Dans les cas d’´etude de la th`ese, seuls des amortissements hyst´er´etiques correspon- dant `a des repr´esentations de mat´eriaux visco´elastiques ont ´et´e consid´er´es. Cependant les d´eveloppements propos´es peuvent ˆetre ´etendus `a d’autres types d’amortissement.
En ce qui concerne le choix de la taille de la base d’expansion, il est n´ecessaire de r´ealiser un certain nombre de fois le calcul de pr´ediction en augmentant `a chaque it´eration la taille de la base d’expansion [TLg] (4.38). Il est de ce fait int´eressant d’utiliser un mod`ele r´eduit de la modification pour diminuer les temps de calcul.
Une fois les ´etapes de la m´ethode LMME r´ealis´ees, il faut se questionner sur la mani`ere de pr´edire les niveaux vibratoires en fonctionnement.
La solution de reconstruction de r´eponses fr´equentielles la plus simple pour des syst`emes d´ependant de la fr´equence consiste en l’assemblage des matrices ca- ract´eristiques pour une fr´equence donn´ee, `a s´eparer les termes d´ependant de la fr´equence de ceux ind´ependants (section 2.1.1) et `a calculer l’expression
H(s) =c[Z(s)]−1b. (5.2)
Dans le cadre de la m´ethode LMME de modification structurale (ou de toute autre m´ethode modale), on ne dispose cependant pas des matrices caract´eristiques, mais on d´efinit une famille de modes complexes calcul´es pour des valeurs de module (d´efinissant le comportement) associ´ees `a leur fr´equence propre. Puis on r´ealise la synth`ese modale sous la forme (2.22)
H(s) = XN
j=1
{cψj}{ψjTb}
αj(s−λj) +{cψj}{ψTjb}
αj(s−λj) . (5.3)
On a vu, `a la section 2.1.3, puis sur l’exemple de la section 2.2.2, que l’erreur commise sur la synth`ese modale dans ce contexte peut ˆetre n´eglig´ee si la d´ependance du comportement pa rapport `a la fr´equence n’est pas trop grande. La section 5.3 permettra de v´erifier, sur un exemple num´erique r´ealiste, que cette caract´eristique particuli`ere de d´ependance par rapport `a la fr´equence a peu d’influence sur la synth`ese modale.
5.2 Un premier exemple
La m´ethode LMME telle qu’elle est d´ecrite dans [16] ne permet pas de pr´edire l’amortissement de la structure coupl´ee alors que cette information (mesur´ee sur la structure initiale) peut s’av´erer n´ecessaire pour la pr´ediction des niveaux vibratoires de la structure modifi´ee en fonctionnement. En effet la modification apport´ee peut modifier l’amortissement pr´esent initialement. Dans le cas de l’ajout d’un raidisseur,
5.2 Un premier exemple 114 la modification peut avoir tendance `a d´et´eriorer l’amortissement, et on peut alors se trouver confront´e `a des cas o`u le raidisseur d´ecale le pic de r´esonance vis´e mais o`u le niveau vibratoire augmente globalement.
En r`egle g´en´eral, il sera toujours int´eressant de pouvoir pr´edire l’amortissement mˆeme pour des structures faiblement amorties et des ajouts de raidisseurs.
Le cadre de cette section est la pr´esence d’un amortissement relativement faible pour la structure initiale comme pour la structure modifi´ee.
L’utilisation des modes normaux dans un premier temps doit permettre l’appli- cation de la m´ethode de pr´ediction et la d´etermination des fr´equences propres et des d´eform´ees du syst`eme coupl´e. `A partir de ces pr´edictions, on se demande s’il est possible de reconstruire l’amortissement du syst`eme coupl´e.
On se place ici dans le cadre de la MSE (Modal Strain Energy [78]). L’hypoth`ese selon laquelle les modes normaux ne sont pas coupl´es, i.e. l’amortissement consid´er´e est faible, est donc pr´e-requise.
Ainsi en consid´erant les contributions dissipatives du syst`eme, la m´ethode MSE donne une expression ξcouplj approch´ee des coefficients d’amortissement de la struc- ture coupl´ee en fonction des modes normaux de la structure coupl´ee h
φcouplj i , des coefficients d’amortissement modaux identifi´es de la structure initiale
ΓB
, des ma- trices d’amortissement de la modification CM et BM, et de la masse g´en´eralis´ee µj =n
φcouplj oT
[M]n
φcouplj o
. Ces amortissements sont de la forme
ξjcoupl ≈ 1 2
hφcouplj iT ΓB 0 0 0
+
φBI 0 0 Id
T
CM+ BM
ωcouplj
φBI 0 0 Id
!hφcouplj i
µjωcouplj (5.4)
Fig. 5.1 – Mod`ele de bac avec couche amortissante avant et apr`es modification (ajout d’un raidisseur).
5.2 Un premier exemple 115 Afin de tester num´eriquement ces expressions, on se donne un cas test. Il s’agit d’un bac mod´elis´e sur la figure 5.1. Une couche de mat´eriau visco´elastique contrainte localis´ee sur une partie du fond du bac introduit de l’amortissement dans la structure.
Un raidisseur est ajout´e sous le bac sur une des diagonales.
bac couche couche contrai- raidisseur (acier) visco´elastique -gnante (acier) (acier)
longueur 60cm 21cm 21cm 67cm
largeur 30cm 30cm 30cm ×
´epaisseur 2mm 0,5mm 2mm 2mm
hauteur 6cm × × 6cm
Tab.5.1 – Dimensions du cas test
Les dimensions du bac et de la modification (raidisseur) sont donn´ees dans le tableau 5.1. On consid`ere la structure encastr´ee sur le bord en X = 0 (figure 5.1).
On compare le calcul direct et les diff´erentes m´ethodes `a disposition :
1. la m´ethode propos´ee dans [16] utilis´ee avec le cadre de la MSE (section 2.1.2).
2. la m´ethode ´etendue au cas dissipatif.
Fig. 5.2 – Mod`ele local et maillage capteurs utilis´es pour l’application des m´ethodes de pr´ediction.
Le mod`ele local et le maillage capteurs utilis´es pour mettre en œuvre les m´ethodes de pr´ediction sont pr´esent´es en figure 5.2. On consid`ere donc un mod`ele local ne prenant pas en compte la couche visco´elastique contrainte. Le maillage capteurs est compos´e de 50 capteurs verticaux.
Le tableau 5.2 donne les caract´eristiques modales de la structure avant et apr`es modification. On voit que la pr´ediction des fr´equences est de qualit´e ´equivalente que