Formulation variationnelle stochastique

tions de l’espace de champs de vecteur de déplacement et de vitesse cinématiquement admis- sibles et l’espace de champ de vecteur de déplacementtest. SoitH ¹

2 (Ω)l’espace de Sobolev des champs de fonction vectorielle défini sur Ω qui sont de carré intégrables et dont les pre- mières dérivées spatiales le sont également²³surΩ, se définissent :

(i) l’espace des champs de déplacement et de vitesse cinématiquement admissibles

S^t={u(x, t) :Ω×T →❘^nd|u ∈H¹2(Ω)} (3.209) associé à

(ii) l’espace des variations de déplacement admissible pour chaque instanttdonné δS ={δu(x) :Ω→❘^nd|δu∈H¹

2 (Ω)} (3.210)

La formulation faible du modèle déterministe du problème élasto-visco-dynamique dans le do- maine temporel associée à la formulation forte (2.15) consiste alors à trouver la réponse déter- ministe, i.e.le champ de déplacement {x 7→ u(x, t)|(x, t) ∈ Ω×T} et le champ de vitesse {x7→ u(x, t)˙ |(x, t)∈Ω×T}définis dans l’espace des champs de déplacement et de vitesse cinématiquement admissiblesS^ttels qu’à tous les instants ∀t∈T et pour toutes les fonctions test∀δu∈δS l’expression suivante soit vérifiée :

Dδu, ρ^du˙

dt E

Ω =

δu,f_v

Ω+

δu,f_s

∂Ω−

A

^{eΩ(δu,u)−}

A

^{vΩ(δu,u)˙ (3.211)}

avec les conditions initiales données par :

(u(x,0) = uo(x) (a)

˙

u(x,0) = ˙u_o(x) (b) (3.212)

Dans l’expression (3.211), tous les opérateurs sont des formes bilinéaires déterministes définies-positives, symétriques. Ils sont établis en tant qu’intégrales spatiales surΩou sur son bord ∂Ω comme suit respectivement pour les travaux exercés par la force inertielle, par les chargements externes et pour les énergies de déformations en viscosité (à travers le tenseur de viscositéϑ) et en élasticité :

Dδu, ρ^du˙

dt E

Ω = Z

Ω

δu· ^du˙

dt ^dΩ (3.213)

δu,f_v

Ω = Z

Ω

δu·f_v dΩ (3.214)

23Mathématiquement,H¹

2(Ω)est défini par : H¹

2(Ω) ={u∈L²(Ω)|gradxu∈L²(Ω)} (3.207) oùL²(Ω)l’espace de Lebesgue d’ordre 2 des fonctions carré-intégrables surΩ. Ainsi,H¹

2(Ω)est hilbertien par rapport à la normek·k^Hdéfinie comme :

kuk²H = Z

Ω

u·udΩ+ Z

Ω

gradxu:gradxudΩ (3.208) .

δu,f_s

Ω= Z

∂Ω

δu·f_s dS (3.215)

A

^{vΩ(δu,u) =˙ Z}

Ω

grad_xδu: ϑ :grad_xu˙ dΩ (3.216)

A

^{eΩ(δu,u) =Z}

Ω

grad_xδu :C :^gradxu dΩ (3.217) Pour les fonctionsf_v(x, t),f_s(x, t),u_o(x)etu˙_o(x)choisies suffisamment régulières (i.e., elles sont au moins de carré intégrable en espace et en temps), il est démontré [Dautray and Lions, 1987] que la formulation variationnelle (3.211)-(3.212) est mathématiquement bien po- sée c’est-à-dire que la solution(u,u)˙ existe et qu’elle est unique. Par conséquent, connaissant la géométrieΩainsi que l’ensemble des données{ϑ, ρ,f_v,f_s,u_o,u˙_o}on peut définir une ap- plication S faisant correspondre le champ de tenseur d’élasticité {x 7→ C(x)} à la solution unique de la formulation faible

S :▼⁺6(❘)×Ω→S^t

C(x)7→S C(x)

= u(x),u(x)).˙ (3.218) De plus, le champ de déplacementu et le champ de vitesseu˙ sont des fonctions continues en temps et en espace.

3.3.2 Modèle stochastique en élasto-visco-dynamique

La formulation faible du modèle stochastique du problème élasto-visco-dynamique dans le domaine temporel est maintenant énoncée dans ce paragraphe. Comme on a abordé au préam- bule de la section que le modèle stochastique paramétrique à paramétrage minimal modélise le champ de tenseur d’élasticité par le champ stochastique {x 7→ C(x;δ, δG;ℓ) | x ∈ Ω}, la formulation variationnelle stochastique associée consiste alors à trouver la réponse aléatoire, i.e. le champ de déplacement {x 7→ ^U(x, t;p)|(x, t) ∈ Ω × T} et le champ de vitesse {x 7→ ^U˙(x, t;p)|(x, t) ∈ Ω× T} définis²⁴ dans l’espace de mesure probabilisé (A,T, P) à valeur dans l’espace des fonctions cinématiquement admissiblesS^ttels que à tous les instants

∀t ∈T et pour toutes les fonctions test∀δu∈δS l’expression suivante soit vérifiée : (D

δu, ρ^dU˙

dt E

Ω = δu,f

Ω+

δu,f_s

∂Ω−

A

^eΩ(δu,^U)−

A

^{vΩ(δu,U˙)}

)

p.s. (3.219) avec les conditions initiales données par :

(

U(x,0;p) = uo(x) p.s. (a)

˙

U(x,0;p) = ˙u_o(x) p.s. (b) (3.220) À part des différences d’apparence, une chose essentielle qui distingue la formulation varia- tionnel stochastique (3.219)-(3.220) avec sa formulation déterministe d’origine (3.211)-(3.212)

24où le symbolepest utilisé désormais pour représenter le paramétrage minimal qui se compose des paramètres de fluctuationδ, δGet des 3 longueurs de corrélation regroupées dansℓ.

3.3. Formulation variationnelle stochastique.

réside dans le remplacement de l’opérateur déterministe d’élasticité

A

^eΩpar un opérateur sto- chastique d’élasticité

A

^e_Ωdéfini par :

n

A

^eΩ(δu,^U) = Z

Ω

grad_xδu:C(x;p):grad_xudΩo

p.s. (3.221)

tandis que l’opérateur de viscosité

A

^eΩet les autres formes bilinéaires des chargements externes et de l’inertie restent déterministes et sont identiques à celles définies dans les expressions (3.213)-(3.216).

Deux propriétés importantes de la formulation faible stochastique que l’on vient de décrire sont que (i) sa solution(^U,^U˙)existe avec unicité et que (ii) le champ stochastique du déplace- ment et le champ stochastique de la vitesse sont du second ordre. Pour la démonstration de la propriété (i), les lecteurs sont invités à se référer à [Arnst,2007]. Dans la suite, on va écrire l’ex- pression mathématique de la propriété du second ordre de la solution et en suite des éléments importants pour établir une démonstration complète se fondant sur celle présentée dans [Arnst, 2007] concernant la propriété homologue ayant pour champ du tenseur d’élasticité le modèle de Soize[2006].

PROPRIÉTÉ 3.13. Si les paramètres de fluctuation δ et δG du champ stochastique de tenseur d’élasticité C(x,p)vérifient respectivement les inégalités (3.98) et (3.101), les inégalités sui- vantes se vérifient pour∀t∈T :

(

E

_k^U(t)k² <+∞ (a)

E

_k^U˙(t)k² <+∞ (b) (3.222)

Une démonstration complète de cette propriété peut être obtenue en appliquant similai- rement le schéma de démonstration décrit dans [Arnst, 2007, Appendice A.4]. Par contre, il convient de noter qu’à la différence de cette démonstration en référence faite sur mesure pour le modèle de [Soize,2006], on va utiliser les PROPRIÉTÉs3.14et3.15, énoncées et démontrées dans la suite, respectivment à la place des expressions (A.73) et (1.85) de [Arnst,2007].

PROPRIÉTÉ 3.14. Si on dénomme

A

^eΩ(δu,u) l’opérateur bilinéaire d’élasticité associé au champ moyen du tenseur d’élasticitéx7→C(x):

A

^{eΩ(δu,u) =Z}

Ω

grad_xδu:C :^gradxudΩ (3.223) et réécrit le tenseurCsous la forme

C=Q q

Q G q

QQ:=QZQ (3.224)

avec

Z=

r✔ KS+

r✖ µD

! G

r✔ KS+

r✖ µD

!

, (3.225)

on a :

A

^{eΩ(δu,u)≤sup}

x∈ΩkZ⁻¹k^vp ×

A

^e_Ω(δu,u) (3.226)

PREUVE. Par définition dans l’équation (3.223),

A

^eΩ(δu,u) peut s’écrire également sous la forme d’un produit scalaire des tenseurs de déformationεengendrés par les déplacementsδu:

A

^{eΩ(δu,u) = Cε(δu),ε(u)}Ω

=

Qε(δu),Qε(u)

Ω

=

Z⁻¹ZQε(δu),Qε(u)

Ω

≤sup

x∈ΩkZ⁻¹kvp ×

ZQε(δu),Qε(u)

Ω

= sup

x∈ΩkZ⁻¹k^vp×

QZQε(δu),ε(u)

Ω

D’où la démonstration s’achève en raison de l’équation (3.224).

PROPRIÉTÉ3.15. Si les paramètresδetδGvérifient respectivement les conditions0< δ < 1

√2 et0< δG <

r 7

11, l’inégalité suivante se satisfait :

E

( sup

x∈ΩkZ⁻¹(x,p)k^vp 2)

<+∞ (3.227)

PREUVE. La définition²⁵ Z = p QGp

Q induit que kZ⁻¹kvp ≤ kQ⁻¹kvpkG⁻¹kvp. D’où, commeGetQsont indépendantes, on a :

E

sup

x∈ΩkZ⁻¹kvp

2

≤

E

sup

x∈ΩkQ⁻¹kvp

2

×

E

sup

x∈ΩkG⁻¹kvp

2

(3.229) Sachant que selon [Soize,2006]

E

sup

x∈ΩkG⁻¹kvp

2

<+∞pour0< δG <

r 7

11 (3.230)

la démonstration s’achève si à ce stade on peut prouver que

E

sup

x∈ΩkQ⁻¹k^vp2

<+∞pour0< δ < 1

√2 (3.231)

On peut démontrer (3.231) en se basant sur la démonstration deSoize[2006] pour (3.230). En effet, commeQ⁻¹peut s’écrire dans la base orthonormée{S,√¹

5D}induit que cette matrice est

25dont la matrice de racine carré est au sens : q

Q= r✔

KS+ r✖

µD (3.228)

3.4. Bilan du chapitre

No documento Quang Anh Ta (páginas 126-130)