TUNNELS PROFONDS CREUSES EN MILIEUX ÉLASTO-VISCOPLASTIQUES
II- 5.5 Cas d'un critère de Mohr-Coulomb
Dans le cas d'un tunnel soutenu satisfaisant aux conditions d'axisymétrie et creusé dans un milieu élasto-viscoplastique de Mohr-Couîomb, il existe six paramètres dimensionnants indépendants :
• les cinq premiers sont les mêmes que ceux relatifs à un critère de Tresca ( £ *, Ns, V*, d'0 et K's). Leurs expressions restent identiques à conditions de remplacer la cohésion C par Rc où Rc - 2Ccos(p/(l-sinq>) est la résistance en compression simple du matériau. On a ainsi :
E* = 2E/RC ; NS = 2P00/RC ; V*=2T]V/(R¿RC) ; d'0 = d0/R¡; K\ = KS/E
* le sixième paramètre, propre au critère de Mohr-Coulomb est l'angle de frottement interne <p.
Ce paramètre peut aussi intervenir par l'intermédiaire du coefficient de butée K„.
Nous rappelons que le massif est élastiquement et plastiquement incompressible.
Une étude paramétrique, semblable à celle effectuée dans le cas du massif de Tresca, pour le tunnel non soutenu a montré que la relation (2.34) reste très satisfaisante. Les paramètres A et B étant ceux donnés en annexe A2 où Ns et V * sont ceux exprimés ci-dessus. R„ désigne toujours le rayon de la zone plastique (à long terme), il est donné par l'expression (avec v = 0,5) :
1
Rp - Ri w _ £ + Kp + ! Kp + J
Kp-1
D'un autre côté, la convergence au front de taille du tunnel non soutenu rapportée à la convergence finale pour une section loin du front de taille ( Uf/U^) vérifie aussi la relation approchée donnée en annexe A2. Um est donné par la relation (avec v = 0,5) :
Um =
bl_I^{
N5±Zi
E Kp + 1 V Ns^L + ;
N -E +
Kp + 1 Kp + 1 Kp-1
En ce qui concerne le tunnel soutenu, une autre étude paramétrique numérique a été réalisée. Elle montre, d'une part, que la convergence au front Uf vérifie approximativement la relation exprimée en annexe A2. D'autre part, le coefficient a , définit par (2.36), est tel que :
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Tunnels profonds creusés en milieux élasto-viscoplasiiques.
Log(a*) = Log(aT*)-ß(p\ (2.43)
où :
a*=aR¿/Rp ;
(p est l'angle de frottement interne (exprimé en degrés) ; ß est un paramètre dépendant de P^ /C, K's et V * ;
a-f * désigne le paramètre a * relatif au cas d'un massif de Tresca. aT * est exprimé par la relation (2.37) où les paramètres indépendants Ns et V * sont ceux relatifs au critère de Tresca (<p = 0).
Le paramètre ß peut s'écrire, en première approximation
ß = f1(P„/C)f2(K's)f3(V*) (2.44)
où les fonctions / ; , f2 et f¡ sont déterminées à partir de calages fl(X) = 0,07(X-0,82)
f2(X) = 2,14 + Log(X)
f
f3(X) = 0,98-exp fLog(l + X)' { 3,33
Les étapes de résolution de la Nouvelle Méthode Implicite pour le cas d'un matériau de Mohr- Coulomb restent identiques à celles relatives au cas d'un matériau de Tresca. Cependant la courbe de terrain P¡ - U¿ est déterminée à partir des relations suivantes :
si P¿ > Pic (massif encore élastique)
Ui=~(P~,~Pi) E
si Pt < Pic (il existe une zone plastique entourant la section du tunnel) U --ïL-P (P^ + HÍ
1 E K+! l
2 P^ + H Kp + 1 Pi+H
2 Kp-1
où Pic désigne la pression de soutènement de soutènement critique exprimée par la relation (2.35) et H - C/tanç.
L'équation permettant la résolution de Ueq s'écrit, dans ce cas (si Peq < Pic)
aU!^+bU^+c = 0 (2.45)
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Tunnels profonds creusés en milieux élasto-viscoplastiques.
où a =
b =
(Kp + 1)E l,5(KD-l)(Pœ + H)
Kp-l
2 Kp + lKt
{l-<p(d
0))
(Kp + 1)E
¡^(Kp-IHP^ + H) P^ + H
5JL1
K p + /
^K^-') + f
E 8]=-£—
2 Kn-1
2 2
La figure 11.21 montre une comparaison entre des valeurs de Ueq et Peq déterminées par résolution de la NMI et des valeurs fournies par calcul numérique. L'erreur relative ne dépasse pas 5% pour
Ueq et 10% pour Peq.
Ueq (%) 2
1,8 1,6 1,4 1,2 1
O
a o
D O
• 8
o Valeurs numériques (E.F.) D Valeurs approchées (NMI)
1,5 2 2 5
iogu+v*y
Peq (MPa)
1.5 r
0,5.
D O
O D
o Valeurs numériques (E.F.) a Valeurs approchées (NMI)
1,5 2 2,5
log(l + V*)
3,5
Figure 11.21 : comparaison NMI-numérique pour un critère de Mohr-Coulomb.
H - 6 A P P L I C A T I O N A L ' É T U D E D ' U N P R O B L È M E E N D É F O R M A T I O N P L A N E .
La méthode convergence-confinement classique permet, dans le cas d'un massif élasto-plastique, d'avoir recours à une approche simplifiée en déformation plane grâce à la notion de pression fictive de soutènement (notée PJ ) s'exerçant sur îa paroi du tunnel et rendant compte de la proximité du front de taille (cf. 1-7.la).
Souvent, dans le cas de la viscopîasticité, les calculs 2D en déformation plane sont réalisés loin du front de taille (pression fictive nulle) en tenant compte uniquement de la pression de soutènement (Sharma et al. 1985). Si en élasto-plasticité pf a été reliée à l'avancement du front de taille de manière satisfaisante (Bernaud et Rousset 1992, Nguyen Minh et Guo 1993a), en élasto- viscoplasticité le problème reste posé.
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Tunnels profonds creusés en milieux élasto-viscoplastiques.
IÏ-6.1 Détermination de la pression fictive en fonction de l'avancement du front de taille.
L'étude analytique ID (cf. IÎ-3.2) permet d'établir une relation semi-implicite entre la convergence en paroi í/¿ et la pression uniforme qui s'y exerce P¿ = ~a¡ (relations (2.22) à (2.24)).
Pour un tunnel non soutenu, on sait que la convergence en paroi (C/,- ) dépend, entre autres, de la distance x au front de taille. Pour une section donnée du tunnel non soutenu, à condition que celle- ci ne se trouve pas trop près du front de taille (x>0,5R¡), les conditions de déformations planes sont remplies. Dans ce cas, la relation P¡ — U¿ est vérifiée à condition de supposer une pression
pi = pi fictive qui dépend elle aussi, entre autres, de x.
D'autre part, pour le cas d'un matériau élastiquement incompressible, la relation (2.34) explicite la convergence U¡ (x), donc les relations (2.22) à (2.24) permettent la résolution de Pj .
On ne s'intéressera qu'à la partie excavée (x>0). Dans un premier temps, on supposera que dès x = 0 (front de taille), on a P- (x = 0)< Pic où Pic désigne la pression critique de soutènement (relation (2.25)). De plus, le matériau constituant le massif est toujours supposé élastiquement incompressible ( v = 0,5).
II-6.1a Cas d'un matériau de Tresca.
Dans ce cas, Kp = 1 et Rc = 2C avec v-0,5. Les relations (2.24) et (2.23a) s'écrivent (sachant
que a¡=-Pf) :
0 =
i £
K ( 2 4 6 )1 2E
P +~(P ~Pca) + 4CY + ^ ( l + Log(Y)) = 0 (2.47)
où Y = (p/R¡) , avec p : rayon de la zone viscoplastique.
La relation (2.34) donne une expression explicite de uf(x). La vitesse d'avancement du front de taille étant supposée constante, on a x = Vt. Donc uf(t) est connu. Par la suite, la détermination de Y(t) et PJ (t) se déduit aisément des relations (2.46) et (2.47) à condition de connaître une valeur initiale pour P¡ (t). Celle-ci est estimée de la manière suivante : f
on commence par calculer Uic = -L—(P<X~P¡C) : convergence en paroi lorsque P¡: = Pk (début E
d'initiation de la zone viscoplastique en paroi).
On compare Uic à üj = uf(x ~0) = uf(t = 0) (en supposant V non nulle et finie).
1er cas : Uic >Uj-0
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Tunnels profonds creusés en milieux élasto-viscoplastiques.
cela veut dire que pour une section fixe du tunnel, au passage du front de taille, le massif est encore élastique et l'initialisation de la zone viscoplastique ne se fera qu'à un instant t¡ > O (compté à partir du passage du front).
t¡ est tel que uf(t¡} = Uic, et donc pf(t¡ ) = Pic. D'où la condition initiale pour la résolution de (2.47).
* 2ème cas : f/{C < Uf
ce cas, plus délicat à traiter, se pose généralement lorsque Ns est assez grand ( Ns > 3) et pour des vitesses d'avancement faibles.
Cela veut dire que pour une section fixe du tunnel, lors du passage du front, il existe déjà une zone viscoplastique entourant l'ouverture circulaire. A ce moment, on connaît Uf(t = 0) = Uf mais on ne connaît pas Pf (t-0). Pour estimer ce dernier paramètre, on fait l'hypothèse suivante :
" On suppose qu'à la section où s'initie ¡a zone viscoplastique (x<0), la relation (2.34) est toujours valable, "
Cette hypothèse sous-entend que cette section est tout de même assez proche du front (environ à moins d'un rayon).
On détermine l'instant tic (tic < 0) tel que U¡(x = Vtic) = Uic, en se servant de la relation (2.34).
Puis on résout l'équation différentielle (2.47) à l'instant t-0. On obtient ainsi une nouvelle condition initiale (t-0, Pf (t — 0)) permettant iarésolution pour les instants î>0.