Fonctions de caractérisation d’un canal déterministe

La réponse impulsionnelle variant dans le temps

La fonction h(t, τ)est appelée réponse impulsionnelle variant dans le temps, et relie le signal reçus(t)au signal émise(t)suivant l’opération de filtrage suivante :

s(t) = Z ∞

−∞

e(t−τ)h(t, τ)dτ (1.17)

Le module de la réponse impulsionnelle permet de distinguer les différents échos en fonc- tion de leur retard de propagation. L’équation (1.17) fournit donc une représentation physique du canal comme un continuum de diffuseurs fixes — car présentant un retard constant — et scintillants — ce qui traduit l’évolution temporelle.

1.2 LA PROPAGATION RADIOÉLECTRIQUE À L’INTÉRIEUR DES BÂTIMENTS 27 La réponse bifréquentielle

La fonction H(f, ν) est également appelée fonction de dispersion Doppler en sortie et permet d’observer le phénomène de décalage Doppler introduit par le canal. Il s’agit de la fonction duale de la fonctionh(t, τ) dans l’espace fréquence - décalage Doppler. Elle relie donc le spectre du signal reçuS(f)au spectre du signal émisE(f)selon la relation :

S(f) = Z ∞

−∞

E(f −ν)H(f−ν, ν)dν (1.18) Cette représentation considère le spectre du signal de sortieS(f)comme une superposi- tion de répliques du spectre d’entréeE(f), ayant subit un décalage Doppler et un filtrage.

La fonction de transfert variant dans le temps

Une autre approche de la caractérisation du canal radio consiste à relier le signal temporel de sorties(t) au spectre du signal d’entréeE(f) en utilisant la fonction de transfert variant dans le tempsT(f, t):

s(t) = Z ∞

−∞

E(f)T(f, t)e^{j2πf t}df (1.19) La fonctionT(f, t)peut être liée aux fonctionsh(t, τ)etH(f, ν) par une simple trans- formation de Fourier. Lorsque la largeur de bande du canal considéré est suffisamment faible, la fonction de transfert variant dans le temps peut être directement mesurée à l’aide d’un analyseur de réseau.

La fonction de dispersion retard-Doppler

Une dernière approche consiste à représenter le canal radio dans l’espace retard - décalage Doppler. La fonction correspondante permet d’observer simultanément la dispersion intro- duite par le canal dans les domaines temporel et fréquentiel, d’où sa dénomination : fonction de dispersion retard-Doppler. La fonctionS(τ, ν)lie le signal de sorties(t)au signal d’entrée e(t)par la relation suivante :

s(t) = Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

e(t−τ)S(τ, ν)e^j2πνtdνdτ (1.20) L’équation (1.20) présente le signal de sorties(t)comme une somme de répliques du signal d’entréee(t)ayant subi un retard et un décalage Doppler. La fonctionS(τ, ν)peut être liée aux fonctionsh(t, τ)etH(f, ν)par une simple transformation de Fourier.

1.2.2.3 Caractérisation des canaux aléatoires linéaires

Dans la pratique, les fluctuations du canal de propagation sont le fruit de la superposition d’une multitude de phénomènes difficilement mesurables dans leur globalité. Dès lors, les variations du canal radio revêtent un caractère aléatoire, et il n’est plus possible de les traiter de façon déterministe. On caractérise alors le canal de propagation de façon statistique. En

La représentation du canal radio aléatoire peut être simplifiée en considérant différentes hypothèses sur les caractéristiques du canal.

Hypothèse du canal stationnaire au sens large

Un canal est considéré stationnaire au sens large, ouWide Sense Stationary(WSS), lorsque sa variation temporelle (ou spatiale) présente les caractéristiques statistiques de stationnarité faible. La réponse impulsionnelle du canal doit donc posséder une espérance invariante au cours du temps et une autocorrélation R_h(t, u;τ, η) qui ne dépend de t et u que selon la différenceξ =t−u. En pratique, cela signifie que les statistiques de fluctuation du canal ne changent pas sur un court intervalle de temps ξ, ce qui est une hypothèse raisonnable pour les canaux classiques (intérieur des bâtiments, urbain, etc.). Sous ces conditions, les fonctions d’autocorrélation de la réponse impulsionnelle et de la fonction de transfert variant dans le temps s’écrivent :

R_h(t, t+ξ;τ, η) = R_h(ξ;τ, η) (1.27) R_T(f, m;t, t+ξ) = R_T(f, m;ξ) (1.28)

1.2 LA PROPAGATION RADIOÉLECTRIQUE À L’INTÉRIEUR DES BÂTIMENTS 29 En prenant l’exemple de la double transformée de Fourier entre Rh(t, u;τ, η) et R_S(τ, η;ν, µ), et en appliquantξ=t−u, on obtient :

RS(τ, η;ν, µ) = Z ∞

−∞

Z ∞

−∞

Rh(t, u;τ, η)e^{j2π(uµ−tν)}dtdu

= δ(ν−µ) Z ∞

−∞

R_h(ξ;τ, η)e^{−j2π(ξν)}dξ (1.29)

= δ(ν−µ)PS(τ, η;ν)

où le termeP_S(τ, η;ν)peut être identifié à une densité spectrale de puissance obtenue à partir deR_h(ξ;τ, η)par application du théorème de Wiener-Kinchine.

Cette dernière relation indique que le contenu spectral du signal est décorrélé pour diffé- rents retards Doppler. Physiquement, cela signifie que les échos générant des écarts Doppler différents sont décorrélés. De la même manière, on peut écrire l’autocorrélation de la réponse bifréquentielle sous la forme :

R_H(f, m;ν, µ) =δ(ν−µ)P_H(f, m;ν) (1.30) Hypothèse du canal à diffuseurs non corrélés

Cette hypothèse, également nommée hypothèseUncorrelated Scattering(US), consiste à considérer que les contributions de diffuseurs élémentaires correspondant à des retards diffé- rents sont décorrélées. Cette condition revient à une hypothèse de stationnarité faible portant sur le domaine des fréquences. De la même manière que pour l’hypothèseWSS, les fonctions d’autocorrélation de la réponse bifréquentielle et de la fonction de transfert variant dans le temps peuvent se simplifier (en notantΩla différence fréquentiellem−f) :

R_H(f, f+ Ω;ν, µ) = R_H(Ω;ν, µ) (1.31) R_T(f, f+ Ω;t, u) = R_T(Ω;t, u) (1.32) La réponse impulsionnelle variant dans le temps et la fonction de dispersion retard- Doppler peuvent s’écrire sous la forme de densités spectrales de puissance :

R_h(t, u;τ, η) =δ(η−τ)P_h(t, u;τ) (1.33) R_S(τ, η;ν, µ) =δ(η−τ)P_S(τ;ν, µ) (1.34) (1.35) Hypothèse du canal stationnaire au sens large à diffuseurs décorrélés

Un tel canal, également appeléWide Sense Stationary Uncorrelated Scattering(WSSUS), regroupe les deux hypothèsesWSSetUS. Il s’agit de la classe la plus simple de canaux, qui présente une dispersion décorrélée à la fois dans le domaine des retards et des décalages Doppler. Dans ce cas, les fonctions d’autocorrélation des quatre fonctions de caractérisation

du canal se simplifient de la manière suivante :

R_h(t, t+ξ;τ, η) = δ(η−τ)P_h(ξ;τ) (1.36) R_H(f, f+ Ω;ν, µ) = δ(ν−µ)P_H(Ω;ν) (1.37) R_T(f, f + Ω;t, t+ξ) = R_T(Ω;ξ) (1.38) RS(τ, η;ν, µ) = δ(η−τ)δ(ν−µ)PS(τ;ν) (1.39) La figure 1.14 présente les transformations de Fourier simples qui lient les différentes fonctions de corrélation dans le cas d’un canalWSSUS.

P_h(ξ, τ)

RT(Ω, ξ)

PH(Ω, ν) PS(τ, ν)

temps-retard

fréquence-retard

fréquence-Doppler retard-Doppler

@

@

@

@

@

@@ I

@

@

@

@

@ R

@

@

@

@

@

@@R

@

@

@

@

@

I

F⁻¹ F⁻¹

F F

F F

F⁻¹ F⁻¹