Paramètres de caractérisation du canal

1.2 LA PROPAGATION RADIOÉLECTRIQUE À L’INTÉRIEUR DES BÂTIMENTS 31 Une discussion approfondie de la validation de cette hypothèse à partir de mesures expéri- mentales a été publiée dans [Bultitude 02]. En particulier, la méthode RUN se base sur des estimations de la variance du processus sur des sous-intervalles successifs [Bendat 66].

cette dépendance fréquentielle, on définit la bande de cohérence àn% à partir de l’autocorré- lation de la fonction de transfert du canalR_T(Ω, ξ):

B_c,n%= min

Ω :

RT(Ω,0) RT(0,0)

= n 100

(1.44) La fonctionRT(Ω,0)est appelée fonction de corrélation en fréquence et s’obtient par une transformée de Fourier duPDPP_h(0, τ). La bande de cohérence est donc l’écart de fréquences à partir duquel la fonction d’autocorrélation en fréquence franchit un seuil donné. On utilise généralement des seuils à 90% et à 50% [Barbot 95].

Amplitude relative (dB)

Niveau de bruit

Retard (ns)

FIG. 1.15 – Profil puissance-retard illustrant la fenêtre des retards et l’intervalle des retards.

Fenêtre et intervalle des retards

Deux autres paramètres sont également utilisés pour donner une idée plus juste de l’éta- lement duPDP[COST-207 89]. La fenêtre des retards àq% est la durée de la portion centrale duPDPcontenantq% de l’énergie totale. Selon les retards définis sur la figure 1.15, la fenêtre des retards est donnée par :

W_q%= (τ₄−τ₂)_q% (1.45)

Les retardsτ4etτ2sont définis par : Z τ4

τ2

P_h(0, τ)dτ = q 100

Z τ5

τ0

P_h(0, τ)dτ (1.46)

et l’énergie se trouvant à l’extérieur de la fenêtre est divisée en deux parties égales. Les retards τ0etτ5 sont les retards pour lesquels le signal franchit un niveau de bruit donné.

1.2 LA PROPAGATION RADIOÉLECTRIQUE À L’INTÉRIEUR DES BÂTIMENTS 33 L’intervalle des retards àp dB est la différence entre la valeur du retard pour laquelle la fonctionP_h(0, τ)passe pour la dernière fois un seuil fixé àpdB en dessous de son maximum, et le retard pour lequel elle le dépasse pour la première fois. Selon les définitions représentées sur la figure 1.15, l’intervalle des retards s’exprime de la façon suivante :

I_p= (τ₃−τ₁)_p (1.47)

Coefficients de décroissance exponentielle

Plusieurs analyses du canal de propagation radioUWBs’accordent sur une représentation de la réponse impulsionnelle sous la forme d’une somme discrète de contributions indivi- duelles. Chaque contribution, appelée rayon, correspond à un trajet de propagation et possède un retard et une amplitude complexe distincts. Cette représentation est fréquemment ren- contrée pour les canaux large bande [Hashemi 93]. Afin de rendre compte de la présence éventuelle de groupes de rayons, appelésclusters, nous utiliserons le formalisme de Saleh et Valenzuela pour représenter cette réponse impulsionnelle discrète [Saleh 87] :

h(t, τ) =

L(t)

X

l=1 Kl(t)

X

k=1

β_k,l(t)e^jθk,l(t)δ(τ−T_l(t)−τ_k,l(t)) (1.48) où l’on note L(t) le nombre de clusters, Kl(t) le nombre de rayons dans le l^e cluster, et T_l(t) l’instant d’arrivée du l^e cluster. Les paramètres β_k,l(t), θ_k,l(t) etτ_k,l(t) représentent l’amplitude, la phase et l’instant d’arrivée associés au k^e rayon à l’intérieur du l^e cluster.

Tous ces paramètres varient théoriquement au cours du temps. En définissant lePDPà partir d’une série de mesures selon l’équation (1.41), et en supposant que le retard associé à chaque rayon varie peu lors des mesures, on obtient :

P_h(0, τ) =

L

X

l=1 Kl

X

k=1

β_k,l² δ(τ −T_l−τ_k,l) (1.49)

Comme le montre la figure 1.16, l’amplitude des rayons du PDPsuit généralement une décroissance proche d’une fonction exponentielle. Cette décroissance exponentielle s’observe à la fois au niveau desclusterset des rayons à l’intérieur de chaquecluster. On définit alors les coefficients de décroissance exponentielle inter- et intra-cluster, notés respectivementΓet γ, tels que l’amplitude des différents rayons observe la loi suivante :

β_k,l² =β²_1,1e^−Tl

−T1

Γ e^−τk,lγ (1.50)

Ces coefficients s’obtiennent par régression linéaire sur lePDPexprimé en dB.

Taux d’arrivée desclusterset des rayons

Sans connaissance précise de l’environnement, on considère que les instants d’arrivée de rayons représentent des événements indépendants et que le nombre de ces événements ne dé- pend que de la durée de l’observation. Par définition, on peut donc raisonnablement considérer

Retard (ns)

Puissance (mW)

Cluster

FIG. 1.16 – Profil puissance-retard selon le formalisme de Saleh et Valenzuela.

l’arrivée de rayons — ou declusters— comme un processus de Poisson. Le formalisme de Saleh et Valenzuela propose donc que les probabilités d’arrivée d’un nouveauclusterou d’un nouveau rayon suivent une loi exponentielle, de paramètres respectifsΛetλ. Les paramètres Λetλsont appelés respectivement taux d’arrivée declusterset de rayons, et les valeurs _Λ¹ et

1

λ représentent les durées moyennes entre deuxclustersou deux rayons. Ces paramètres sont estimés à partir de la distribution des durées inter-clusterset inter-rayons.

1.2.3.2 Variabilité lente

Exprimée en dB, l’équation (1.8) correspondant à la formule de Friis pour la propagation en espace libre devient :

P L(f, d) = 20 log

4πf d c

−G_T(f)−G_R(f) (1.51) oùP L(f, d)représente le rapport entre la puissance émise et la puissance reçue.

Les variations lentes du canal de propagation sont principalement dues aux pertes de puis- sance par propagation et aux mécanismes de masquage. Pour un canal réel, afin de caractériser la dépendance en fréquence et en distance des pertes par propagation, on approche le para- mètreP L(f, d)par la fonction suivante :

P L(f, d) =P L(f0, d0) + 10N_flog f

f₀

+ 10N_dlog d

d₀

+S(f, d) (1.52) où f0 et d0 correspondent à une fréquence et à une distance arbitraires⁽⁵⁾. Nf etNd sont appelés coefficients de pertes par propagation en fréquence et en distance. Le paramètreN_d tient compte des interactions de l’environnement comme la transmission ou l’effet de guidage

(5)On peut utiliser la fréquence centrale de la bande considérée pourf0, etd0est généralement fixé à 1 m.

1.2 LA PROPAGATION RADIOÉLECTRIQUE À L’INTÉRIEUR DES BÂTIMENTS 35 d’onde, et peut donc sensiblement s’éloigner de sa valeur théoriqueNd = 2. Le paramètre N_f traduit la dépendance fréquentielle des phénomènes de propagation et inclut également les variations de l’aire effective d’une antenne isotrope idéale. Si on considère le canal de propagation excluant les antennes en situation de visibilité, ce paramètre doit donc se rappro- cher de sa valeur théoriqueN_f = 2. Certains auteurs considèrent les antennes comme partie intégrante du canal de propagation ; dans ce cas, des variations additionnelles du paramètre Nf peuvent être observées, liées au gain des antennes de mesure. Enfin,S(f, d) traduit les variations lentes du canal de propagation. Les paramètresN_f etN_détant calculés par régres- sion linéaire, la variableS(f, d)possède une moyenne nulle. Cette variable exprimée en dB est souvent considérée gaussienne, et on la caractérise par son écart-typeσS.

Pour la dérivation du paramètre N_f, on introduit la fonction de transfert en puissance PT(f), homologue duPDPPh(0, τ)dans le domaine des fréquences. Elle correspond à la puis- sance moyenne reçue en fonction de la fréquence pour un ensemble de fonctions de transfert mesurées localement, soit :

PT(f) = 1 M

M

X

m=1

|T(f, tm)|² (1.53)

1.2.3.3 Évanouissements rapides

Les évanouissements rapides du canal de propagation se caractérisent par les fluctuations d’amplitude du signal reçu. Elles peuvent être estimées à partir d’un signal à bande étroite ou pour un retard donné dans le cas d’un signal à bande large. Mathématiquement, on cherche donc à connaître la loi statistique de la variable aléatoire|h(t, τ)|pourτ fixé. Dans, la pra- tique, on étudie un ensemble d’échantillons|h(t_m, τ)|provenant deM mesures réalisées sur des positions proches (ou dans un environnement variant dans le temps), en s’assurant que la condition de stationnarité du canal est respectée. Les lois de distribution les plus fréquemment rencontrées incluent les lois de Rayleigh, Rice, Nakagami, Weibull, et la loi log-normale (cf.

annexe B). Pour sélectionner une distribution théorique, nous utilisons un test d’adéquation, comme le test de Kolmogorov-Smirnov (cf. annexe B.2).

Des outils existent également pour caractériser le comportement temporel d’un signal.

Une première métrique consiste à comptabiliser la fréquence avec laquelle l’amplitude du signal passe sous un seuil donné. Il s’agit du taux d’évanouissement, oulevel crossing rate.

D’autre part, la durée moyenne des évanouissements, ouaverage fade duration, est un esti- mateur du temps pendant lequel l’amplitude du signal reste sous un certain seuil [Parsons 00].

1.2.3.4 Analyse spectrale

Un autre moyen de caractériser les variations temporelles du canal est l’étude du spectre Doppler pour les trajets principaux de la réponse impulsionnelle. Ces spectres sont obser- vables sur la fonction de diffusionP_S(τ, ν). Pour caractériser la rapidité des variations du canal indépendamment du retard, on utilise le spectre Doppler moyen défini par :

PH(0, ν) = Z ∞

−∞

PS(τ, ν)dτ (1.54)

Comme dans le cas duPDP, on peut alors définir la dispersion Doppler par : νRM S =

s R∞

−∞(ν−ν_m)²P_H(0, ν)dν R∞

−∞P_H(0, ν)dν (1.55)

oùν_mreprésente l’écart Doppler moyen défini par : νm =

R∞

−∞νP_H(0, ν)dν R∞

−∞P_H(0, ν)dν (1.56)

Comme nous l’avons vu (section 1.2.1.3), le spectre Doppler est étroitement lié à la di- rection d’arrivée des différents trajets multiples. Des paramètres tels que le spectre angu- laire peuvent être utilisés pour caractériser les directions de départ et d’arrivée du signal, qui prennent une importance particulière pour les applications de typeMIMO[Cosquer 04].