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(1)ELE 302 Introdução à Otimização Matemática Aula 14 – Programação Inteira (PI) e Inteira Mista (PIM) Fundamentos Sérgio Haffner Junho 2011.

(2) Programação Inteira PI e PIM (linear ou não-linear) Variáveis inteiras, discretas ou binárias Transformações:. discreto x=ky inteiro y=∑2pz. → →. inteiro y binário z. Métodos de solução: clássicos e heurísticos . Precisam ser ajustados ao problema (em geral). Condições de otimalidade PL ☺ → simplex PI e PIM → enumeração ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. .

(3) Algoritmo branch-and-bound 3 princípios fundamentais . Separação (P ). →. (P )∪ (P )∪ … ∪ (P ) 1. 2. q. Restrições contraditórias. Relaxação PLIM → PL. . Sondagem Inviabilidade Pior que incumbente Solução inteira → viável para (P) ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. .

(4) Algoritmo geral 1.. Inicialização fazer i=0; definir incumbente inicial v*; e inicializar lista dos candidatos com o problema original (P).. 2.. Teste de convergência. 3.. Seleção do candidato escolher um dos candidatos e resolver o PL relativo ao problema relaxado (PCk) a solução do PL é um limitante inferior de uma possível solução inteira: vinf = vPL. 4.. Teste de sondagem .... ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. se a lista dos candidatos é vazia, então fim, a solução é a incumbente; caso contrário prosseguir..

(5) Algoritmo geral 4.. Teste de sondagem O problema candidato (PCk) pode ser sondado se: a) b) c). (PCk) não tiver solução viável vinf > v* (pior que incumbente atual) a solução do PL é inteira. Se problema candidato (PCk) foi sondado, retornar para Passo 2.. 5.. Separação Selecionar variável não inteira em (PCk). Para a variável escolhida nj, cujo valor é nj*, gerar dois descendentes (acrescentar à lista dos candidatos) incluindo as restrições:. ( PC ) ( PC ) i +1. i+2. n j ≤ n*j n j ≥ n*j + 1. n* é o maior inteiro de n* j j . Fazer i = i + 2 e retornar ao Passo 2. ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. Surge então uma nova soluç solução incumbente v* = vinf Aplicar teste 4(b) para todos problemas candidatos da lista.

(6) Exemplo. Min s. a.   P ( )   . v = 5n12 + 2n13 + 2n23 + β 350n12 + 400n13 + β ≥ 400 350n12 + 210n23 + β ≥ 200 β ≥0 nij ≥ 0 ∀ij Relaxação: n12 , n13 e n23 inteiros. ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática. PLIM → PL. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. Problema original: PLIM.

(7) Exemplo LIFO Vinf0 ≈ 3,86. v = 5n12 + 2n13 + 2n23 + β 350n12 + 400n13 + β ≥ 400 350n12 + 210n23 + β ≥ 200 β ≥0 nij ≥ 0 ∀ij. n12 ≈ 0,57 n13 = 0,5. 0. n23 = 0 n12 ≤ 0. n12 ≥ 1. Vinf2 = 5,25. 1 Vinf ≈ 3,90. n12 = 0. n12 = 1. 1. n13 = 1 n 23 = 0,95. n 23 ≤ 0. n13 = 0,124 n 23 = 0. n 23 ≥ 1. 2. nn1313 ≤≤00. nn1313 13≥≥11. 44 =7 Vinf inf =. Vinf3 = 5,71 7. 8. n12 = 1,14 n13 = 0. 3. 4. n 23 = 0. 1 n12 12 = 1 n13 =1 13 =. n 23 0 23 = 0. nn1212 ≤≤11. n12 12 ≥ 2. Vinf5 = 55 5. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. Min s. a.  (PR )   . n12 = 1. Vinf6 = 10 6. n12 = 2. n13 = 0. n13 = 0. n 23 = 0. n 23 = 0. ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática.

(8) Exemplo LIFO v = 5n12 + 2n13 + 2n23 + β 350n12 + 400n13 + β ≥ 400 350n12 + 210n23 + β ≥ 200 β ≥0 nij ≥ 0 ∀ij. Vinf0 ≈ 3,86 n12 ≈ 0,57 n13 = 0,5. 9 PLs. 0. n23 = 0 n12 ≥ 1. n12 ≤ 0. 1 Vinf ≈ 3,90. n12 = 0. 1. n13 = 1 n 23 = 0,95. n 23 ≤ 0. 2. n 23 ≥ 1. n13 ≤ 0. Vinf7 = 201. 8 Vinf =4. n12 = 0. 7. n13 = 0,5 n 23 = 0. n13 ≤ 0. 8. n12 = 0. Vinf4 = 7. n12 = 0. 3. n13 = 1 n 23 = 1. n13 ≥ 1. Vinf9 = 400 9. n13 13 ≥ 1. nn1212 ≤≤11. 4. n12n12≥ ≥2 2. 10 Vinf = 202. 10. n12 = 0. n13 = 0. n13 = 1. n 23 = 0. n 23 = 0. 5. ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática. 6. n12 = 1 n13 = 1 n 23 = 0. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. Min s. a.  (PR )   .

(9) Exemplo (melhor sequência) v = 5n12 + 2n13 + 2n23 + β 350n12 + 400n13 + β ≥ 400 350n12 + 210n23 + β ≥ 200 β ≥0 nij ≥ 0 ∀ij. Vinf0 ≈ 3,86 n12 ≈ 0,57 n13 = 0,5 n23 = 0 n12 ≤ 0. 1 Vinf ≈ 3,90. n12 = 0 n 23 = 0,95. n 23 ≤ 0. n12 = 1 n13 = 0,125 n 23 = 0. n 23 ≥ 1. Vinf3 = 201 n12 = 0 n13 = 0,5 n 23 = 0. n12 ≥ 1. Vinf2 = 5,25 1. n13 = 1. 5 PLs. 0. Vinf4 = 4 3. 4. n12 = 0 n13 = 1 n 23 = 1.  candidato Desempenho ⇔ Seleção   variável ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática. 2 SHaffner2011 – haffner@ieee.org. Min s. a.  (PR )   .

(10) Seleção candidato/variável Candidato: . . LIFO (PLs ≈; <memória) Melhor Estimativa (<nPL; >memória): ME (pseudocusto) MES (custo) Adaptativa ME/LIFO. Variável: . PNI (1ª não inteira). . MC (maior custo). . Maior Degradação: MD (pseudocusto). MDS (custo). ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. .

(11) Pseudocusto k v PL. [ ]. n j ≤ n kj k− vPL. Pj− Pj+. k. [ ]. n j ≥ n kj + 1. k–. = =. k+. k− k v PL − v PL f jk k+ k vPL − v PL 1 − f jk. f jk. [ ]. = n kj − n kj. ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática. v kPL+. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. n kj.

(12) Seleção candidato Melhor estimativa:. k vest. k = vinf +. ∑. [. (. min Pi − f i k ; Pi + 1 − f i k. i∈I. )]. Aproximação: k. [ ]. k− vest. k–. k = vinf + Pj− f jk + SOMA. k+ vest. k = vinf + Pj+ 1 − f jk + SOMA. SOMA =. k vinf. n j ≤ n kj. k− vest. ∑ i∈I i≠ j. [ ]. (. (. ). min  Pi − f i k ; Pi + 1 − fi k   . n j ≥ n kj + 1 k+. ). k+ vest. ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. Inconveniente: +1 PL/nó armazenado.

(13) Seleção variável. {. (. )}. {. (. )}. max max  Pj− f jk ; Pj+ 1 − f jk    j max min  Pj− f jk ; Pj+ 1 − f jk    j. ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. Maior degradação:.

(14) Bibliografia. SHaffner2011 – haffner@ieee.org. Frederick S. Hillier e Gerald J. Lieberman (2002). Introduction to Operations Research. Holden-Day, Inc., Oakland, California. Hamdy A. Taha (2008), Pesquisa operacional, Pearson Prentice Hall. Marco Cesar Goldbarg e Henrique Pacca Loureiro Luna (2000). Otimização combinatória e programação linear. Ed. Campus. Marcos Arenales, Vinícios Armentano, Reinaldo Morabito e Horacio Yanasse (2007). Pesquisa Operacional. Elsevier, Rio de Janeiro. Ronald L. Rardin (1998). Optimization in operations research. Prentice Hall, New Jersey. Gauthier, J. M. e Ribière, G. (1977). Experiments in mixed-integer linear programming using pseudo-costs, Mathematical Programming 12: 26-47. Georion, A. M. e Marsten, R. E. (1972). Integer programming algorithms: a framework and state-of-the-art survey, Management Science 18(9): 465-491. Haffner, S. (2000). O Planejamento da Expansão dos Sistemas Elétricos no Contexto de um Ambiente Competitivo (Capítulo 5). Tese (doutorado) UNICAMP, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.. ELE 302 – Introduç Introdução à Otimizaç Otimização Matemá Matemática.

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