov) Seja I ⊂ N e seja E 



_n∈IEi.o espaço métrico produto dos espaços métricos En n ∈ I. Se cada espaço factor Ei é compacto, então E é compacto.

Dem. Consideremos primeiro o caso I finito, I  1, . . . , m, m ∈ N. Sem perda de generalidade, suponhamos por exemplo m  3. Seja a sucessão u  xi,ni3_{1 em}

E  E1 E2  E3, cada Ei compacto. Sexi,nki31 é uma subsucessão de u convergente

paraa1, a2, a3 ∈ E, notamos xi,nki3_1 →k a1, a2, a3; para uma subsucessão coordenada,

i  1 por exemplo, notamos então x1,nk →k a1  limx1,nk. Provemos que existe uma

subsucessão convergente de u. Dada u, existe (II.12.30) uma subsucessão u1 

xi,n,1ki31  xi,n,1ki31de u tal que pr1ou1  x1,n,1k →k a1, a1 ∈ E1. Por sua vez,

u1  xi,n,1ki31 tem uma subsucessão u2  xi,n.2on,1ki31  xi,n,2ki31 tal que

pr2ou2  x2,n,2k → a2 ∈ E2; aqui, k  n, 1k  n, 1k, k′  n, 2k′ são

estritamente crescentes de N em N, e portanto k  n, 2on, 1k ≡ k  n, 2k é também estritamente crescente de N em N. A sucessão u2 é então tal que pr1ou2 → a1 e

pr2ou2 → a2; u2 é uma subsucessão de u. Analogamente, existe uma subsucessão

u3  xi,k,3ok,2ki31  xik,3ki31 de u2 (e, portanto, de u,k, 3  k, 3ok, 2) tal que

pr3ou3  x3,k,3k → a3 ∈ E3. Fica assim provado que existe uma subsucessão

convergente u3 → a1, a2, a3 de u e, usando II.12.30, E é compacto.

Consideremos agora o caso I  N. Seja E 



_i_1Ei, cada Ei compacto, e seja

u  xi,ni_1 uma sucessão em E. Como no caso finito, existe uma subsucessão

u1  xi,n,1ki1  xi,n,1ki1 de u em E tal que pr1ou1  x1,n,1k →k a1 ∈ E1.

Relativamente à segunda coordenada, existe uma subsucessão

u2  xi,n,2on,1ki1  xi,n,2ki1de u1 (e, portanto, de u) tal que

x2,n,2k →k a2 ∈ E2. Então pr1ou2 → a1, pr2ou2 → a2. Prosseguindo o raciocínio existe,

para k  1, 2, . . . , k, até uma subsucessão uk de u tal que prkouk → ak ∈ Ek. Consideremos a função n  unnn_1  xn,n,nnn1de N em E. Temos

n  1, n  1n  1  n  1, n  1n (a aplicação n  1, n  1 é a composição das aplicações estritamente crescentesn  1, n  1on, no. . . o2, 2o1, 1); também 2, 2o1, 11 ≥ 1, 11 pois 2, 2 : N → N é estritamente crescente (se k  nk é estritamente crescente então nk ≥ k). Prosseguindo, obtemos

n  1, n  1on, no. . . o2, 2o1, 1n ≥ n, no. . . o2, 2o1, 1n e portanto temos n  1, n  1n  1  n  1, n  1n ≥ n, nn. Assim n  n, nn é estritamente crescente, eunnn_1 é uma subsucessão de u, pois cadaer tmoxn,n,nnn1 de

n  unnn1tem por coordenadas x1,1,11 ∈ x1,n : n  1, 2, . . . ,

x_{2,2,2̄2} ∈ x2,n : n  1, 2, . . . , etc. Tem-se na coordenada n ∈ N que prnounn →n an por construção e a sucessãounn  xn,n,nnn1 tem como subsucessão

unn  xn,n,nnn1.Revendo II.9.4 e II.9.19, tem-seunnn1 →n ann1 ∈ E e E é compacto, atendendo a II.12.30 c.q.d.

II.12.54 Exercício Mostre que o produto contável de espaços métricos é um espaço métrico compactos e e só se cada espaço factor é compacto.

II.12.55 Resolução Se cada Ei é compacto então



_i∈IEi é compacto, pelo Teorema II.12.53; reciprocamente, se E 



_i∈IEi é compacto, i ∈ I, Ei  priE é compacto por II.12.35.

No documento Espaços Métricos e Espaços Topológicos (páginas 148-158)