Matemática FÍS QUÍ BIO LPO HIS GEO FIL SOC RES

M AT M AT M AT M AT M AT M AT M AT M AT M AT M AT

BIO

GEO QUÍ

LPO

FIL HIS

SOC

Matemática

211

212

RES FÍS

Capítulo 6 ... 8

Módulo 19 ... 13

Capítulo 7 ... 16

Módulo 20 ...36

Módulo 21 ...39

Módulo 22 ... 45

Módulo 23 ... 49

Módulo 24 ...53

1. Introdução 10 2. Sentenças matemáticas 10 3. Equação matemática 10 4. Solução ou raiz de uma equação 10 5. Conjunto solução 10 6. Equações equivalentes 10 7. Resolver uma equação 10 8. Equação do 1^o grau 11 9. Resolvendo uma

equação do 1^O grau 11

10. Problema matemático 11 11. Equacionar um

problema matemático 11 12. Passos para resolver

um problema matemático 11 13. Organizador gráfico 12 Módulo 19 – Equação do 1^o grau 13

• Identifi car uma raiz de uma equação do 1^o grau.

• Resolver uma equação do 1^o grau.

• Resolver problemas utilizando equa- ções do 1^o grau.

9

Uma importante habilidade matemática é a capacidade de traduzir problemas do cotidiano para equações matemáticas. Dessa forma, ao rever a equação do 1

^o

grau, resolveremos várias situações-problema, in- clusive concluir que o valor não mencionado como entrada no plano de pagamento apresentado na peça publicitária retratada é R$20.446,00.

Equação do 1 ^o grau 6

6 211 Matemática 10 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-40

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1. Introdução

12 kg

Imagine o seguinte problema: em um dos pratos de uma balança, há um peso que tem 12 kg e, no outro, seis bolas esféricas idênticas em forma, tamanho e massa. Consideran- do a balança equilibrada, como podemos calcular a massa de cada bolinha?

Esse problema pode ser resolvido mentalmente por ten- tativa e erro, mas optaremos por um processo algébrico.

Vamos chamar de x a massa de cada bolinha.

Como a balança está em equilíbrio, temos que a soma de x seis vezes é equivalente a 12 kg.

Algebricamente: 6x = 12.

Temos aqui um caso de equação, em particular, equação do 1^o grau.

A resolução dessa equação é feita dividindo-se os dois membros da igualdade por 6.

6 12 6 12 2

6 6 x= ⇒ x= ⇒ =x

Dessa forma, cada bolinha tem massa de 2 kg.

2. Sentenças matemáticas

Considere as igualdades a seguir:

I. 5 + 7 = 11 II. 5 + 7 = 12 III. x + 7 = 11

Essas igualdades representam sentenças matemáticas.

As duas primeiras são sentenças matemáticas fecha- das, pois admitem uma e somente uma das classificações:

verdadeira ou falsa. A primeira é falsa e a segunda, verdadeira.

Em relação à terceira igualdade, não podemos atribuir uma das classificações, verdadeira ou falsa, uma vez que não temos o conhecimento do valor de x. Tais sentenças são chamadas de sentenças matemáticas abertas. Nessas, a letra que repre- senta valor não conhecido é chamada de incógnita ou variável.

Ao atribuir um valor para a variável, a sentença pode tornar-se falsa ou verdadeira. Por exemplo, na igualdade III, se atribuir- mos a ela valor 3 para a letra x, a sentença será falsa; contudo, se atribuirmos o valor 4, a sentença será verdadeira.

3. Equação matemática

As equações matemáticas são sentenças matemáticas abertas com uma ou mais variáveis.

Exemplos

A expressão que aparece do lado esquerdo da igualdade é chamada de 1^o membro, e a do direito é o 2^o membro. Na equação 2 + x = 5, o primeiro membro é a expressão 2 + x, e o segundo membro, a expressão dada pelo número 5.

4. Solução ou raiz de uma equação

Dada uma equação de uma variável, chamamos de solu- ção ou raiz da equação um número do conjunto universo em que a equação está definida, que, substituído no lugar da variá- vel, transforma a sentença matemática aberta em uma senten- ça matemática fechada e verdadeira. De forma simplificada, dizemos que a raiz é um número que, quando colocado no lugar da incógnita, faz com que a nova igualdade se torne verdadeira.

O conjunto universo é o conjunto constituído de todos os possíveis valores que a variável pode assumir.

Exemplo

Verifique se os números 3 e 5 são raízes da equação 2 + x = 5, definida no conjunto dos números reais.

Resolução

Ao substituir a letra x pelo número 3, obtemos 2 + 3 = 5, que é uma igualdade verdadeira, portanto 3 é uma raiz.

Ao substituir a letra x pelo número 5, obtemos 2 + 5 = 5, que é uma igualdade falsa, portanto 5 não é uma raiz.

Resposta

3 é raiz e 5 não é raiz.

5. Conjunto solução

É o conjunto constituído de todas as raízes (soluções) da equação. Também é conhecido como conjunto verdade.

Exemplo

O conjunto solução da equação 2 + x = 5 é S = {3}.

6. Equações equivalentes

Duas equações serão chamadas de equivalentes se pos- suírem o mesmo conjunto solução.

Exemplo

As equações 2 + x = 5 e x = 5 – 2 são equivalentes, pois ambas têm, como conjunto solução, S = {3} .

7. Resolver uma equação

Resolver uma equação é encontrar o seu conjunto solução.

Para encontrar todas as raízes de uma equação, geral- mente é necessário transformar a equação original em outras equivalentes na forma mais simples.

Os dois teoremas a seguir transformam uma equação em uma nova equação equivalente.

Para indicar a equivalência, será utilizado o símbolo ⇔. Teorema 1: somar ou subtrair, em ambos os membros da igualdade, um mesmo número do conjunto universo.

a = b ⇔ a + c = b + c oua = b ⇔ a − c = b + c

Teorema 2: multiplicar ou dividir, em ambos os membros da igualdade, um mesmo número, não nulo, do conjunto universo.

a. 2 + x = 5 b. x² = 4 c. 1 2 x=

d. 2^x = 4 e. 0 ⋅ x = 0 f. 0 ⋅ x = 5 g. x x=

6 211 Matemática 11 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-40

211 Matemática 11 Matemátic a e suas T ecnologias

a = b ⇔ a ⋅ c = b ⋅ c, c ≠ 0 ou

a b a

c b c c

= ⇔ = , ≠0 Exemplo

2 5 8 2 5 5 8 5 2 3 2

2 3

2 3

x+ = ⇔ + − = − ⇔ = ⇔x x x= ⇔ =x 2 Observar que foi aplicado o primeiro teorema ao subtrair 5 dos dois membros da igualdade, e o segundo teorema, quando os dois membros foram divididos por 2. Da última equivalência temos x=3

2 , que é a raiz da equação 2x + 5 =8.

8. Equação do 1

^o

grau

Há diversos tipos de equações, porém é possível organizar em grupos as equações que possuem características comuns.

O grupo mais simples é o da equação do 1^o grau em , que é constituído de equações que podem ser escritas na forma a ⋅ x + b = 0, a ≠ 0, no conjunto universo dos números reais, isto é, a variável x e as constantes a e b são números reais.

9. Resolvendo uma equação do 1

^O

grau

Para resolver uma equação do 1^o grau, fazemos uso dos teoremas de equivalência apresentados anteriormente.

Dada a equação na forma a ⋅ x + b = 0, a ≠ 0, segue que:

a ⋅ x + b = 0

a ⋅ x + b − b = 0 − b (teorema 1: subtrair b dos dois membros) a ⋅ x = − b

a x a

b

⋅ = −a (teorema 2: dividir por a os dois membros)

x b

= −a (raiz da equação)

S b

= −

{ }

a

Observar que as passagens são rápidas e é conveniente aplicá-las nos exercícios, evitando a memorização da resposta.

10. Problema matemático

Proposta em forma de texto escrito ou oral, que apresenta uma situação que deve ser resolvida pelo raciocínio e conteú- dos matemáticos necessários. Um problema matemático pode ter uma solução, mais de uma solução ou não ter solução.

11. Equacionar um problema matemático

Transformar um problema proposto na língua pátria –, no nosso caso, o Português –, em linguagem matemática, utilizando números, incógnitas representadas por letras que indicarão os va- lores a serem encontrados, operações e símbolos matemáticos.

Exemplo

Considere a sentença:

A soma de dois números é 120, e o maior deles é o do- bro do menor.

Indicando o menor número por x e o maior por y, temos:

O maior é o dobro do menor: y = 2x (I)

A soma dos números é 120: x + y = 120 (II) Substituindo (I) em (II):

x + 2x = 120 3x = 120

Uma das possíveis equações é 3x = 120.

A partir dela, podemos encontrar os números mencionados.

12. Passos para resolver um problema matemático

• Localizar no enunciado o que se procura, indicado por uma letra, a incógnita (pode haver mais de uma).

• Equacionar o problema traduzindo seus dados para uma ou mais equações.

• Resolver essa(s) equação(ões).

• Verificar os valores obtidos, identificando quais deles satisfazem as condições do problema.

• Apresentar a resposta do problema.

Exemplo

O preço de uma calça excede o preço de uma camiseta em R$ 300,00. Juntas custam R$ 400,00. Determine o preço da calça.

Resolução

Organizar as informações em uma tabela.

1^o modo

Produto Preço

Camiseta x

Calça x + 300 (o preço da calça excede em R$300,00 o da camiseta

Juntas custam R$ 400,00:

x x x x x

+ + =

= −

=

= =

300 400

2 400 300

2 100

100

2 50

Preço da camiseta: R$ 50,00.

Preço da calça: R$ 50,00 + R$ 300,00 = R$ 350,00 Resposta

A calça custa R$ 350,00.

2^o modo

Produto Preço

Camiseta x

Calça y

I. x + y = 400 (juntas custam R$ 400,00)

II. y = x + 300 (o preço da calça excede o da camiseta em R$ 300,00)

Substituindo (II) em (I) vem:

x x xx x + + =

= −

=

= =

300 400 2 400 300 2 100

100

2 50

Preço da camiseta: R$ 50,00.

Preço da calça: y = R$ 50,00 + R$ 300,00 = R$ 350,00 Resposta

A calça custa R$ 350,00.

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01.

Resolver em  a equação x− + =2

5 1

2 8

Resolução

x x

x x x x

− + = ⇒ −2

( )

^{⋅ +} _{= ⇒ −}

( )

⋅ + = ⇒ − = − ⇒ = ⇒ =

5 1

2 8 2 2 5

10 80

10 2 2 5 80 2 4 80 5 2 79 779

2 79

S=

{ }

2 02.

Yasmin, ao sair de casa, tinha em sua bolsa moedas, todas de mesmo valor. Entrou em uma loja e deixou metade delas na compra de um produto A. Em seguida, gastou a metade das moedas que sobraram na compra de um produto B, em outra loja, ficando com exatamente 30 moedas. Com quantas moedas Yasmin saiu de casa?

Resolução

Inicial 1^a compra 1^a sobra 2^a compra 2^a sobra

Moedas x x

2

( )

x x−^{2 =}x²

( )

^x2_{2 =}^x_{4 2 4 4}^{x x x− = =30}

x x x 4 30

30 4 120

=

= ⋅=

APRENDER SEMPRE

1

13. Organizador gráfico

A. Equação do 1^o grau

Raiz b a

Conjunto solução

b a

Resolver situação-problema S = –

–

x=

Equação do 1^o grau ax + b = 0; a ≠ 0

aeb : coeficientes reais x : variável

6 211 Matemática 13 Matemátic a e suas T ecnologias

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Módulo 19

Equação do 1

^o

grau

Exercícios de Aplicação

01.

Resolver em  a equação x+ + − =1 x 2

5 3 1 .

02. UFF-RJ

Colocando-se 24 litros de combustível no tanque de uma caminhonete, o ponteiro do marcador, que indicava 1

4 do tan- que, passou a indicar 5

8 .

Determine a capacidade total do tanque de combustível da caminhonete. Justifique sua resposta.

03. Enem

O salto triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. O salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada, ele cairá com o outro pé, com o qual o salto é realizado.

Disponível em: <www.cbat.org.br>. Adaptado.

Um atleta da modalidade salto triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o se- gundo salto, o alcance diminuía 1,5 m.

Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e consi- derando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre:

a. 4,0 m e 5,0 m.

b. 5,0 m e 6,0 m.

c. 6,0 m e 7,0 m.

d. 7,0 m e 8,0 m.

e. 8,0 m e 9,0 m.

Resolução

x x x x

x x x x

+ + − = ⇒ +

( )

^{⋅ + −}

( )

^⋅ _{= ⇒}

⇒ +

( )

^{⋅ + −}

( )

^{⋅ = ⇒ + +}

1

2 5

3 1 1 3 5 2

6 6

1 3 5 2 6 3 3 2 −− = ⇒6

⇒ − = ⇒ = ⇒ =

=

{ }

10 6

5 7 6 5 13 13

13 5 5

x x x

S

Resolução

Capacidade total do tanque: x 1

4 de x + 24 litros = de x 5 8

x x

x x

x x

x x x

4 24 58 2 192

8 5

2 5 1928

3 192 1

192 643 + =

+ =

− = −

− = − −

=

=

( )

A capacidade total do tanque é de 64 litros.

Resolução 1^o salto: x m 2^o salto:(x − 1,2) m 3^o salto:(x − 1,2 − 1,5) m x + (x − 1,2) + (x − 2,7) = 17,4 3x = 21,3 ⇒ x = 7,1 m Alternativa correta: D Habilidade

Resolver problemas utilizando equações do 1^O grau.

6 211 Matemática 14 Matemátic a e suas T ecnologias

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Exercícios Extras

04. FGV-SP

Um feirante vende maçãs, peras e pêssegos, cobrando certo preço por unidade de cada tipo de fruta. Duas maçãs, três peras e quatro pêssegos custam R$ 13,00; três maçãs, uma pera e cinco pêssegos custam R$ 11,50.

Se o preço de cada pera for R$ 2,00, podemos afirmar que o preço de seis maçãs, seis peras e seis pêssegos é:

05. PUC-RJ

Que número deve ser somado ao denominador da fração 1

8 para que a fração tenha uma redução de 20%?

a. 2 b. 3 c. 5 d. 8 e. 13 a. R$ 27,00

b. R$ 26,50 c. R$ 26,00

d. R$ 25,50 e. R$ 25,00

Seu espaço

Exercícios Propostos

Da teoria, leia os tópicos de 1 a 12

Exercícios de tarefa reforço aprofundamento

06.

Resolver em  as equações:

a. 3x − 2 = 0 b. x x x

3 4 5+ + =2

07. FGV-SP

Em uma escola, a razão entre o número de alunos e o de professores é de 50 para 1.

Se houvesse mais 400 alunos e mais 16 professores, a razão entre o número de alunos e o de professores seria de 40 para 1.

Podemos concluir que o número de alunos da escola é:

a. 1 000 b. 1 050 c. 1 100

d. 1 150 e. 1 200 Sobre o módulo

Neste módulo, apresentamos uma revisão sobre equa- ção do 1^o grau e aplicações. É um bom momento para traba- lharmos uma das dificuldades dos alunos, o equacionamento de problemas, que exige a tradução da linguagem coloquial para a linguagem matemática, implementando a interpreta- ção de textos. Bom trabalho!

Estante

AUGUSTO, Celina. Com a ajuda da balança. Revista do Pro- fessor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, n.

3. p. 29-30, 1983.

GUELLI, Oscar. Visualizando as equações. Revista do Pro- fessor de Matemática, Sociedade Brasileira de Matemática, n.16. p. 29-35, 1990.

Dois artigos que tratam da resolução da equação do 1^o grau. O primeiro compara os dois membros da equação aos pratos de uma balança (daquelas antigas). O segundo utiliza a álgebra geométrica.

6 211 Matemática 15 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-40

08. FGV-SP modificado

Por volta de 1650 a.C., o escriba Ahmes resolvia equações como x + 0,5x = 30, por meio de uma regra de três, que cha- mava de “regra do falso”. Atribuía um valor falso à variável, por exemplo, x = 10 , 10 + 0,5 ⋅ 10 = 15, e montava a regra de três:

Valor falso Valor verdadeiro x

x x

10

15 30

10

15 30= → =20

Resolva este problema do Papiro Ahmes pelo método anterior:

“Uma quantidade, sua metade, seus dois terços, todos juntos somam 26.” Qual é a quantidade?

09.

Na equação do primeiro grau 0,2 ⋅ x + k = 3 , k é um parâ- metro real e 10 é a raiz da equação. O valor de k é:

a. – 1 b. 0 c. 1 d. 2 e. 3 10.

Resolver em  as equações:

a. 5x + 2 = 8 b. x x

2 3− =5 11.

A soma das idades de Pérola e Esmeralda é 23 anos. Pé- rola é a mais velha e sua idade excede a de Esmeralda em 3 anos. Determine a idade de Pérola.

12. Vunesp

Uma estrada foi percorrida por um ciclista em dois dias.

No primeiro dia percorreu 0,35 da estrada pela manhã, 1 5 à tarde e 15

100 à noite.

A parte da estrada que deixou para percorrer no dia se- guinte foi de:

a. 0,7 b. 0,3 c. 0,35 d. 2

10 e. 75

100 13. UFMG

De um recipiente cheio de água tiram-se 2

3 de seu con- teúdo. Recolocando-se 30 de água, o conteúdo passa a ocu- par a metade do volume inicial. A capacidade do recipiente é:

a. 45 b. 75 c. 120 d. 150 e. 180 14. FGV-SP

Marta quer comprar um tecido para forrar uma superfície de 10 m². Quantos metros, aproximadamente, ela deve com- prar de uma peça que tem 1,5 m de largura e que, ao lavar, encolhe cerca de 4% na largura e 8% no comprimento?

Aproxime a resposta para o número inteiro mais próximo.

?

1,5 m

15. FGV-SP

No seu livro Introdução à àlgebra, Leonhard Euler propõe um curioso e interessante problema aos leitores:

Duas camponesas juntas carregam 100 ovos para vender em uma feira e cada uma vai cobrar seu preço por ovo. Embo- ra uma tivesse levado mais ovos que a outra, as duas recebe- ram a mesma quantia em dinheiro. Uma delas disse, então:

— Se eu tivesse trazido o mesmo número de ovos que você trouxe, teria recebido 15 kreuzers (antiga moeda austríaca).

Ao que a segunda respondeu:

— Se eu tivesse trazido a quantidade de ovos que você trouxe, teria recebido 20

3 kreuzers.

Releia o texto com atenção e responda à questão:

Quantos ovos carregava cada uma?

16. PUC-SP

Vítor e Valentina possuem uma caderneta de poupança conjunta. Sabendo que cada um deles dispõe de certa quan- tia para, numa mesma data, aplicar nessa caderneta, conside- re as seguintes afirmações:

• se apenas Vítor depositar nessa caderneta a quarta parte da quantia de que dispõe, o seu saldo duplicará;

• se apenas Valentina depositar nessa caderneta a me- tade da quantia que tem, o seu saldo triplicará;

• se ambos depositarem ao mesmo tempo as res- pectivas frações das quantias que têm, menciona- das nos itens anteriores, o saldo será acrescido de R$ 4.947,00.

Nessas condições, se nessa data não foi feito nenhum saque de tal conta, é correto afirmar que:

a. Valentina tem R$ 6.590,00.

b. Vítor tem R$ 5.498,00.

c. Vítor tem R$ 260,00 a mais que Valentina.

d. o saldo inicial da caderneta era R$ 1.649,00.

e. o saldo inicial da caderneta era R$ 1.554.00.

Aurora Boreal 100 km

Space Shuttle

Chuva de Meteoros

Balão

Meteorológico Aurora Boreal

100 km

Aurora Boreal Aurora Boreal

60 0 km

Ex os fe ra 10 .0 00 k

m

Te rm os fe ra

85 k m

M es os fe ra

50 km

Es tra to sfe ra

Tro po pa us a

6- 20 km

Tro po sfe ra

SAULO MICHELIN / PEARSON BRASI

1. Função polinomial

do primeiro grau (função afim) 18 2. Gráfico da função

afim e da função constante 19 3. Função linear – Proporcionalidade 27 4. Estudo dos sinais – Inequações 28 5. Inequações produto ou quociente 32 6. Algumas aplicações

práticas de função do primeiro grau 34 7. Organizador gráfico 35 Módulo 20 – Função polinomial

do primeiro grau (função afim) 36 Módulo 21 – Gráfico da função

afim e da função constante 39 Módulo 22 – Função linear –

Proporcionalidade 45 Módulo 23 – Estudo dos sinais – Inequações 49 Módulo 24 – Inequações

produto ou quociente 53

00 km

os fe ra 00

km os fe m ra er

• Descrever as características fundamentais da função do primeiro grau, relativas ao gráfi co, crescimento / decrescimento, taxa de variação.

• Identifi car uma função linear a partir de sua representação gráfi ca.

• Identifi car os intervalos em que uma função do primeiro grau é positiva ou negativa, relacionando com a solução algébrica de uma inequação.

• Representar grafi camente funções do primeiro grau.

• Reconhecer funções do primeiro grau crescentes ou decrescentes.

• Utilizar a função linear para representar relações entre grandezas diretamente proporcionais.

• Resolver inequação que envolva função do primeiro grau.

• Resolver problemas que envolvam inequações do primeiro grau.

• Resolver situação-problema que envolva função do primeiro grau.

Aurora Boreal 100 km

Space Shuttle

Chuva de Meteoros

Balão

Meteorológico Aurora Boreal

Aurora Boreal

60 0 km

Ex os fe ra 10 .0 00 k

m

Te rm os fe ra

85 k m

M es os fe ra

50 km

Es tra to sfe ra

Tro po pa us a

6- 20 km

Tro po sfe ra

SAULO MICHELIN / PEARSON BRASI

17

Dentre as camadas da atmosfera, é na troposfera que ocorrem os fenômenos que afetam o clima, como ventos, furacões, nuvens, chuvas, granizos, neve.

Estendendo-se até aproximadamente 17 km de altitude, nela a temperatura diminui cerca de 6 °C a cada quilômetro que aumentamos na altitude.

Admitindo que a diminuição da temperatura seja gradativa à medida que a altitude au- menta e conhecendo a temperatura ao nível do mar de determinado local sobre a superfície terrestre, a aplicação do conceito de função afim possibilita calcular a temperatura externa de um avião, por exemplo, a 11 quilômetros de altitude.

Função polinomial do primeiro grau

ou função a fim 7

7 211 Matemática 18 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-40

1. Função polinomial do primeiro grau (função afim)

A. Introdução

ARTISTICCO / SHUTTERSTOCK

Geralmente, o preço da corrida de táxi é calculado da se- guinte forma: a um valor fixo, chamado bandeirada, acrescen- ta-se o produto da quantidade de quilômetros rodados pelo valor do quilômetro rodado.

Qual seria o preço de uma corrida de 21 km, supondo que o valor da bandeirada seja R$ 3,60 e o preço por quilômetro rodado, R$ 1,50?

Para resolvermos esse problema, basta multiplicar o preço do quilômetro rodado pelo número de quilômetros ro- dados, e, por fim, somarmos o valor da bandeirada. Assim, o preço P é dado por:

Preço fixo: R$ 3,60 Acréscimo: R$ 1,50 ⋅ 21

Preço final: P = 1,50 ⋅ 21 + 3,60 = R$ 35,10

Denotando por P o preço da corrida e por x os quilômetros rodados, podemos estabelecer uma relação genérica entre P e x.

P = 3,60 + 1,5 ⋅ x

Essa relação é uma função, pois, para cada quilômetro ro- dado, haverá um único valor a ser pago. Acrescente-se ainda que essa função possui x como variável, ou seja, P depende de x, ou melhor, P está em função de x, e a sentença matemá- tica pode ser expressa por:

P(x) = 3,60 + 1,5 ⋅ x

Assim, com o preço da corrida de táxi e sua quilometragem, poderíamos estudar diversas relações que têm como caracte- rística um valor fixo mais um acréscimo, ou decréscimo, de acordo com a variável em questão. Bons exemplos disso são os salários de alguns vendedores, que, geralmente, são com- postos por salário inicial fixo e uma porcentagem em cima da venda. Numericamente, se um vendedor ganhasse salário fixo de R$ 500,00 e, além disso, uma comissão de 2% em cima do total de vendas, poderíamos calcular seu salário pela fórmula:

S(x) = 500 + 0,02 ⋅ x

sendo x o valor total das vendas e S, o salário do vendedor.

B. Definição

As duas situações citadas anteriormente são exemplos que permitem a generalização das funções encontradas em um grupo denominado função do primeiro grau.

Chamamos de função do primeiro grau à função que tem como domínio o conjunto dos números reais e como contra- domínio também o conjunto dos números reais, podendo ser definida por f(x) = ax + b, a ≠ 0 , em que a e b são números reais e x é a variável livre da função.

A notação f(x) = ax + b também pode ser expressa por y = ax + b . As duas notações a seguir são equivalentes.

f: →

x → f(x) = ax + b, a ≠ 0 ou

f: →

x → y = ax + b, a ≠ 0

Ressaltemos que o nome “primeiro grau” está vinculado ao fato de a variável x aparecer somente com o expoente igual a “1”.

A constante que multiplica a incógnita x, no caso o núme- ro real a, é chamada de coeficiente angular, e b é denomina- do coeficiente linear ou termo independente.

A função do primeiro grau também pode ser chamada de função afim.

Exemplo

Determine o coeficiente angular e linear de uma função do primeiro grau que satisfaz f(0) = 1 e f(1) = 3.

Resolução f(x) = ax + b

f

f a b a b b

f

f a b a b

0 1

0 0 0 1 1

1 3

1 1 1 3

( )

⁼

( )

^{= ⋅ + }_⇒ ⋅ + = ⇒ =

( )

⁼

( )

^{= ⋅ + }_^{⇒ ⋅ + = ⇒⇒ + = ⇒ =a 1 3 a 2}

Resposta

O coeficiente angular é igual a 2 e o coeficiente linear é igual a 1.

C. Raiz da função do primeiro grau

Considere a função do primeiro grau definida por f(x) = ax + b, a ≠ 0.

a ⋅ α + b = 0 a ⋅α = – b α =–b

a

A raiz de f(x) = ax + b, a ≠ 0 é −b a. Exemplo

Determine a raiz da função do primeiro grau definida por f(x) = 3x – 5.

Resolução f(x) = 0 3x – 5 = 0 3x = 5 x=5

3

A raiz da função é x=5 3.

7 211 Matemática 19 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-40

01.

Dada a função do primeiro grau f:  → 

x → f(x) = –2x+ 3 determine:

a. f(0).

b. f(– 1).

c. x tal que f(x) = 1 . d. a raiz da função.

Resolução

a. f(0) = – 2 ⋅ 0 + 3 f(0) = 3

b. f(– 1) = – 2 ⋅ (– 1) + 3 f(– 1) = 2 + 3 f(– 1) =5 c. f(x) = 1

– 2 ⋅ x + 3 = 1 – 2 ⋅ x = 1 – 3 –2 · x = –2 2 ⋅ x = 2 x= ⇒ =2 x

2 1

d. f(x) = 0 – 2x + 3 = 0 – 2x = – 3 2x = 3

x=3 2

A raiz da função é 3 2. 02.

Em um dos planos de uma empresa de telefonia celu- lar, o cliente paga um valor fixo de R$ 80,00 por 100 minu- tos mensais e R$ 1,20 por minuto excedente. Determine:

a. a expressão f(x) que fornece o valor, em reais, a ser pago pelo cliente quando ele utiliza x minutos no mês, sendo x maior que 100;

b. o valor que o cliente pagará se usar 120 minutos no mês.

Resolução

a. Para x > 100, a quantidade de minutos excedentes é x – 100.

O valor a ser pago pelo uso excedente é dado por (x – 100) ⋅ 1,20.

Somando esse valor ao valor fixo de R$ 80,00, segue que:

f(x) = 80 + (x –100)⋅ 1,20 f(x) = 80 + 1,20 ⋅ x – 120 f(x) = 1,20 ⋅ x – 40 b. f(120) = 1,20 ⋅ 120 – 40

f(120) = 144 – 40 f(120) = 104

O cliente pagará R$ 104,00 se utilizar 120 minutos.

APRENDER SEMPRE

2

2. Gráfico da função afim e da função constante

A. Função constante

Uma função real pode ter uma única imagem. Tal função é denominada função constante. Dessa forma, ao apresentar a função na forma

f: → x→ f(x) = k

devemos interpretar que, para todo valor real x do domí- nio, o valor de sua imagem será sempre igual a k, sendo k uma constante, de onde se origina o nome função constante.

Observe que a função expressa por f(x) = ax + b represen- tará uma função constante quando b for igual a zero.

Para qualquer valor x do domínio real, o ponto (x, k) per- tencerá ao gráfico da função. Isso permite concluir que, unin- do todos os pontos do gráfico, teremos uma reta paralela ao eixo x, com ordenada igual a k.

f(x)

k

0 x

Como a função tem uma única imagem, o conjunto ima- gem será constituído de um único elemento, Im = {k}.

Exemplo

Esboce os gráficos das funções reais a seguir e determi- ne seus conjuntos imagem.

a. f(x) = 2 b. g(x) = – 1 c. h(x) = 0 Resolução

Como as funções são reais, o domínio é constituído dos possíveis valores reais para a variável x, no caso, todos os reais; e o contradomínio será .

a. f(x) = 2

f(x) 2

0 x

Domínio =, Im = {2} e CD =  Essa função não possui raízes.

7 211 Matemática 20 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-40

b. g(x) = – 1 g(x)

– 1

x 0

Domínio = , Im = {– 1} e CD =  Essa função não possui raízes.

c. h(x) = 0 h(x)

0 x

Domínio = , Im = {0} e CD = 

Todos os valores do domínio são raízes, pois todos pos- suem imagem igual a zero.

B. Gráfico da função do primeiro grau

Considere a função do primeiro grau definida por f(x) = 2x – 1. A tabela a seguir apresenta alguns valores do domínio da função e suas respectivas imagens.

x f(x) = 2x – 1 y

– 2 f(– 2) = 2 ⋅ (– 2) – 1 = – 5 – 5 – 1 f(– 1) = 2 ⋅ (– 1) – 1 = – 3 – 3

0 f(0) = 2 ⋅ (0) – 1 = – 1 – 1

1 f(1) = 2 ⋅ 1 – 1 = 1 1

2 f(2) = 2 ⋅ 2 – 1 = 3 3

3 f(3) = 2 ⋅ 3 – 1 = 5 5

A seguir, representaremos os pares ordenados (– 2, – 5), (– 1, – 3), (0, – 1), (1, 1), (2, 2) e (3, 5) por pontos no plano cartesiano.

y 3 2 1

–1 –2 –3 –4 –5

–2 –1

0 1 2 3 x

Pelos pontos representados no plano cartesiano anterior, há uma única reta que os contém simultaneamente. Essa reta é o gráfico da função f(x) = 2x – 1.

y 3 2 1

–1 –2 –3 –4 –5

–2 –1

0 1 2 3 x

É possível provar matematicamente que qualquer função do primeiro grau tem como gráfico uma reta oblíqua aos eixos coordenados.

Sendo o gráfico de uma função do primeiro grau uma reta, e considerando o postulado da geometria que diz: “dois pontos distintos determinam uma reta”, o que significa dizer que por dois pontos distintos há uma e somente uma reta passando por eles, podemos construir o gráfico da função do primeiro grau, conhe- cendo apenas dois pontos distintos da reta que o representa.

7 211 Matemática 21 Matemátic a e suas T ecnologias

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Exemplo

Esboce o gráfico das funções do primeiro grau definidas por:

a. f(x) = 3x –4 b. g(x) = – 2x + 5 Resolução

a. Como a função é do primeiro grau, o gráfico será uma reta e, portanto, para esboçar o gráfico, precisaremos de dois pontos distintos. Para descobrir dois pontos distintos, basta atribuir aleatoriamente dois valores distintos do domínio para a variável x e encontrar as respectivas imagens. Considere a tabela a seguir.

x f(x) = 3x – 4 y

1 f(1) = 3 ⋅ 1 –4 = – 1 –1

2 f(2) = 3 ⋅ 2 – 4 = 2 2

A reta procurada passará pelos pontos de coordena- das ( 1, – 1) e ( 2, 2 ).

y 3 2 1

–1 –2 –3 –4 –5

–2 –1

0 1 2 3 x

Em relação aos valores escolhidos para variável x, no caso x = 1 e x = 2, é importante ressaltar que essa escolha foi uma opção. Caso se escolhessem outros dois valores para x, o gráfico continuaria sendo a mesma reta.

b. Novamente, teremos como gráfico uma reta. Consi- dere os dois pontos distintos com base na tabela a seguir.

x g(x) = – 2x + 5 y

0 g(0) = – 2 ⋅ 0 + 5 = 5 5

3 g(3) = – 2 ⋅ 3 + 5 = – 1 – 1

O gráfico será a reta que passa pelos pontos de coordena- das (0; 5) e (3; –1) .

y 5 4 3 2 1

–1 –2 –3

–2 –1

0 1 2

3

x

C. Termo independente ou coeficiente linear Na função f(x) = 3x – 4 , a imagem de x = 0 é dada por:

f(0) = 3⋅ 0 – 4 = – 4

Dessa forma, o gráfico passará pelo ponto (0,– 4).

Observe:

y 3 2 1

–1 –2 –3 –4 –5

–2 –1

0 1 2 3 x

f(x) = 3x –4

7 211 Matemática 22 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-40

Na função g(x) = – 2x + 5, o gráfico passa pelo ponto (0; 5).

Observe:

y 5 4 3 2 1

–1 –2 –3

–2 –1

0 1 2

3

x g(x) = –2x + 5

Com as duas situações apresentadas, percebemos que a intersecção da reta com o eixo y se dá em um ponto com or- denada igual ao termo independente. Isso acontece porque, se substituirmos x = 0, em f(x) = ax + b, teremos f(0) = b, e, dessa forma, o ponto (0, b) indicará que o gráfico da função, a reta, sempre interceptará o eixo y (x = 0), em um ponto de ordenada b.

O termo independente b indica onde a reta “corta o eixo y”.

y

x y = ax + b

(0, b)

0

D. Interpretação geométrica da raiz da função do primeiro grau

Retomando as funções definidas por f(x) = 3x – 4 e g(x) = – 2x + 5 e , vamos calcular a raiz de cada uma delas.

Para calcular a raiz de f(x) = 3x – 4, fazemos f(x) = 0;

f(x) = 0 ⇒ 3x – 4 = 0 ⇒ 3x = 4 ⇒ x = 4 3 O ponto 4

3;0

( )

pertencerá ao gráfico da função, e isso significa que o gráfico interceptará o eixo x em um ponto de abscissa 4

3.

Observe o gráfico a seguir.

y 3 2 1

–1 –2 –3 –4 –5

–2 –1

0 1 2 3 x

43 raiz da função

Para obter a raiz de g(x) = – 2x + 5 , fazemos g(x) = 0.

g(x) = 0 ⇒ – 2x + 5 = 0 ⇒ 2x = 5 ⇒ x = 2,5.

O ponto (2,5; 0) pertencerá ao gráfico da função, e isso significa que o gráfico interceptará o eixo x em um ponto de abscissa 2,5 .

Observe o gráfico.

y 5 4 3 2 1

–1 –2 –3

–2 –1

0 1 2

3

x 2,5 raiz da função

Nas duas funções, observamos que o gráfico interceptou o eixo x em um ponto que tem abscissa igual à raiz da função.

Tal fato ocorre porque a raiz de f(x) = ax + b é um número real x₁ tal que f(x₁) = 0, sendo que x b

a

1= − , e isto implica que o ponto

( )

−^ba, 0 indicará que o gráfico de f(x) interceptará o eixo x(y = 0) em ponto de abscissa −b

a. A raiz x b

a

1= − indica onde a reta "corta o eixo x".

7 211 Matemática 23 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-40

y

x y = ax + b

b

b 0 –a

raiz da função

Vimos que o gráfico da função do primeiro grau definida por f(x) = ax + b, que é uma reta, intercepta o eixo y em um ponto de ordenada igual a b e intercepta o eixo x em ponto de abscissa igual à raiz −b

a . Como são necessários apenas dois pontos para determinar a reta, quando for possível, será conveniente utilizar os pontos (0, b) e

( )

−^ba,0 para esboçar o gráfico da função do primeiro grau.

Exemplo

Esboçar o gráfico da função real definida por f(x) = 2x – 6.

x y

0 – 6

3 0

y

x 3 0

–6

E. Crescimento e decrescimento de função Competição

No final de 2012, o Brasil somava mais de quatro mil em- presas autorizadas a prestar o Serviço de Comunicação Multi- mídia – crescimento de 31,25% em relação a 2011, conforme detalhado no gráfico a seguir.

4 079

2012 3 099

2011 2 498

2010 1 802

2009 1 208

2008 815

2007 562 2006 414 2005 298 2004 195 2003 66 2002 Autorizadas do SCM

Utilizando esse gráfico, é possível considerar a função que relaciona o número de empresas autorizadas (y) e o tempo (x). Observe a curva a seguir, que ilustra o gráfico da função.

4 079

2012 3 099

2011 2 498

2010 1 802

2009 1 208

2008 815

2007 562 2006 414 2005 298 2004 195 2003 66 2002 Autorizadas do SCM

Nesse gráfico, percebemos que o número de empresas (y) aumenta à medida que o tempo (x) aumenta. Temos aqui um exemplo de função crescente.

Na figura a seguir, está representado o preço de um con- sole de videogame, em função do tempo decorrido desde o seu lançamento.

3,00 2,75 2,50 2,25 2,00 1,75 1,50 1,25 1,00 0,75 0,50 0,25 0

0 3 6 9 12 15 t (meses)

p (milhares de reais)

No gráfico, observamos que, à medida que o tempo (x) aumenta, o preço p diminui. Aqui temos um exemplo de fun- ção decrescente.

Formalmente definimos:

Uma função f é dita crescente, em um subconjunto do domínio, se, e somente se, para todo x₁ e x₂ , pertencentes a esse subconjunto, tal que x₁ < x2 , tivermos f(x₁)< f(x2) .

y f(x₂)

f(x₁)

0 x₁ x₂ x

f(x)

x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)

7 211 Matemática 24 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-40

Uma função f é dita decrescente, em um subconjunto do domínio, se, e somente se, para todo x₁ e x₂ , pertencentes a esse subconjunto, tal que x₁ < x2, tivermos f(x₁) < f(x2).

y

f(x₁)

f(x₂)

0 x₁ x₂ x

f(x)

x₁ < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)

Uma função f é dita constante, em um subconjunto do domínio, se, e somente se, para todo x₁ e x₂, pertencentes a esse subconjunto, tal que x₁ < x2 , tivermos f(x₁) = f(x₂).

y

0 x₁ x₂ x

f(x₁) = f(x₂)

f(x)

F. Taxa de variação ou coeficiente angular Ao iniciarmos o estudo da função do primeiro grau, apre- sentamos um problema sobre a tarifa de um táxi, “Qual seria o preço de uma corrida de 21 km, supondo que o valor da bandei- rada seja R$ 3,60 e o preço por quilômetro rodado, R$ 1,50?”

Depois de o estudarmos, chegamos à conclusão de que o preço dessa tarifa é dado pela função P(x) = 3,60 + 1,5 ⋅ x, em que P é o preço da tarifa e x é o número de quilômetros rodados.

Como vimos anteriormente, o termo independente dessa função do 1^o grau é o valor de R$ 3,60 da bandeirada, mas o importante nesse momento é o preço por quilômetro rodado, ou seja, essa variação por unidade.

Dessa maneira, se o preço por quilômetro rodado for R$ 1,50, então, a cada aumento unitário da variável x (km), o preço aumentará 1,5 unidades. O gráfico do preço de uma corrida nesse táxi é uma semirreta indicando crescimento da função.

Essa variação por unidade, esse coeficiente que multipli- ca a variável é o coeficiente angular.

Estudemos a função f(x) = 2x + 1, cujo gráfico segue:

5

3

1

– 1 –1

1 2

–2

– 3

x y

0

Observe que, à medida que x cresce, o valor de y, da res- pectiva imagem, cresce também. A tabela a seguir facilita a percepção de como ocorre esse crescimento.

x Variação de x y = f(x) Variação de y

– 2 2 · (– 2) + 1 = – 3

– 1 2 · (– 1) + 1 = – 1

0 2 · (0) + 1 = 1

1 2 · (1) + 1 = 3

2 2 · (2) + 1 = 5

Pela tabela, podemos observar que cada unidade acres- cida em x implica duas unidades acrescidas em y. Isso ocorre porque o número que multiplica a variável x, o coeficiente an- gular da função de 1^o grau, é igual a 2.

Observe agora a função f(x) = 3x – 5 e a tabela a seguir.

x y = f(x)

0 3·(0) – 5 = – 5

1 3·(1) – 5 = – 2

2 3·(2) – 5 = 1

3 3·(3) – 5 = 4

4 3·(4) – 5 = 7

+1 +1 +1 +1

+3 +3 +3 +3

Analisando a tabela, percebemos que, a cada unidade acrescida em x, temos um acréscimo de três unidades em y. Isso ocorre porque o coeficiente angular dessa função do 1^o grau é igual a 3. Observe o gráfico e o crescimento.

+1 +1 +1 +1

+2 +2 +2 +2

7 211 Matemática 25 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-40

1

– 2

– 5 1

2 3 4

2 3 4 7

x

y f

0

Agora, estudemos a função g(x) = – x + 3, cujo coeficiente angular é negativo, e criemos a seguir uma tabela para melhor entender o comportamento dessa função.

x y = g(x)

– 1 –(– 1) + 3 = 4

0 –(0) + 3 = 3

1 –(1) + 3 = 2

2 –(2) + 3 = 1

3 –(3) + 3 = 0

+1 +1 +1 +1

–1 –1 –1 –1

Observe que cada acréscimo de uma unidade em x im- plica um decrescimento de uma unidade em y. Isso ocorre porque o coeficiente angular dessa função do 1^o grau é igual a – 1. Perceba o decrescimento no gráfico da função a seguir:

1

2 3

x

g y

2

1 3

4

–1 0

Por meio desses três exemplos, podemos concluir que quem determina o crescimento ou o decrescimento da fun- ção do primeiro grau é o coeficiente angular. Se ele for posi- tivo, as imagens crescem e, se for negativo, elas decrescem.

Note ainda que essa análise reforça a percepção de que o gráfico de uma função do primeiro grau é uma reta.

Resumindo:

f(x) = ax + b; a ≠ 0

a > 0 a < 0

x y

0 b

ba –

Crescente

x y

0 b

ba –

Decrescente D = CD = Im =  D = CD = Im = 

01.

Esboçar o gráfico das funções reais definidas por:

a. f(x) = 5 b. g(x) = 2x + 3 c. h(x) = x + 2 Resolução

a. A função é constante. Dessa forma, o gráfico será uma reta paralela ao eixo x passando na ordenada igual a 5.

f(x) 5

0 x

b. O gráfico é uma reta, uma vez que a função é do 1^o grau.

Raiz da função: g(x) = 0 2x + 3 = 0

x= −3 2

Considere a tabela a seguir.

x y

0 3

−3

2 ⁰

APRENDER SEMPRE

3

7 211 Matemática 26 Matemátic a e suas T ecnologias

EMI-15-40

O gráfico será a reta que passa pelos pontos de coorde- nadas (0; 3) e

( )

−^{32;0 .}

y 5 4 3 2 1

–1 –2 –3

–2 –1 0 1 2 x

32 –

c. Raiz da função: h(x) = 0 – x + 2 = 0 x = 2 Considere a tabela a seguir.

x y

0 2

2 0

O gráfico será a reta que passa pelos pontos de coorde- nadas (0; 2) e (2; 0).

y 5 4 3 2 1

–1 –2 –3

–2 –1 0 1 2 x

02.

Classifique em função crescente, decrescente ou constante cada função afim a seguir.

a. f(x) = 3x + 1 b. g(x) = – 2x + 3 c. h(x) = 4 d. u(x) = 2 – x e. s(x) = 3 + 2x

Resolução

a. O coeficiente angular da função do 1^o grau f(x) é igual a 3, que é um número positivo. Assim, a fun- ção é crescente.

b. O coeficiente angular da função do 1^o grau g(x) é igual a – 2, que é um número negativo. Assim, a fun- ção é decrescente.

c. A função é constante.

d. O coeficiente angular da função do 1^o grau u(x) é igual a – 1, que é um número negativo. Assim, a fun- ção é decrescente.

e. O coeficiente angular da função do 1^o grau s(x) é igual a 2, que é um número positivo. Assim, a fun- ção é crescente.

03. UFMG

Sendo a < 0 e b > 0, a única representação gráfica cor- reta para a função f(x) = ax + b é:

a. _y

x

b. ^y

x

c. y

x

d. y

x

e. _y

x

Resolução

Como a < 0, a função deve ser decrescente.

Como b > 0, a reta intercepta o eixo y na parte positiva (acima do eixo x).

Alternativa correta: A

7 211 Matemática 27 Matemátic a e suas T ecnologias

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04.

Observe o gráfico e determine:

s r

y

3

x 1

–2

0 1

as funções que representam as retas r e s;

o ponto de encontro de r e s.

Resolução

É importante observar que, se o gráfico for uma reta, então as funções que a representam serão funções do 1^o grau.

Assim, seja f(x) = ax + b a função que representa a reta r, que passa pelos pontos:

(0, 1) ⇒ f(0) = 1 ∴ f(0) = a ⋅ 0 + b = 1 ⇒ b = 1 e (1, 0) ⇒ f(1) = 0 ∴ f(1) = a ⋅ 1 + 1 = 0 ⇒ a = – 1 (f(x) é decrescente).

Assim, f(x) = – x + 1.

Seja g(x) = px + n a função que representa a reta s, que passa pelos pontos:

(0, 3) ⇒ g(0) = 3 ∴ b = 3 e,

(– 2, 0) ⇒ g(– 2) = 0 ∴ g(– 2) = p ⋅ (– 2) + 3 = 0 ⇒ p = 1,5 (g(x) é crescente). Portanto g(x) = 1,5x + 3.

Queremos encontrar o ponto de encontro entre r e s, ou seja, o único valor de x para que f(x) = g(x) ∴ – x + 1 = 1,5x + 3 ⇒ x = – 0,8

∴ f(– 0,8) = g(– 0,8) = 1,8. Assim, o ponto de en- contro é (– 0,8; 1,8).

3. Função linear – Proporcionalidade

A. Definição de função linear

É um caso particular da função do 1^o grau e ocorre quan- do b = 0, isto é, a função real definida por f(x) = ax, a ≠ 0, é chamada de função linear.

B. Proporcionalidade e a função linear

Considere a função linear f(x) = 2x e observe a tabela a seguir.

x f(x) = 2x y

1 f(1) = 2 ⋅ 1 = 2 2

2 f(2) = 2 ⋅ 2 = 4 4

4 f(2) = 2 ⋅ 4 = 8 8

5 f(2) = 2 ⋅ 5 = 10 10

5,5 f(2) = 2 ⋅ (5,5) = 11 11

6 f(2) = 2 ⋅ 6 = 12 12

Note que: 2

1 4

2 8

4 10

5 11

5 5 12

6 2

= = = = , = = .

Percebe-se, assim, que valores positivos do domínio e suas respectivas imagens são diretamente proporcionais, e a constante de proporcionalidade é igual a 2, que, no caso, é o coeficiente angular da função linear.

Em geral, dada uma função linear qualquer definida por f(x) = ax, a ≠ 0 , os valores positivos do domínio e as respec- tivas imagens são diretamente proporcionais, e a constante de proporcionalidade é o coeficiente angular a. Esse fato pode ser comprovado usando-se dois valores de domínios genéricos e positivos, por exemplo, x₁ e x₂, e suas respectivas imagens f(x₁) e f(x₂). Como f(x₂) é igual ax₂ , a divisão de f(x₂) por x₂ é igual a a; e, como f(x₁) é igual ax₁ , a divisão de f(x₁) por x₁ é igual a a, o que comprova a proporção e a constante de proporcionalidade.

Em contrapartida, se uma função f: ^* → +^* estabelecer proporcionalidade direta entre os valores do domínio e suas respectivas imagens, com a constante de proporcionalidade igual a a, então a sentença matemática é dada por f(x) = ax.

Isso ocorre porque, sendo valores do domínio e suas respecti- vas imagens diretamente proporcionais, a divisão de f(x) por x é igual à constante de proporcionalidade. Observe:

f x

x a f x ax

( )

_{= ⇒}

( )

=

Em uma função do 1^o grau f(x) = ax + b, com b ≠ 0, a pro- porcionalidade entre valores dos domínios e suas respectivas imagens não ocorre, mas as variações de x e as respectivas variações das imagens y são diretamente proporcionais, e a constante de proporcionalidade é a.

Considere uma função afim definida por f(x) = ax + b.

Temos f(x₁) = ax₁ + b f(x₂) = ax₂ + b

f(x₂) – f(x₁) = ax₂ + b – (ax₁ + b) f(x₂) – f(x₁) = ax₂ + b – ax₁ – b f(x₂) – f(x₁) = ax₂ – ax₁ f(x₂) – f(x₁) = a(x₂ – x₁)

f x f x x² x ¹ a

2 1

( )

⁻

( ) (

−

)

⁼

Dessa forma, verificamos que as variações das imagens e as variações dos valores do domínio que a originaram são diretamente proporcionais, e a constante de proporcionalida- de é igual ao coeficiente angular a.

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O gráfico da função linear sempre passará pelo ponto (0,0), origem do sistema cartesiano. Isso ocorre porque o ter- mo independente é igual a zero.

Exemplo

Esboçar o gráfico da função real definida por f(x) = 3x.

Resolução

Considere a tabela a seguir.

x y

0 0

1 3

y 5 4 3 2 1

–1 –2 –3

–2 –1 0

1 2 x

C. Função identidade

Há um caso particular de função linear denominada fun- ção identidade.

Sentença: f(x) = x, em que cada elemento tem como ima- gem ele mesmo.

D =  , CD =  e Im =  Gráfico

x f(x) = x

– 1 – 1

0 0

1 1

2 2

y

x 0

Conclusão – O gráfico de uma função identidade é uma reta, que é bissetriz dos quadrantes ímpares do plano carte- siano, passando pela origem do sistema.

D =  Im =  y

x 0

45°

f(x) = x

01.

Determine o valor do parâmetro k para que a função do 1^o grau f(x) = 3x + (k – 1) possa ser vista como uma função linear.

Resolução

Uma função do 1^o grau será linear se o termo indepen- dente for igual a zero.

k – 1 = 0 k = 1

APRENDER SEMPRE

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4. Estudo dos sinais – Inequações

A. Estudo dos sinais

Estudar o sinal de uma função é encontrar os valores do domínio (x), para os quais a função tem imagem positiva, ne- gativa ou nula.

Quando estudamos o gráfico de uma função do 1^o grau, percebemos que, para certos valores do domínio, obtemos imagens negativas e, para outros, obtemos imagens positi-

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vas. Para um único valor, obtemos uma imagem zero, na raiz da função.

Veremos, agora, para quais valores do domínio as ima- gens são negativas e para que valores do domínio as imagens são positivas; em linguagem matemática, faremos o estudo do sinal de uma função do 1^o grau.

O gráfico a seguir é exemplo de uma função do primeiro grau, cujo coeficiente angular é positivo.

y

x 0

a > 0

Para determinar a raiz de uma função, basta encontrar o valor do domínio que possui imagem igual a zero, ou seja, x tal que f(x) = 0. Assim, se f(x) = ax + b, temos:

f(x) = 0 ax = b = 0

x b

= −a

A raiz de f(x) = ax + b é x b

= −a.

Como exemplo, tomemos o gráfico de f(x) = ax + b, com a e b positivos.

y

x 0

b

ba

–

De acordo com o gráfico, se escolhermos um valor do do- mínio maior que a raiz −b

a, sua imagem será positiva, mes- mo que o valor do domínio seja negativo.

x y

+ + + + +

ba 0

–

Como todos os valores do domínio maiores que a raiz possuem imagem positiva, simbolizaremos essa região com um sinal ⊕. Entretanto, é importante entender que esse sinal positivo representa que as imagens são positivas.

x y

ba

0

–

Em contrapartida, os valores do domínio menores que a raiz possuem imagens negativas, então isso será simboliza- do com um sinal n.

x y

ba

0

–

x y

ba 0

–

Assim, o estudo do sinal de uma função do 1^o grau crescente pode ser resumido omitindo-se o eixo y, como na figura a seguir.

b x

–

a