2.2.1 Cas dustick-slip
Les premières tentatives pour expliquer les vibrations auto-entretenues existantes dans les systèmes frottants ont privilégié la piste de lois de frottement plus ou moins complexes induisant une instabilité.
Parmi ces lois, celles qui exhibent une discontinuité du coefficient de frottement entre l’état adhérent et celui glissant permettent de modéliser un phénomène destick-slip(coller glisser) qui a longtemps été considéré comme l’une des explications des instabilités observées. Ainsi, si l’on considère comme effort non-linéaire l’expression donnée parG1 (Équation (2.4)) et un amortissement nul, le système peut montrer des oscillations auto-entretenues.
G1(x,x, t˙ ) =G1(x˙) =µdNsign(V−x˙)six˙ ,V (2.4)
|G1(V)|6µsN
Avec une telle force non-linéaire, le système de la figure 2.1 peut aussi être vu de manière plus expressive comme une masse sur un tapis frottant (figure 2.2(a)) avec la loi de frottement dont le graphe est donné par la figure2.2(b)en fonction deVg =V−x.˙
Si le système est dans un état où la masse suit le tapis, (i.e.Vg =0), et que le ressort est faiblement tendu, alors au fur et à mesure du déplacement de la masse le long du tapis, l’effort de frottementT va croître et atteindre la valeur limiteµsN. À ce moment, la masse va commencer à glisser le long du tapis, avec un effort de frottement valantµdN. La masse pourra retrouver une situation d’adhérence lorsque sa vitesse sera égale à celle du tapis avec un effort exercé par le ressort inférieur àµsN.
22 CHAPITRE 2. VIBRATIONS AUTO-GÉNÉRÉES
1
(a) Masse sur un tapis forttant
12
3 34
35
(b) Loi de frottement avec discontinuité
Figure2.2 – Mécanisme destick-slip
Pour étudier le comportement d’un système soumis à cet effort non-linéaire, nous introduisons l’abs- cisse d’adhérencexaqui est telle queG(V) =kxa. Cette abscisse marque le changement de statut de frottement entre adhérence et glissement. On regarde alors les trajectoires que peut avoir ce sys- tème dans l’espace des phases(x,x). On suppose l’équilibre quasi-statique du système se fait pour˙ x= xe = µdN/k. Dans l’espace des phases, l’adhérence est décrite par le segment([−xa, xa], V). LorsqueVgest positif, les trajectoires sont des ellipses centrées sur(xe, 0), et lorsque queVgest né- gatif, ce sont des ellipses centrées sur(−xe, 0). Il est alors possible de distinguer trois cas en fonction des conditions initiales :
_ Si les conditions initiales sont dans l’ellipse limiteEl de centre(xe, 0) et tangente au segment d’adhérence([−xa, xa], V), le système est stable est décrit une ellipse comprise dansEl
_ Si les conditions sont prises sur le segment([−xa, xa], V), le système décrit le segment jusqu’au point(xa, V)puis part sur une portion d’ellipse centrée sur(xe, 0)et rejoignant le segment au point(2xe−xa, V). Le système décrit alors une trajectoire ferméeΓl
_ Dans tous les autres cas, le système décrira des portions d’ellipse jusqu’à couper le segment d’adhérence et retrouver le comportement précédent.
Ces trois cas sont illustrés sur la figure2.3. Pour le premier cas, il est à noter que si les conditions initiales coïncident avec l’équilibre, l’ellipse est naturellement dégénérée en un point :(xe, 0). De plus, l’existence des oscillations auto-entretenues est conditionnées par l’absence totale d’amortissement.
En effet, l’ajout, même infinitésimal, d’amortissement conduirait les ellipses et portions d’ellipse à devenir des spirales convergeant vers leur centre. Ce phénomène conduirait alors la solution au point stationnaire(xe, 0).
2.2.2 Cas de l’amortissement négatif
En considérant toujours le même système, mais en prenant un effort non-linéaire décrit parG2(Équa- tion (2.5)), ce qui revient à prendre une loi de frottement dont le graphe est donné par la figure2.4, on obtient là aussi un système pouvant osciller de manière auto-entretenue, et ce, en fonction des
Mécanismes d’origine tribologique 23
1
2
2 3 3
34 35
67 87
935 934
Figure2.3 – Évolution dans l’espace des phases avec un phénomène destick-slip
12
3 34
Figure2.4 – Loi de frottement avec décroissance du coefficient paramètres de la loi de frottement retenue.
G2(x,x, t) =G˙ 2(x) =˙
µs−µ1
|V−x|˙ V1
sign(V−x)N˙ six˙ ,V (2.5)
|G2(V)|6µsN
L’application des conditions de stabilités évoquées dans la section précédente prédit un système stable pour µV1
1 < Nc. En effet, dans le système linéarisé, la force de frottement avec un coefficient décroissant en fonction de la vitesse se traduit par un amortissement négatif équivalentµV1
1N. Dès lors, il suffit que cet amortissement négatif soit strictement supérieur à l’amortissement naturel du système pour provoquer une instabilité. Dans le cas où le système est instable, le point d’équilibreS= (xe, 0) est un équilibre instable : si le système commence à s’en écarter, alors sa trajectoire dans l’espace
24 CHAPITRE 2. VIBRATIONS AUTO-GÉNÉRÉES
1
2
2 3 3
34 35 635 634
78
Figure2.5 – Évolution dans l’espace des phases avec amortissement négatif
des phases sera une spirale divergente partant deS. Cette spirale croisera le segment d’adhérence ([−xa, xa], V) et le comportement sera alors proche de celui observé dans le cas précédent mais avec une portion de spirale divergente décrite plutôt qu’une portion d’ellipse. La figure2.5montre les différents types de trajectoires possibles dans l’espace des phases pour le cas instable.
Contrairement au cas précédent, cette instabilité ne repose pas sur l’absence d’amortissement : l’ajout d’un amortissement infinitésimal ne stabilise pas le système. Nous avons utilisé ici une loi avec une décroissance linéaire comme celle utilisée par Paliwal dans [96], mais comme le montre la condition de stabilité, ce qui importe c’est la décroissance du coefficient de frottement avec la vitesse de glissement à l’origine.