4.1 M´ ethodes classiques de modification structu- rale : outils et formulations
4.1.2 Sous-structuration dynamique et r´ eduction de mod` eles
La sous-structuration dynamique joue un rˆole primordial dans l’analyse des structures complexes. Elle consiste `a d´ecouper la structure en plusieurs sous-structures
4.1 M´ethodes classiques de modification structurale : outils et formulations 93 qui sont analys´ees s´epar´ement puis `a r´esoudre le probl`eme complet grˆace `a des relations d’interface entre les sous-structures.
Dans cette section, on ne consid`ere que des syst`emes non amortis pour la clart´e de l’expos´e. Cependant les expressions ´ecrites sont valables pour des syst`emes amortis. La synth`ese modale correspond `a l’assemblage classique de mod`eles de composants isol´es.
En consid´erant deux composants 1 et 2 d’une structure pris isol´ement, on peut ´ecrire pour chacun la relation fondamentale de la dynamique avec les ddl d’interface d’une part et les ddl compl´ementaires d’autre part
−ω2
MIIi MICi MICi T MCCi
+
KIIi KICi KICi T KCCi
qIi qCi
=
fIi+fI exti fCi
, i = 1,2 (4.6)
o`u fIi sont les efforts de couplage `a l’interface
fCi les efforts ext´erieurs appliqu´es sur les ddl compl´ementaires fI exti les efforts ext´erieurs appliqu´es `a l’interface
En formulation forte, l’hypoth`ese de liaison parfaite entre les composants se tra- duit par la continuit´e du d´eplacement et la nullit´e du saut de contrainte normale. En formulation faible (principe des travaux virtuels), ces deux conditions correspondent
`a la continuit´e de la solution et des champs virtuels. La m´ethode de Ritz-Galerkin g´en´eralement utilis´ee propose une approximation de la solution en discr´etisant le probl`eme [69].
Avec des maillages compatibles `a l’interface, la continuit´e des champs de d´eplacement et des fonctions tests se traduit par
{q1I}={q2I}={qI} (4.7)
La nullit´e du travail des efforts de couplage `a l’interface pour les fonctions tests {qˆI} v´erifiant l’´equation pr´ec´edente se traduit par
{ˆqI}T{fI1}+{ˆqI}T{fI2}= 0 (4.8) Dans l’hypoth`ese de deux structures sans effort ext´erieur (une structure de base rep´er´ee par l’exposant B et une modification rep´er´ee par l’exposant M), l’expression du couplage prend la forme
ZB+M
=
−ω2
MCCB MCIB 0 MICB MIIB+MIIM MICM
0 MICM MCCM
+
KCCB KCIB 0 KICB KIIB +KIIM KICM
0 KCIM KCCM
,
4.1 M´ethodes classiques de modification structurale : outils et formulations 94
ZB+M
qBC
qI
qCM
=
0 0 0
. (4.9)
Pour de nombreuses applications, il est int´eressant de r´eduire le probl`eme sur un sous-espace particulier. Le comportement de chaque sous-structure est alors caract´eris´e par un nombre de ddl g´en´eralis´es largement inf´erieur au nombre de ddl « physiques » ce qui permet de r´eduire consid´erablement la taille du probl`eme. Les bases de r´eduction utilis´ees doivent rendre compte du comportement global de la structure.
{q}N×1 = [T]N×Ng{η}Ng×1 (4.10) L’approximation de Ritz permet alors l’obtention d’un probl`eme de tailleNg×Ng
bien inf´erieur `a N ×N.
[T]T[Z][T]{η}= [T]T{f} (4.11)
Le choix du sous-espace conditionne directement la qualit´e du r´esultat. Dans le cas particulier de la sous-structuration dynamique, le sous-espace engendr´e par [T] doit
– rendre compte du comportement dynamique des diff´erentes sous-structures dans la bande d’analyse du probl`eme
– rendre compte du comportement quasistatique.
Les m´ethodes de choix des sous-espaces sont nombreuses. La m´ethode de MacNeal est une des plus connues parmi les m´ethodes dites `a interface libre ; celle de Craig &
Bampton pour les m´ethodes `a interface fixe.
La base [TM N] propos´ee par MacNeal [63] est compos´ee :
– d’une base tronqu´ee de NL modes issues de la base des modes `a interface libre [φlibre]NL et
– d’une base de NA modes d’attache correspondants aux d´eplacements des ddl compl´ementaires pour un effort statique unitaire appliqu´e aux ddl d’interface.
La base du sous-espace prend la forme
[TM N] =
[φlibre]C
[φlibre]I
NL
| {z }
[KCC] [KCI] [KIC] [KII]
−1 [0]
[Id]
NA
| {z } modes `a interface libre modes d’attache
(4.12)
Dans le cas de structure avec des modes de corps rigides, le concept de modes d’attache doit subir des ´evolutions. G´eradin et Rixen dans [36] et Farhat et G´eradin
4.1 M´ethodes classiques de modification structurale : outils et formulations 95 dans [33] proposent des solutions `a ce cas.
Parmi les m´ethodes `a interface fixe, la base [TC&B] propos´e par Craig & Bampton [19] est compos´ee :
– d’une base tronqu´ee de NF modes issue de la base des modes `a interfaces fixe [φf ixe]NF et
– d’une base de NC modes de contraintes correspondant au rel`evement sta- tique d’un d´eplacement unitaire des ddl d’interface sur les ddl compl´ementaires (condensation statique ou de Guyan).
La base du sous-espace prend la forme
[TC&B] =
[φf ixe]C
[0]I
NF
| {z }
−[KCC]−1[KCI] [Id]
NC
| {z } modes `a interface fixe modes de contrainte
(4.13)
D’autres m´ethodes `a interface charg´ee ont ´et´e ´egalement d´evelopp´ees, les m´ethodes de MacNeal et Craig & Bampton ´etant des m´ethodes correspondant `a un chargement particulier.
La sous-structuration dynamique a largement contribu´e au d´eveloppement num´erique de l’analyse de la dynamique de structures de plus en plus complexes.
Des d´eveloppements de m´ethodes de d´ecomposition de domaines [34] ont permis l’am´elioration des analyses num´eriques.
Le point de vue exp´erimental n’est pas en reste. La synth`ese de modes par compo- sants [47] autorise a priori le couplage des mod`eles exp´erimentaux dans la mesure o`u un certain nombre d’informations est disponible. Les m´ethodes de modification structurale sont fond´ees sur ce principe. La r´ef´erence [21] passe en revue les diff´erentes m´ethodes et principes qui r´egissent la synth`ese de modes par composants.