3.4. Bilan du chapitre
Par ailleurs, au cours de ce chapitre une formulation variationnelle du problème stochastique en élasto-visco-dynamique est également élaborée pour laquelle les propriétés mathématiques du modèle des données élastiques assurent l’unicité, la continuité par réalisation et la propriété du second-ordre des champs de réponse en déplacement et en vitesse.
La résolution non-intrusive du problème stochastique sera effectuée en faisant appel à une approche par la méthode de Monte-Carlo où chaque réalisation du champ de réponse est une so- lution du problème variationnel en élasto-visco-dynamique associé à une réalisation du champ stochastique de tenseur d’élasticité. Un tel solveur variationnel déterministe pour le problème élastodynamique par la méthode des éléments finis spectraux fera l’objet du Chapitre 4 qui suit.
Chapitre 4
Simulations numériques de la propagation d’ondes élastiques en milieux hétérogènes
anisotropes
Après avoir d’une part abordé le problème élastodynamique en régime transitoire dans le Chapitre 2 et, d’autre part proposé un modèle stochastique de champ de tenseur d’élasticité dans le Chapitre 3, on va décrire dans ce présent chapitre l’implémentation numérique d’un solveur non-intrusif du problème de la propagation d’onde dans des milieux anisotropes et aléatoirement hétérogènes.
Ce chapitre est organisé comme suit : La section 4.1 est consacrée à une étude bibliogra- phique sur les méthodes numériques utilisées pour la simulation en élastodynamique. La sec- tion qui la suit (section4.2) est réservée aux fondements théoriques de laméthode des éléments finis spectraux et sur la couche absorbante parfaitement adaptée sur lesquelles s’est basé le développement du code de calcul SPEC3D au sein du groupe des sismologues de l’IPGP. La section4.3résume la structure des données du logiciel SPEC3D. La dernière section comporte une description des contributions dans le cadre de ce travail de thèse en termes d’adaptations du logiciel vis-à-vis de notre thématique de simulation de la propagation d’onde élastique en présence d’hétérogénéité et d’anisotropie.
4.1 Brève zoologie des méthodes numériques en élastodyna- mique.
La nécessité de recourir aux méthodes numériques est soulevée dès lors que l’on a l’in- tention d’étudier la propagation des ondes dans des structures réelles. De toutes les façons, on ne connaît de solutions analytiques que dans des cas extrêmement simples comme celui d’un demi-espace homogène ou bien d’un demi-espace horizontalement stratifié, cas éloignés des structures réelles qu’on veut étudier. Depuis une quarantaine d’années, la naissance de l’infra- structure informatique et puis sa croissance spectaculaire et ininterrompue, tant en terme de vitesses de calcul que sur le plan de la capacité de stockage, ont des effets bénéfiques sur l’ap- parition des techniques numériques avancées ainsi que sur l’amélioration de leur efficacité voire de leur faisabilité.
À la racine de l’arbre généalogique des méthodes numériques en élastodynamique, se dis- tinguent le groupe des méthodes approchées et le groupe des méthodes de calcul d’ensemble d’ondes. Le premier, du type de la théorie des rayons fondée sur une approximation haute fré- quence, permet seulement l’identification des quantités spécifiques de la propagation d’ondes volumiques comme les trajectoires, les temps de parcours, l’amplitude, les coefficients de réflexion- transmission,etc.. Les méthodes du deuxième groupe visent à fournir une résolution complète sous forme de champs de déplacements, de vitesses ou bien de contraintes. Ces champs évo- luant à la fois en temps et en espace sont en fait les superpositions de tous les types d’ondes susceptibles de se propager dans le milieu, quel que soit leur contenu fréquentiel et quel que soit leur nature : qu’elles soient volumiques (i.e. ondes P et S), ou guidées (i.e. ondes de de Rayleigh, deLoveou deStoneley). Sachant que l’intention principale dans le cadre de ce travail de thèse est de simuler la réponse complète d’une structure hétérogène et anisotrope complexe afin de mieux comprendre l’influence de ces complexités sur la propagation d’ondes élastiques, on va choisir une méthode de calcul parmi celles du deuxième groupe. La suite de cette sec- tion décrit brièvement les grandes familles de méthodes qu’on utilise en élastodynamique. Ce sont les méthodes dedifférences finies, d’éléments finisetde frontière, les méthodesspectrale, pseudo-spectraleet d’éléments finis spectraux. L’ordre selon lequel elles seront abordées n’est pas forcément chronologique : les méthodes fortes ou globales seront présentées en premier lieu, ensuite, les méthodes intégrales et enfin les méthodes variationnelles.
Face à l’équation d’onde élastodynamique, comme avec toutes les équations aux dérivées partielles, la première chose à tenter est de chercher à la résoudre directement dans la forme forte, i.e. forme différentielle (2.15). C’est ce que les méthodes de différences finies, les mé- thodes spectrales et pseudo-spectrales consistent à faire. Les méthodes des différences finies (FDM) fondées sur un développement des dérivées spatiales26 intervenant dans l’équation en série de Taylor ont été largement utilisées en 2D et récemment en 3D pour modéliser la propa- gation des ondes. Le premier avantage de ces méthodes est une mise en oeuvre facile surtout dans des cas de géométrie simple. Par contre, si la géométrie est complexe l’implémentation n’est plus un atout de ces méthodes. Dans ce cas, pour réduire la dispersion numérique liée à la grille deux mesures doivent être envisagés : choisir un rapport pas de grille-longueur d’onde suffisamment petit et une formulation de la grille en quinconce. Pour la première technique, de nombreuses études montrent une nécessité d’avoir au moins 15 points de grille par longueur d’onde la plus petite. Par conséquent, un coût de calcul considérable est requis. Le deuxième schéma, initialisé par Madariaga[1976] et devenu standard en FDM après les travaux de [Vi- rieux, 1984, 1986], a efficacement amélioré la situation en atteignant une réduction de la mé- moire vive jusqu’à 27 fois pour le cas 3D. Ce gain est réalisé grâce à un besoin de seulement 5 points de grille par longueur d’onde la plus petite selon le schéma d’ordre 4 recommandé par Levander [1988]. Malgré cette performance en vue du surmontage de l’imprécision liées aux grilles, un autre type d’artefacts reste encore un inconvénient majeur des schémas de dif- férences finies. Cela réside dans l’incapacité à implémenter la condition aux limites de surface libre avec la même précision que dans l’intérieur du domaine [Virieux,1986,Levander,1988], notamment avec les schémas d’ordres élevés. Pour cette raison, les méthodes des différences finies semblent peu adoptables pour prendre en compte de la propagation d’ondes de Rayleigh dans des structures géologiques réalistes.
26la discrétisaion temporelle de toutes les méthodes numériques est sous-entendue en différences finies.
4.1. Brève zoologie des méthodes numériques en élastodynamique.
Dans le même principe de résoudre l’équation d’équilibre en version forte, les méthodes spectrale, qui sont basée sur une représentation de la solution en série de Fourier27 tronquée sont également employées dans la littératures [Gazdag, 1981,Reshef et al., 1988]. Par contre, cette base des fonctions trigonométrique n’étant pas capable de bien vérifier des conditions aux limites non périodiques a été rapidement remplacée par des bases d’ondelettes et notamment par des bases de polynômes orthogonaux comme les polynômes de Chebyshev ou bien les po- lynômes de Legendre. Ces changements au fond mathématique sont traduits dans la pratique de calcul élastodynamique par l’utilisation des méthodes dites pseudo-spectrales dans les tra- vaux deFornberg[1988] et deCanuto et al.[1988]. Cette technique de collocation est appréciée pour sa précision et son faible nombre requis de points de collocation par longueur d’onde. Par contre, comme l’espacement entre les points de collocation n’est pas uniforme, la plus petite distance (au bord du domaine) est en général (quel que soit le type des polynômes choisi, i.e polynômes de Legendre ou de Chebyshev) inversement proportionnelle au nombre de points de collocation au carrée et devient très vite très petite. Cette dernière implique une discrétisation temporelle d’autant plus fine pour assurer un schéma stable de l’intégration en temps. De plus, ce schéma global souffre des mêmes limitations que les schémas de différences finies en terme de prise en compte de la condition aux limites de surface libre [Carcione and Wang,1993].
Les méthodes des éléments de frontière (BEM), basées sur les théorèmes de représenta- tion intégrale combinés à des expansions en nombre d’onde discret de fonctions de Green, sont également utilisées depuis longtemps en sismologie et en génie parasismique afin d’incorporer des surfaces et des topographies d’interface réalistes (milieux non-bornés, demi-espace avec ou sans stratification horizontale etc.). Cette famille de méthode des éléments finis de frontières découle de l’application du théorème de réciprocité de Maxwell-Betti, qui permet d’exprimer le champ de déplacement à l’intérieur d’un domaine Ω à partir des champs de déplacement et de la contrainte calculés à la frontière ∂Ω. Dans l’ensemble, les méthodes BEM procèdent en deux étapes principales [voir Clouteau, 1990,Bonnet, 1995, par exemple] qui sont les sui- vantes : dans un premier temps on résout une équation intégrale de frontière qui donne le champ surfaciquede déplacement ainsi que le champsurfaciquede contraintes sur ces frontières qui sont soit réalistes (surface libres, interfaces entre les couches géologiques etc.) soit purement fictives, eta posteriorion déduit, à travers une sorte d’interpolation par application d’une for- mule de représentation intégrale, les champsvolumiquesassociés,i.e., le déplacement et l’état de contraintes dans tous les points à l’intérieur de ces frontières. Cette interpolation se base en effet sur les solutions analytiques fondamentalesUGij(x,y)qu’on appelle la fonction de Green qui exprime la composante suivant la directionj du déplacement au pointxsitué à la frontière
∂Ωdû à une excitation ponctuelle au pointy du domaine Ωdirigée suivant la directioni. La modélisation par éléments de frontière peut se faire en employant les fonctions de Green d’un milieu infini [Dangla,1989] ou d’un milieu semi-infini et semi-infini stratifié [Clouteau,1990].
Deux principaux avantages de la méthode des éléments de frontières sont, d’une part, la capa- cité naturelle de prendre en compte le caractère non-borné des milieux infinis et, d’autre part, le fait de chercher la solution de la propagation d’ondes élastiques dans un espace qui a une dimension de moins que le domaine physique étudié (i.e., courbes en dimension 2 et surfaces en dimension 3). Cependant, ce gain d’une dimension devient un inconvénient pour la modéli- sation des hétérogénéités tridimensionnelles. Dans ce cas, seule la fluctuation verticale peut être
27d’où vient le termespectral
paramétrable avec les modèles de stratification, les variations latérales ne peuvent être prises en compte que par le biais des perturbations non-paramétriques. Une piste a été suggérée parSavin and Clouteau[2002] consistant à employer une méthode de sous-structuration qui donne suite à un couplage BEM/FEM et permet des résultats intéressants en termes d’études probabilistes paramétriques sur l’interaction sismique sol-structure.
Étant les plus utilisées en calcul numérique, les méthodes d’éléments finis (FEM), qui sont basées sur une formulation variationnelle de l’équation d’onde, permettent la prise en compte plus naturelle des conditions aux limites (en particulier la condition de surface libre). Bien qu’elles soient plus adaptées au traitement de géométries complexes et de modèles réellement hétérogènes, elle n’ont pas été beaucoup utilisées dans le domaine de la sismologie [Belytschko and Mullen, 1978, Toshinawa and Ohmachi, 1992]. En effet, les méthodes d’éléments finis classiques, limitées en pratique à des ordres d’approximation polynomiale faibles, restent peu précises et dispersives dans le cas de l’équation des ondes [Dupond, 1973, Marfurt, 1984].
Les éléments finis classiques d’ordre plus élevé (p-FEM) posent également d’autres problèmes difficiles à résoudre tels que l’apparition d’ondes parasites. Les élément finis type hp (hp-FEM) peuvent probablement contourner le problème en raffinant à la fois la taillehet l’ordrep, mais alors comme les raffinements pne conduisent pas naturellement à des méthodes numériques explicites, ce qui signifie qu’il est nécessaire d’inverser une matrice N-diagonale dont la largeur N de bande croît avec l’ordre d’approximation polynomiale utilisé. Notons que plus récemment, des méthodes d’éléments finis espace-temps ont été introduites en élastodynamique [Hughes and Hulbert,1988,Richter,1994] et ont ouvert des perspectives intéressantes.
La méthode d’éléments spectraux (SEM) est une méthode de discrétisation variationnelle d’ordre élevé d’équations aux dérivées partielles, basée sur des idées originelles de Patera [1984] pour le cas des polynômes de Chebyshev et développée dans la suite pour le cas des bases polynomiales de Legendre, qui nous intéresse ici, par Maday and Patera [1988]. Des applications de la SEM au cas 2D [Cohen et al., 1993, Priolo et al., 1994] et 3D [Komatitsch, 1997,Seriani,1998,Fauqueux,2003,Delavaud,2007] de l’élastodynamique ont montré qu’une grande précision et une faible dispersion numérique peuvent être obtenues, et qu’elle peut être efficacement implémentée en version parallèle. L’approximation par la méthode SEM dépend de la partition géométrique du domaine et du degré d’approximation polynomialep. En consi- dérant fixée la partition du domaine et en augmentant le degré p dans les sous-domaines pour améliorer la précision de l’approximation, la méthode SEM ressemble beaucoup, en termes de structure, à la méthode d’éléments finis d’ordrep(p-FEM). Ces deux méthodes sont toutes ba- sées sur l’utilisation d’un élément de référence sur lequel on construit les fonctions de base. La principale différence, qui va influencer la structure des matrices des systèmes linéaires corres- pondants, réside dans le choix des fonctions de base ainsi que dans la façon de calculer les inté- grales. La méthode SEM est née comme généralisation des méthodes spectrales à des domaines ne pouvant pas être l’image d’élément de référence via une unique transformation géométrique.
Elle permet donc de faire du raffinement local de maillage, de prendre en compte les compor- tements différents de la solution sur différentes parties du domaine,etc.. Globalement, on peut dire que la méthode SEM réunit les aspects avantageux des méthodes pseudo-spectrales et des méthodes variationnelles : la performance en termes de précision, la condensation naturelle de la matrice de masse des unes et la flexibilité géométriques des autres.
Dans ce travail de thèse, nous avons choisi d’employer une approche par la méthode des éléments finis spectraux tant en raison de sa performance numérique que pour une autre rai-
4.2. Élément finis spectraux : milieu isotrope, homogène par élément