Définition de deux types de base de réduite

Pour définir des bases réduites, nous avons suivi deux principes directeurs. Le premier est qu’au vu des fortes non-linéarités siégeant dans la zone de contact, cette dernière sera préservée non réduite :

Mise en œuvre d’une réduction efficace 149

tous les degrés de liberté physiques de la zone contact seront donc présents dans la base réduite. Ce principe permet d’une part de garder intact la description du phénomène générateur de l’instabilité, et d’autre part, de faciliter l’implémentation numérique de la réduction en préservant inchangée la partie du code traitant de la non-linéarité de contact. Le deuxième principe est que la construction de la base réduite se fera à l’aide des modes complexes issus de l’étude de stabilité. Ce choix est motivé par trois raisons : premièrement, ces modes sont par construction les plus pertinents pour décrire la dynamique du système autour de l’équilibre ; deuxièmement, dans l’étude d’un système crissant, l’analyse de stabilité est une étape indispensable. Ces modes sont donc déjà calculés avant de lancer la simulation temporelle. Leur réutilisation dans la base est donc avantageuse en terme de coût de calcul ; troisièmement, l’étude du système de référence menée dans la section précédente et des études passées [75] ont montré que ces modes étaient aussi pertinents pour une représentation a posteriori de la solution dynamique non-linéaire transitoire et stationnaire. Notons cependant que ce dernier point n’est pas toujours vérifié, comme cela a pu être montré par Sinou [107]. Sur des modèles éléments finis industriels, la réduction de l’interface de contact est une option intéressante car le nombre de degrés de liberté de contact devient vite largement supérieur au nombre de degrés de liberté réduits utilisés pour décrire le reste du modèle. Cependant une telle réduction est très dif- ficile sans connaissance préalable du comportement du système. Des approches de type POD [91], fondées sur une simulation du système complets sur des petites fenêtres temporelles représentatives sont envisageables mais restent difficiles à maîtriser pour un système autonome. De plus, la conser- vation des degrés de liberté physiques d’interface assure la représentation correcte des réactions de contact dans la base réduite, ce qui est un point nécessaire pour que la réduction puisse fonction- ner [11]. En suivant ces deux principes, il semble donc possible d’obtenir des bases de réductions pertinentes, représentatives de la physique du problème et relativement peu chères à calculer.

Les bases de réduction construites peuvent donc s’écrire sous la forme suivante : B=

C_DDL G_DDL

=

C˜_DDL 0 S G˜_DDL

(5.14) oùC_DDLest une base des degrés de libertés physiques de contact etG_DDLest une base de degrés de liberté généralisés qui correspond à la trace en dehors de la zone de contact de modes complexes du système couplé par le frottement. La baseG_DDLpeut aussi contenir la trace des modes statiques de liaison de l’interface de contact (i.eles réponses de la structure aux déplacements relatifs imposés sur les degrés de liberté de la zone de contact). Il est possible de reporter la trace des modes statiques sur les degrés de liberté physiques par inclusion d’une partieS. Dans ce cas il faut bien veiller à préserver la description physique de l’interface. Pour obtenir une base réelle à partir des modes complexes, les parties réelle et imaginaire des modes sont ajoutées et orthonormalisées par rapport à la matrice de masse. Le cardinal d’une base composée desnpremiers modes complexes est en générale compris entre1, 2n et1, 7n. Ce constat plaide pour l’utilisation des modes complexes plutôt que des modes réels car il montre que l’on a besoin de beaucoup plus de modes réels pour décrire correctement le comportement du système dans la même gamme fréquentielle.

Ainsi, deux types de base réduite sont introduits par la suite. Le premier se fonde sur une approche de troncature modale classique oùG_DDLest simplement la trace des modes complexes jusqu’à une fréquence de coupure donnéefc. Pour des systèmes linéaires, on prend classiquementfcde l’ordre

150 CHAPITRE 5. VALIDATION DES MÉTHODES ET PROPOSITION DE RÉDUCTION

de 1,5 à 2 fois la fréquence maximalefmprésente dans l’excitation du système. Cependant dans le cas des systèmes non-linéaires auto-entretenus, il n’y a pas d’excitation extérieure et les non-linéarités peuvent engendrer des fréquences élevées. D’un point de vue pragmatique, on considèrera que la fréquence maximale d’excitation est donnée par la fréquence du plus haut mode instable. En effet, le système n’aura comme fréquences fondamentales de vibration que des fréquences proches de celles des modes instables. Le deuxième type de base envisagé est fondé sur le caractère non- linéaire du problème. Le système autonome, verra une solution dynamique se développer d’abord sur les modes instables et les contributions non-linéaires associées (harmoniques ou combinaisons fréquentielles des modes instables). Suivant ce raisonnement, on cherche à construire une base G_DDLcontenant la trace de modes dont les fréquences sont proches de celles des modes instables, de leurs harmoniques et combinaisons jusqu’à un ordre fixéo. Les bases ainsi obtenues sonta priori lacunaires en fréquence, mais avec des modes relativement haute fréquence par rapport à ceux qui sont présents dans les bases du premier type.

Dans la suite de la thèse, les bases du premier type seront nomméesFCn où nest le nombre de modes complexes inclus ; celles du second type seront notéesIMo oùo est l’ordre retenu pour les harmoniques et combinaisons. Pour finir, nous proposerons aussi d’ajouter la contribution des modes statiques dans certains cas. Cette inclusion des modes statiques dans une base est signalée à l’aide de l’exposant^ssur son nom. La figure5.49donne une représentation du contenu modal retenu pour différentes bases testées dans la suite pour les systèmes avec 1, 5 ou 9 modes instables. Le caractère lacunaire en mode des basesIMo y est bien illustré, ainsi que le fait qu’elles puissent contenir des

20 40 60 80 100 120 140 FC100

IM1 IM2 IM3

0 50 100 150

−0.05

−0.04

−0.03

−0.02

−0.010.010

numéro de mode

tx. div.

(a)

0 50 100 150

−0.06

−0.04

−0.02 0 0.02

tx. div.

numéro de mode

20 40 60 80 100 120 140 FC100

IM1 IM2 IM3

(b)

12 32 42 52 622 612 632 78622

9A6 9A1 9AB

2 C2 622 6C2

D2E24 D2E23 D2E21 2 2E21 2E23

F

EE

(c)

Figure5.49 – Contenu modal des différentes bases et analyse de stabilité. (rouge : modes instables, bleu : modes stables, noir : modes sélectionnés) – (a) 1 mode instable, (b) 5 modes instables, (c) 9 modes instables

Mise en œuvre d’une réduction efficace 151

modes plus hauts en fréquence que ceux des basesFC100.

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