24 CHAPITRE 2. VIBRATIONS AUTO-GÉNÉRÉES
1
2
2 3 3
34 35 635 634
78
Figure2.5 – Évolution dans l’espace des phases avec amortissement négatif
des phases sera une spirale divergente partant deS. Cette spirale croisera le segment d’adhérence ([−xa, xa], V) et le comportement sera alors proche de celui observé dans le cas précédent mais avec une portion de spirale divergente décrite plutôt qu’une portion d’ellipse. La figure2.5montre les différents types de trajectoires possibles dans l’espace des phases pour le cas instable.
Contrairement au cas précédent, cette instabilité ne repose pas sur l’absence d’amortissement : l’ajout d’un amortissement infinitésimal ne stabilise pas le système. Nous avons utilisé ici une loi avec une décroissance linéaire comme celle utilisée par Paliwal dans [96], mais comme le montre la condition de stabilité, ce qui importe c’est la décroissance du coefficient de frottement avec la vitesse de glissement à l’origine.
Sprag-slipet couplage de modes 25
1
3
4 45
65 6
Figure2.6 – Illustration du principe dusprag-slip
2.3.1 Cas dusprag-slip
Ce mécanisme, permettant d’expliquer les vibrations générées par le frottement a donc été introduit par Spurr en 1962. Le principe, assez simple, est illustré sur la figure2.6. Une barre rigide horizontale avec une liaison très raide en O’ est en liaison pivot parfaite en O avec une deuxième barre rigide dont l’extrémité P repose sur un tapis frottant avec un coefficient de frottementµ. L’effort normal N est appliqué en P, et on note T l’effort tangentiel dû au tapis. En considérant que l’on a un encastrement en O’, l’effort tangentiel s’exprime en fonction de l’angleθcomme suit :
T = µN
1−µtan(θ) (2.6)
Lorsque l’angleθévolue et se rapproche de la valeurarctan(1/µ), il devient suffisamment important pour bloquer le mouvement, on entre alors dans la phase d’arc-boutement du mécanisme desprag- slip. Lorsque l’effort devient assez grand, on ne peut plus considérer la liaison en O’ comme un encastrement, il est alors plus juste de considérer un pivot parfait en O’ et une barre rigide PO’. L’angle intervenant dans l’expression de l’effort tangent devient alors l’angleθ′, bien plus faible que l’angleθ, la valeur de l’effort diminue donc brutalement et permet à nouveau le glissement.
Ce type de comportement est aussi modélisable par le système représenté sur la figure2.1en prenant l’expression suivante pour la force non-linéaire :
G(x,x, t) =˙ µKx (2.7)
La condition de stabilité du système devient alorsK < kµ. Ces deux moyens permettent d’expliquer des vibrations dans des systèmes sans variation du coefficient de frottement, ce qui est nécessaire pour traduire certaines observations expérimentales. En revanche avec le modèle de Spurr, le système doit être suffisamment simple pour pouvoir exprimer la relation liant l’effort au changement de confi- guration. Pour des systèmes plus complexes, où une telle relation est difficile à expliciter, l’approche par couplage de modes permet une généralisation dusprag-slip.
26 CHAPITRE 2. VIBRATIONS AUTO-GÉNÉRÉES
1 2
3 45
46 75
76
78
9 A
Figure2.7 – Couplage de modes – modèle minimal de Hoffmann
2.3.2 Cas du couplage de modes
D’un point de vue physique, l’instabilité desprag-slippeut être vue comme la coalescence de deux modes d’un système. Cette interprétation nécessite alors de disposer d’un système avec au moins deux degrés de liberté pour obtenir deux modes susceptibles de coalescer. Un modèle simple per- mettant de mettre en évidence ce phénomène, donné par Hoffmannet al.[59], est représenté sur la figure2.7. Sa dynamique est gouvernée par l’équation suivante :
m 0
0 m
¨ x
¨ y
+
k11 k12+µk3
k12 k22
x y
= 0
0
(2.8) oùk11=k1cos2(α1) +k2cos2(α2),k12=k1cos(α1)sin(α1) +k2cos(α2)sin(α2)etk22=k1sin2(α1) + k2sin2(α2) +k3. On peut remarquer que le frottement induit une dissymétrie de la matrice de raideur du système. D’un point de vue mathématique, c’est cette dissymétrie qui va apporter l’instabilité en apportant une partie réelle aux valeurs propres du système différentiel.
Les solutions de ce système différentiel sont de la forme xeλt où λ = a+iω est une racine du polynôme caractéristique du système. Lorsqueaest positif, le système est instable.
Les figures2.8(a)et2.8(b) montrent la coalescence des deux modes avec l’augmentation du coef- ficient de frottement pour une masse unitaire et les autres paramètres suivants :k1 = 10000N/m k2 =15000N/m,k3=32000N/m,α1 = 3π4 etα2 =0.
Sur ces figures, on voit les fréquences des deux modes se rapprocher pour devenir égales enµ = 0.34, puis lorsqueµcontinue d’augmenter, le premier mode voit sa partie réelle croître tandis que le second voit la sienne décroître. On peut voir sur ce système une propriété souvent observée qui est la constance de la somme des partie réelles des deux modes couplés. Ici on a très clairementℜ(λ1) =
Sprag-slipet couplage de modes 27
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.5
1 1.5 2 2.5 3
µ ω 1/ω 2
(a) Évolution des pulsations propres du système
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−60
−40
−20 0 20 40 60
µ
ℜ(λ)
(b) Évolution des parties réelles des valeurs propres
Figure2.8 – Coalescence des deux modes du système
−ℜ(λ2) pour toutes les valeurs deµ du fait de l’absence d’amortissement dans le système. L’effet de l’amortissement sera abordé dans la section suivante. Sur ce système, une condition nécessaire pour pouvoir obtenir une déstabilisation par le frottement est un couplage entre les deux degrés de liberté. Ici ce couplage dépend des valeurs choisies pour les anglesα1 etα2.
Les mécanismes desprag-slipet de couplage de modes ont montré leur excellent accord avec des expériences telles que celles de Jarvis et Mills [65] sur un système de type poutre sur disque. Au cours de ces expériences, les auteurs ont mis en évidence des instabilités liées à l’inclinaison de la poutre sur le disque sans que des variations de coefficient de frottement suffisantes pour en être la cause soient constatées. De plus, le modèle de Spurr appliqué à cette expérience a donné des résultats prédictifs. Ces mécanismes ont aussi été largement utilisés pour des études sur des systèmes de type pion sur disque [34,35]
Les mécanismes structuraux et tribologiques introduits sont tout à fait compatibles et peuvent être utilisés dans un même modèle. Ainsi on peut considérer une forceG(x,x, t) =˙
µ0−Vµ1
1|x˙−V|
Kx, qui cumule l’effet d’un coefficient de frottement décroissant avec la vitesse de glissement dustick-slip et celui de l’arc-boutement dusprag-slip. Les conditions de stabilité du système soumis à cet effort sont données de manière assez simple par les dérivées partielles deG:
mx¨+cx˙ +kx=G(x,x, t)˙ stable ⇐⇒
c >−KxV0µ1
1
k > Kh
µ0−Vµ1
1|x˙0−V|i (2.9)
28 CHAPITRE 2. VIBRATIONS AUTO-GÉNÉRÉES
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
−100
−80
−60
−40
−20 0 20 40 60
µ
ℜ(λ) (rad/s)
(a) Partie réelle des modes couplés.
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0
5 10 15 20 25
µ
f (Hz)
(b) Fréquences des modes couplés.
Figure2.9 – Effet d’un amortissement isoréparti sur la stabilité – :c=0Po m, :c=40Po m, :c=80Po m, :c=115Po m