3.4 Conclusions sur l’étude expérimentale du crissement
4.1.2 Modélisation du frottement
La modélisation du frottement sec a également constitué un sujet d’intérêt depuis de nombreuses années, tout d’abord car en tant que phénomène s’opposant au mouvement, le frottement est assez vite apparu comme facteur dimensionnant pour la puissance des machines, ensuite du fait de son rôle dans l’usure des pièces composant les mécanismes.
66 CHAPITRE 4. CONTACT – TRANSITOIRE – RÉDUCTION
−1 −0.6 −0.2 0 0.2 0.6 1
−1
−0.8
−0.6
−0.4
−0.2 0
gadim r n/r 0
Figure4.1 – Relation pression-déplacement de différentes lois de contact : Signorini, Expo- nentielle, Hertz
C’est ainsi que les premiers modèles remontent au XVIesiècle, avec l’énoncé en 1508 par Léonard de Vinci d’une modélisation du frottement en deux points :
_ la force de frottement est proportionnelle à la charge (i.e.la force maintenant les deux corps en contact) ;
_ la force de frottement est indépendante de l’aire de contact.
En 1699 Amontons [4] complète ces deux points avec une troisième loi : la force de frottement est indépendante de la vitesse. La modélisation proposée par Amontons sera confirmée plus tard par Coulomb [29]. Cette loi sera retenue sous le nom de loi de frottement de Coulomb. Le formalisme de Coulomb pour décrire les lois de frottement demeure le plus utilisé de nos jours.
La loi de frottement de Coulomb peut s’exprimer sous la forme donnée par l’équation (4.3) où w˙ désigne la vitesse de glissement relative. Lorsque l’on parle de frottement de Coulomb, on fait le plus souvent référence à une loi avec un coefficientµconstant ou bivalué, avec une valeurµs pour le frottement sans glissement et une autre µc lorsque que les deux corps ont une vitesse relative non-nulle, avec, dans la plupart des cas,µsplus élevé queµc.
krtk6−µrn
krtk= −µrn⇒ ∃λ∈R+,w˙ = −λrt krtk<−µrn⇒w˙ =0
(4.3)
Cette loi est, tout comme la loi de contact de Signorini, non-régulière et non-univoque. Plusieurs modèles existent afin de la régulariser, le plus simple consistant à prendre un seuilδen vitesse pour faire la transition entre les deux sens sur l’intervalle[−δ, δ]. D’autres encore utilisent une fonction du type Arctangente ou encore la loi de Norton-Hoff (4.4) qui permet d’approcher autant qu’on le souhaite la loi de Coulomb, et dont le graphe est donné sur la figure4.2.
rt =µrnkw˙ kξ−1w˙ (4.4)
Modélisation du contact frottant 67
0 0
w r t/|r n|
µ
−µ
δv
−δv
Figure 4.2 – Relation effort tangent-vitesse pour différentes lois de frottement : Coulomb, Norton-Hoff, Arctangente, Linéaire
oùξ∈]0;1[est un paramètre qui permet de choisir le degré de régularisation de la loi.
On pourra noter une dernière variante de loi de frottement simple : la loi de Tresca. Il s’agit d’une loi de Coulomb simplifiée où l’on perd la dépendance à l’effort normal, la quantité µrn étant alors simplement remplacée par un seuil s. Cette formulation ne présente pas beaucoup d’intérêt d’un point de vue physique, mais elle a le grand avantage d’admettre un théorème de l’énergie potentielle.
Le formalisme de la loi de Coulomb permet de prendre en compte de nombreux effets si l’on autorise le coefficient de frottementµ à être une fonction de diverses variables. Les choix classiques sont la vitesse de glissement et la température, mais ce ne sont pas les seuls possibles. Parmi les premiers raffinements de la loi de Coulomb, on trouve les études effectuées par Stribeck [116] qui, suite à de nombreuses expériences sur le frottement dans les roulements, déduit des plages de variation du coefficient de frottement en fonction de la vitesse de glissement, plages usuellement représen- tées dans un graphique appelé courbe de Stribeck (voir fig.4.3). Sur ces courbes, on remarque en général une chute continue du coefficient de frottement sur les faibles vitesses de glissement, puis une augmentation régulière quasi linéaire sur une plage de vitesses modérées. Cet effet est appelé
« effet Stribeck » et est modélisé par la loi de dépendance à la vitesse donnée par l’équation (4.5), dont le graphe se trouve en figure4.4. Cette modélisation couple un effet de chute exponentielle du coefficient de frottement d’une valeurµs à celle µd avec une vitesse caractéristiquevst, et un effet visqueux avec un coefficientχ.
µ=µd+ (µs−µd)e
−kwk˙ vst
δ
+χkw˙k (4.5)
Les études expérimentales du frottement montrent quelques classes de phénomènes que l’on peut souhaiter prendre en compte dans un modèle de frottement. Elles sont constituées des phénomènes d’adhérence, des phénomènes liés à un coefficient statique plus élevé que le coefficient dynamique, des comportements de type glissement-adhérence, des effets visqueux, de l’effet Stribeck et des
68 CHAPITRE 4. CONTACT – TRANSITOIRE – RÉDUCTION
1 123
143 5
6 637
Figure4.3 – Courbe de Stribeck
0 0
w r t/|r n|
µd
µs
vst
Figure4.4 – Relation effort tangent-vitesse avec l’effet Stribeck : courbe complète, partie exponentielle, partie visqueuse
Modélisation du contact frottant 69
effets d’histoire tels que des cycles d’hystérésis lors du glissement-adhérence.
Avec le formalisme de Coulomb et uniquement la vitesse de glissement comme paramètre pour faire varier le coefficient, les effets d’histoire ne sont pas représentables. Ces derniers nécessitent le re- cours à une ou plusieurs variables internes. Un des modèles les plus simples permettant de représen- ter l’effet d’hystérésis est celui de Dahl [27] qui utilise comme variable internez, le glissement relatif, de sorte que dzdt = w, ainsi qu’une formulation inspirée des lois de plasticité traduite par l’équation˙ (4.6).
drt
dt = −σ
1+ rtsign(w)˙ µ|rn|
α
˙
w (4.6)
oùrt désigne l’effort local de friction,σetαsont des paramètres de recalage, généralement dépen- dants du matériau. Diverses améliorations ont été apportées à ce modèle. Parmi les plus répandues, on trouve le modèle de LuGre [123] ou encore le modèle de Maxwell-Slip généralisé. Le modèle de LuGre est régi par les équations (4.7) et fait intervenir une variable internezhomogène à un déplace- ment.
rt = − (σ0z+σ1z˙+σ2w˙) dz
dt =
1− σ0
g(w)˙ sign(w)˙
˙
w (4.7)
où σ0 et σ1 sont respectivement une raideur et un terme d’amortissement portant sur la variable internez, tandis queσ2 est le coefficient de frottement visqueux du modèle etg(w)˙ est une fonction définissant le seuil de glissement.
Ce modèle permet la prise en compte de l’effet Stribeck et du terme visqueux. Le modèle Maxwell- Slip généralisé est quant à lui une mise en parallèle de plusieurs modèles LuGre avec une gestion de l’adhérence ajoutée.
La figure4.5montre une comparaison du comportement des modèles de Dahl et de LuGre pour une vitesse de glissement imposée sinusoïdale. On y voit très clairement le cycle d’hystérésis pour les deux modèles, la prise en compte de l’effet Stribeck et du terme visqueux par le modèle de LuGre.
70 CHAPITRE 4. CONTACT – TRANSITOIRE – RÉDUCTION
0 0
w r t/|r n|
µµds
Figure4.5 – Relation effort tangent-vitesse pour différents modèles : Dahl, LuGre