Filtros e ultrafiltros Redes

I.7.1 Definição Seja X um conjunto não vazio. Uma classe não vazia_{F ⊂ PX} verificando

F1  ∉ F;

F2 ∀F, F′ ∈ F,F ∩ F′ ∈ F;

F3 ∀U ∈ PX,U ⊃ F ∧ F ∈ F  U ∈ F, diz-se um filtro sobre X.

I.7.2 Exemplos (1) Se ≠ A ⊂ X, a classe FA  F ⊂ X : F ⊃ A é um filtro sobre

X. Em particular, se a ∈ X, Fa  F ⊂ X : a ∈ F é um filtro sobre X. (2) Sendo X um

conjunto, uma parte de X diz-se cofinita se o seu complementar é finito; se X é infinito, a classe das partes cofinitas de X é um filtro sobre X. Para X  N, obtem-se o filtro de Fréchet. (3) Dada uma sucessãoun num conjunto U, a classe

F  F ⊂ U : ∃n ∈ N, um : m  n, n  1, . . .  ⊂ F é um filtro sobre U, que se diz o filtro de Fréchet associado à sucessãoun. O filtro de Fréchet é o filtro de Fréchet associado à sucessão dos números naturais.

I.7.3 Exercício Mostre que se X é um conjunto não vazio, e a classeB de subconjuntos de X satisfaz as condições

B1  ∉ B; B2 ∀B1, B2 ∈ B,∃B3 ∈ B,B3 ⊂ B1∩ B2, então a classe

F  F ⊂ X : ∃B ∈ B, B ⊂ F é um filtro sobre X.

Resolução_F1 verifica-se, pois ∉ B. F2 verifica-se também, porque se F1 ⊃ B1 e

F2 ⊃ B2, onde B1, B2 ∈ B, então existe B3 ∈ B tal que F1∩ F2 ⊃ B1∩ B2 ⊃ B3, logo

F1 ∩ F2 ⊃ B3 e F1 ∩ F2 ∈ F. A condição F3 verifica-se também, pois se F ∈ F então

existe B ∈ B,B ⊂ F; e se F′ ⊃ F então F′ ⊃ B e por conseguinte F′ ∈ F.

I.7.4 Definição (1) Se X é um conjunto não vazio, uma classe de subconjuntos

B ⊂ PX satisfazendo as condições B1,B2 em I.7.3 diz-se que é uma base de um filtro ou

que é uma base de filtro. (2) Se_{F é um filtro sobre X, diz-se que uma classe B}0 ⊂ F, onde

F é um filtro sobre X, é uma base do filtro F se satisfaz a condição

BF ∀F ∈ F,∃B ∈ B0, B ⊂ F.

I.7.5 Observações (1) SeB ⊂ PX é uma base de um filtro, então B é uma base do filtro_{F  F ⊂ X : ∃B ∈ B, B ⊂ F, que se diz o filtro gerado por B. (2) Notar que se B}0

é uma base do filtroF, então cada conjunto em B0pertence ao filtroF.

I.7.6 Exercícios (1) Determine uma base do filtro_FA em I.7.2.

(2) Mostre que a classeF0  A ⊂ R : ∃  0, −,  ⊂ A é um filtro sobre R que

(3) Mostre que a classeB0  Np : p ∈ N onde Np  p, p  1, . . .  para cada

p ∈ N é uma base do filtro de Fréchet.

Resoluções (1)A é uma base do filtro FA.

(2)F1 verifica-se, porque 0 ∈ −,  para cada   0, e assim para cada A ∈ F0

tem-se A ≠ . F2 é verdadeira também, porque se 1,2  0, −1,1 ⊂ A1 e

−2,2 ⊂ A2 então min1,2  0 e − min1,2, min1,2 ⊂ A1 ∩ A2.F3 Se

−,  ⊂ A,   0 e A′ _{⊃ A então −,  ⊂ A}′ _{e A}′ _{∈ F. A classe}

B0  −1/n, 1/n : n ∈ N é uma base do filtro F0, e é um conjunto numerável, dada a

bijecção : N → B0,n  −1/n, 1/n. −,  :   0 é uma base de F0, pois cada

−,  ∈ F0 e, pela definição deF0cada conjunto A ∈ F0 verifica que existe certo  0

tal que−,  ⊂ A.

(3) Cada conjunto A do filtro de FréchetF verifica Ac _{⊂ Sp  1, . . . , p para certo}

p ∈ N. Uma vez que Np ∈ F para cada p, e Ac _{⊂ Sp  Np ⊂ A para cada A ⊂ N} conclui-se queNp : p ∈ N é uma base de F.

I.7.7 Definição SeF, F′ são filtros sobre um mesmo conjunto X, diz-se que o filtroF′ é mais fino que o filtro_{F, e nota-se F}′  F ou F  F′ se_{F ⊂ F}′; diz-se então também que o filtro_{F é menos fino que o filtro F}′.

I.7.8 Observação No conjunto parcialmente ordenadoFX,  dos filtros sobre X, toda a cadeia não vazia tem um majorante. Com efeito, seFi : i ∈ I, I ≠ , é uma cadeia em FX, para cada subconjunto finito e não vazio J de I e cada classe Fj : j ∈ J, tem-se

Fj ∈ Fj para cada índice j. Verifica-se facilmente que, com #J  m, podemos designar

J  j1, . . . , jm onde Fjk ⊂ Fjk′para cada 1 ≤ k ≤ k′ ≤ m; donde todos os Fj pertencem aFjme portanto∩Fj : j ∈ J ∈ Fjm. Por conseguinte, o conjunto das intersecções finitas destas classesFj : j ∈ J é uma base de um filtro F sobre X ( pois cada intersecção é não vazia. e a intersecção de duas intersecções finitas é ainda uma intersecção finita), e o filtroF é mais fino que cada filtro Fi, i ∈ I. Pelo lema de Zorn, existe portanto pelo menos um elemento maximal emFX, .

I.7.9 Definição Sendo X um conjunto não vazio, diz-se ultrafiltro sobre X um

elemento maximal no conjunto dos filtros sobre X, parcialmente ordenado para a relação de inclusão de conjuntos.

I.7.10 Exemplo Se a ∈ X, o filtro Fa  F ⊂ X : a ∈ F é um ultrafiltro. Não

podem obter-se outros ultrafiltros sobre X sem recorrer ao axioma de Zermelo.

I.7.11 Observação Dado um filtro_{F sobre X, conclui-se aplicando o lema de Zorn que} existe pelo menos um ultrafiltroU que contém F. Por exemplo em I.7.2 (1), para cada

a ∈ A, Faé um ultrafiltro sobre X que contémFA.

I.7.12 Teorema Se_{U é um filtro sobre X, U é um ultrafiltro sse para cada A ⊂ X se} verifica A ∈ U ou Ac _{∈ U.}

I.7.13 Exercício Justificando os passos seguintes, obtenha uma demonstração do teorema anterior:

1. Suponhamos que_{U verifica a propriedade. Se U não é um ultrafiltro, existe um} filtro_{F ≠ U tal que U ⊂ F;}

2. existe A ⊂ X tal que A ∈ F e A ∉ U;

3. Ac _{∈ U, e conclui-se um absurdo. Portanto se U verifica a propriedade do} enunciado então_{U é um ultrafiltro.}

4. SejamU um ultrafiltro sobre X, e seja A ⊂ X, A ∉ U. Mostremos que B  Ac ∈ U. Se V ∈ U então V não verifica V ⊂ A;

5. V∩ B ≠ ;

6. a classeV ∩ B : V ∈ U é uma base de um filtro F sobre X; 7._{F é mais fino que U, e F  U;}

Resolução

1. Pois existe pelo menos um ultrafiltroF que contém U; 2. porque por 1._{U ⊂ F e U ≠ F;}

3. pela hipótese do enunciado sobre_{U, e porque como A ∈ F pelo passo 2., ter-se-á} também Ac ∈ F pelo passo 1., donde   A ∩ Ac ∈ F o que é impossível. Conclui-se assim a tese de absurdo da hipótese de absurdo de_{U não ser um ultrfiltro, portanto U é um}

ultrafiltro sobre X.

4. Porque se V ⊂ A e V ∈ U, então A ∈ U uma vez que U é um filtro; 5. pois se V∩ Ac _{  então V ⊂ A, e pelo passo 4. não se verifica V ⊂ A;} 6. pois pelos passos 4. e 5. cada V∩ B ≠ ; como para cada V1, V2 ∈ U se tem

V  V1∩ V2 ∈ U, conclui-se que cada intersecção V1 ∩ B ∩ V2∩ B  V ∩ B é um

conjunto que está na classe, e esta é portanto uma base de um filtro sobre X;

7._{F é mais fino que U porque para cada V ∈ U, tendo-se V ∩ B ⊂ V e V ∩ B ∈ F} pelo passo 6., também V ∈ F; assim, sendo U um elemento maximal, tem-se F  U;

8. pois B  B ∩ X ∈ F pela definição de F no passo 6., uma vez que X ∈ U pois U é um filtro. Assim B ∈ U pelo passo anterior, e conclui-se que U verifica a propriedade, e assim o teorema.

I.7.14. Teorema É condição necessária e suficiente para que o filtroU sobre X seja um ultrafiltro que satisfaça a condição∀A, B ⊂ X, A  B ∈ U  A ∈ U ∨ B ∈ U.

I.7.15 Exercício Justificando os passos seguintes obtenha uma demonstração do teorema:

1. SeU verifica a condição, conclui-se que U é um ultrafiltro da igualdade

A Ac _{ X.}

2. SendoU um ultrafiltro, suponhamos A  B ∈ U; bastará provar que se A ∉ U então

B ∈ U. Podemos portanto supor A  B ∈ U e A ∉ U;

3. tem-se Ac _{∩ B}c _{∉ U;} 4. Ac ∈ U;

5. Bc _{∉ U;}

6. pode concluir-se a demonstração.

Resolução

1. Pois X ∈ U, já que, por hipótese, U é um filtro sobre X. 2. Pois se A ∈ U não há nada aprovar;

3. porque pelo passo 2. A B ∈ U; não pode ser portanto Ac _{∩ B}c _{ A  B}c _{∈ U} pois então vinha  A  B ∩ A  Bc ∈ U por U ser por hipótese um filtro, o que é impossível;

4. pelo teorema em I.7.12, já que A ∉ U pelo passo 2.;

5. porque se Bc _{∈ U, então do passo 4. conclui-se A}c _{∩ B}c _{∈ U, contra o passo 3.;} 6. pelo passo 5. e pelo teorema I.7.12, conclui-se B ∈ U como se queria provar no passo 2.

I.7.16 Observação SeB é uma base de um filtro sobre X, considerando o filtro F gerado por_{B temos: se F é um ultrafiltro, então dado A ⊂ X é A ∈ F ou A}c _{∈ F; assim} deve existir B ∈ B verificando ou B ⊂ A, ou B ⊂ Ac_{. Reciprocamente, se para cada A ⊂ X} existe pelo menos um conjunto B ∈ B tal que B ⊂ A ou B ⊂ Ac _{entãoF é um ultrafiltro.} Obtemos

I.7.17 Teorema Uma base_{B de um filtro sobre X é base de um ultrafiltro sobre X sse} para cada A ⊂ X, A contém um conjunto em B ou Ac _{contém um conjunto em}

B.

I.7.18 Sendo f : X → Y uma função e B uma base de filtro sobre Y, se f−1B ≠  para cada B ∈ B, a classe f−1B : B ∈ B é uma base de filtro sobre X. Duas bases de um mesmo filtro originam, por este processo, duas bases do mesmo filtro. Com X ⊂ Y e

f : X → Y a aplicação de inclusão, se X ∩ B ≠  para cada B ∈ B então X ∩ B : B ∈ B é

I.7.19 Definição Com X, Y,_{B e f como em I.7.18, a classe f}−1B : B ∈ B diz-se a base imagem recíproca da base de filtroB; o filtro F gerado pela classe diz-se também a imagem recíproca do filtro gerado por_{B. No caso particular de X ⊂ Y e f a aplicação de} inclusão, a imagem recíproca do filtro gerado porB diz-se também o filtro restrição do filtro gerado por_{B, ou o filtro induzido pelo filtro gerado por B sobre X.}

I.7.20 Se_{B é uma base de filtro sobre X e f : X → Y é uma função, então} fA : A ∈ B é base de um filtro F sobre Y.

I.7.21 No contexto de I.7.20, a classefA : A ∈ B diz-se a base imagem directa da base de filtro_{B. O filtro F é o filtro imagem directa do filtro sobre X gerado por G.}

I.7.22 Observações (1) Se acimaB′ é uma outra base do filtro sobre X gerado porB, a classefA′ : A′ ∈ B′ é ainda uma base do filtro F sobre Y.

(2) Mesmo queB seja um filtro, a base imagem directa de B não é, em geral, um filtro. SeB é um filtro, o filtro imagem directa do filtro B é a classe C ⊂ Y : f−1C ∈ B.

I.7.23 Teorema SeB é base de um ultrafiltro sobre X, a base imagem directa de B é uma base de um ultrafiltro sobre Y.

I.7.24 Exercício Obtenha uma demonstração do teorema anterior, justificando as passagens:

1. Se B ⊂ Y então f−1Bc _{ f}−1_Bc_;

2. f−1B está no filtro gerado por B, ou f−1Bc_{ eatá neste filtro;} 3. pode concluir-se o teorema.

Resolução

1. A inclusão f−1Bc_{ ⊂ f}−1_Bc _{é consequência imediadata da definição de f}−1_{. Se}

x ∉ f−1B então fx ∉ B e com y  fx ∈ Y tem-se y ∈ Bc_{, x ∈ f}−1_{y ⊂ f}−1_Bc_ concluindo-sef−1Bc _{⊂ f}−1_Bc_;

2. atendendo a 1., pois por hipótese o filtro gerado porB é um ultrafiltro, e utilizando o teorema I.7.12;

3. porque B ⊃ ff−1B, Bc _{⊃ ff}−1_Bc_{ e assim pelo passo 2., B pertence ao filtro} imagem directa do ultrafiltro gerado por_{B, ou B}c _{pertence à imagem directa desse} ultrafiltro, e utilizando o teorema I.7.12.

I.7.25 Recordar que uma sucessão num conjunto não vazio X é uma função de N em

X. A ordem parcial usual de N permite considerar uma subsucessãounk da sucessão

un, como a composta un após g, onde g : N → N, g : k  nk é uma função

estritamente crescente; permite também considerar o conceito de limite de uma sucessão. Podem considerar-se estas noções num contexto mais geral.

I.7.26 Definição Sendo X um conjunto não vazio eJ,  um conjunto dirigido, uma função x : J → X diz-se uma rede em X, ou uma sucessão generalizada em X. Representa-se a rede x pondoxjJ ouxj onde xj  xj j ∈ J.

SeI, ≥, J,  são conjintos dirigidos, dizemos que uma aplicação  : I → J é admissível se para cada índice j ∈ J existe pelo menos um índice i0 ∈ I, tal que

∀i ∈ I, i ≥ i0  i  j. E dizemos que uma rede yiI é uma subrede (subsucessão

generalizada) da redexjJ se existir uma aplicação admissível : I → J tal que yi  xi para cada i ∈ I.

I.7.27 Exemplo Se X é um conjunto não vazio e_{F é um filtro sobre X, F é um} conjunto dirigidoF para a quase-ordem (que é uma ordem parcial) F  F′ sse F′ ⊂ F. Sendo : F → X o selector de Zermelo, podemos considerar a rede em X, xFFonde

xF  F para cada F ∈ F.

I.7.28 Observações (1) O conjunto N com a ordem parcial usual é um conjunto dirigido; assim toda a sucessão em X é uma rede em X. No entanto, uma subrede da sucessãoun, ainda que seja uma sucessão, pode não ser uma subsucessão de un no sentido habitual, como mostram as subredes

1, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 9, . . . e 2, 1, 4, 3, 6, 5, 8, 7, . . . de 1, 2, 3, 4, 5, . . .

Se J  N com a ordem parcial usual na definição I.6.26,  : I → N é admissível se e só sei aumenta indefinidamente. Seguindo [Machado], se u  un, dizemos que uma função compostaun após g como em I.7.25, com g estritamente crescente, é uma subsucessão estrita deun; no entanto subentendemos, salvo menção em contrário, que uma subsucessão goun  unk de un é estrita i.e., que g : N → N, g : k  nk é

estritamente crescente.

(2) SeJ,  é um conjunto dirigido,  ≠ I ⊂ J, então a relação binária R em I definida por iRi′sse i, i′ ∈ I ∧ i  i′ é uma quase-ordem em I, para a qual I é um conjunto dirigido. Dizemos que I é cofinal com J se para cada j ∈ J, existe pelo menos um i ∈ I tal que i  j; então a aplicação de inclusão i  i de I em J é admissível. Portanto, dada uma redexjJ, a redexiI é uma subrede daquela.

(3) SendoxjJ uma rede em X,yiI  xi uma subrede de xj_J e

zkK  yk  xok uma subrede de yiI, então tambémzkKé uma subrede de xiI.

I.7.29 Exercício Verifique a observação (3) anterior.

Resolução

Por hipótese, existem aplicações admissíveis : I → J e  : K → I tais que zk  y_k k ∈ K e yj  xi i ∈ I. Então zk  xk k ∈ K, e resta provar que a aplicação

o : K → J é admissível. Para cada j ∈ J, existe pelo menos um índice i0 ∈ I tal que

i  j para cada i ∈ I tal que i ≥ j0, pois é admissível; como  é admissível, existe pelo

menos um índice k0 ∈ K com k ≥ i0para todo o k  k0, k ∈ K. Concluimos que

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