6.3 Simulations temporelles sur le modèle simplifié de frein TGV
6.3.3 Accord entre simulation non-linéaire et analyse de stabilité
Nous avons vu que le système de référence comportait neuf modes instables dont nous avons donné les caractéristiques précédemment. Lors d’une simulation temporelle, on s’attend donc à avoir un comportement croissant de l’amplitude de la plupart de ces modes, avec une compétition plus ou moins complexe conduisant à la disparition progressive de certains d’entre eux et à la stabilisation à des amplitudes non-négligeables d’un ou plusieurs modes dominants dans un éventuel cycle final.
La simulation a été effectuée sur une durée de35 ms, il convient donc de se poser la question de la stabilisation de la solution sur cet intervalle de temps. La figure6.12 laisse supposer qu’on est encore loin de cette stabilisation. La figure6.13montre la comparaison des FFT dans l’ensemble de la structure sur les 5 premières et les 5 dernières millisecondes de la simulation. On peut voir sur la figure correspondant au début de l’intervalle d’étude6.13(a)que l’on retrouve bien principalement les fréquences des modes instables suivant lesquels les conditions initiales sont données. Sur la FFT en fin d’intervalle6.13(b), les pics correspondant aux fréquences des modes instables ont été marqués en rouge, ceux correspondant à des harmoniques de modes instables en violet et ceux correspondant à des combinaisons simples de deux modes instables en vert. On peut constater qu’on a effectivement une augmentation de l’amplitude, notamment de fréquences proches de modes instables. Le spectre final est très riche mais cette richesse est peut-être liée au fait que l’on est encore dans une phase transitoire et non sur la solution dynamique stationnaire.
Sur cette FFT (figure6.13), on retrouve les fréquences des neuf modes instables. Les niveaux de ces fréquences sont sensiblement plus élevés que sur la FFT de la fenêtre initiale.
Afin de vérifier si les contributions visibles aux fréquences des modes instables dans la solution corres- pondent aux déformées modales de ces modes, une extraction des déformées aux pics correspondant a été effectuée afin de calculer le critère de MAC pic à modes. La figure6.14montre l’appariement alors réalisé entre les déformées et les modes instables. La matrice de MAC obtenue est bien quasi diagonale, cependant les valeurs des MAC sont très faibles. Ces mauvaises valeurs sont en partie dues à la difficulté d’avoir une résolution fréquentielle suffisante sur les déformées opérationnelles.
Les résultats présentés ici sont obtenus avec duzero padding jusqu’à saturation de la mémoire de la machine sur lesquels le post-traitement a été effectué. Pour une résolution fréquentielle plus faible encore, les valeurs de MAC étaient beaucoup plus petites. La résolution fréquentielle des déformées utilisées ici est de50Hz, on peut imaginer qu’en obtenant des déformées plus précises l’appariement serait meilleur.
La figure 6.15montre la projection sur les neuf modes instables de la solution transitoire obtenue.
Le comportement de ces amplitudes modales semble assez chahuté, avec en particulier une forte oscillation dès les premiers instants de l’amplitude du mode instable M1 (f = 1110 Hz). Plusieurs raisons peuvent expliquer ce phénomène. La première réside dans le choix des conditions initiales et de l’échantillonnage de la solution simulée. En effet, la condition a été choisie de manière à être très proche du premier événement non-linéaire fort, et seulement un pas de temps sur cent est sauve- gardé. Il se trouve qu’avec ces paramètres, le premier événement non-linéaire fort intervient avant le centième pas de temps, et donc que la solution visualisée ici est perturbée dans son ensemble par de
186 CHAPITRE 6. APPLICATION SUR UN MODÈLE SIMPLIFIÉ DE FREIN TGV
fortes non-linéarités. D’autre part, s’agissant d’un calcul sur un modèle 3D, il y a existence de la non- linéarité régulière liée à la composante radiale du frottement. L’impact de ces deux non-linéarités sur le système peut expliquer le caractère fortement oscillant des amplitudes modales complexes. Une dernière raison est la difficulté d’obtenir la base des modes adjoints (ou modes gauches). Les modes adjoints sont nécessaires à l’obtention de la projection sur les modes complexes, et correspondent aux modes propres du système avec les vecteurs à gauche des matrices. Si l’algorithme d’itération sur les résidus [9] donne d’excellent résultats pour les modes directs (ou droits), il se trouve que le critère en résidu d’énergie semble insuffisant pour les modes gauches. Aussi, si avec un critère de résidu en énergie relative de 10−3 les modes directs semblent avoir convergé, ceux adjoints pour la même précision ont des valeurs propres aux parties réelles très différentes de celles des modes directs. Avec ce critère d’arrêt, les modes adjoints comptaient 13 modes instables, et la propriété de bi-orthogonalité permettant la projection n’était pas vérifiée. En prolongeant le calcul des modes ad- joints jusqu’à l’obtention d’un résidu de5 10−5, on abouti a une concordance sur les modes instables (même nombre et même numéro de mode, mais taux de divergence sensiblement différents) et on retrouve une bi-orthogonalité satisfaisante. Si la question de la précision de la base pour la projec- tion sur les modes complexes ne se posait pas pour la couche élastique 2D du chapitre 5, car le résidu en énergie pouvait facilement descendre proche de la précision machine (6 10−12), pour ce modèle de frein, on peut penser que la base utilisée présente encore quelques défauts qui perturbent l’exploitation de la projection.
Malgré les limitations évoquées, la projection sur les modes instables donnée sur la figure6.15peut se décomposer en quatre phases. La première phase, det=0 msàt=5mssemble essentiellement gouvernée par l’augmentation de l’amplitude des modes M2 (f = 2050 Hz) et M3 (f = 2760 Hz), avec M3 comme mode dominant. La deuxième phase, de t = 5 ms à t = 10 ms présente une rupture de pente nette dans l’amplitude du mode M2, mais aussi de celle du mode M3, qui semble toutefois moins affecté. Il s’en suit une augmentation de l’amplitude des modes M1 (f = 1110 Hz) et M5 (f = 6980 Hz) – ce dernier étant un des rares modes non-oscillants de cette phase – ainsi que, dans une moindre mesure, de celle des autres modes qui restent en « bruit de fond ». Dans la troisième phase, à partir det = 10ms, l’amplitude du mode M5 décroît pour retrouver les autres modes de plus bas niveau énergétique tandis que les modes M1, M2 et M3 adoptent des niveaux énergétiques assez semblables. Enfin, à partir det=17ms, le mode M2 voit son amplitude diminuer un peu, tandis que le mode M1 semble devenir le mode prépondérant aux côtés du mode M3. La stabilisation de l’amplitude moyenne de M1 s’accompagne d’une forte diminution de ses oscillations.
Globalement, on peut estimer que la réponse non-linéaire obtenue correspond à des contributions principales des modes M1,M2 et M3.
Alors qu’il semblait manifeste sur les champs temporels que l’on était encore loin de la solution sta- tionnaire, la projection sur les modes complexes peut laisser penser que les amplitudes des différents modes sont stabilisées. On serait alors proche d’une solution stationnaire complexe avec de fortes oscillations des modes issus de l’analyse de stabilité qui la composent. On notera que les trois modes instables prépondérants dans la solution ne permettent pas d’expliquer l’ensemble des fréquences présentes dans le spectre de la figure6.13même si certaines fréquences peuvent se retrouver par combinaisons linéaires des harmoniques des fréquences des modes M1, M2 et M2. Dans la section suivante, nous avancerons quelques éléments de réponse pour expliquer ce constat.
Simulations temporelles sur le modèle simplifié de frein TGV 187
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 104
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
Fr´equence (Hz)
Densit´espectrale(normeL2dB)
8600 Hz
14800 Hz
15600 Hz
19900 Hz
21900 Hz 18000 Hz
28300 Hz 25500 Hz
13800 Hz 11400 Hz 7000 Hz
9000 Hz 5000 Hz
10400 Hz 9800 Hz
3400 Hz
22400 Hz 23900 Hz
26900 Hz 29700 Hz 1150 Hz
2000 Hz 6600 Hz
2700 Hz
16400 Hz
18900 Hz 23200 Hz
(a) Sur0ms−5ms
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 104
−30
−25
−20
−15
−10
−5
Fr´equence (Hz)
Densit´espectrale(normeL2dB)
5 kHz 6,6 kHz
6,9 kHz 7,2 kHz
7,5 kHz 8 kHz
8,4 kHz 9 kHz
8,7 kHz 10,4 kHz
9,6 kHz
9,8 kHz 11,4 kHz
12,2 kHz
11,9 kHz 13,2 kHz
13,5 kHz 15,2 kHz
14,5 kHz 16,1 kHz
16,3 kHz
17,9 kHz 19,8 kHz
20,7 kHz
2,1 kHz
23,2 kHz
24,9 kHz 27,8 kHz
25,4 kHz 22,7 kHz
1,1 kHz 933 Hz
4,4 kHz 6,4 kHz 5,4 kHz
15,9 kHz 13,8 kHz 11,7 kHz
12,1 kHz 10,6 kHz
17,4 kHz 21,4 kHz
26,4 kHz
21,8 kHz 24,2 kHz 4,6 kHz
3,3 kHz
2,9 kHz
2,7 kHz 200 Hz
1,3 kHz 1,8 kHz
(b) Sur30ms−35ms
Figure6.13 – FFT globales en normeL2
188 CHAPITRE 6. APPLICATION SUR UN MODÈLE SIMPLIFIÉ DE FREIN TGV
1234567869A59BC89DEF
A69C7 !"6
Figure6.14 – Appariement des déformées aux pics aux modes instables
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035
10−4 10−3 10−2 10−1 100 101
temps (s)
|β i|
M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9
Figure6.15 – Projection de la solution sur les neuf modes instables
Choix des quantités observées 189