Teste 1 de Matemática I - Curso de Arquitectura

(1)

Teste 1 de Matemática I - Curso de Arquitectura

28 de Outubro de 2009 - Teste A

1.

Resolva por eliminação de Gauss e descreva geometricamente o conjunto de soluções

dos sistemas em

R3

_:

(a) (1 val.) ⎧ ⎨ ⎩ x + y + z = 3 x + y − z = 1 x − y + 2z = 2 .

Res.: A matriz aumentada do sistema é −1× + → ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1× + → ⎡ ⎣ 11 11 ₋₁1 1 ₋₁ 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 1 2 ⎤ ⎦ → © ⎡ ⎣ 10 10 ₋₂1 0 ₋₂ 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 −2 −1 ⎤ ⎦ → ⎡ ⎣ 10 ₋₂1 11 0 0 ₋₂ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3 −1 −2 ⎤ ⎦ . O sistema fica _⎧ ⎨ ⎩ x + y + z = 3 −2y + z = −1 −2z = 2 ⇔ ⎧ ⎨ ⎩ x = 1 y = 1 z = 1 . A solução é o ponto (1, 1, 1) . (b) (1 val.) ½ x + 2y + z = 0 x + 2y − z = 0 .

Res.: A matriz aumentada do sistema é −1× + → ∙ 1 1 1 1 1 ₋₁ ¯ ¯ ¯ ¯ 00 ¸ → ∙ 1 1 1 0 0 ₋₂ ¯ ¯ ¯ ¯ 00 ¸ . O sistema fica ½ x + y + z = 0 −2z = 0 ⇔ ⎧ ⎨ ⎩ x = −y y = y livre z = 0 . A solução é a recta de equação vetorial (x, y, z) = α (−1, 1, 0) , α ∈ R.

2. (2 val.)

Discuta, em função dos parâmetros reais

α

e

β

, o seguinte sistema:

⎧ ⎨ ⎩ x + y + z = −2β αx + y + 2z = β x + y + αz = 1 . Res.: A matriz aumentada [ A| b] do sistema é

−α× + → ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1× + → ⎡ ⎣ α1 11 12 1 1 α ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −2β β 1 ⎤ ⎦ → ⎡ ⎣ 10 _{1 − α 2 − α}1 1 0 0 _{α − 1} ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −2β β + 2αβ 1 + 2β ⎤ ⎦ ,

neste caso quando α 6= 1 a matriz do sistema A tem três pivots, ou seja, a sua característica é 3 e o sistema é possível e determinado. Se α = 1 então Car (A) = 2. Vejamos como fica [ A| b]

⎡ ⎣ 10 10 11 0 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −2β 3β 1 + 2β ⎤ ⎦ , é claro que se 1+2β = 0 ⇔ β = −1

2 o sistema fica possível: Car (A) = Car ([ A| b]) = 2 e indeterminado,

pois #col (A) = 3 > 2 = Car (A). No caso em que β 6= −1

2 o sistema fica impossível, pois Car (A) =

(2)

3. (1 val.)

Considere o sistema de equações lineares

⎧ ⎨ ⎩ x + y + z = b1 2x − y + z = b2 4x + y + 3z = b3 .

Calcule os vectores

(b1, b2, b3) ∈ R3

para os quais o sistema é possível. Qual é o significado

geométrico?

Res.: A matriz aumentada [ A| b] do sistema é −2× + → ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −4× + → ⎡ ⎣ 12 _{−1 1}1 1 4 1 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b1 b2 b3 ⎤ ⎦ → −1× + → ⎡ ⎣ 10 _{−3 −1}1 1 0 _{−3 −1} ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b1 b2− 2b1 b3− 4b1 ⎤ ⎦ → ⎡ ⎣ 10 _{−3 −1}1 1 0 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ b1 b2− 2b1 b3− b2− 2b1 ⎤ ⎦ ,

ou seja, o sistema é possível e indeterminado, com grau de indeterminação 1, quando −2b1−b2+b3= 0,

o que define um plano no espaço dos parâmetros.

4. (2 val.)

Considere o plano

s ⊂ R3

que passa por

(1, 1, 1)

,

(0, 1, 1)

e

(0, 0, −1)

, e a recta

r ⊂ R3

que passa por

(1, 0, 0)

e

(1, 1, 0)

. Determine a intersecção de

s

com

r

.

Res.: Temos de obter as equações vectorias do plano e da recta: para tal é necessário calcular os vectores directores para s, escolhemos

v1= ⎡ ⎣ 11 1 ⎤ ⎦ − ⎡ ⎣ 01 1 ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ 10 0 ⎤ ⎦ e v2= ⎡ ⎣ 01 1 ⎤ ⎦ − ⎡ ⎣ 00 −1 ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ 01 2 ⎤ ⎦ , a equação vectorial do plano resulta

⎡ ⎣ xy z ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ 00 −1 ⎤ ⎦ + α ⎡ ⎣ 10 0 ⎤ ⎦ + β ⎡ ⎣ 01 2 ⎤ ⎦ α, β ∈ R, ou seja _⎧ ⎨ ⎩ x = α y = β z = −1 + 2β ⇔ 2y − z = 1. No caso da recta temos para o vector director

u = ⎡ ⎣ 11 0 ⎤ ⎦ − ⎡ ⎣ 10 0 ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ 01 0 ⎤ ⎦ , a equação vectorial resulta em

⎡ ⎣ xy z ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ 10 0 ⎤ ⎦ + γ ⎡ ⎣ 01 0 ⎤ ⎦ , γ ∈ R, ou seja _⎧ ⎨ ⎩ x = 1 y = γ z = 0 ⇔ ½ x = 1 z = 0 . A intersecção será dada por _⎧

⎨ ⎩ 2y − z = 1 x = 1 z = 0 ⇔ ⎧ ⎨ ⎩ x = 1 y = 1₂ z = 0 .

(3)

5. (2 val.)

Pelo método de Gauss-Jordan calcule a inversa da matriz:

⎡ ⎣ 12 23 11 1 1 1 ⎤ ⎦ . Res.: −2× + → ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1× + → ⎡ ⎣ 12 23 11 1 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎤ ⎦ → −1× + → ⎡ ⎣ 10 _{−1 −1}2 1 0 ₋₁ 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 −2 1 0 −1 0 1 ⎤ ⎦ → + → 1× ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + → −1× ⎡ ⎣ 10 _{−1 −1}2 1 0 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 0 0 −2 1 0 1 _{−1 1} ⎤ ⎦ → + →2× ⎡ ⎣ 10 _{−1 0}2 0 0 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 ₋₁ −1 0 1 1 ₋₁ 1 ⎤ ⎦ → −1× ⎡ ⎣ 10 _{−1 0}0 0 0 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −2 1 1 −1 0 1 1 _{−1 1} ⎤ ⎦ → ⎡ ⎣ 10 01 00 0 0 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −2 1 1 1 0 ₋₁ 1 ₋₁ 1 ⎤ ⎦ . R.: A−1= ⎡ ⎣ −21 10 ₋₁1 1 ₋₁ 1 ⎤ ⎦ .

6. (1 val.)

Utilizando o resultado da questão anterior resolva o sistema:

⎧ ⎨ ⎩ x + 2y + z = 1000 2x + 3y + z = 5000 x + y + z = 2000 .

Res.: Temos de resolver o sistema Av = b, o que é equivalente a v = A−1b, sendo v = (x, y, z), b = (1000, 5000, 2000) e A é a matriz do problema anterior. O resultado é imediato:

⎡ ⎣ xy z ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ −21 10 ₋₁1 1 ₋₁ 1 ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ 10005000 2000 ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ ₋₁₀₀₀5000 −2000 ⎤ ⎦ .

7. (2 val.)

Calcule

α

real de forma a que a seguinte matriz seja singular (não tenha inversa)

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 1 1 1 2 1 1 0 1 1 3 α 2 2 2 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ .

Res.: Basta constatar que somando a primeira linha com a segunda obtemos a linha £ 2 2 2 2 ¤ que resultará igual à quarta linha se e só se α = 2. Neste caso o determinante da matriz será zero e esta será singular.

8. (2 val.)

Calcule a matriz dos cofactores e a inversa da matriz seguinte

⎡

⎣ ₋₂1 −11 11

1 0 ₋₁

⎤ ⎦

(4)

Res.: é um exercício muito simples e mecânico, começamos pela matriz dos cofactores ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ¯ ¯ ¯ ¯ 10 ₋₁1 ¯ ¯ ¯ ¯ − ¯ ¯ ¯ ¯ −21 ₋₁1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −2 11 0 ¯ ¯ ¯ ¯ − ¯ ¯ ¯ ¯ −10 ₋₁1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 11 ₋₁1 ¯ ¯ ¯ ¯ − ¯ ¯ ¯ ¯ 11 −10 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ −1 11 1 ¯ ¯ ¯ ¯ − ¯ ¯ ¯ ¯ _{−2 1}1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ₋₂1 −11 ¯ ¯ ¯ ¯ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎣ −1 −1 −1_{−1 −2 −1} −2 −3 −1 ⎤ ⎦ .

O determinante da matriz original resulta de multiplicar os elementos de qualquer linha (ou col-una) desta pelos elementos homólogos da linha correspondente (ou colcol-una) da matriz dos cofac-tores e adicionar os produtos. Assim por exemplo fazendo este cálculo para as primeiras linhas: 1 × (−1) + (−1) × (−1) + 1 × (−1) = −1, a inversa será obtida pela expressão

A−1= 1 det A(Cof A) T , ou seja A−1= 1 −1 ⎡ ⎣ −1 −1 −2_{−1 −2 −3} −1 −1 −1 ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ 11 12 23 1 1 1 ⎤ ⎦ .

9. (2 val.)

Use a regra de Cramer para resolver o sistema de equações lineares em

R3

_:

a) ⎧ ⎨ ⎩ x − y + z = 2 −2x + y + z = −4 x − z = 2 .

Res.: Neste caso o cálculo é, de novo, directo e os determinantes muito simples de calcular, uma vez que já se sabem todos os cofactores da matriz do sistema (da questão 8):

x = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 ₋₁ 1 −4 1 1 2 0 ₋₁ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ₋₁ 1 −2 1 1 1 0 ₋₁ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 2 × (−1) − 4 × (−1) + 2 × (−2) −1 = 2 y = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 1 −2 −4 1 1 2 ₋₁ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ₋₁ 1 −2 1 1 1 0 ₋₁ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 2 × (−1) − 4 × (−2) + 2 × (−3) −1 = 0 z = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ₋₁ 2 −2 1 ₋₄ 1 0 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 ₋₁ 1 −2 1 1 1 0 ₋₁ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 2 × (−1) − 4 × (−1) + 2 × (−1) −1 = 0.

10. (2 val. )

Calcule o volume do paralelipípedo cujas arestas são dadas pelos vectores

(5)

Res.: Basta calcular o determinante da matriz formada pelos vectores coluna que formam as arestas, pela ordem que se quiser, o volume é o valor absoluto desse determinante

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯det ⎡ ⎣ ₋₁1 −21 10 1 1 ₋₁ ⎤ ⎦ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯,

note-se que a matriz considerada é a transposta da matriz dos problemas anteriores... a transposição não altera o determinante que vale −1, logo o volume é 1.

11. (2 val.)

Considere a matriz

B = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 3 4 ... _{n − 1} n 0 1 2 3 ... _{n − 2 n − 1} 0 0 1 2 ... _{n − 3 n − 2} 0 0 0 1 ... _{n − 4 n − 3} .. . ... ... ... . .. ... ... 0 0 0 0 ... 1 2 0 0 0 0 ... 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Obtenha a sua inversa pelo método que quiser. Explique claramente todos os passos do

seu raciocínio.

Res.: Existem diversas formas de resolver o problema, nas fichas práticas vem um problema semelhante com uma matriz 4 × 4 que poderia dar uma sugestão de resultado para os alunos mais interessados. Recorda-se que o resultado da inversa nesse caso era

⎡ ⎢ ⎢ ⎣ 1 ₋₂ 1 0 0 1 ₋₂ 1 0 0 1 ₋₂ 0 0 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ , como tal vamos supor como hipótese que o resultado pretendido é

B−1= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 ₋₂ 1 0 ... 0 0 0 1 ₋₂ 1 ... 0 0 0 0 1 ₋₂ ... 0 0 0 0 0 1 ... 0 0 .. . ... ... ... . .. ... ... 0 0 0 0 ... 1 ₋₂ 0 0 0 0 ... 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ,

basta confirmar que B−1_{B = Id, vejamos:}

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 ₋₂ 1 0 ... 0 0 0 1 ₋₂ 1 ... 0 0 0 0 1 ₋₂ ... 0 0 0 0 0 1 ... 0 0 .. . ... ... ... . .. ... ... 0 0 0 0 ... 1 ₋₂ 0 0 0 0 ... 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ × ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 2 3 4 ... _{n − 1} n 0 1 2 3 ... _{n − 2 n − 1} 0 0 1 2 ... _{n − 3 n − 2} 0 0 0 1 ... _{n − 4 n − 3} .. . ... ... ... . .. ... ... 0 0 0 0 ... 1 2 0 0 0 0 ... 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ que é ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 _{2 − 2 3 − 2.2 + 1 4 − 2.3 + 2} ... _{n − 1 − 2 (n − 2) + n − 3} _{n − 2 (n − 1) + n − 2} 0 1 _{2 − 2} _{3 − 2.2 + 1} ... _{n − 2 − 2 (n − 3) + n − 4 n − 1 − 2 (n − 2) + n − 3} 0 0 1 _{2 − 2} ... _{n − 3 − 2 (n − 4) + n − 5 n − 2 − 2 (n − 3) + n − 4} 0 0 0 1 ... _{n − 4 − 2 (n − 5) + n − 6 n − 3 − 2 (n − 4) + n − 5} .. . ... ... ... . .. ... ... 0 0 0 0 ... 1 _{2 − 2} 0 0 0 0 ... 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(6)

ou seja _⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ 1 0 0 0 ... 0 0 0 1 0 0 ... 0 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 0 1 ... 0 0 .. . ... ... ... . .. ... ... 0 0 0 0 ... 1 0 0 0 0 0 ... 0 1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ .