Limites e Derivadas (Aula 6/6)
Faculdade de Sistemas de Informação - UFPA Disciplina de Cálculo Computacional I
Introdução:
O problema da tangente
Se uma curva C tiver uma equação y=f(x)
quisermos encontrar a tangente a C em um
ponto P(a,f(a)), consideramos um ponto
próximo Q(x,f(x)), onde x≠a, e calculamos a
inclinação da reta secante PQ:
Então fazemos Q aproximar-se de P ao longo
da curva C ao obrigar x tender a a.
Se mPQ tender a um número m, então
definimos a tangente t como a reta que
passa por P e tem inclinação m.
( )
( )
PQf x
f a
m
x a
−
=
−
Introdução:
O problema da tangente
A reta tangente a uma curva y=f(x) em um ponto P(a,f(a)) é a
reta por P que tem a inclinação
Desde que esse limite exista.
( )
( )
lim
x af x
f a
m
x a
→−
=
−
Introdução:
O problema da tangente
Exemplo: encontre uma equação da reta tangente à
parábola y = x2 no ponto P(1, 1).
Temos a = 1 e f(x) = x2, logo a inclinação é
Então a equação da reta tangente no ponto (1,1), usando a
forma ponto-inclinação é
y - 1 = 2(x - 1)
y = 2x - 1
2 1 1( )
(1)
1
lim
lim
1
1
x xf x
f
x
m
x
x
→ →−
−
=
=
−
−
1(
1)(
1)
lim
1
xx
x
x
→−
+
=
−
=
lim(
x→1x
+
1) 1 1 2
= + =
Introdução:
O problema da tangente
Há outra expressão para a inclinação da reta tangente, as
vezes mais fácil de ser usada.
Se h=x-a, então x=a+h e a inclinação da reta secante PQ é:
Isto pode ser observado na figura:
(
)
( )
PQf a h
f a
m
h
+
−
=
Introdução:
O problema da tangente
Exemplo: encontra a equação da reta tangente a hipérbole
y=3/x no ponto (3,1). f(x)=3/x, então: 0 0 0
3
3 (3
)
1
(3
)
(3)
3
3
lim
lim
lim
h h h
h
f
h
f
h
h
m
h
h
h
→ → →−
+
−
+
−
+
+
=
=
=
0 01
1
lim
lim
(3
)
(3
)
3
h hh
h
h
h
→ →−
=
=
−
= −
+
+
Introdução:
O problema da velocidade
Se você observar o velocímetro de um carro no tráfego
urbano, verá que o ponteiro não fica parado por muito tempo; isto é, a velocidade do carro não é constante.
Podemos supor da observação do velocímetro que o carro
tenha uma velocidade definida em cada momento. Mas como definir essa velocidade instantânea?
Introdução:
O problema da velocidade
Em geral, suponha que um objeto se mova sobre uma reta
de acordo com a equação s=f(t) na qual s é o deslocamento do objeto a partir da origem no instante t.
A função f que descreve o movimento é chamada função
posição do objeto.
No intervalo de tempo entre t = a até t = a+h, a variação na
Introdução:
O problema da velocidade
A velocidade média nesse intervalo é
Que é o mesmo que inclinação da reta secante PQ na Figura:
€
velocidade média =
deslocamento
tempo
=
f (a + h) − f (a)
h
Introdução:
O problema da velocidade
Suponha agora que a velocidade média seja calculada em
intervalos cada vez menores [a, a + h].
Em outras palavras, fazemos h tender a 0.
Então a velocidade instantânea v(a) no instante t = a é
calculada como o limite dessa velocidade média quando h tende a 0:
Isso significa que a velocidade no instante t = a é igual à
inclinação da reta tangente em P.
0
(
)
( )
( ) lim
hf a h
f a
v a
h
→+
−
=
Introdução:
O problema da velocidade
Vamos esmiuçar o exemplo de uma bola caindo.
Suponha que uma bola é solta a partir do ponto de observação
no alto da Torre CN em Toronto, 450 m acima do solo. Encontre a velocidade da bola após 5 segundos.
Por meio de experimentos feitos séculos atrás, Galileu
descobriu que a distância percorrida por qualquer objeto em queda livre é proporcional ao quadrado do tempo em que ele esteve caindo.
Se a distância percorrida após t segundos for chamada s(t) e
medida em metros, então a Lei de Galileu pode ser expressa pela equação:
€
Introdução:
O problema da velocidade
Usando a equação de movimento s = f(t) = 4.9t2, temos:
Então a velocidade após 5 segundos é v(5) = (9,8)(5) = 49m/s
2 2 0 0 ( ) ( ) 4.9( ) 4.9 ( ) lim lim h h f a h f a a h a v a h h → → + − + − = = 2 2 2 2 0 0 4.9( 2 ) 4.9(2 ) lim lim h h a ah h a ah h h h → → + + − + = = 0 lim 4.9(2 ) 9.8 h→ a h a = + =
Introdução:
O problema da velocidade
Se também quisermos calcular a velocidade com que a
bola toca o chão, temos que calcular a velocidade quando s(t)=450m.
Então, a bola tocará o chão após 9,6 segundos e, assim, a
velocidade será v(9,6) = (9,8)(9,6) ≈ 94m/s
€
s(t) = 4,9t
2= 450
t =
450
Introdução
O problema de encontrar a reta tangente a uma curva e o
problema de encontrar a velocidade de um objeto envolvem determinar o mesmo tipo de limite.
Este tipo especial de limite é chamado derivada.
Estes tipos de limite surgem sempre que calculamos uma
taxa de variação em uma das ciências ou engenharia, tais como a taxa de uma reação química ou o custo marginal em economia.
€
lim
h → 0f (a + h) − f (a)
h
Introdução
Definição formal:
A derivada de uma função f em um número a, denotada
por f’(a), é a inclinação da tangente da função f no ponto (a, f(a)) e é calculada como:
OBS: nem sempre o limite existe.
€
f '(a) = lim
h → 0
f (a + h) − f (a)
h
Introdução
Exemplo: encontre a derivada de f(x)=x2-8x+9 em um número
a. 0 2 2 0 2 2 2 0 2 0 0
(
)
( )
'( ) lim
[(
)
8(
) 9] [
8
9]
lim
2
8
8
9
8
9
lim
2
8
lim
lim(2
8)
2
8
h h h h hf a h
f a
f a
h
a h
a h
a
a
h
a
ah h
a
h
a
a
h
ah h
h
a h
h
a
→ → → → →+
−
=
+
−
+
+
−
−
+
=
+
+
−
−
+ −
+
+
=
+
−
=
=
+ −
=
−
Introdução:
Taxa de variação
Suponha que y seja uma quantidade que depende de outra
quantidade x.
Assim, y é uma função de x e escrevemos y=f(x).
Se x variar de x1 para x2, então a variação de x (também
chamada incremento de x) é Δx=x2−x1 e a variação correspondente de y é: Δy = f (x) − f (x)
O quociente da diferença Δy/Δx é chamado taxa de
variação de y em relação a x no intervalo [x1, x2].
Quando Δx tende a 0 temos a taxa de variação instantânea
de y em relação a x, então
€
lim
Δx → 0Δy
Δx
= f '(a) = lim
h → 0f (a + h) − f (a)
h
A derivada como uma Função
Anteriormente consideramos a derivada de uma função f
em um número fixo a:
Agora mudaremos nosso ponto de vista e vamos variar o
número a, substituindo-o por uma variável x:
Para qualquer número x para o qual esse limite exista,
atribuímos um número f’(x).
Assim, temos uma nova função f’ chamada derivada de f.
0
(
)
( )
'( )
lim
hf a h
f a
f a
h
→+
−
=
0(
)
( )
'( )
lim
hf x h
f x
f x
h
→+
−
=
A derivada como uma Função
A nova função f’ (derivada de f) possui como domínio o
conjunto {x | f’(x) existe}. Inclusive, este domínio pode ser menor que o domínio de f(x).
Exemplo: qual a derivada e o domínio de f(x)=√x?
O domínio de f(x) é x∈ [0, +∞), enquanto que o domínio de f’(x) é
x∈ ]0, +∞). 0 0 ( ) ( ) '( ) lim lim h h f x h f x x h x f x h h → → + − + − = = hlim0 x h x x h x h x h x → " + − + + # = && ⋅ '' + + ( )
(
)
0 0 ( ) 1 lim lim h h x h x x h x h x h x → → + − = = + + + + 1 1 2 x x x = = +A derivada como uma Função
Observando o gráfico de f(x) e f’(x), temos
Quando x está próximo de 0, então f(x) também está e f’(x) se torna muito grande. Isto corresponde a retas tangentes muito íngremes próximas de (0, 0); A função cresce muito rápido para valores de x próximos de 0.
A derivada como uma Função
Observando o gráfico de f(x) e f’(x), temos
Quando x é grande, f(x) também é e f’(x) se torna muito pequeno. Isto corresponde a retas tangentes próximas da horizontal; Isto corresponde a um crescimento muito lento.
A derivada como uma Função
Exemplo: para a função f(x) apresentada no gráfico abaixo,
A derivada como uma Função
Notamos que em 3 pontos A, B e C a inclinação é 0;
Para o ponto P(5, f(5)) podemos estimar f’(5) = 1,5;
Antes do ponto A e entre B e C, f(x) decresce;
A derivada como uma Função
Exemplo: se f(x) = x3-x, encontre um fórmula para f’(x)
(
) (
3)
3 0 0(
)
( )
'( ) lim
lim
h hx h
x h
x
x
f x h
f x
f x
h
h
→ →"
+
−
+
# "
−
−
#
%
&
+
−
%
&
=
=
3 2 2 3 3 03
3
lim
hx
x h
xh
h
x h x
x
h
→+
+
+
− − −
+
=
2 2 3 2 2 0 03
3
lim
lim(3
3
1)
h hx
xh
h
h
x
xh h
h
→ →+
+
−
=
=
+
+
−
23
x
1
=
−
A derivada como uma Função
Função Diferenciável
Uma função f é derivável ou diferenciável em a se f’(a) existir.
Uma função f é derivável ou diferenciável em um intervalo aberto (a, b) se for diferenciável em cada número do
Função Diferenciável
Onde a função f(x) = |x| é diferenciável?
Se x > 0, então |x|=x e |x+h| = x+h. Conseqüentemente, para x>0 temos
Então, para qualquer x > 0, f(x) = |x| é diferenciável.
(
)
0 0 0 0
'( ) lim
lim
lim
lim1 1
h h h h
x h
x
x h
x
h
f x
h
h
h
→ → → →+
−
+
−
=
=
=
=
=
Função Diferenciável
Se x < 0, então |x|=-x e |x+h| = -(x+h). Conseqüentemente, para x<0 temos
Então, para qualquer x < 0, f(x) = |x| é diferenciável.
0 0 0 0
(
) (
)
'( ) lim
lim
lim
lim( 1)
1
h h h hx h
x
x h
x
f x
h
h
h
h
→ → → →+
−
−
+
− −
=
=
−
=
=
−
= −
Função Diferenciável
Para x = 0, vamos calcular os limites laterais:
Uma vez que os limites laterais são diferentes, f’(0) não existe.
Logo, f é diferenciável para todo x, exceto x = 0.
0 0 0 0
0
0
lim
lim
lim
lim 1 1
h h h h
h
h
h
h
h
h
+ + + + → → → →+
−
=
=
=
=
0 0 0 00
0
lim
lim
lim
lim ( 1)
1
h h h h
h
h
h
h
h
h
− − − − → → → →+
−
−
=
=
=
− = −
Função Diferenciável
Então, f’ é dada por:
'( )
1
0
1
0
if x
f x
if x
>
!
= "
−
<
$
Função Diferenciável
Tanto diferenciabilidade quanto continuidade são
propriedades desejáveis em uma função. O seguinte teorema mostra como estas duas propriedades estão relacionadas:
Teorema: se f for diferenciável em a, então f é contínua em a.
OBS: a recíproca não é verdadeira. EX: f(x) = |x| é contínua em
Função Diferenciável
Para demonstrar este teorema, temos que mostrar que
Fazemos isso mostrando que a diferença f(x)-f(a) tende a 0,
quando x tende a a.
A informação dada é que f é diferenciável em a. Então
existe
lim ( )
( )
x a→f x
=
f a
( )
( )
'( ) lim
x af x
f a
f a
x a
→−
=
−
Função Diferenciável
Para mostrar que f(x)-f(a) tende a 0, quando x tende a a,
fazemos
Usando as propriedades, fazemos
Assim vemos que
( )
( )
( )
( )
f x
f a
(
)
f x
f a
x a
x a
−
−
=
−
−
( )
( )
lim[ ( )
( )] lim
(
)
x a x af x
f a
f x
f a
x a
x a
→ →−
−
=
−
−
( )
( )
lim
lim(
)
x a x af x
f a
x a
x a
→ →−
=
⋅
−
−
=
f a
'( ) 0 0
⋅ =
lim ( )
( )
x a→f x
=
f a
Função Diferenciável
Como pode uma função não ser diferenciável?
A primeira possibilidade é quando o gráfico da função possuir
uma “quina” ou uma “dobra”, então não há tangente neste ponto. Ao tentar calcular f’(a) vamos descobrir que os limites laterais de são diferentes, como no exemplo de f(x) = |x|;
A segunda possibilidade vem do teorema que relaciona
diferenciabilidade e continuidade, se f for descontínua em a, então não será diferenciável em a;
A terceira possibilidade surge quando a curva tem uma reta
tangente vertical em x = a, isto é, f é contínua em a e
isto é a reta tangente fica cada vez mais íngreme quando
€
lim
x → a
| f '(x) |= ∞
€
Função Diferenciável
As alternativa para uma função não ser diferenciável são
Derivada de Ordem Mais Alta
Se f for uma função diferenciável, então f’ também será
uma função, a qual pode ter sua própria derivada, denotada por (f’)’=f’’, que é chamada de segunda
derivada ou derivada de ordem dois de f.
O mesmo pode ser aplicado a derivadas de ordem três, f’’’,
ou de ordem quatro, f(4), ou de ordem cinco, f(5), ...
Em geral, a n-ésima derivada de f é denotada por f(n) e é
obtida a partir de f derivado n vezes. Outra notação possível é
€
d
dx
...
d
dx
df (x)
dx
"
#
$
%
&
'
"
#
$
%
&
'
"
#
$
%
&
'
"
#
$
%
&
' =
d
ndx
nf (x)
Derivada de Ordem Mais Alta
Exemplo:
se s(t) for uma função que representa a posição de um objeto
que se move, sabemos que sua primeira derivada representa a velocidade instantânea v(t) do objeto como função do tempo:
A taxa de variação da aceleração é definida como a
aceleração a(t) do objeto em função do tempo. Assim, a aceleração é a primeira derivada da velocidade e, por conseguinte, é a segunda derivada da função posição:
€
v(t) = s'(t) =
d
dt
s(t)
€
a(t) = v'(t) = s''(t) =
d
2dt
2s(t)
Derivada de Ordem Mais Alta
Qual a segunda derivada de f(x)=x3-x?
Sabemos a primeira derivada f’(x)=3x2-1. Então a segunda
derivada será 0 2 2 2 2 2 0 0 0
