Cette seconde trajectoire présente de fortes variations de courbure. Cette trajectoire, dont l’allure est présentée sur la Figure 4.13a, est une courbe B-Spline du plan définie comme par son degré p, sa séquence nodale U et ses pôles :
Pôles : 10 0
, 20 27
, 12 8
, 10 20
, 8 8
, 0 27
, 10 0
; p = 3 ; U = [0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1/4 ; 1/2 ; 3/4 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1]
Elle s’apparente à une trajectoire de géométrie similaire ayant servi de support à une étude antérieure sur les méthodes de compensation des écarts de contour par intégration d’un interpolateur ILD / Nurbs [TSAI et al. 08]. A la différence de la courbe proposée dans [TSAI et al. 08], les courbures au niveau des points A et E sont volontairement augmentées, par déplacement des deux points du polygône de contrôle correspondant. La trajectoire étudiée est fermée au point de coordonnées [10 ; 0], qui constitue le point de départ et d’arrivée de la trajectoire.
Figure 4.13. Définition du Trident
La Figure 4.13b présente l’évolution de la courbure en fonction de l’abscisse curviligne et met en avant les points particuliers A, B, C, D, E extrema locaux de courbure sur la courbe. La position des ces extrema, ainsi que la valeur de courbure correspondante sont données dans le Tableau 4.1. Les valeurs maximales sont relativement importantes, particulièrement aux points A et E, où la valeur maximale est évaluée à près de 28mm-1, alors que l’extremum pour la B-Spline précédente était de 0,048mm-1. Ainsi, les axes de la machines seront sollicités différemment, avec des accélérations plus fortes au passage des points caractéristiques A, B, C, D et E.
Extremum local Localisation Abscisse (mm) Valeur (mm-1)
1er A 19,74 27,8
2ème B 26,46 -1,08
3ème C 29,58 6,00
4ème D 33,71 -1,08
5ème E 39,43 27,8
Tableau 4.1. Extrema de la courbure (contour « Trident »)
Le programme d’usinage FAO est résumé sur la Figure 4.14. Comme précédemment, les configurations des paramètres CN en termes de limites de jerk ou d’accélération, et anticipations activées sont laissées par défaut sur la machine.
Figure 4.14. Programme en interpolation B-Spline (Sinumerik 840D) trajectoire « Trident »
Seule la vitesse d’avance de 5m/min est étudiée dans la mesure où la géométrie plus irrégulière entraîne des vitesses d’avance en pointe outil ne dépassant pas 2m/min pour les zones situées entre les
N10 G0 X-100 Y0 Z0 N20 M0
N100 BSPLINE SD=3 F5000
N110 X20 Y27 Z0 PL=0.000000 N120 X12 Y8 Z0 PL=25.000000 N130 X0 Y20 Z0 PL=25.000000 N140 X8 Y8 Z0 PL=25.000000 N150 X0 Y27 Z0 PL=25.000000 N160 X10 Y0 Z0 PL=0.000000
curviligne. La vitesse programmée n’est pas atteinte, pour la partie de la courbe constituée par le segment [O ; A], où la vitesse maximale atteinte est 4,8m/min. Il en va de même pour le segment [E ; O]. Dans la zone comprise entre les points A et E, une vitesse d’avance programmée supérieure à la valeur de 2m/min restituerait la construction de la même consigne avec la même cinématique, et par conséquent, des écarts de contour similaires. (Voir Figure 4.15).
Figure 4.15. Vitesse tangentielle courbe « Trident »
L’algorithme de calcul des écarts de contour est mis en œuvre pour la trajectoire proposée. Les résultats donnés à la Figure 4.16 montrent l’évolution des écarts pour laquelle les extrema correspondent toujours à la position des extrema de courbure (Tableau 4.2).
Figure 4.16 . Ecarts de contour initiaux pour la trajectoire « Trident »
Dans l’exemple précédent, pour une trajectoire suffisamment souple, exécutée à la vitesse constante programmée (Vf = 5m/min), les écarts les plus importants étaient généralement aux points de courbures maximales. Par contre, lorsque la vitesse programmée est élevée, la CN adapte des réductions de vitesse afin de ne pas dépasser les limites en termes de jerks ou d’accélération. Ces réductions de vitesse importantes entrainent alors une diminution des écarts de suivi par les asservissements. Une analyse des écarts obtenus aux positions des extrema locaux A, B, C, D et E est effectuée dans le Tableau 4.2. Le décalage des valeurs des abscisses entre les extremums des écarts e2.1 avec les écarts e2.2 ou e2 augmentent au fur et à mesure que l’on avance sur la courbe. Ce constat est logique dans la mesure où les écarts e2.1 sont tracés en fonction de l’abscisse curviligne évaluée sur la consigne, toujours plus courte que l’abscisse curviligne évaluée sur la trajectoire exécutée.
Vitesse / écarts Vitesse e2.1 e2.2 e2
Extremums s
(mm)
Val.
(m/min) s (mm)
Val.
(µm) s (mm)
Val.
(µm)
s (mm)
Val.
(µm)
A 19,7 0,129 19,4 -2,8 19,5 15,9 19,5 13,3
B 26,6 0,994 26,2 8,5 26,3 -43,5 26,3 -34,8
C 29,7 0,327 29,3 -4,9 29,4 27,8 29,4 22,8
D 33,0 1,078 32,4 9,2 32,8 -43,8 32,9 -35,3
E 39,6 0,106 39,1 -3,9 39,2 18,8 39,2 14,7
Tableau 4.2. Extremums des écarts sur le « Trident »
Les résultats de calcul des écarts, après optimisation par la méthode CEC sont représentés sur la Figure 4.17. De même que pour l’illustration précédente, les écarts obtenus après correction sont quasiment nuls partout, à l’exception des abscisses curvilignes associées aux points A, B, C, D et E qui correspondent aux inversions des mouvements de l’axe Y. Ainsi, le simple décalage de la consigne par approche miroir par rapport à la trajectoire de référence suffit à réduire de façon importante les écarts. Même si les courbures sont beaucoup plus élevées que dans le cas précédent, entraînant des changements de vitesses importants (Figure 4.15), la méthode donne des résultats très satisfaisants en termes de réduction d’écarts.
Figure 4.17. Ecarts après optimisation sur le contour "Trident" (5m/min)
De même que précédemment, pour chacun des axes, nous avons reporté l’évolution du courant avant optimisation (courbe continue), et son évolution après corrections avec la méthode CEC (courbe en pointillés). Globalement les intensités restent identiques (Figure 4.18). Le changement de consigne n’affecte pas les variations de l’intensité. Il faut également souligner, que la période d’échantillonnage de la boucle d’intensité est beaucoup plus faible. La valeur de cette période d’échantillonnage est 48 fois plus faible (0,125ms) que celle de la boucle de position. En conséquence, même des variations plus importantes ont le temps d’être régulées par la boucle de courant qui est bien plus dynamique que celle de position.
Figure 4.18. Intensités moteur sur « Trident »
5 Cas spécifique d’un passage de discontinuité en tangence
Après la validation de la méthode CEC pour des trajectoires B-Spline continues C², nous proposons d’étudier le cas particulier du passage d’une discontinuité en tangence. La trajectoire est exécutée avec les paramètres par défaut de la machine, sans activation du mode G642 afin d’augmenter les défauts.
Cependant, un mode activé par défaut sur la machine permet d’éviter un arrêt complet des axes, lissant la consigne et permettant un passage à plus grande vitesse. Nous avons voulu augmenter la tolérance d’écart géométrique vis-à-vis de la trajectoire de référence, dans le but de maintenir une vitesse d’avance élevée (Figure 4.19).
Figure 4.19. Désactivation du mode G642