2.2 Ondes en milieu anisotrope homogène
2.2.4 Illustration des modes d’onde volumique par type de symétrie
Dans cette section, à travers une mise en pratique des équations énumérées dans la section 2.2.1 utilisant le logiciel MATLAB pour résoudre numériquement le problème de Christoffel dans toutes les directions de l’espace tridimensionnel, on essaie de visualiser les différentes surfaces présentées dans la section2.2.2. Cela a pour but de donner une illustration de la com- plexité mentionnée dans la section2.2.3du comportement élastodynamique causée par l’aniso- tropie des différentes symétries évoquées dans la section2.1.
Les matériaux utilisés dans ces démonstrations purement numériques sont en provenance de différents origines. Ils peuvent être : un matériau réel (comme pour le cas isotrope qui est en effet celui du modèle sédimentaire du Bassin de Caracas étudié dans [Delavaud,2007]), un matériau partiellement manipulé en modifiant celui d’un cristal (comme pour les cas cubiques (Nickel), hexagonale (Béryl) ou orthotrope (α-Uranium) avec les coefficients d’élasticité référée de [Hearmon, 1961]) afin de le rendre comparable (en terme de vitesse de propagation) à un milieu géologique, ou bien un matériau complètement synthétisé faute de référence dans la littérature (comme pour le cas du matériau triclinique ayant le tenseur d’élasticité qui est en effet obtenu d’une réalisation du modèle probabiliste de Soize [2001] des matrices définies- positives). Par ailleurs, une densité volumiqueρ= 2000kg/m3est fixé pour tous ces matériaux.
EXEMPLE2.1. Visualisations des modes propres d’onde volumique Description
Pour chacune de ces illustrations, deux options de visualisation sont présentées. D’abord, les surfaces (3D) des 2 modes (quasi-) cisaillement et 1 mode (quasi-) longitudinal (respec- tivement de gauche à droite) sont séparément disposées, correspondant aux lenteurs, aux polarisations, aux vitesses de phase et aux vitesses de groupe (respectivement de haut en bas). Dans un deuxième temps, les sections des lenteurs, de vitesse de phase et de vitesse de groupe (respectivement de gauche à droite) traversant l’origine et perpendiculaire auxi1,i2
et i3 (respectivement de haut en bas) sont superposées. Les calculs présentés se basent en grandes lignes sur l’algorithme proposé dans [Abbudi and Barnett,1991]. Une seule diffé- rence par rapport à ce dernier est à noter : la discrétisation des directions d’espace est faite automatiquement par une routine MATLABpartitionnant une sphère unitaire en polyèdre.
Les tenseurs d’élasticité correspondant à ces matériaux sont les suivants : – MatériauI: Isotrope
CI =
5.985 1.985 1.985 0 0 0
· 5.985 1.985 0 0 0
· · 5.985 0 0 0
S · · 2 0 0
· Y · · 2 0
· · M. · · 2
[×109Pa] (2.31)
2.2. Ondes en milieu anisotrope homogène
– MatériauII: Cubique
CII =
5.985 1.985 1.985 0 0 0
· 5.985 1.985 0 0 0
· · 5.985 0 0 0
S · · 4 0 0
· Y · · 4 0
· · M. · · 4
[×109Pa] (2.32)
– MatériauIII: Isotrope transverse (hexagonal)
CIII=
6.735 2.4025 1.6525 0 0 0
· 6.735 1.6525 0 0 0
· · 5.9075 0 0 0
S · · 2.16625 0 0
· Y · · 1.6325 0
· · M. · · 1.6325
[×109Pa] (2.33)
– MatériauIV: Orthotrope
CIV =
20 2 1 0 0 0
· 15 0.5 0 0 0
· · 14 0 0 0
S · · 2 0 0
· Y · · 1.5 0
· · M. · · 2.5
[×109Pa] (2.34)
– MatériauV: Triclinique
CV =
6.369 0.461 0.880 0.671 −0.303 −0.178
· 3.949 1.403 0.039 −0.405 −0.513
· · 4.394 −0.142 −0.152 −0.662 S · · 3.091 −1.072 −0.081
· Y · · 2.036 0.223
· · M. · · 2.047
[×109Pa] (2.35)
Discussion
Comme convenu, les visualisations 3D des solutions analytiques des 3 modes d’onde vo- lumique dans un espace infini remplis par les matériauxI-Vsont présentées respectivement dans les FIGs (2.3, 2.5, 2.7, 2.9, 2.11). Les versions 2D correspondantes sont présentées respectivement dans les FIGs (2.4,2.6,2.8,2.10,2.12).
On constate systématiquement d’un matériau à l’autre les choses suivantes : – Toutes les visualisations sont centro-symétriques.
– Les vecteurs de polarisation (les flèches en vert situées sur les surfaces en deuxième ligne des visualisations 3D) forment un triplet orthonormé local dans la direction concernée (les flèches en rouge dans les mêmes figures).
– Les anglesαP faits par les vecteurs de polarisation (les flèches en vert) avec les direc- tions d’onde (les flèches en rouge) ne sont pas exactement0et π
2 pour les matériaux anisotropes (II-V). À part ces flèches tracées dans certaines directions, le code de cou- leur pour les surfaces en deuxième ligne des visualisations 3D correspond aux cosαP. Il témoingne ainsi que les modes ne sont pas purs.
– Les surfaces (et donc les sections) de lenteurs des modes de (quasi-)compression sont toujours convexes. Cela correspond aux surfaces de vitesse de groupe de ces modes ayant le caractère univariable envers les directions.
– Les surfaces de lenteurs des modes de quasi-cisaillement des matériaux (II-V) pos- sèdent des parties concaves, ce qui donne la mutivariabilité des vitesses de groupe en fonction des directions concernées (comme déjà illustrée dans la FIG2.2).
– À part le cas du matériau isotropeI, les 2 modes de quasi-cisaillement sont en général séparés sauf en quelques points de singularité (qu’on peut constater dans certaines sections de lenteur et de vitesse de phase).
Les remarques suivantes distinguent les visualisations des matériaux :
– Pour le matériau isotrope (matériau I), les surfaces sont sphériques (tous les axes et les plans traversant l’origine sont les axes et les plans de symétrie des surfaces).
Les modes sont purs. On peut constater dans les (FIGS 2.3-2.4) qu’il n’y a pas de distinction entre les surfaces de vitesse de phase et les surfaces de vitesse de groupe.
– Pour le matériau cubique (matériauI), on peut constater dans la FIG2.5et surtout dans la FIG 2.6 que les 3 plans traversant l’origine et perpendiculaires respectivement à i1,i2eti3sont les plans de symétrie des surfaces. De plus, à la différence du matériau orthotropeIV, les sections d’une même grandeur étudiée sont invariants : les 3 lignes de la FIG2.6sont pratiquement identiques.
– Les surfaces de la FIG2.7, qui correspondent au matériau isotrope transverse (maté- riauII), sont toutes axisymétriques par rapport ài3. En conséquence, dans la FIG2.7, les sections de la première ligne apparaissent sous forme des cercles et les 2 dernières lignes sont identiques l’une à l’autre.
– Pour le matériau orthotrope (matériau IV), comme le matériau cubique, les surfaces de la FIG2.9connaissent les 3 plans perpendiculaires traversant l’origine en tant que plans de symétrie. Par contre, les 3 lignes de la FIG2.10ne sont plus identiques.
– Dans les (FIGS 2.11-2.12), qui correspondent au matériau triclinique (matériau V), à part l’origine qui est le centre de symétrie de tous les objets graphiques, il n’y a aucun autre élément de symétrie.
2.2. Ondes en milieu anisotrope homogène
FIG. 2.3 – Illustration d’un matériau isotrope, surfaces des modes propres. De haut en bas : Surfaces de lenteur, Polarisation (vecteurs d’onde en rouge, vecteur de polarisation en vert), Surfaces de vitesse de phase, Surfaces de vitesse de groupe.
−1 −0.5 0 0.5 1 x 10−3
−1
−0.5 0 0.5 1
x 10−3
X
Y
−1 −0.5 0 0.5 1 x 10−3
−1
−0.5 0 0.5 1
x 10−3
X
Z
−1 −0.5 0 0.5 1 x 10−3
−1
−0.5 0 0.5 1
x 10−3
Y
Z
−1730−865 0 865 1730
−1730
−865 0 865 1730
X
Y
−1730−865 0 865 1730
−1730
−865 0 865 1730
X
Z
−1730−865 0 865 1730
−1730
−865 0 865 1730
Y
Z
−1730−865 0 865 1730
−1730
−865 0 865 1730
X
Y
−1730−865 0 865 1730
−1730
−865 0 865 1730
X
Z
−1730−865 0 865 1730
−1730
−865 0 865 1730
Y
Z
FIG. 2.4 – Illustration d’un matériau isotrope : superposition des sections planes. De haut en bas : les sections planes perpendiculaires respectivement ài3,i2 eti1. De gauche à droite : les sections planes de lenteur, de vitesse de phase et de vitesse de groupe.
2.2. Ondes en milieu anisotrope homogène
FIG. 2.5 – Illustration d’un matériau cubique, surfaces des modes propres. De haut en bas : Surfaces de lenteur, Polarisation (vecteurs d’onde en rouge, vecteur de polarisation en vert), Surfaces de vitesse de phase, Surfaces de vitesse de groupe.
−8 −4 0 4 8 x 10−4
−8
−4 0 4 8
x 10−4
X
Y
−8 −4 0 4 8 x 10−4
−8
−4 0 4 8
x 10−4
X
Z
−8 −4 0 4 8 x 10−4
−8
−4 0 4 8
x 10−4
Y
Z
−1771−886 0 886 1771
−1771
−886 0 886 1771
X
Y
−1771−886 0 886 1771
−1771
−886 0 886 1771
X
Z
−1771−886 0 886 1771
−1771
−886 0 886 1771
Y
Z
−1730−865 0 865 1730
−1730
−865 0 865 1730
X
Y
−1730−865 0 865 1730
−1730
−865 0 865 1730
X
Z
−1730−865 0 865 1730
−1730
−865 0 865 1730
Y
Z
FIG. 2.6 – Illustration d’un matériau cubique : superposition des sections planes. De haut en bas : les sections planes perpendiculaires respectivement ài3,i2 eti1. De gauche à droite : les sections planes de lenteur, de vitesse de phase et de vitesse de groupe.
2.2. Ondes en milieu anisotrope homogène
FIG. 2.7 – Illustration d’un matériau isotrope transverse, surfaces des modes propres. De haut en bas : Surfaces de lenteur, Polarisation (vecteurs d’onde en rouge, vecteur de polarisation en vert), Surfaces de vitesse de phase, Surfaces de vitesse de groupe.
−1.11−0.55 0 0.551.11 x 10−3
−1.11
−0.55 0 0.55 1.11
x 10−3
X
Y
−1.11−0.55 0 0.551.11 x 10−3
−1.11
−0.55 0 0.55 1.11
x 10−3
X
Z
−1.11−0.55 0 0.551.11 x 10−3
−1.11
−0.55 0 0.55 1.11
x 10−3
Y
Z
−1835−918 0 918 1835
−1835
−918 0 918 1835
X
Y
−1835−918 0 918 1835
−1719
−859 0 859 1719
X
Z
−1835−918 0 918 1835
−1719
−859 0 859 1719
Y
Z
−1835−918 0 918 1835
−1835
−918 0 918 1835
X
Y
−1835−918 0 918 1835
−1719
−859 0 859 1719
X
Z
−1835−918 0 918 1835
−1719
−859 0 859 1719
Y
Z
FIG. 2.8 – Illustration d’un matériau isotrope transverse : superposition des sections planes. De haut en bas : les sections planes perpendiculaires respectivement à i3, i2 et i1. De gauche à droite : les sections planes de lenteur, de vitesse de phase et de vitesse de groupe.
2.2. Ondes en milieu anisotrope homogène
FIG. 2.9 – Illustration d’un matériau orthotrope, surfaces des modes propres. De haut en bas : Surfaces de lenteur, Polarisation (vecteurs d’onde en rouge, vecteur de polarisation en vert), Surfaces de vitesse de phase, Surfaces de vitesse de groupe.
−1.15−0.58 0 0.58 1.15 x 10−3
−1
−0.5 0 0.5 1
x 10−3
X
Y
−1.15−0.58 0 0.581.15 x 10−3
−1.15
−0.58 0 0.58 1.15
x 10−3
X
Z
−1−0.5 0 0.5 1 x 10−3
−1.15
−0.58 0 0.58 1.15
x 10−3
Y
Z
−3162−1581 0 1581 3162
−2739
−1369 0 1369 2739
X
Y
−3162−1581 0 1581 3162
−2646
−1323 0 1323 2646
X
Z
−2739−1369 0 1369 2739
−2646
−1323 0 1323 2646
Y
Z
−3162−1581 0 1581 3162
−2739
−1369 0 1369 2739
X
Y
−3162−1581 0 1581 3162
−2646
−1323 0 1323 2646
X
Z
−2739−1369 0 1369 2739
−2646
−1323 0 1323 2646
Y
Z
FIG. 2.10 – Illustration d’un matériau orthotrope : superposition des sections planes. De haut en bas : les sections planes perpendiculaires respectivement ài3, i2 eti1. De gauche à droite : les sections planes de lenteur, de vitesse de phase et de vitesse de groupe.
2.2. Ondes en milieu anisotrope homogène
FIG. 2.11 – Illustration d’un triclinique, surfaces des modes propres. De haut en bas : Surfaces de lenteur, Polarisation (vecteurs d’onde en rouge, vecteur de polarisation en vert), Surfaces de vitesse de phase, Surfaces de vitesse de groupe.
−1.21−0.61 0 0.611.21 x 10−3
−1.25
−0.63 0 0.63 1.25
x 10−3
X
Y
−1.21−0.61 0 0.611.21 x 10−3
−1.3
−0.65 0 0.65 1.3
x 10−3
X
Z
−1.25−0.63 0 0.631.25 x 10−3
−1.3
−0.65 0 0.65 1.3
x 10−3
Y
Z
−1851 −925 0 925 1851
−1536
−768 0 768 1536
X
Y
−1823 −912 0 912 1823
−1513
−757 0 757 1513
X
Z
−1481−740 0 740 1481
−1563
−781 0 781 1563
Y
Z
−1788 −894 0 894 1788
−1385
−693 0 693 1385
X
Y
−1764 −882 0 882 1764
−1454
−727 0 727 1454
X
Z
−1427−713 0 713 1427
−1510
−755 0 755 1510
Y
Z
FIG. 2.12 – Illustration d’un matériau triclinique : superposition des sections planes. De haut en bas : les sections planes perpendiculaires respectivement ài3,i2 eti1. De gauche à droite : les sections planes de lenteur, de vitesse de phase et de vitesse de groupe.