3.1 Méthode des éléments finis pour les problèmes couplés

Les problèmes géotechniques faisant intervenir le couplage hydro-mécanique sont des problèmes d'évolution qui nécessitent des outils numériques adaptés pour leur résolution. Depuis plusieurs

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années, la méthode des éléments finis s'est imposée aussi pour ce type de problèmes en procédant par discrétisation dans i'espace et dans le temps.

Nous exposons ci-dessous les principales étapes de résolution d'un problème poro-élasto-plastique par ¡a méthode des éléments finis (Coussy 1991, Dangla et al. 1992, Giraud 1993, Shao 1995).

III-3.1a Hypothèses.

Hl : Hypothèse d'évolutions quasistatiques.

H2 : Hypothèse de transformations infinitésimales pour le squelette.

H3 : Hypothèse d'isotropie du milieu poreux.

H4 : Hypothèse des petits apports de masse fluide.

H5 : Hypothèse des petites variations de pression du fluide.

H6 : Hypothèse des petits déplacements.

H7 : Hypothèse des contraintes effectives plastiques (cf. III-2.2b).

H8 : Hypothèse d'absence de forces de volume. Le milieu étudié est supposé suffisamment profond pour que les forces liées à îa gravité n'aient pas d'influence.

Les variables principales du problème sont le champ des déplacements u et le champ de pression interstitielle p.

On note Q le volume du domaine étudié et F = dQ la surface formant la frontière de Q.

Les équations considérées sont :

• l'équation d'équilibre mécanique : div(a) = 0 dans Q, où <r est le tenseur des contraintes totales de Cauchy ;

• l'équation de conservation de la masse fluide (3.Î) dans Q ;

• l'équation de la loi de conduction hydraulique de Darcy (3.2) ;

• les relations de comportement ((3.9), (3.10) et (3.12));

enfin, les conditions aux limites (cf. III-3.1c) sont nécessaires pour îa résolution de ces équations.

III-3.1b Conditions initiales.

A l'instant initial / = 0, l'état de référence du système est caractérisé par un tenseur de contrainte initiale cr^ (satisfaisant H8) et un champ de pression interstitielle pm. a et pm doivent vérifier les conditions aux limites.

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III-3.1C Conditions aux limites.

Celles-ci sont imposées sur la frontière F du domaine Í2.

Oijitj = T¡ sur rT.

u¡=uf sur ru.

p~ p sur rp (3.17)

sur Fw

w.n = w

où rT., ru., rp et rw sont des parties disjointes de r.

n désigne le vecteur normale (sortante) à ia surface J \ III-3.1d Discrétisation temporelle.

Les équations de champs, où interviennent des dérivations temporelles sont discrétisées suivant un schéma semi-implicite d'Euler. Une fonction (p quelconque est interpolée entre les instants t et

t + At par :

[<p(t + OAt) = (l-0)<p(t) + e<p(t + At) 0<8<1 d(p (i | eAî. = <p(t + 6At) ~ <p(t) = A(p

{dt At At

(3.18)

6-0 correspond au schéma explicite d'Euler, 6-1/2 au schéma semi-implicite de Cranck- Nicholson et 6 ~ 1 au schéma implicite.

III-3.1e Méthode incrémentale.

Afin d'utiliser des schémas implicites ou semi-implicites, plus stables que le schéma explicite, il est préférable d'exprimer les équations précédentes en accroissements.

Soit tn un instant auquel la solution Sn du problème couplé est connue et on désire déterminer la solution Sn+j à l'instant tn+] ~tn+At où At représente l'incrément de temps. Cela revient à déterminer AS ~ Sn+¡ - Sn.

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div(Ao) = 0

Am + Atdiv(wn+1) = 0

t , , / j + /

Po

A<r^X0Tr(Ae~A£P)l + 2ß(A£~AeP)-bApl

^- = -bTr(Ae- AeP ) + ~ - A<pp

M = - pg

A^^ßTr(AeP) ( 3 1 9 )

AeP^AX dg

da'P

¡AX>Osi f(gⁿ⁺¹,pⁿ⁺¹,Ç^n+J) = Oetdf=0

AX = Osi f(on+1,pn+1,Ç"+1)<Ooudf<0

Le multiplicateur plastique A% est déterminé par la condition de consistance df-0.

III-3.1f Méthodologie de résolution.

Après la discrétisation dans le temps des équations d'évolution à résoudre, l'étape qui suit est la formulation variationnelle en accroissements. Celle-ci s'appuie sur le théorème mixte des travaux virtuels (Coussy 1991).

La résolution numérique du problème d'évolution poro-élasto-plastique en accroissements se décompose en deux étapes :

• résolution d'un problème linéaire intermédiaire : cette étape sert à calculer une réponse poro- élastique initiale,

• résolution d'un problème non linéaire : c'est une correction plastique servant à rendre plastiquement admissibles les accroissements de contraintes et de pression interstitielle calculés à l'étape précédente.

Le module de résolution en poro-élasto-plasticité par éléments finis est implanté dans plusieurs logiciels dont CESAR-LCPC (Humbert 1989) et POROUS (Giraud 1993, pour les geometries ID).

ÏII-3.2 Exempïes de calculs numériques I D .

Dans ce chapitre, nous analysons les résultats issus d'un calcul poro-élasto-plastique ID réalisés à l'aide du module MPNL du code CESAR-LCPC (Dangla et al. 1992). Ce calcul simule des phases de déconfinement particulières puis la réponse à plus long terme d'un tunnel ID profond.

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III-3.2a Hypothèses et géométrie du problème.

On considère un tunnel profond de section circulaire (rayon /?,-) creusé dans un milieu homogène et isotrope. Les hypothèses du tunnel profond sont supposées satisfaites (cf. 1-2). On note a = cr«,/

et Pœ respectivement le champ de contrainte totale et le champ de pression interstitielle initiales régnant dans le massif avant le creusement du tunnel. Le massif hôte est infini mais, pour des raisons pratiques évidentes pour la modélisation numérique, nous supposerons que c'est un cylindre creux, infiniment long, de rayon interne R¡ et de rayon externe Re très grand devant R¡. La section étudiée du tunnel est supposée hors de la zone d'influence du front de taille. Les déformations sont donc planes (dans le plan perpendiculaire à l'axe du tunnel) et le problème est unidimensionnel (figure III.2). Sur la circonférence de la section étudiée, du côté intrados, on applique une contrainte a¡(t), fonction monotone du temps, simulant approximativement une excavation.

Figure ¡11.2 : tunnel unidimensionnel.

Données : ex«, = -4MPa, px = 2MPa Rt = lin, Re = 150m

E0 = lOOMPa (module d'Young drainé) v0 = 0,25 (coefficient de Poisson drainé)

$ = 0,40 (porosité)

M = 7500MPa (module de Biot)

k = 3,46.10~5MPa "l m2 jour J (conductivité hydraulique) b = 1 (coefficient de Biot)

Ces données correspondent au cas du creusement d'une galerie de rayon 1m dans une argile plastique, type argile de Boom (Giraud 1993), à une profondeur approximative de 200 m. La conductivité hydraulique k donnée ci-dessus correspond à une perméabilité hydraulique

Kfo -4.10 m. s ( K¡t = k yh où y h e s t 'e poids volumique de l'eau interstitielle).

Nous supposerons, pour l'argile de Boom, un comportement poro-élasto-plastique parfait de type Tresca avec une cohésion C= 1,33MPa. Compte tenu des remarques relatives aux contraintes effectives plastiques (cf. III-2.2b), on choisit de prendre ß = b = 1.

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IH-3.2b Conditions aux limites mécaniques.

On écrit: <xr(r = Ri,t) = oi(t) ar(r = Re,t) = ooa (3.20)

où <rr désigne la contrainte radiale.