Discrétisation spatiale par éléments finis spectraux

La discrétisation spatiale consiste à définir une partitionP^h(Ω) = {Ωe ⊂ Ω|S

Ωe∈P_Ω = Ω}du domaine physiqueΩ. Les élémentsΩe, indexés de 1 àne =cardP^h(Ω), sont caracté- risés par une taille h. Du point de vue de la théorie d’ensemble,P^h(Ω)est un sous-ensemble deΩ. Le terme partition insiste sur le fait que les éléments finis ne se sont pas recouverts l’un par l’autre. Du point de vue géométrique, pour un domaine 3D et les élémentshexaédriques²⁸, l’intersection entre deux éléments différemment indexés est soit vide, soit se compose d’une face et/ou des arrêtes et/ou des sommets.

Grâce à cette discrétisation spatiale, les intégrales (4.5)-(4.8) peuvent s’écrire de la façon semi-discrétisée suivante :

hδu,u˙iΩ=

ne

X

e=1

hδu^e,u˙^eiΩe (4.11)

hδu, ρv˙i^Ω=

ne

X

e=1

hδu^e, ρv˙^ei^Ωe (4.12)

28Dans cette dissertation, sauf pour quelques illustrations schématiques où les éléments quadrilatéraux sont utilisés, un élément fini est sous-entenduhexaédrique.

4.2. Élément finis spectraux : milieu isotrope, homogène par élément

hδu,fiΩ=

ne

X

e=1

hδu^e,f^eiΩe (4.13)

A

^{Ω(δu,u) =Xne}

e=1

A

^{Ωe(δue,ue) (4.14)}

où u^e,v^e,f^e, δu^e sont respectivement les restrictions de u,v,f, δu àΩ_e, qui s’écrivent, par exemple pouru^eetδu^e, comme suit :

u^e(x, t) =u(x, t)|^x∈Ωe , δu^e(x) = δu(x)|^x∈Ωe (4.15) Afin d’avoir la forme totalement discrète des intégrales, une règle de quadrature est nécessaire.

Pour ce faire, les intégrales doivent être évaluées sur un élément de référenceΩ = [−1,1]^nd qui est en commun pour tous les sous-domaines physiques. Chaque élément Ωe ∈ P^h(Ω) est en effet l’image de l’élément de référence à travers une transformation géométrique F^e correspondant àΩe :

Fe :Ω →Ωe ∀e∈ {1, .., ne}

ξ 7→x(ξ) =F^e(ξ), (4.16) où ξ se réfère à un système de coordonnées cartésiennes défini sur l’élément de référence. Le fait queFe est une transformation géométrique implique que cette fonction doit être bijective, différentiable et que sa fonction inverse Fe⁻¹ : Ω_e → Ω le soit également. Une façon clas- sique de définir une telle fonction consiste à interpoler xà partir des np points de contrôleaⁱ deΩe.

x(ξ) = F^e(ξ) =

np

X

i=1

aⁱNαⁱ(ξ) (4.17)

Cette interpolation géométrique fait appel à la tensorisationNαⁱ(ξ)des polynômes de Lagrange unidimensionnelslⁿ_i d’ordren associés auxi-ième points parmi lesn+ 1points configurant le segment[−1,1]:

Nαⁱ(ξ) =

nd

O

j=1

l_iⁿ(ξj) , (4.18)

où les expressions analytiques des fonctions de forme lagrangiennes peuvent être trouvées par exemple dans [Dhatt and Touzou,1984].

REMARQUE4.1. L’écritureαⁱ en indice deNαⁱ(ξ)associe la tensorisationNαⁱ(ξ)au noeud αⁱ de l’élément de référence au sens où N_αⁱ(ξ)prend la valeur unité à ce noeud et s’annule pour les autres noeuds :

Nαⁱ ξ(α^j)

=δ_ij (4.19)

Ainsi concernant Nαⁱ, il convient de noter ici que les éléments finis qu’on utilise ne font pas partie de la classe des éléments isoparamétriques²⁹. En effet, ils peuvent être regroupés dans la classe deséléments sousparamétriquescar les fonctions de formel_iⁿsont des polynômes de faible ordren (linéaire, quadratique) tandis que les fonctions de basehⁿ_i qu’on va choisir plus tard sont des polynômes d’ordrepplus élevé (p > 4).

29éléments isoparamétriques : éléments où les fonctions d’interpolation géométrique (fonctions de forme) sont identiques aux fonctions d’interpolation du déplacement (fonctions de base).

REMARQUE4.2. Le choix des fonctions de forme en polynômes lagrangiens vérifie queF^eest inversible dans tous les points du Ωe, ce qui est mathématiquement traduit par le fait que son jacobienDet(J_e), avec :

J_e=grad_ξx=









∂x1

∂ξ1

∂x2

∂ξ1

∂x3

∂ξ1

∂x1

∂ξ₂

∂x2

∂ξ₂

∂x3

∂ξ₂

∂x1

∂ξ3

∂x2

∂ξ3

∂x3

∂ξ3









, (4.20)

soit non-nul partout. Un autre intérêt de manipuler le jacobien deFeest qu’un jacobien régulier évite les singularités du maillage.

Le fait que les éléments Ωe partagent un même élément de référence muni d’un système de fonctions de forme défini une fois pour toutes assure la coïncidence parfaite des frontières partagées entre éléments. Dans le cadre de notre travail, les éléments hexaédriques H8 sont utilisés mais à titre d’exemple, la figure (FIG. 4.1) présente une illustration schématique de la transformation géométrique dans le cas 2D des éléments quadrilatérauxQ4.

•

ξ1

ξ2

αⁱ

−1

−1

1

1 Ωe

x1

x2 aⁱ

F_e

F⁻¹

e

FIG. 4.1 – Illustration schématique de la transformation géométrique dans le cas 2D avec des fonctions de forme linéaires.

L’idée générale d’une résolution numérique variationnelle est de ne pas chercher directe- ment l’approximation(u^hp,v^hp)du couple(u,v)défini surΩ×T mais plutôt de trouver les approximations de leurs restrictions(u^e,v^e)dans les élémentsΩe de l’ensembleP_Ω que l’on a appelé les sous-domaines deΩ, e.g.un élément fini. La solution globale est ensuite obtenue par juxtaposition³⁰ des champs élémentaires. Ce sont les grandes lignes de la méthode d’ap- proximation de Galerkin qu’on va aborder dans la sous-section suivante. Avant de faire cela, on introduit les deux espaces fonctionnels de dimension finie qui sont en effet les sous-espaces de S^tetδS définis dans les équations (4.1) et (4.2) :

S^t,hp =

u^hp∈S^t|u^hp,e=u^hp_|x∈Ωe ◦ Fe⁻¹ ∈ span

nd

O

i=1

[Pp(ξi)]

(4.21)

30Il convient de noter qu’avec cette approximation par juxtaposition, la solution globale est seulement continue (sa dérivée première ne l’esta priorique par élément)

4.2. Élément finis spectraux : milieu isotrope, homogène par élément

et

δS^hp=

δu^hp∈δS^t|δu^hp,e=δu^hp_|x∈Ω

e◦ Fe⁻¹ ∈ span

nd

O

i=1

[Pp(ξ_i)]

(4.22)

où span

nd

N

i=1[Pp(ξi)] désigne l’espace généré par la tensorisation des polynômes définis sur [−1; 1] de degré inférieur ou égal à p. Après avoir introduit ces 2 espaces fonctionnels de di- mension finie, pour arriver au problème discret, il nous reste (i) à définir une base d’interpolation pour pourvoir déduire le déplacement à un point quelconque à partir des déplacements définis sur un nombre fini de points de collocation et (ii) à savoir calculer les intégrales définies dans les équations (4.11-4.14).

Jusqu’à ce point, où on se prépare à chercher les approximations de u^e et v^e parmi les u^hp,een résolvant ces deux points, rien ne diffère d’un schéma d’éléments finis de typeh-p. La plus intéressante propriété de la méthode d’éléments finis spectraux, résultant du couplage d’un schéma pseudo-spectral de fonctions de base de Legendre³¹ avec un schéma d’éléments finis h-p, est la condensation naturelle de la matrice de masse élémentaire (i.e.la matrice de masse et donc son inverse sont naturellement diagonales, sachant que dans les schémash-pclassiques, cette matrice estN-diagonale, oùN augmente avecp, et possède une matrice inverse en géné- rale pleine). Ce couplage entre un schéma pseudo-spectral et un schéma d’éléments finis de type h-préside dans le choix de la base des fonctions d’interpolation associé aux points de colloca- tion du type pseudo-spectral qui échantillonne le support de

span

nd

N

i=1

[Pp(ξi)] , i.e.l’élément de référenceΩ. Dans le cas 1D, cette base, qui est en lien étroit avec la quadrature de Gauss- Lobatto dans le sens où les points de collocation coïncident avec les noeuds de quadrature, est obtenue à partir desp+ 1polynômes orthogonaux de Lagrange P_p = {h^p_k;k = 0, ..., p} tels que :

h^p_k(ξ) = Qp

mm=06=k(ξ−ξ_m^p) Qp

m=0m6=k(ξk−ξ^pm) (4.23) associés aux p+ 1pointsξ_m^p qui sont en fait les points GLL³² discrétisant le segment[−1; 1].

L’ensemble de ces pointsG_pest défini [voirAbramowitz and Stegun,1964,Stroud and Secrest, 1966, par exemple] comme :

G_p = (

ξ_m^p;m = 0, ..., p (ξ_m^p)²−1^dLp(ξ)

dξ

ξ^pm

= 0 )

(4.24) avecLp(ξ)le polynôme de Legendre³³de l’ordrep. Ainsi, d’une part, une règle d’interpolation

31i.e.les polynômes de Legendre, explicité plus tard dans l’équation4.25. Il convient de noter que l’utilisation des polynômes de Chebyshev (l’utilisation très courante dans les schémas globaux de type pseudo-spectral [voir Komatitsch,1997, par exemple]) ne donne pas lieu à la diagonalité de la matrice de masse.

32i.e.points d’intégration de Gauss-Lobatto-Legendre

33SelonAbramowitz and Stegun[1964] :

Lp(ξ) = 1 n!2^p

d^p

dξⁿ (ξ²−1)^p

(4.25)

associée auxG^[_p^−1;1]etP^[_p^−1;1]est définie par :

φ(ξ) = Xp

k=0

φ(ξ_k^p)h^p_k(ξ) ∀φ(ξ)∈Pp([−1; 1]) (4.27)

d’autre part, la quadrature d’intégration Gauss-Lobatto-Legendre associée àG^[_p^−1;1]s’écrit [se- lonAbramowitz and Stegun,1964,Stroud and Secrest,1966, par exemple] :

Z 1

−1

φ(ξ)dξ= Xp k=0

φ(ξ_k^p)w_k^p ∀φ(ξ)∈P2p−1([−1; 1]) (4.28)

oùw_k^ples poids de pondération associées auxξ_k^p:

w^p_k= 2 p(p+ 1)

1

L_p(ξ_k^p)2 (4.29)

REMARQUE 4.3. Les points ξ_m^p comprennent les deux extrémités. Ils ne sont pas, en général sauf pour les cas oùp < 3, régulièrement disposés dans[−1,1]. À unpdonné, la distance entre deux points successifs décroît du milieu aux bords du segment. À titre d’illustration, l’abscisse du graphe représenté dans (FIG.-4.2) est repérée par 7 pointsξ_m^p correspondant aup= 6. Pour les différentsp, la plus petite distance (se trouvant aux bords) décroît enp².

REMARQUE4.4. Une propriété importante de la relation entreP^[_p^−1;1]etG^[_p^−1;1]est que chaque élément h^p_k(ξ) de P^[_p^−1;1] est lié avec un et seulement un élément ξ_k^p de G^[_p^−1;1] dans le sens où tous les autres ξ_m^p_6=k sont des racines de h^p_k(ξ). Ce fait est illustré dans (FIG.-4.2) et peut s’exprimer à l’aide du symbole de Kronecker comme suit :

h^p_k(ξ_m^p) =δ_km (4.30)

sont des solutions de l’équation différentielle de Legendre :

d dξ

"

(1−ξ²)dL dξ

#

+p(p+ 1)L= 0 (4.26)

4.2. Élément finis spectraux : milieu isotrope, homogène par élément

−1 −0.83 −0.469 0 0.469 0.83 1

0 1

FIG. 4.2 – Polynômesh^p_k(ξ)et leurs noeudsξ_m^p associés pourp= 6.

REMARQUE 4.5. La forme discrète de la dérivée partielle par rapport à ξ des polynômes de Legendre est également calculée explicitement. SoitDde taille(p+ 1)×(p+ 1)la matrice qui représente l’opérateur de gradient 1D, elle est diagonale dont les termes sont définis et évalués par :

D^p_km := ^dh^p_m

dξ ξ=ξ_k^p =























L_p(ξ_k^p) Lp(ξm^p)

1 ξ_k^p−ξ^pm

Sik6=m

−p(p+ 1)

4 Sik=m= 0

p(p+ 1)

4 Sik=m=p

0 Sinon.

(4.31)

Ce calcul discret est très utile pour approximer la forme matricielle du travail interne.

L’extension de la grille monodimensionnelleG^[_p^−1;1]à l’aide d’une tensorisation dans lesn_d dimensions de l’espace est ensuite effectuée. L’élément de référence est donc équipé d’une grille de GLL (dont chaque noeud peut s’appeler aussipoint de collocation) et de la base polynomiale définie par :

G_p^Ω =

nd

O

i=1

G^[_p,i^−1;1] (4.32)

P_p^Ω =

nd

O

i=1

P^[_p,i^−1;1] (4.33)

L’approximation polynomiale dans chaque élément Ωest alors donnée par une interpolation de Lagrange. Pour nd = 3, l’i-ième composant (i = {1,2,3}) du déplacement ainsi que du

déplacement admissible à un pointxde l’élémentΩdans l’espace réel s’écrit comme suit :

u^hp_i|x∈Ω

e = Xp r,s,r=0

u^hp,e_i (ξ_r^p, ξ_s^p, ξ_t^p)h^p_r(ξ1)h^p_s(ξ2)h^p_t(ξ3) (4.34)

δu^hp_i|x∈Ωe = Xp r,s,r=0

δu^hp,e_i (ξ_r^p, ξ_s^p, ξ_t^p)h^p_r(ξ1)h^p_s(ξ2)h^p_t(ξ3) (4.35) où,

– (ξ1, ξ2, ξ3) = Fe⁻¹(x)

– ξ_r^p, ξ^p_s, ξ_t^p sont les coordonnées d’un noeud de G_p^Ω associées respectivement aux poly- nômesh^p_r(ξ), h^p_s(ξ), h^p_t(ξ).

– u^hp,e_i (ξ_r^p, ξ_s^p, ξ_t^p)est le déplacement au point de collocation(ξ_r^p, ξ^p_s, ξ_t^p).

Également, les produits fonctionnels définis sous forme d’intégrales sous le signe de sommation selonedans les formules (4.11-4.14) sont ainsi approximées respectivement par les expressions (4.36-4.39) à l’aide de la formule de quadrature Gauss-Lobatto-Legendre associée aux points de grilleG^Ω_p^e avec leurs poids de pondération correspondants :

δu^hp_|x∈Ωe,u˙^hp_|x∈Ω

e

Ωe = Z

Ωe

δu^hp_|x∈Ωe(x)u˙^hp_|x∈Ω

e(x)dx

= Z

Ω

δu^hp,e(ξ)u˙^hp,e(ξ)×^Det(J_e)dξ

≃ Xp r,s,t=0

[δu^hp,e·u˙^hp,e](ξ_r^p, ξ_s^p, ξ_t^p)×Kr,s,t (4.36)

δu^hp_|x∈Ωe, ρv˙^hp_|x∈Ωe

Ωe = Z

Ωe

δu^hp_|x∈Ωe(x)v˙^hp_|x∈Ωe(x)dx

= Z

Ω

ρδu^hp,e(ξ)v˙^hp,e(ξ)×^Det(J_e)dξ

≃ Xp r,s,t=0

ρ[δu^hp,e·v˙^hp,e](ξ_r^p, ξ^p_s, ξ_t^p)×K_r,s,t (4.37)

δu^hp_|x∈Ωe,f^hp_|x∈Ωe

Ωe = Z

Ωe

δu^hp_|x∈Ωe(x)uf^hp_|x∈Ωe(x)dx

= Z

Ω

δu^hp,e(ξ)f^hp,e(ξ)×^Det(J_e)dξ

≃ Xp r,s,t=0

[δu^hp,e·f^hp,e](ξ_r^p, ξ_s^p, ξ_t^p)×Kr,s,t (4.38)

4.2. Élément finis spectraux : milieu isotrope, homogène par élément

A

^Ωe(δuhp|x∈Ωe,u^hp_|x∈Ω

e) = Z

Ωe

grad_xδu^hp_|x∈Ωe(x):C :^gradxu^hp_|x∈Ω

e(x)^dΩ

= Z

Ω

grad_ξδu^hp,e(ξ)J⁻_e¹ :C :J⁻_e^T grad_ξu^hp,e(ξ)×^Det(J_e)dξ

≃ Xp r,s,t=0

[grad_ξδu^hp,eJ⁻_e¹ : C :J⁻_e^T grad_ξu^hp,e](ξ_r^p, ξ_s^p, ξ_t^p)×Kr,s,t

(4.39) où Kr,s,t est le terme regroupant le jacobien de la transformation géométrique (dont la ma- trice est exprimée dans l’équation (4.20)) avec les poids de pondération définis dans l’équation (4.29) :

Kr,s,t=Det(J_e)|ξ=(ξ^pr,ξ^ps,ξ^p_t)w_r^pw_s^pw_t^p (4.40) REMARQUE 4.6. Puisque la transformation géométrique est inversible et que les noeuds de G_p^Ωse distinguent l’un à l’autre, chaque noeudξ^p(ξ₁^p, ξ₂^p, ξ₃^p)de la grille définie dans l’élément de référenceΩcorrespond, voir (FIG.-4.3), pour chaque élémentΩeet donc pour le domaine réel à un noeud uniquea^p ∈ G^Ω_p^e = Fe(G_p^Ω)qui se situe àFe(ξ₁^p, ξ₂^p, ξ₃^p)etvice versa. Cela peut servir à l’introduction des champs de propriétés mécaniques (masse volumique, tenseur d’élasticité, etc.) hétérogènes à l’intérieur des éléments que l’on présente dans la section sui- vante.

•

ξ1

ξ2

−1

−1

1 1

x1

x2

F^e

F^e−1

FIG. 4.3 – Illustration schématique de la transformation géométrique dans le cas 2D avec des fonctions de forme linéaires et la grille de points GLL correspondant àp= 17.

REMARQUE4.7. Les propriétés présentées dans (REMARQUE-4.3) et (REMARQUE-4.4) sont généralisées dansnd dimensions. L’espacement irrégulier entre les pointsξ^p peut être observé pour les cas 2D dans les figures (FIG.-4.3ou4.4). Le fait que la tensorisationh^p_r(ξ)⊗h^p_s(ξ)⊗ h^p_t(ξ) s’annule en tous points ξ^p sauf au point (ξ_r^p, ξ_s^p, ξ_t^p) où elle prend la valeur 1 est aussi illustré pour le cas 2D dans (FIG.-4.4). Cela vérifie la propriété explicite de l’interpolation (4.34), i.e.le déplacement au point image d’un x ∈ G^Ω_p^e ne dépend pas de ceux en d’autres points :

u^hp_i|x=F

e(ξ^pr,ξ^ps,ξ_t^p) =u^hp,e_i (ξ_r^p, ξ_s^p, ξ_t^p) (4.41)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

FIG. 4.4 – Valeurs absolues des tensorisations 2D dans[−1; 1]×[−1; 1]pourp= 6: de gauche à droiteh^p₃(ξ)⊗h^p₅(ξ)eth^p₆(ξ)⊗h^p₆(ξ).

No documento Quang Anh Ta (páginas 137-145)