6.2 Identification de la directivité et de la vitesse apparente du champ d’ondes
6.2.1 Application de MuSiC pour les milieux homogènes
0 0.15 0.3 0.45 0.6
−0.5 0 0.5 1
Time [s]
Force [N]
0 10 20 30 40
0 0.25 0.5 0.75 1
Frequency [Hz]
Normalized |FFT| of Force [−]
FIG. 6.11 – Évolution temporelle et contenu fréquentiel du Ricker deto= 0.3setfo = 10Hz.
dans leChapitre2ce matériau est obtenu par une rotation de π2 autour de l’axei1 appliquée au matériau III qui est isotrope transverse du type VTI (vertical transversly isotropic) dont l’axe d’axisymétrie est vertical (CF. FIG2.7). Suivant le même principe, le troisième matériau utilisé dans cette application est obtenu par travers une rotation de π6 autour de l’axei1 appliquée au matériau III. Ce nouveau matériau d’étiquette IIIbest donc isotrope transverse avec un axe de symétrie oblique par rapport à l’horizon.
Avec ce choix de trois matériaux, le champ d’onde apparent à la surface libre est attendu, d’une façon caricaturale, sous formes de fronts respectivement circulaires, "fortement" ellip- tiques et "faiblement" elliptiques. En effet, les champs d’onde (modules de la vitesse des parti- cules, capturés à la surface et à l’instantt= 0.9s, soit àt−to = 0.6spar rapport au pic principal du Ricker) correspondant à ces 3 simulations sont affichés respectivement de gauche à droite de la première ligne de la FIG6.12 (en superposition avec les dispositions des antennes). Les formes du champ d’onde sonta prioriau rendez-vous.
La méthode MuSiC (version fréquentielle) est appliquée pour les signaux d’antenne issus de ces trois simulations. En terme de détection de la directivité des ondes, les résultats calculés à13Hzpar exemple, sont présentés dans les 4 dernières lignes de sous-figures de la FIG 6.12.
Ces 12 sous-figures sont en effet la carte de la fonction directionnelleD(κ)en dépendance des composantesκ1, κ2 du vecteur d’onde apparent (horizontal)κ. L’évaluation de cette fonction donnée par l’équation (B.14) a été faite avec la connaissance exacte du nombre de sourceq = 1.
Ces cartes deD(κ)correspondent respectivement de haut en bas aux antennes A-B-C-D et de gauche à droite aux matériauxI−IIIa−IIIb. Dans chacune de ces images, 12 rayons discontinus découpent le cercle en 12 parts régulières de π6. Ces rayons de repère sont comparables avec les rayons gris superposés aux champs d’onde et aux dispositions des antennes présentées dans les images de la première ligne de la FIG6.12. L’idée de tracer ces repères est que : la détection est jugée robuste une fois que le pic (unique) de la carteD(κ)se trouve sur le rayon correspondant à l’antenne considérée. On constate manifestement dans cette figure que :
– Dans le cas du matériau isotrope, les maxima des cartes se trouvent exactement sur les rayons. Ce fait signifie que l’algorithme MuSiC détecte avec précision la direction d’ar- rivée, et donc la localisation de la source, pour toutes les 4 antennes A, B, C et D.
– Dans le cas des matériaux anisotropes, deux possibilités sont observées. Les détections
6.2. Identification de la directivité et de la vitesse apparente du champ d’ondes de la directivité semble robustes pour les antennes A et D. Quant aux antennes B et C, elles donnent de mauvaises directions.
Cette imprécision s’explique par le fait que l’algorithme MuSiC détecte la direction d’arrivée en se basant sur la directivité du vecteur de vitesse de phase tandis que le rayon liant la source et l’antenne est colinéaire au vecteur de vitesse de groupe. Or, ces deux vecteurs ne sont en général pas colinéaires. Si on trace maintenant dans les images situées en premier rang de la FIG6.12 les flèches rouges perpendiculaires aux fronts d’onde à l’endroit où les rayons (directivité de la vitesse de groupe) l’intersecte, elles représentent la directivité des vitesse de phase. On y observe effectivement des inclinaisons entre ces deux types de direction pour les antennes B et D dans le cas de matériaux anisotropes. En effet, si l’on estime la direction d’arrivée par :
θobsi =atan κi1 κi2
!
pouri=B,C (6.11)
alors les différences θBobs −θB ou θobsC −θC entre les directivités observées et les directivités attendues coïncident bien avec les éventuels décalages correspondant entre les flèches rouges et les rayons gris dans les images du premier rang de la FIG6.12. Dans le cas du matériau isotrope ou bien dans les directions spécifiques (antennes A et D) des cas anisotropes, ces mêmes calculs ne donnent lieu à aucune différence entreθiobsetθi. La robustesse de l’estimation de la direction d’arrivée est obtenue grâce à la colinéarité entre les vecteurs de vitesse de groupe et de vitesse de phase.
REMARQUE 6.2. Pour conclure, ces observations sur la directivité d’ondes révèlent une in- compatibilité fondamentale de la méthode de MuSiC vis-à-vis des matériaux anisotropes dans des cas avec absence de la colinéarité entre les vitesses de groupe et de phase.
En terme de vitesses apparentes, on peut également tracer les courbes de dispersion, i.e.
celles qui représentent la dépendance de la vitesse de phase en fonction de la fréquence, après avoir répété la procédure de la FIG 6.12pour les différentes fréquences. Ces courbes sont affi- chées dans la FIG 6.13dont les sous-figures de haut en bas correspondent respectivement aux matériaux I, IIIa, IIIb. Les courbes marquées par des cercles, des carrés, des astérisques et des diamants sont respectivement calculées par
cobsi = 2πf
|κi| pouri=A,B,C,D (6.12)
à partir des données fournies par les antennes A, B, C et D avecf dans la gamme de fréquence comprise entre5Hzet30Hz. On constate que :
– Pour tous ces matériaux et quelle que soit la direction, la vitesse de phase ne dépend pas de la fréquence41. Cette observation confirme que l’onde de surface dans un demi-espace est non-dispersive.
– Dans le cas du matériau isotrope, toutes les courbes correspondent à une vitesse de phase de l’ordre de920m/squi n’est rien d’autre que la vitesse de l’onde de Rayleigh en demi- espace isotrope bien connue parcR ≃0.92cS.
41à l’exception des basses fréquences où une probable interaction entre l’onde de surface et la couche de PML en base du modèle apparaît.
– Dans les cas des matériauxIIIa etIIIb, l’anisotropie se traduit par le fait que les courbes ne sont pas de même niveau. La différence entre les courbes de la FIG 6.13-b est plus importante que celles de la FIG 6.13-c. Cela est conforme avec les images des fronts d’onde affichées en première lignes de la FIG6.12. De même, dans chacune de ces deux images, on peut relativement comparer la rapidité des ondes se propageant dans deux des directions parmiθA,θB,θC etθD.
Il convient de noter que, hormis le cas isotrope, la comparaison de la vitesse de l’onde dans différentes directions et pour différents matériaux reste très qualitative.
6.2.2 Application de MuSiC pour les milieux hétérogènes
Dans cette section, on applique la procédure adoptée par [Schisselé et al.,2004,2005] pour la caractérisation de la diffraction d’onde élastique en milieu hétérogène à partir des données d’antenne sismique. Un même domaine physiqueΩreprésentant un demi-espace et une même excitation de la section (6.2.1) sont utilisés. Le demi-espace est occupé cette fois par un matériau hétérogène dont le modèle de champ de tenseur d’élasticité est celui défini dans leChapitre3.
La densité volumique est constante et égale à 2000kg/m3. Le tenseur d’élasticité moyen est isotrope et correspond aux vitesses cP = 1730m/s etcs = 1000m/s. Les paramètres de fluc- tuation sont choisis tels queδ = 0etδG = 0.5. Deux jeux de longueurs de corrélation spatiale sont considérés : l’un modélise une variabilité latérale avec ℓ1 = ℓ2 = 100m, ℓ3 = ∞, l’autre représente une variabilité tridimensionnelle avecℓ1 =ℓ2 =ℓ3 = 100m.
Quel que soit le paramétrage, deux antennes identiques à celles de l’application précédente se trouvent à la surface à une distance de1000m par rapport à l’excitation dans les directions θA = π2 etθB = 0. La disposition des antennes est présentée dans la FIG6.14.
Une fois les signaux temporels, ici l’évolution de la vitesse de particule dans le temps, enregistrés (les images à la première ligne de la FIGs6.15-6.18), elles font l’objet d’une convo- lution (équation (B.6)) avec une ondelette de Morlet de paramètre de résolution σ = 5 [voir Goupillaud et al.,1984, pour plus de détails]. Cette opération a été faite pour chacun des 25 cap- teurs composant l’antenne à l’aide de la routinegwlCwt de transformée en ondelette continue du GEOPHYSICALWAVELET LIBRARY[Kulesh et al.,2005]. Les moyennes de l’ensemble des RTF (i.e., représentations temps-fréquence) sont ensuite estimées et affichées dans les images de fond des sous-figures en bas des FIGs6.15-6.18.
L’extraction des squelettes de ces RTF moyennes est ensuite effectuée pour relever les cel- lules temps-fréquence les plus représentatives (en terme énergétique) du signal moyen (sur les- quelles l’algorithme MuSiC va être appliqué postérieurement). Pour ce problème d’optimisation où les diffractions susceptibles d’entraîner des concentrations énergétiques isolées du signal en temps et fréquence, l’algorithme des grimpeurs aléatoires (connu sous son appellation anglais crazy climber ou bien hill climbing) est implémenté. L’avantage de cette méthode [voir Le, 2003,Nguyen,2007, par exemple], outre la capacité de détecter de multiples arêtes, isolées les unes des autres, est la simplicité. En effet, la carte RTF avec ses reliefs peut être considérer d’une façon imagée comme un champ montagneux. L’idée de cette métaheuristique de typere- cuit simulé(simulated annealingen anglais, [voirRobert and Casella,1999, par exemple]) peut être exprimée par l’image suivante : un grand nombreNg de grimpeurs indépendants (dont les positions initiales dans la zone sont aléatoires) cherchent aveuglement à monter (ils acceptent rarement de descendre) ; malgré cette motivation de folie, leurs puissances diminuent dans le
6.2. Identification de la directivité et de la vitesse apparente du champ d’ondes
κ1 [1/m]
κ2 [1/m]
−0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15
−0.15
−0.1
−0.05 0 0.05 0.1 0.15
κ1 [1/m]
κ2 [1/m]
−0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15
−0.15
−0.1
−0.05 0 0.05 0.1 0.15
κ1 [1/m]
κ2 [1/m]
−0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15
−0.15
−0.1
−0.05 0 0.05 0.1 0.15
κ1 [1/m]
κ2 [1/m]
−0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15
−0.15
−0.1
−0.05 0 0.05 0.1 0.15
κ1 [1/m]
κ2 [1/m]
−0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15
−0.15
−0.1
−0.05 0 0.05 0.1 0.15
κ1 [1/m]
κ2 [1/m]
−0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15
−0.15
−0.1
−0.05 0 0.05 0.1 0.15
κ1 [1/m]
κ2 [1/m]
−0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15
−0.15
−0.1
−0.05 0 0.05 0.1 0.15
κ1 [1/m]
κ2 [1/m]
−0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15
−0.15
−0.1
−0.05 0 0.05 0.1 0.15
κ1 [1/m]
κ2 [1/m]
−0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15
−0.15
−0.1
−0.05 0 0.05 0.1 0.15
κ1 [1/m]
κ2 [1/m]
−0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15
−0.15
−0.1
−0.05 0 0.05 0.1 0.15
κ1 [1/m]
κ2 [1/m]
−0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15
−0.15
−0.1
−0.05 0 0.05 0.1 0.15
κ1 [1/m]
κ2 [1/m]
−0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15
−0.15
−0.1
−0.05 0 0.05 0.1 0.15
FIG. 6.12 – Applications de l’algorithme MuSiC pour détecter la direction d’arrivée dans des milieux homogènes. De gauche à droite : milieu isotrope, milieu isotrope transverse type HTI et milieu isotrope transverse de type TTI. Du haut en bas : front d’onde observé (dont les flèches rouges sont les normales) superposé à la disposition des antennes sismiques et les back-azimuths détectés à13Hzrespectivement par les antennes A, B, C, D.
0 5 10 15 20 25 30 800
850 900 950 1000
Frequency [Hz]
Phase Velocity [m/s]
(a)
0 5 10 15 20 25 30
800 850 900 950 1000
Frequency [Hz]
Phase Velocity [m/s]
(b)
0 5 10 15 20 25 30
800 850 900 950 1000
Frequency [Hz]
Phase Velocity [m/s]
(c)
FIG. 6.13 – Courbes de dispersion données par MuSiC pour les demi-espaces homogènes. De haut en bas : milieu isotrope, milieu isotrope transverse type HTI et milieu isotrope transverse de type TTI. Les courbes correspondant aux antennes A, B, C, D sont respectivement marquées par des cercles, des carrées, des astérisques et des diamants.