5.5 Sp´ecificit´es des modifications dissipatives 139 Les r´esultats du couplage hybride sont pr´esent´es sur la figure 5.22.
Fig. 5.22 – ´Evolution des fr´equence et amortissement d’un mode d’ovalisation `a 2 lobes pr´edits et des indicateurs d’erreur associ´es selon la taille de la base d’expansion, pour diff´erentes bases d’expansion.
Les calculs r´ealis´es `a partir de ces cinq bases d’expansion montrent que la prise en compte fine du comportement du mat´eriau visco´elastique dans le calcul de la base d’expansion n’a quasiment pas d’influence sur le r´esultat de couplage et sur les IERI.
Ce r´esultat s’explique par la colin´earit´e des sous espaces correspondant aux calculs `a chaque fr´equence. En effet, comme le montrent les tableaux 5.5 et 5.6, l’angle entre deux sous espaces obtenus en consid´erant des fr´equences diff´erentes est en g´en´eral tr`es faible.
5.5 Sp´ecificit´es des modifications dissipatives 140
T15Hz T60Hz T100Hz T150Hz T200Hz T10000Hz T15Hz 0 0,5 0,9 1,2 1,5 12,2
T60Hz 0 0,3 0,7 0,9 11,6
T100Hz 0 0,3 0,6 11,3
T150Hz 0 0,3 11,0
T200Hz 0 10,7
T10000Hz 0
Tab.5.5 – Angles entre les sous-espaces repr´esent´es par les diff´erentes bases d’expan- sion (30 vecteurs) associ´ees `a chaque fr´equence, projet´ees sur le maillage capteurs.
T15Hz T60Hz T100Hz T150Hz T200Hz T10000Hz
T15Hz 0 1,5 2,4 3,5 4,3 67,5
T60Hz 0 0,9 1,9 2,8 66,3
T100Hz 0 1,0 1,9 65,6
T150Hz 0 0,9 64,7
T200Hz 0 64,0
T10000Hz 0
Tab.5.6 – Angles entre les sous-espaces repr´esent´es par les diff´erentes bases d’expan- sion (40 vecteurs) associ´ees `a chaque fr´equence, projet´ees sur le maillage capteurs.
On montre donc que le comportement associ´e aux premiers modes de la structure est relativement peu d´ependant du comportement du mat´eriau visco´elastique. Les modes sont ´evidemment diff´erents, mais ils repr´esentent le mˆeme sous espace. En effet, pour des bases de petites tailles (N ≤ 30), on remarque que les angles restent faibles. La seule exception est le cas du calcul r´ealis´e pour une fr´equence centrale tr`es ´elev´ee, en consid´erant un nombre important de vecteurs. Dans ce cas, les modes d’ordre sup´erieurs diff`erent, et les r´esultats de l’expansion aussi. La pr´ediction obtenue est alors diff´erente, comme l’atteste la figure 5.22.
Pour une application classique de la m´ethode sur une bande de fr´equences de taille raisonnable (de l’ordre de 200Hz pour des applications basse fr´equence), on voit qu’il n’est pas n´ecessaire de recaler le comportement du mod`ele local pour les diff´erentes fr´equences.Ce r´esultat ´etait attendu du fait mˆeme de la m´ethode : la construction des modes d’interface passe par une phase de r´eduction statique qui filtre le caract`ere dissipatif de la modification incluse dans le mod`ele local. De plus la souplesse de la modification sur toute la bande de fr´equences consid´er´ee implique un faible change- ment des d´eform´ees. La section suivante illustre cette caract´eristique des modifications dissipatives.
5.5 Sp´ecificit´es des modifications dissipatives 141
5.5.2 Evolution du comportement de la modification selon la ´ fr´ equence
Dans le cas de modifications structurales amorties incluant des mat´eriaux dont le comportement d´epend de la fr´equence, il est n´ecessaire de r´esoudre le probl`eme coupl´e pour chaque pas de fr´equence. On a vu `a la section 5.5.1 que, pour le calcul de la base d’expansion, le mod`ele local incluant la modification n’a pas besoin d’ˆetre recal´e pour chaque pas de fr´equence. En revanche, lors de la phase de couplage, l’´evolution selon la fr´equence du comportement de la modification doit ˆetre pris en compte.
Apr`es discr´etisation de la bande de fr´equences consid´er´ee, et r´esolution du probl`eme coupl´e pour chaque pas, on trace l’´evolution des pr´edictions en fonction de la taille N de la base d’expansion pour chaque pas de fr´equence. La figure 5.23 montre l’´evolution des fr´equences et des amortissements pour diff´erentes valeurs du module de cisaillement caract´eristique du comportement m´ecanique du mat´eriau visco´elastique.
Fig. 5.23 – ´Evolution des pr´edictions selon la fr´equence consid´er´ee pour le comporte- ment du mat´eriau visco´elastique.
Le comportement des IERI est, en revanche, g´en´eralement similaire d’une valeur de G`a l’autre.
Pour le mode consid´er´e ici, l’emploi d’un module de cisaillement G(f = 60Hz) est le choix qu’il faut faire. La discr´etisation utilis´ee (pas fr´equentiel de 10Hz `a 20Hz) est relativement adapt´ee pour la vitesse d’´evolution du comportement du mat´eriau visco´elastique selon la fr´equence puisqu’on observe un faible ´ecart, de 1Hz `a 2Hz pour les modules associ´es `a f = 50Hz ouf = 80Hz.
Il est toujours possible de raffiner la discr´etisation de la bande de fr´equence afin de s´electionner exactement le module correspondant au mode pr´edit. Notamment, dans le cas d’´evolution plus rapide du comportement du mat´eriau visco´elastique selon la fr´equence, il peut s’av´erer indispensable d’affiner la discr´etisation. Cependant, cette
5.5 Sp´ecificit´es des modifications dissipatives 142 approche pr´esente peu d’int´erˆet, et il est plus int´eressant de reconstruire directement les transferts. En effet, dans les zones de fortes variations des propri´et´es m´ecaniques, la pr´ediction des modes propres, fr´equences propres et amortissements est d´elicate. La synth`ese modale permet alors d’estimer directement le niveau vibratoire apr`es modifica- tion, et int`egre naturellement les effets de la d´ependance fr´equentielle du comportement du mat´eriau visco´elastique.
Pour construire ces transferts, il suffit de s’appuyer, autour de chaque mode coupl´e, sur les indications fournies par les IERI. Pour chaque bande de fr´equence, le choix des vecteurs `a utiliser pour la reconstruction est indiqu´e, et il suffit de reconstruire un mod`ele coupl´e de la structure en fonction d’une taille de base d’expansion donn´ee.
Dans le cas d’une zone o`u plusieurs modes coupl´es peuvent interagir, la s´election de la taille de base optimale est plus d´elicate, puisqu’elle fait intervenir les ´evolutions des IERI pour chaque mode en pr´esence. On peut d`es lors r´ealiser la pr´ediction de chaque mode avec le module Gassoci´e `a la fr´equence du mode.
Les transferts, synth´etis´es `a partir des modes complexes pr´edits et de l’´equation (2.22), ne sont en effet pas exacts dans le cas de structures dont le comportement d´epend fortement de la fr´equence (section 2.1.3). Le biais de synth`ese est cependant n´egligeable lorsque la d´ependance n’est pas trop importante.
La figure 5.24 permet de v´erifier que, dans notre cas d’´etude avec un mat´eriau visco´elastique standard (smactane50), l’erreur de synth`ese est faible. On consid`ere les modes calcul´es avec le module de comportement associ´e `a leur fr´equence propre, et on compare un transfert direct calcul´e `a l’aide de l’´equation (5.2) avec le transfert synth´etis´e.
Fig. 5.24 – Transferts direct et synth´etis´e `a partir des modes complexes calcul´es avec une valeur de module correspondant `a leur fr´equence propre. Erreur relative entre le transfert direct et la synth`ese modale. (localisation entr´ee/sortie donn´ee en figure 3.7)