Étude de l’approximation hydrostatique de Stokes & d’une équation dégénérée

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Submitted on 7 Jan 2010

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Étude de l’approximation hydrostatique de Stokes &

d’une équation dégénérée

Fabien Dahoumane

To cite this version:

Fabien Dahoumane. Étude de l’approximation hydrostatique de Stokes & d’une équation dégénérée.

Mathématiques [math]. Université de Pau et des Pays de l’Adour, 2009. Français. �tel-00444885�

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❈✬❡st ❛❧♦rs ❡♥ ✈♦✉❧❛♥t ❛❞❛♣t❡r ❞❡s rés✉❧t❛ts ❞é❥à ❡①✐st❛♥ts✱ q✉❡ ♥♦✉s s♦♠♠❡ ♥❛t✉r❡❧❧❡♠❡♥t ❝♦♥❞✉✐t à ét✉❞✐❡r ✉♥❡ éq✉❛t✐♦♥ ❞é❣é♥éré❡✱ ❝♦♠♠❡ ❝❡❧❧❡ q✉❡ ❧✬♦♥ ♣rés❡♥t❡ ❞❛♥s ❧❛ s✉✐t❡ ❞❡ ❝❡tt❡ t❤ès❡✳

◆♦✉s ♥❡ ❞é✈♦✐❧❡r♦♥s ♣❧✉s ❞❡ ❞ét❛✐❧s s✉r ❝❡tt❡ ♣r❡♠✐èr❡ ♣❛rt✐❡✱ ♣✉✐sq✉✬✉♥❡ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ très ❞ét❛✐❧❧é❡ ❞❡

❝❡tt❡ ♣❛rt✐❡ ❡st ❞♦♥♥é ❞❛♥s ❧❛ s✉✐t❡✳

▲❡s ♣❛rt✐❡s ✷ ❡t ✸ s♦♥t ❝♦♥s❛❝ré❡s à ❧✬ét✉❞❡ ❞✬✉♥ ♣r♦❜❧è♠❡ ❡❧❧✐♣t✐q✉❡ ❛✈❡❝ ✉♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❞❡ ❞✐✛✉s✐♦♥

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❡t ❞❡ ♠✐❧✐❡✉① ♣♦r❡✉①✳ ▲❛ ♣❛rt✐❡ ✷ ❡st ❧❛ ♣❧✉s s✐❣♥✐✜❝❛t✐✈❡ ❞❡ ❝❡ tr❛✈❛✐❧✳ ❊❧❧❡ ❡st ❝♦♥s❛❝ré❡ ❛✉ ❞❡♠✐✲

❡s♣❛❝❡R³

+ ❛✈❡❝ ✉♥ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❞❡ ❞✐✛✉s✐♦♥ ❡♥1/x3✱ ✈♦✐r ✭✹✳✸✽✮✳ ❈♦♠♠❡ ♥♦✉s ❧✬❡①♣❧✐q✉❡r♦♥s ❞❛♥s ✉♥❡

✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ❞ét❛✐❧❧é❡✱ ❝❡tt❡ éq✉❛t✐♦♥ s♦rt ❞✉ ❝❛❞r❡ ❞✬ét✉❞❡ st❛♥❞❛r❞ ♦ù ❧❡ ♣♦✐❞s✱ ✐❝✐x3✱ ❡st ❜♦r♥é à

❧✬✐♥✜♥✐✳ ◆♦✉s ❝♦♥str✉✐s♦♥s ❞♦♥❝ ✉♥ ❝❛❞r❡ ❢♦♥❝t✐♦♥♥❡❧ ❛❞éq✉❛t ❡t q✉✐ ♣r❡♥❞ ❡♥ ❝♦♥s✐❞ér❛t✐♦♥ ❞❡s ♣♦✐❞s

♥♦♥ ❜♦r♥és à ❧✬✐♥✜♥✐ ❡t t❡♥❞❛♥t ✈❡rs ✵ ❛✉ ❜♦r❞ ❞❡ R³₊✳ ❈❡s ❡s♣❛❝❡s✱ ❡t ❞✬❛✉tr❡s ✐♥t❡r✈❡♥❛♥t ❞❛♥s ❧❛

rés♦❧✉t✐♦♥ ❞❡ ❧✬éq✉❛t✐♦♥ ❞❡ ▲❛♣❧❛❝❡ ❞❛♥sR³₊✱ s♦♥t ❛❧♦rs ❛❞❛♣tés à ❧❛ r❡❝❤❡r❝❤❡ ❞✬❡①✐st❡♥❝❡ ❡t ❞✬✉♥✐❝✐té

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❢❛✐❜❧❡s✳

❈❡rt❛✐♥❡s ❞❡s ✐❞é❡s ♠✐s❡s ❡♥ ♦❡✉✈r❡ ❞❛♥s ❧❛ ♣❛rt✐❡ ✷ ♥♦✉s ♦♥t ♣❡r♠✐s✱ ❞❛♥s ❧❛ tr♦✐s✐è♠❡ ♣❛rt✐❡ ❡t ❞❡r♥✐èr❡

♣❛rt✐❡ ❞❡ ❧❛ t❤ès❡✱ ❞✬ét✉❞✐❡r ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ♣❧✉s ❣é♥ér❛❧ ✭✹✳✸✾✮✳ ▲❛ ❞✐✣❝✉❧té ❞✉ ❝❛❞r❡ q✉❡ ❧✬♦♥ ❝❤♦✐s✐t ♥❡

♣❡r♠❡t ❞✬❛✈♦✐r ❞❡s rés✉❧t❛ts ❛✉ss✐ ♦♣t✐♠❛✉① q✉❡ ❝❡✉① q✉❡ ❧✬♦♥ ♦❜t✐❡♥t ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞✉ ❞❡♠✐✲❡s♣❛❝❡✳ ❈❡❧❛

✼

ét❛♥t✱ ♦♥ ét❛❜❧✐t ✉♥ ❝❛s ❞✬❡①✐st❡♥❝❡ ❡t ❞✬✉♥✐❝✐té ❞❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❢❛✐❜❧❡ ❡t ✉♥ rés✉❧t❛t ❞❡ ré❣✉❧❛r✐té ❛ss♦❝✐é✳

▲❡ tr❛✈❛✐❧ ❡✛❡❝t✉é ❞❛♥s ❧❛ ♣❛rt✐❡ ✶ ❢❛✐t ❧✬♦❜❥❡t ❞✬✉♥❡ ♣✉❜❧✐❝❛t✐♦♥ ❞❡ ♥✐✈❡❛✉ ❆ ❛❝❝❡♣té ❞❡r♥✐èr❡♠❡♥t

❞❛♥s ❧❛ r❡✈✉❡ s❝✐❡♥t✐✜q✉❡ ❉✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❊q✉❛t✐♦♥s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✳ ❈❡❧✉✐ ❞❡ ❧❛ ❞❡✉①✐è♠❡ ♣❛rt✐❡ ❢❛✐t

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♠❛♥✉s❝r✐t ❡♥ ❛♥❣❧❛✐s✳

✽

P❛rt ■

◆❡✇ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ❤②❞r♦st❛t✐❝

❙t♦❦❡s ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥

✾

■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥

■♥ t❤❡ ✜rst ♣❛rt ♦❢ t❤❡ t❤❡s✐s✱ ❞❡❞✐❝❛t❡❞ t♦ t❤❡ st✉❞② ♦❢ t❤❡ ❤②❞r♦st❛t✐❝ ❙t♦❦❡s ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✱ ❧❡t ✉s

❝♦♥s✐❞❡r ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ❞♦♠❛✐♥Ω⊂R³ ❞❡✜♥❡❞ ❜② Ω =

x= (x^′, x3)∈R³/ x^′∈ω ❛♥❞ −h(x^′)< x3<0 , ✭✶✮

✇❤❡r❡ω⊂R²✐s ❛ ❜♦✉♥❞❡❞ ▲✐♣s❝❤✐t③✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❞♦♠❛✐♥ ❛♥❞ ✇❤❡r❡h✐s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ▲✐♣s❝❤✐t③✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s

♠❛♣ ♦✈❡rω✱ ❝❤♦s❡♥ s✉❝❤ t❤❛tΩ❤❛s ❛ ▲✐♣s❝❤✐t③✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❜♦✉♥❞❛r②Γ✳

❚❤❡ ❜♦✉♥❞❛r②Γ ✐s s♣❧✐t ✐♥t♦ t❤r❡❡ ♣❛rts✱ ❡❛❝❤ ♦♥❡ ✇✐t❤ ❛ ♥♦♥ ♥❡❣❛t✐✈❡ ♠❡❛s✉r❡✿ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ΓS✱ t❤❡

❜♦tt♦♠ΓB ✱ ❛♥❞ s✐❞❡✇❛❧❧sΓL✱ ❞❡✜♥❡❞ ❜②✿

ΓS =ω× {0}, ΓB={(x^′,−h(x^′))/ x^′∈ω}, ✭✷✮

ΓL=

x∈R³/ x^′∈∂ω ❛♥❞ −h(x^′)6x360 .

❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❜②nt❤❡ ✉♥✐t ♦✉t✇❛r❞ ✈❡❝t♦r ♥♦r♠❛❧ t♦Γ✳

❋✐❣✉r❡ ✶✿ ❚❤❡ ❞♦♠❛✐♥Ω

❚❤❡ ❤②❞r♦st❛t✐❝ ❙t♦❦❡s ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ✇✐t❤ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✱ ✐s ❛ ♠♦❞❡❧ ✉s❡❞ ✐♥ ♦❝❡❛♥♦❣✲

r❛♣❤②✳ ❆s ✇❡ ✇✐❧❧ s❡❡ ❧❛t❡r✱ ❧♦ts ♦❢ st✉❞② ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ❞❡❞✐❝❛t❡❞ t♦ t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ ♦r t♦ ❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞

✈❡rs✐♦♥s ❝♦♠❜✐♥✐♥❣ ♥♦♥ ❧✐♥❡❛r ❛♥❞ t✐♠❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥t ❝❛s❡s✱ ♦r ✇✐t❤ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ✉♥❦♥♦✇♥s ♦t❤❡r t❤❛♥

t❤❡ ♦♥❡s ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ✐♥ t❤✐s ✇♦r❦✳ ●✐✈❡♥f^′ = (f1, f2) : Ω → R²✱ ✐t ❝♦♥s✐sts ✐♥ ✜♥❞✐♥❣ ❛ ✈❡❧♦❝✐t②

✶✶

u= (u^′, u3) : Ω→R³ ❛♥❞ ❛ ♣r❡ss✉r❡p: Ω→Rs♦❧✉t✐♦♥ t♦✿

−∆u^′+∇^′p=f^′ ✐♥ Ω, ✭✸✮

∂p

∂x3

= 0 ✐♥ Ω, ✭✹✮

∇ ·u= 0 ✐♥ Ω, ✭✺✮

u^′= 0, u3n3= 0 ♦♥Γ. ✭✻✮

■♥ t❤❡s❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✱∇^′ = (∂x1, ∂x2)^✶ ✐s t❤❡ ❣r❛❞✐❡♥t ♦♣❡r❛t♦r ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ✈❛r✐❛❜❧❡sx1 ❛♥❞x2✳

❚❤❡♥✱ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② ∆ = ∂²_x2 1 +∂_x²2

2 +∂_x²2

3 t❤❡ ▲❛♣❧❛❝❡ ♦♣❡r❛t♦r✳ ❊q✉❛t✐♦♥s ✭✸✮ ❛r❡ t❤❡ ❤♦r✐③♦♥t❛❧

♠♦♠❡♥t✉♠ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❊q✉❛t✐♦♥ ✭✹✮ ✐s ❝❛❧❧❡❞ t❤❡ ❤②❞r♦st❛t✐❝ ♣r❡ss✉r❡ ❤②♣♦t❤❡s✐s✳

❘❡❣❛r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ✉s✉❛❧ ❙t♦❦❡s ♣r♦❜❧❡♠✱ t❤❡ ❞✐s❛♣♣❡❛r❛♥❝❡ ♦❢ t❤❡ t❡r♠ −∆u3 ✐♥ ✭✹✮ ❝♦♥❢❡rs t♦

✭✸✮✲✭✻✮ ❛ ❞❡❣❡♥❡r❛t❡ ♥❛t✉r❡✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✇❡ ❡①♣❡❝t ❢r♦♠ t❤❡ ✈❡rt✐❝❛❧ ✈❡❧♦❝✐t②u3 t♦ ❜❡ ❧❡ss r❡❣✉❧❛r t❤❛♥

t❤❡ ❤♦r✐③♦♥t❛❧ ✈❡❧♦❝✐t②u^′✱ ✇❤✐❝❤ ❡①♣❧❛✐♥s ✇❤② u3 ❛♥❞ u^′ ❤❛✈❡ ❞✐✛❡r❡♥t ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✳ ❚❤✐s

❝♦♠♠❡♥t ✇✐❧❧ ❜❡ ❝❧❡❛r❧② ❥✉st✐✜❡❞ ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✳

❚❤❡ st✉❞② ♦❢ s②st❡♠ ✭✸✮✲✭✻✮ ✐s ♠♦r❡ ♦r ❧❡ss ❞✐✣❝✉❧t ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ♠❛♣♣✐♥❣hs❛t✐s✜❡s t❤❡ ❛❞❞✐t✐♦♥❛❧ ♣r♦♣❡rt②✿ t❤❡r❡ ✐s ❛ ❝♦♥st❛♥tα >0✱ s✉❝❤ t❤❛t

xinf^′∈ωh(x^′)>α. ✭✼✮

■❢ ✐t ✐s t❤❡ ❝❛s❡✱ ✇❡ s❤❛❧❧ s❛② t❤❛tΩ❤❛s s✐❞❡✇❛❧❧s✱ ❛♥❞ t❤❡♥ t❤❡ ♣✐❡❝❡ ♦❢ ❜♦✉♥❞❛r②ΓL ✐s ♥♦t ❡♠♣t②✳

▲❡t ✉s ❜r✐❡✢② r❡❝❛❧❧ t✇♦ ❛♣♣r♦❛❝❤❡s✱ t❤❛t ✇❡ ❝❛♥ ✜♥❞ ✐♥ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡✱ ❛♥❞ t❤❛t ❡♥❛❜❧❡ t❤❡ st✉❞② ♦❢

✭✸✮✲✭✻✮✳ ❋✐rst❧②✱ Pr♦❜❧❡♠ ✭✸✮✲✭✻✮ ✐s t❤❡ ❧✐♠✐t✱ ✐♥ ❛ s❡♥s❡ t♦ ❜❡ ♣r❡❝✐s❡❞✱ ♦❢ ❛♥ ❛♥✐s♦tr♦♣✐❝ ❙t♦❦❡s s②st❡♠

s❡t ✐♥ ❛ t❤✐♥ ❞♦♠❛✐♥^✷✳ ■♥❞❡❡❞✱ ❧❡tε∈]0,1]✱ ❛♥❞ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ t❤✐♥ ❞♦♠❛✐♥Ωε ❞❡✜♥❡❞ ❛s ✐♥ ✭✶✮ ❜② Ωε=

(x^′, z)∈R³/ x^′ ∈ω ❛♥❞ −εh(x^′)< z <0 . ✭✽✮

❚❤❡ ♦♣❡♥ s❡t Ωε ✐s ❜♦✉♥❞❡❞✱ ❝♦♥♥❡❝t❡❞ ❛♥❞ ❤❛s ❛ ▲✐♣s❝❤✐t③✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❜♦✉♥❞❛r② Γε✳ ◆❡①t✱ ❢♦r ❛

❞❛t✉♠F = (F^′,0) : Ωε→R³ ❧❡t ✉s ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❙t♦❦❡s s②st❡♠✿

−∆εvε+∇πε=F, ∇ ·v= 0 ✐♥Ωε,

v= 0 ♦♥Γε, ✭✾✮

✇❤❡r❡∆ε=∂_x²2 1+∂_x²2

2+ε²∂_x²2

3 st❛♥❞s ❢♦r t❤❡ ❛♥✐s♦tr♦♣✐❝ ▲❛♣❧❛❝✐❛♥ ♦♣❡r❛t♦r✳ ■♥ t❤❡ s❡q✉❡❧✱ ✇❡ ✇❛♥t t♦

❞❡r✐✈❡ ❢r♦♠ Pr♦❜❧❡♠ ✭✾✮ ❛ ❧✐♠✐t ♣r♦❜❧❡♠ ✇❤❡♥ε ❣♦❡s t♦ ✵✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❧❡t ✉s ♣r♦❝❡❡❞ t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣

s❝❛❧✐♥❣

x3=z/ε,

❛♥❞ ❧❡t ✉s s❡t

u^′_ε(x) =v^′_ε(x^′, z), u^ε₃(x) = v^ε₃(x^′, z)

ε , pε(x) =πε(x^′, z), f^′(x) =F^′(x^′, z).

❚❤❡ ♥❡✇ ✉♥❦♥♦✇♥suε ❛♥❞pε ❛r❡ ❞❡✜♥❡❞ ✐♥ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥Ω✭s❡❡ ✭✶✮✮✱ ❛♥❞ ❛r❡ ❢♦r♠❛❧❧② s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤❡

❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s②st❡♠✿





−∆u^′_ε+∇^′pε=f^′, −ε²∆u^ε₃+∂pε

∂x3

= 0, ∇ ·uε= 0 ✐♥ Ω,

uε= 0 ♦♥Γ. ✭✶✵✮

✶❚❤r♦✉❣❤♦✉t t❤❡ r❡♣♦rt✱ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② t❤❡ s②♠❜♦❧∂x_i t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r ∂

∂xi✱ ✐♥ t❤❡ t❡①t s❡♥t❡♥❝❡s✳

✷❆ t❤✐♥ ❞♦♠❛✐♥ ❤❛s r❡❛❧❧② ❞✐✛❡r❡♥t ❤♦r✐③♦♥t❛❧ ❛♥❞ ✈❡rt✐❝❛❧ s❝❛❧❡s✳

✶✷

❚❤❡♥✱ ❜② ❡st❛❜❧✐s❤✐♥❣ s✉✣❝✐❡♥t ❡♥❡r❣② ✐♥❡q✉❛❧✐t✐❡s✱ ✇❡ ❣❡t ❛♥ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ♣r♦❜❧❡♠ ✇❤❡♥ε❣♦❡s t♦ ③❡r♦✱

t❤❛t ✐s ♣r♦❜❧❡♠ ✭✸✮✲✭✻✮✳

❚❤❡ r❡❛❞❡r ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ t❤❡ ♣❤②s✐❝❛❧ ❥✉st✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ s✉❝❤ ♣r♦❝❡❞✉r❡ ❝❛♥ r❡❢❡r t♦ t❤❡ t❤❡s✐s ♦❢ P✳

❆③ér❛❞ ❬✸❪ ✇❤❡r❡ ❤❡ st✉❞✐❡❞ t❤❡ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ t❤✐♥ ❞♦♠❛✐♥s✳ ❚❤❡ r❡❛❞❡r ✇✐❧❧ ✜♥❞ ❛

❝♦♠♣❧❡t❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ♣r♦❝❡ss ✐♥ ❛ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ s✐t✉❛t✐♦♥ ✭s❡❡ ❈❤❛♣t❡r ✷ ♦❢ ❬✸❪✮✳ ■♥ ❛ ❢❡✇

❧✐♥❡s✱ ❧❡t ✉s ♠❡♥t✐♦♥ t❤❛t P✳ ❆③ér❛❞ ❝♦♥s✐❞❡rs t❤❡ ❛♥✐s♦tr♦♣✐❝ t✐♠❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥t ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s

✐♥st❡❛❞ ♦❢ ✭✾✮✱ ❛♥❞ r❡♥♦r♠❛❧✐③❡s ✐t✱ ❛s ✇❡ ❤❛✈❡ ❞♦♥❡ ✐t t♦ ❣❡t ✭✶✵✮ ❢r♦♠ ✭✾✮✳ ❆s ❤❡ ❡①♣❧❛✐♥s✱ t❤❡

r❡♥♦r♠❛❧✐③❛t✐♦♥ ❤❛s ❛❧s♦ ♣❤②s✐❝❛❧ s❡♥s❡✱ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ♣❛ss✐♥❣ t♦ t❤❡ ❧✐♠✐ts ✇❤❡♥ε❣♦❡s t♦ ✵✳

❆s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❛❜♦✈❡✱ P✳ ❆③ér❛❞ ❤❛s ❜❡❡♥ ❝❧♦s❡❧② ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ t❤❡ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ ◆❛✈✐❡r✲

❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ❛ t❤✐♥ ❞♦♠❛✐♥✳ ■♥ ❤✐s t❤❡s✐s ❬✸❪✱ ❤❡ r❡❢❡rs t♦ t❤❡ ✇♦r❦s ♦❢ ❖✳ ❇❡ss♦♥✱ ▼✳ ❘✳

▲❛②❞✐ ❛♥❞ ❖✳ ❚♦✉③❛♥✐ ❬✼✱ ✾❪✱ ✇❤♦ ✐♥✐t✐❛t❡ t❤❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ st✉❞② ♦❢ t❤❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ ❙t♦❦❡s

❛♥❞ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ■♥ ❬✼❪✱ t❤❡ ❛✉t❤♦rs ❞❡r✐✈❡ ❢r♦♠ t❤❡ ✷❉ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ✭✶✵✮ ❛ ❧✐♠✐t ♣r♦❜❧❡♠

❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t✇♦ ✈❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ❢♦r♠✉❧❛t✐♦♥s✱ ❛♥❞ t❤❡r❡❢♦r❡✱ ♣r♦✈❡ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ❛

✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ ✷❉ ❤②❞r♦st❛t✐❝ ❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ✇♦r❦ ✐s ✐♠♣r♦✈❡❞ ✐♥ ❬✾❪✱ ✇❤❡r❡ t❤❡

❛♥✐s♦tr♦♣✐❝ st❛t✐♦♥❛r② ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s ✐s ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ ✐♥ ❛ t❤✐♥ ❞♦♠❛✐♥ ❛s ✇❡❧❧ ❛s t❤❡ ❤②❞r♦st❛t✐❝

❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡s❡ ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❆❢t❡r ❡st❛❜❧✐s❤✐♥❣ s♦♠❡ ❡st✐♠❛t❡s ♦❢ t❤❡ ✈✐s❝♦s✐t② ❛♥❞ ❝♦♥✈❡❝t✐✈❡

t❡r♠s✱ ❛♣♣❡❛r✐♥❣ ✐♥ t❤❡ ♠♦♠❡♥t✉♠ ❡q✉❛t✐♦♥s✱ t❤❡② ♣r♦✈❡ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❛ s♦❧✉t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❤②❞r♦st❛t✐❝

❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❛s ❛ ❧✐♠✐t ♦❢ t❤❡ ❛♥✐s♦tr♦♣✐❝ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s✳

❚❤❡ ✇♦r❦ ♦❢ P✳ ❆③ér❛❞ ❝❧❡❛r❧② ❡♥r✐❝❤❡s t❤❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❛♥❞ ♥✉♠❡r✐❝❛❧ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s

♦♥❡s✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ t♦ ❣✐✈❡ ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ❛♥❞ ❞❡t❛✐❧❡❞ ♣❤②s✐❝❛❧ ❜❛❝❦❣r♦✉♥❞✱ t❤❡ r❡❛❞❡r ✇✐❧❧ s❡❡✱ ✐♥ ❈❤❛♣t❡r

✸ ♦❢ ❬✸❪✱ t❤❡ ✇❡❧❧✲♣♦s❡❞✲♥❡ss ♦❢ t❤❡ ❤②❞r♦st❛t✐q✉❡ ❙t♦❦❡s ♣r♦❜❧❡♠ ❜② t❤❡ ♠❡❛♥ ♦❢ ❛♥ ❛♥❛❧②s✐s ✇❤✐❝❤

✐s ♥♦t ❜❛s❡❞ ✉♣♦♥ ❛ ❧✐♠✐t ♣r♦❝❡ss✳ ❚❤❡ r❡❛❞❡r ✇✐❧❧ ❛❧s♦ ✜♥❞ ❛ ❞✐s❝r❡t✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤✐s ♣r♦❜❧❡♠ r❡❧②✐♥❣

♦♥ ❛ st❛❜❧❡ ❤②❞r♦st❛t✐❝ ✜♥✐t❡ ❡❧❡♠❡♥t ♠❡t❤♦❞✳ ■♥ ❛♥♦t❤❡r ❝❤❛♣t❡r t❤❡ ❛✉t❤♦r ❝♦♥s✐❞❡rs t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢

t✐♠❡✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ❧✐♥❡❛r✐③❡❞ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ❤②❞r♦st❛t✐❝ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❛❞❞✐♥❣ ♦❢

t❤❡ t✐♠❡ ❞❡♣❡♥❞❡♥❝❡✱ ❡✈❡♥ ❢♦r t❤❡ ❧✐♥❡❛r✐③❡❞ ✈❡rs✐♦♥✱ ❜r✐♥❣s r❡❛❧ ❞✐✣❝✉❧t✐❡s t❤❛t P✳ ❆③ér❛❞ ❤❛♥❞❧❡s

❜② ✉s✐♥❣ ❛ ❝♦♠♣❛❝✐t② ♠❡t❤♦❞✱ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❡♥❡r❣② ❛ ♣r✐♦r✐ ❡st✐♠❛t❡s✳ ❚♦ ✜♥✐s❤✱ ❛ ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r② ✇♦r❦

✐s ❞♦♥❡ ✇✐t❤ ❋✳ ●✉✐❧❧é♥ ●♦♥③á❧❡③ ❬✹✱ ✺❪✱ ✉s✐♥❣ ❛ ❧✐♠✐t ♣r♦❝❡ss✱ ♦♥ t❤❡ ❤②❞r♦st❛t✐❝ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢

t❤❡ t✐♠❡✲❞❡♣❡♥❞❡♥t ✐♥❝♦♠♣r❡ss✐❜❧❡ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ❚❤❡② ♣r♦✈❡ ❛ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ❛♥❞ ❡①✐st❡♥❝❡

t❤❡♦r❡♠ ❢♦r t❤✐s ♠♦❞❡❧ ❜② ♠❡❛♥s ♦❢ ❛♥✐s♦tr♦♣✐❝ ❡st✐♠❛t❡s ❛♥❞ ❛ ♥❡✇ t✐♠❡✲❝♦♠♣❛❝t♥❡ss ❝r✐t❡r✐♦♥✳

❚❤❡ s❡❝♦♥❞ ❛♣♣r♦❛❝❤ ❝♦♥s✐sts ✐♥ r❡❞✉❝✐♥❣ s②st❡♠ ✭✸✮✲✭✻✮ t♦ t❤❡ ❙t♦❦❡s✲t②♣❡ s②st❡♠ ✭✶✸✮✳ ■♥❞❡❡❞✱

t❤❡ s✐♠♣❧✐✜❝❛t✐♦♥s ♦❢ ✭✸✮✲✭✻✮ ❛r✐s❡ ❢r♦♠ t❤❡ ❤②❞r♦st❛t✐❝ ♣r❡ss✉r❡ ❤②♣♦t❤❡s✐s✿

∂p

∂x3

= 0 ✐♥Ω, ✭✶✶✮

❡♥s✉r✐♥❣ t❤❛tpS✱ t❤❡ ♣r❡ss✉r❡ ❛tx3= 0✱ ✐s ✐♥ ❢❛❝t t❤❡ r❡❛❧ ✉♥❦♥♦✇♥✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ❜② ✐♥t❡❣r❛t✐♥❣ ✇✐t❤

r❡s♣❡❝t t♦x3t❤❡ ✐♥❝♦♠♣r❡ss✐❜✐❧✐t② ❡q✉❛t✐♦♥✿

∇ ·u= 0 ✐♥Ω, ✭✶✷✮

❛♥❞ t❛❦✐♥❣ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦✈❡r u3✱ ✐t ❛♣♣❡❛rs t❤❛t t❤❡ ✈❡rt✐❝❛❧ ✈❡❧♦❝✐t② u3 ✐s

❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ ❤♦r✐③♦♥t❛❧ ✈❡❧♦❝✐t②u^′✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ❡q✉❛t✐♦♥s ♦❢ ✭✸✮✲✭✻✮ ❛r❡ r❡❞✉❝❡❞ t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣

s②st❡♠✿









−∆u^′+∇^′pS =f^′ ✐♥Ω,

∇^′·

✂ 0

−h(x′)

u^′(x^′, x3)dx3= 0 ✐♥ω, u^′ = 0 ♦♥Γ.

✭✶✸✮

✶✸

❚❤❡♥✱ ✇❡ ❣❡t ❜❛❝❦ t♦u3 ❛♥❞ t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ♣r❡ss✉r❡p❜② s❡tt✐♥❣✿

x= (x^′, x3)∈Ω, u3(x) =

✂ ₀

x3

∇^′·u^′(x^′, ξ)dξ, p(x) =pS(x^′). ✭✶✹✮

Pr♦❜❧❡♠ ✭✶✸✮ ✐s ❛ s✐♠♣❧✐✜❡❞ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ♠♦r❡ r❡❛❧✐st✐❝ ♠♦❞❡❧ ♦❢ t❤❡ Pr✐♠✐t✐✈❡ ❊q✉❛t✐♦♥s✱ ❞❡♥♦t❡❞

❜② P❊s ✐♥ t❤❡ s❡q✉❡❧✳

❚❤❡ st✉❞② ♦❢ t❤❡ P❊s ✐s ♦❢ r❡❛❧ ✐♥t❡r❡st ❛s ✇❡ ♣r♦♣♦s❡ t♦ ❞❡t❛✐❧ ✐t ✐♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❧✐♥❡s✳ ■♥ ❛ ❣❡♥❡r❛❧

✇❛②✱ st✉❞②✐♥❣ s②st❡♠ ✭✶✸✮ ♦r t❤❡ P❊s ②✐❡❧❞s r❡❛❧ ❞✐✣❝✉❧t✐❡s ✇❤❡♥ t❤❡ ♠❛♣♣✐♥❣ h✈❛♥✐s❤❡s ♦♥ ❛ ♥♦♥

♥❡❣❧✐❣✐❜❧❡ ♣❛rt ♦❢∂ω✳ ❚❤✐s ❡①♣❧❛✐♥s ✇❤② ♠♦st ♦❢ t❤❡ ✇♦r❦ ❞❡❞✐❝❛t❡❞ t♦ t❤❡✐r st✉❞② ✉s❡s ❛ss✉♠♣t✐♦♥

✭✼✮✳

❚♦ ♦✉r ❦♥♦✇❧❡❞❣❡✱ t❤❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ st✉❞② ♦❢ t❤❡ P❊s ✇❛s ✐♥✐t✐❛t❡❞ ❜② ❏✳▲✳ ▲✐♦♥s✱ ❘✳ ❚❡♠❛♠ ❛♥❞

❙✳ ❲❛♥❣ ✐♥ ❬✹✸❪✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ❛✉t❤♦rs ❛❞❞r❡ss t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♣r♦♦❢ ❢♦r ❣❧♦❜❛❧ ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥s ❛♥❞ ❧♦❝❛❧

str♦♥❣ s♦❧✉t✐♦♥s✱ ❛♥❞ ♦❢ t✐♠❡ ❛♥❛❧②t✐❝✐t② ♦❢ t❤❡s❡ str♦♥❣ s♦❧✉t✐♦♥s✳

❚❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♣r♦♦❢ ♦❢ ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥s✱ ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❬✹✸❪✱ ✐s r❡✈✐❡✇❡❞ ❜② ❘✳ ▲❡✇❛♥❞♦✇s❦✐ ✐♥ ❬✹✷❪ ✇✐t❤

❛♥♦t❤❡r ❛♣♣r♦❛❝❤✱ ✉s✐♥❣ t❤❡ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ♦❢ tr✉♥❝❛t❡❞ tr❛♥s♣♦rts✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ t♦ ❣✐✈❡ ❛ ❝♦♠♣❧❡t❡ ♠♦❞✲

❡❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ P❊s✱ ❘✳ ▲❡✇❛♥❞♦✇s❦✐ st✉❞✐❡s ♦t❤❡r r❡❛❧✐st✐❝ t✉r❜✉❧❡♥❝❡ ♠♦❞❡❧s ❛♥❞ ✐♥tr♦❞✉❝❡s✱ ❛❣❛✐♥

✐♥ ❬✹✷❪✱ ❛ ❝♦✉♣❧❡❞ ♠♦❞❡❧ ♦❢ t❤❡ P❊s ✇✐t❤ t❤❡ ❣❡♦str♦♣❤✐❝♦ ❜❛r♦tr♦♣✐❝ s②st❡♠✳ ❲❡ ❝❛♥ ❛❧s♦ ✜♥❞ ✐♥ ❬✹✷❪

t❤❡ st✉❞② ♦❢ ❛♥ ✐♠♣r♦✈❡❞ ❤②❞r♦st❛t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛❧s♦ t❤❡ s✉❜❥❡❝t ♦❢ t❤❡ ♣❛♣❡r ❬✷✵❪✳

■♥ t❤❡ ✇♦r❦ ♦❢ ❘✳ ❚❡♠❛♠ ❛♥❞ ▼✳ ❩✐❛♥❡ ❬✹✽❪✱ ✇❡ ❝❛♥ ✜♥❞ ❛ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♣r♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥

t♦ t❤❡ P❊s✱ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ❛ r❡❣✉❧❛r✐t② r❡s✉❧t✳ ▼♦r❡ r❡❝❡♥t❧② ❈✳ ❈❛♦ ❛♥❞ ❊❞r✐ss ❙✳ ❚✐t✐ ❛❞❞r❡ss ✐♥ ❬✶✼❪✱

t❤❡ ❣❧♦❜❛❧ ❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ str♦♥❣ s♦❧✉t✐♦♥s t♦ t❤❡ ✸❉ ✈✐s❝♦✉s P❊s✱ ❢♦r ✇❤✐❝❤ ❧♦❝❛❧✲✐♥✲t✐♠❡

str♦♥❣ s♦❧✉t✐♦♥s✱ ✇✐t❤ H¹ ❞❛t❛ ♦❢ ❛r❜✐tr❛r② s✐③❡✱ ✇❡r❡ ♦❜t❛✐♥❡❞ ❡❛r❧✐❡r ❜② ❋✳ ●✉✐❧❧é♥ ●♦♥③á❧❡③✱ ◆✳

▼❛s♠♦✉❞✐ ❛♥❞ ▼✳ ➪✳ ❘♦❞rí❣✉❡③✲❇❡❧❧✐❞♦ ✐♥ ❬✸✵❪✳ ❙❡❡ ❛❧s♦ ❬✸✸✱ ✸✹✱ ✹✵✱ ✹✶❪ ❢♦r ❝♦♠♣❧❡♠❡♥t❛r② r❡s✉❧ts ♦♥

t❤❡ st✉❞② ♦❢ str♦♥❣ s♦❧✉t✐♦♥s✳

❖t❤❡r ✇♦r❦s ❛r❡ ❞❡❞✐❝❛t❡❞ t♦ t❤❡ st✉❞② ♦❢ t❤❡ ✷❉ ❝❛s❡✱ s❡❡ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡ ❬✶✷✱ ✶✸✱ ✶✹✱ ✸✶✱ ✸✷✱ ✸✻❪✳ ❚♦

✜♥✐s❤✱ ✇❡ ❛❧s♦ r❡❢❡r t♦ t❤❡ P❤❉ ❚❤❡s✐s ♦❢ ▼✳ ❊✳ P❡t❝✉ ❬✹✹❪ ✇❤♦ ❤❛s ✐♠♣r♦✈❡❞ t❤❡ ❛❜♦✈❡ r❡s✉❧ts✳

❲❡ ✇♦✉❧❞ ♥♦t ❜❡ ❝♦♠♣❧❡t❡ ✇✐t❤♦✉t ♠❡♥t✐♦♥✐♥❣ t❤❛t ♦t❤❡r ♠❡t❤♦❞s ❤❛✈❡ ❜❡❡♥ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡❞ t♦ st✉❞② t❤❡ ❤②❞r♦st❛t✐❝ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s✳ ■♥ ❬✷✼❪✱ ❋✳ ❖✳ ●❛❧❧❡❣♦ ✉s❡s ❛ s✉✐t❛❜❧❡ ♠♦♥♦t♦♥❡ r❡❣✉❧❛r✐③❛t✐♦♥

❢r♦♠ ✇❤✐❝❤ ❢♦❧❧♦✇s ❛ ♥❡✇ ♣r♦♦❢ ♦❢ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥s t♦ t❤❡ ♦r✐❣✐♥❛❧ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢

r❡❧✐❡s ♦♥ ❛ ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❉❡ ❘❤❛♠✬s ❧❡♠♠❛✱ t❤❛t ❋✳ ❖✳ ●❛❧❧❡❣♦ ❡st❛❜❧✐s❤❡s ✐♥ ❬✷✻❪✳ ❚❤❡♥✱ ❊✳ ●r❡♥✐❡r

❣✐✈❡s ✐♥ ❬✷✾❪ ❛♥♦t❤❡r ❛♣♣r♦❛❝❤✱ ❝♦♥s✐st✐♥❣ ✐♥ ❞❡r✐✈✐♥❣ t❤❡ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❤②❞r♦st❛t✐❝ ❡q✉❛t✐♦♥s st❛rt✐♥❣

❢r♦♠ ✷❉ ❊✉❧❡r ❡q✉❛t✐♦♥s✱ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r ✐♥st❛♥❝❡ ❬✶✵❪✳ ❚♦ ✜♥✐s❤✱ ❈❤❡♠✐♥ ❡t ❛❧✳ ❬✷✶❪ ❤❛✈❡ ❝♦♥s✐❞❡r❡❞ t❤❡

t❤r❡❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s ❡q✉❛t✐♦♥s ✇✐t❤ ✈❛♥✐s❤✐♥❣ ✈❡rt✐❝❛❧ ✈✐s❝♦s✐t②✳ ❆ss✉♠✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧

✈❡❧♦❝✐t② ✐s sq✉❛r❡✲✐♥t❡❣r❛❜❧❡ ✐♥ t❤❡ ❤♦r✐③♦♥t❛❧ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ❛♥❞H^s ✐♥ t❤❡ ✈❡rt✐❝❛❧ ❞✐r❡❝t✐♦♥✱ t❤❡② ♣r♦✈❡

❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦rs >1/2❛♥❞ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s ❢♦rs >3/2✳ ■♥ ❛❞❞✐t✐♦♥ t♦ t❤✐s ✇♦r❦✱ ❉✳

■❢t✐♠✐é ❬✸✽❪ ❤❛s ❝❧♦s❡❞ t❤❡ ❣❛♣ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ ✉♥✐q✉❡♥❡ss✱ ♣r♦✈✐♥❣ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ s♦❧✉t✐♦♥s

❢♦rs >1/2✳

❆♠♦♥❣ t❤❡ ❡①t❡♥s✐✈❡ ✇♦r❦ ❞♦♥❡ ♦♥ t❤❡ ❤②❞r♦st❛t✐❝ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❙t♦❦❡s ♦r ◆❛✈✐❡r✲❙t♦❦❡s

❡q✉❛t✐♦♥s✱ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ♦♣❡♥ t♦ ❝♦♥s✐❞❡r ♥♦♥ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ✈❡rt✐❝❛❧

✈❡❧♦❝✐t② u3 ♦r✴❛♥❞ ❛ ❝♦♠♣r❡ss✐❜❧❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥✳ ❚❤✐s ✐s ♣r❡❝✐s❡❧② t♦ ✇❤❛t ✐s ❞❡❞✐❝❛t❡❞ t❤❡ ✜rst ♣❛rt ♦❢

t❤✐s t❤❡s✐s✳ ●✐✈❡♥f^′ = (f1, f2) : Ω→R²✱ Φ : Ω→R✱ ❛♥❞g= (g^′, g3) : Γ→R³✱Φ❛♥❞ g s❛t✐s❢②✐♥❣

❛❞❡q✉❛t❡ ❝♦♠♣❛t✐❜✐❧✐t② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✱ s❡❡ ✭✹✳✷✶✮ ♦r ✭✹✳✶✶✮✱ ✇❡ ❛r❡ ✐♥t❡r❡st❡❞ ✐♥ t❤❡ st✉❞② ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣

s②st❡♠✿

(SH)





−∆u^′+∇^′p=f^′, ∂p

∂x3 = 0, ∇ ·u= Φ ✐♥ Ω, u^′ =g^′, Bu3=g3 ♦♥Γ,

✶✹

✇❤❡r❡Bu3 ❞❡✜♥❡s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❉✐r✐❝❤❧❡t ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✿

u3=g3 ♦♥Γ, ♦r u3n3=g3 ♦♥Γ. ✭✶✺✮

❖✉r ♣r✐♥❝✐♣❛❧ ♣r❡♦❝❝✉♣❛t✐♦♥ ✐s t♦ ❡st❛❜❧✐s❤ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ❛ ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤❡

❣❡♥❡r❛❧✐③❡❞ ❙②st❡♠(SH)✳ ❖✉r ✇♦r❦ ❡♥❛❜❧❡s ✉s t♦ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ❞♦♠❛✐♥Ω✇✐t❤ ♥♦ s✐❞❡✇❛❧❧s✱ ❛♥❞ ❤❡♥❝❡

❛ ♠❛♣♣✐♥❣h✈❛♥✐s❤✐♥❣ ♦♥ ❛ ♥♦♥ ♥❡❣❧✐❣✐❜❧❡ ♣❛rt ♦❢∂ω✳ ❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❝♦♥s✐❞❡r ❛♥ ✐♥❣❡♥✐♦✉s ❛rr❛②

♦❢ ✇❡✐❣❤t❡❞ s♣❛❝❡s✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ✇❡✐❣❤ts ❞❡♣❡♥❞ ♦♥ h✳ ❖✉r st✉❞② ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ r❡s✉❧ts ❛❧r❡❛❞② ❡①✐st✐♥❣✱

s✉❝❤ ❛s t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ t❤❡ ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ ✭✸✮✲✭✻✮ ❛♥❞ ✭✶✸✮ ✐♥ t❤❡ ❍✐❧❜❡rt✐❛♥ ❝❛s❡✱

❛♥❞ ✇❡ ❛❧❧♦✇ ✉s t♦ r❡✈✐s✐t ✐t ❛❧♦♥❣ t❤✐s ✇♦r❦✳

❆s ✇❡ s❤❛❧❧ s❡❡ ✐t ❧❛t❡r✱ ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ r❡❞✉❝❡ (SH)t♦ t❤❡ ❙t♦❦❡s t②♣❡ s②st❡♠(SH)M✱ ❞❡✜♥❡❞

❜❡❧♦✇✳ ▼♦r❡ ♣r❡❝✐s❡❧②✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤❡ ✉♥❦♥♦✇♥su^′❛♥❞p❛r❡ s♦❧✉t✐♦♥s t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s②st❡♠✿

(SH)M









−∆u^′+∇^′pS =f^′ ✐♥Ω,

∇^′·

✂ 0

−h(x^′)

u^′(x^′, x3)dx3=φ ✐♥ω, u^′=g^′ ♦♥Γ.

▼♦r❡♦✈❡r✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❛❧s♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t ✇❡ ❝❛♥ r❡❝♦✈❡r u3 ❛♥❞ p t❤❛♥❦s t♦ t❤✐s t✇♦ ✉♥❦♥♦✇♥s ♦♥❧②✱ ❜②

❡st❛❜❧✐s❤✐♥❣ ❛ r❡❧❛t✐♦♥ ❝❧♦s❡ t♦ ✭✶✹✮✳ ❚❤✐s ✐s ✇❤②✱ ❛ ♣❛rt ♦❢ t❤✐s ✇♦r❦ ✐s ❞❡❞✐❝❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞

✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ❛ ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥ t♦(SH)M✱ ❛❧✇❛②s ✐♥ ❛ ❞♦♠❛✐♥Ω✇✐t❤ ♥♦ s✐❞❡✇❛❧❧s✳ ❍❡r❡ ❛❣❛✐♥✱ t❤❡ ✉s❡

♦❢ ✇❡✐❣❤t❡❞ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ s♣❛❝❡s ✐s t♦ t❛❦❡ ✐♥t♦ ❝♦♥s✐❞❡r❛t✐♦♥✳

❚❤❡ ✜rst ♣❛rt ♦❢ t❤❡ t❤❡s✐s ✐s ❞✐✈✐❞❡❞ ✐♥t♦ ❢♦✉r ❝❤❛♣t❡rs✳ ■♥ ♦r❞❡r t♦ ♠❛❦❡ t❤❡ r❡❛❞✐♥❣ ♦❢ ♦✉r ✇♦r❦

❡❛s✐❡r✱ ✇❡ ♣r♦♣♦s❡ ✐♥ t❤❡ s❡q✉❡❧ t♦ ❞❡t❛✐❧ ❡❛❝❤ ❝❤❛♣t❡r ✇✐t❤ ❛ s❤♦rt s✉♠ ✉♣✳

❈❤❛♣t❡r ✶✳ ■♥ ❛ ✜rst ♣❧❛❝❡✱ ✇❡ ❣✐✈❡ s♦♠❡ ♥♦t❛t✐♦♥s ❛♥❞ ✇❡ s❡t t❤❡ ❜❛s✐❝ ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ♦❢

t❤❡ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡H¹(Ω)✳ ❲❡ ❛❧s♦ r❡✇✐♥❞ t❤❡ ❞❡✜♥✐t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s♣❛❝❡H₀₀^1/2(Γ0)✇❤❡♥Γ0⊂Γ✳

❚❤r♦✉❣❤♦✉t t❤❡ ✇♦r❦✱ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ ❝♦♠♣✉t❡ ✐♥t❡❣r❛❧s ♦✈❡rΓ✳ ❋♦r ❣✐✈❡♥ ❣❡♦♠❡tr② ♦❢Ωs❡❡ ✭✶✮✱ ❛♥② ✐♥t❡✲

❣r❛❧ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ΓB ♦rΓS ❝❛♥ ❜❡ r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② ♦♥❡ ❞❡✜♥❡❞ ♦♥ω✳ ❲❡ ❣❛t❤❡r ❢❡✇ ❡❧❡♠❡♥ts ♦❢ ❝♦♠♣✉t❛t✐♦♥

❤❡r❡✳

❋✐♥❛❧❧②✱ ✇❡ r❡❝❛❧❧ s♦♠❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ s♣❛❝❡s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ❞✐✈❡r❣❡♥❝❡ ♦♣❡r❛t♦r ❛♥❞ t❤❡ ✇❡❧❧✲❦♥♦✇♥

❧❡♠♠❛ ♦❢ ❉❡ ❘❤❛♠✱ s❡❡ ▲❡♠♠❛ ✶✳✷✳

❈❤❛♣t❡r ✷✳ ❚❤✐s ❝❤❛♣t❡r ✐s ❞❡❞✐❝❛t❡❞ t♦ t❤❡ st✉❞② ♦❢ ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥s t♦ ❙②st❡♠ (SH)M✳ ❖✉r

✇♦r❦ ❡♥❛❜❧❡s t♦ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ ❞♦♠❛✐♥Ω✇✐t❤ ♥♦ s✐❞❡✇❛❧❧s ❛❧♦♥❣∂ω✱ ❤❡♥❝❡ t♦ ❛ss✉♠❡ t❤❛th✐s ✐❞❡♥t✐❝❛❧❧②

❡q✉❛❧ t♦ ✵ ♦♥ ❛ ♥♦♥ ♥❡❣❧✐❣✐❜❧❡ ♣❛rt ♦❢∂ω✳ ■♥❞❡❡❞✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ✐♥tr♦❞✉❝❡ ❛ ❢r❛♠❡✇♦r❦ ❜❛s❡❞ ♦♥ ✇❡✐❣❤t❡❞

▲❡❜❡s❣✉❡ s♣❛❝❡s ✭s❡❡ ✭✷✳✸✮ ❛♥❞ ✭✷✳✷✼✮✮✱ ✇✐t❤ ✇❡✐❣❤ts ❞❡♣❡♥❞✐♥❣ ♦♥ t❤❡ ♠❛♣♣✐♥❣h✳

❋✐rst❧②✱ ✇❡ r❡✈✐❡✇ ✐♥ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷✳✶✷✱ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ❛ ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❤♦♠♦❣❡✲

♥❡♦✉s ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❝❛s❡ ✭✶✸✮✱ ❜② ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ ❛♣♣r♦❛❝❤ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❬✷✼❪✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✇❡ ❣✐✈❡

r❡♠❛✐♥s ❡ss❡♥t✐❛❧❧② ♦♥ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ♦❢ ❉❡ ❘❤❛♠✲❧✐❦❡ ❧❡♠♠❛✱ s❡❡ ▲❡♠♠❛ ✷✳✾❀ ✐t ✐s t❤❡r❡❢♦r❡ ♥❡❝❡ss❛r② t♦

st✉❞② ❜❛s✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦rM ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ✭✷✳✹✮ ❛♥❞ r❡❝❛❧❧ s♦♠❡ ♥♦t❛t✐♦♥s ♦♥ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s

✐♥❞❡♣❡♥❞❡♥t ♦♥x3t❤❛t ✇❡ ❝❛♥ ✜♥❞ ✐♥ ❬✷✼❪✳

❙❡❝♦♥❞❧②✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♥❡✇ s✐t✉❛t✐♦♥ t♦ ❧✐❢t t❤❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✿

∇^′·Mu^′ =φ✐♥ ω, u^′ =g^′ ♦♥Γ,

✇❤❡r❡ φ ∈ L²_1/^√_h(ω) ❛♥❞ g^′ ∈ H_1/^1/2√_h(Γ)²✱ s❡❡ ✭✷✳✸✮ ❛♥❞ ✭✷✳✷✼✮✱ ❛♥❞ s❛t✐s❢② t❤❡ ❣♦♦❞ ❝♦♠♣❛t✐❜✐❧✐t②

❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✭✷✳✸✹✮✳ ❚♦ ❧✐❢t t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✱ s❡❡ ▲❡♠♠❛ ✷✳✶✻✱ ✇❡ ✇✐❧❧ ❢♦❧❧♦✇ ❬✷✽❪ ❜② ❡st❛❜❧✐s❤✐♥❣

❜❡❢♦r❡❤❛♥❞ ❛♥ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠ r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤❡ ♦♣❡r❛t♦r∇^′·M✱ s❡❡ ✭✷✳✶✸✮✳ ❚❤❡♥✱ s✐♥❝❡ t❤❡ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s

✶✺

❝❛s❡ ✐s ❛❧r❡❛❞② s♦❧✈❡❞ ✐♥ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷✳✶✷✱ ✇❡ ❞❡❞✉❝❡ ❢r♦♠ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❧✐❢t✐♥❣ ❛♥ ❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ ✉♥✐q✉❡♥❡ss

♣r♦♦❢ ♦❢ ❛ ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ ❙②st❡♠(SH)M✱ s❡❡ ❚❤❡♦r❡♠ ✷✳✶✼✳

❈❤❛♣t❡r ✸✳ ■♥ ❈❤❛♣t❡r ✸✱ ✇❡ st✉❞② t❤❡ ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥s t♦(SH)✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡u3 s❛t✐s✜❡s t❤❡

❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✿

u3n3= 0 ♦♥Γ. ✭✶✻✮

❚♦ ❜❡❣✐♥ ✇✐t❤✱ ✇❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✭✶✻✮ ❜② ✐♥tr♦❞✉❝✐♥❣ t❤❡ ❛♥✐s♦tr♦♣✐❝ s♣❛❝❡H(∂x3,Ω)

❛♥❞ ❜② r❡✈✐❡✇✐♥❣ ✉s❡❢✉❧ ♣r♦♣❡rt✐❡s r❡❧❛t❡❞ t♦ t❤✐s s♣❛❝❡ ❬✹✼❪✳

❚❤❡♥✱ ✇❡ r❡✈✐❡✇ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ❛ ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ ✭✸✮✲✭✻✮✱ ❜② ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ t❤❡ t✇♦

❞✐✛❡r❡♥t ❛♣♣r♦❛❝❤❡s ❣✐✈❡♥ ✐♥ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥✳ ■♥ t❤❡ ✜rst ♦♥❡✱ ✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞s t♦ ❚❤❡♦r❡♠ ✸✳✹✱ ✇❡ ❣✐✈❡ ❛

❝♦♠♣❧❡t❡ ❛♥❞ ❥✉st✐✜❡❞ ❛s②♠♣t♦t✐❝ ❛♥❛❧②s✐s ♦❢ t❤❡ ❛♥✐s♦tr♦♣✐❝ ❙t♦❦❡s s②st❡♠ ✭✶✵✮✳ ■♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ♦♥❡✱

✇❡ ❣✐✈❡ t❤❡ ♠❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❥✉st✐✜❝❛t✐♦♥ t♦ r❡❞✉❝❡ Pr♦❜❧❡♠ ✭✸✮✲✭✻✮ t♦ ✭✶✸✮✱ s❡❡ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✸✳✶✻✱ ✇❤✐❝❤

✐s ❛❧r❡❛❞② s♦❧✈❡❞ ✐♥ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✷✳✶✷✳

❚♦ ✜♥✐s❤✱ ✇❡ ✇✐❧❧ r❡❞✉❝❡ t❤❡ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❝♦♥❞✐t✐♦♥s✿

∇ ·u= Φ✐♥Ω, u^′=g^′ ♦♥Γ, u3n3= 0♦♥Γ, t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♦♥❡s✿

∇^′·Mu^′ =φ✐♥ ω, u^′ =g^′ ♦♥Γ,

s❡❡ ▲❡♠♠❛ ✸✳✶✽✱ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ s♦❧✈❡(SH)❛❧✇❛②s ✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥ ✭✶✻✮✳

❈❤❛♣t❡r ✹✳ ■t ✐s ❞❡✈♦t❡❞ t♦ t❤❡ ❡①✐st❡♥❝❡ ❛♥❞ ✉♥✐q✉❡♥❡ss ♦❢ ❛ ✇❡❛❦ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ♠♦❞❡❧

(SH)✐♥ t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡u3s❛t✐s✜❡s ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♥♦♥ ❤♦♠♦❣❡♥❡♦✉s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✭✶✺✮✳ ❋✐rst❧②✱ ✇❡ ✐♥✈❡st✐❣❛t❡

t❤❡ ♥❛t✉r❛❧ ❝❛s❡ ♦❢ t❤❡ ❜♦✉♥❞❛r② ❝♦♥❞✐t✐♦♥✿

u3n3=g3 ♦♥Γ. ✭✶✼✮

❇② ❝♦♥s✐❞❡r✐♥❣ u3 ✐♥ t❤❡ s♣❛❝❡ HF(∂x3,Ω)✱ s❡❡ ✭✹✳✶✹✮✱ ✇❡ ♣r♦✈❡ ✐♥ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥ ✹✳✹ t❤❛t (u3n3)|Γ

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∇ ·u= Φ✐♥Ω, u^′=g^′ ♦♥Γ, u3n3=g3 ♦♥Γ, t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♦♥❡s✿

∇^′·Mu^′ =φ✐♥ ω, u^′ =g^′ ♦♥Γ. ✭✶✽✮

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♦❢ Ω ✭✷✮ ❛♥❞ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ t❤❡ ✉♥✐t ♦✉t✇❛r❞ ♥♦r♠❛❧ ✈❡❝t♦r n✳ ❲❡ ✇✐❧❧ ❡st❛❜❧✐s❤ t❤❡r❡❢♦r❡ t❤❡

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t❤❡♦r②✱ s❡❡ ▲❡♠♠❛ ✶✳✷✱ ❝♦♠✐♥❣ ✇✐t❤ t❤❡ ✐s♦♠♦r♣❤✐s♠s ❣✐✈❡♥ ✐♥ ✭✶✳✽✮ ❛♥❞ ❛ ❧✐❢t ♦♣❡r❛t♦r ✐♥ Pr♦♣♦s✐t✐♦♥

✶✳✸✳

✶✳✶ ◆♦t❛t✐♦♥s ❛♥❞ s♣❛❝❡s

❲❡ ❞❡✜♥❡D(Ω) t♦ ❜❡ t❤❡ ❧✐♥❡❛r s♣❛❝❡ ♦❢ ✐♥✜♥✐t❡❧② ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❜❧❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✱ ✇✐t❤ ❝♦♠♣❛❝t s✉♣♣♦rt ✐♥

Ω✱ ❛♥❞ D^′(Ω)t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ ❞✐str✐❜✉t✐♦♥s✳ ❚❤❡♥ ✇❡ s❡t✿

D(Ω) =

ϕ|Ω / ϕ∈ D(R³) .

▲❡t ✉s r❡❝❛❧❧ t❤❛tL²(Ω)❞❡♥♦t❡s t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ t❤❡ ✭❛❧♠♦st ❡✈❡r②✇❤❡r❡ ❝❧❛ss❡s ♦❢✮ ♠❡❛s✉r❛❜❧❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s us✉❝❤ t❤❛t✁

Ωu²dx <∞✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ❢♦r t❤❡ ✉s✉❛❧ ♥♦r♠✿

kukL²(Ω)=

✂

Ω

u² dx 1/2

❲❡ ❛❧s♦ ♠❡♥t✐♦♥ t❤❡ s♣❛❝❡L²₀(Ω) =

u∈L²(Ω)/ ✁

Ωu dx= 0 , ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ❝❧♦s❡❞ s✉❜s♣❛❝❡ ♦❢L²(Ω)✱

❛♥❞ ✐s♦♠♦r♣❤✐❝ t♦ t❤❡ q✉♦t✐❡♥t s♣❛❝❡L²(Ω)/R✳

❲❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② H¹(Ω) t❤❡ ❙♦❜♦❧❡✈ s♣❛❝❡

u∈L²(Ω)/∇u∈L²(Ω)³ ✇❤✐❝❤ ✐s ❛ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡ ❢♦r t❤❡ ♥♦r♠✿

kukH¹(Ω)=

kuk²L²(Ω)+k∇uk²L²(Ω)³

1/2

.

❙✐♥❝❡Ω❤❛s ❛ ▲✐♣s❝❤✐t③✲❝♦♥t✐♥✉♦✉s ❜♦✉♥❞❛r②Γ✱ ✇❡ ❝❛♥ ❞❡✜♥❡ ❛ tr❛❝❡u|^Γ❢♦r ❛♥② ❢✉♥❝t✐♦♥u∈H¹(Ω)✳

❚♦ t❤✐s ♣✉r♣♦s❡✱ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❜② dσ t❤❡ s✉r❢❛❝❡ ♠❡❛s✉r❡ ✐♥❞✉❝❡❞ ❜② t❤❡ ♠❡❛s✉r❡ ♦❢ ▲❡❜❡s❣✉❡ dx✱ ❛♥❞

✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❜②L²(Γ)t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢dσ✲♠❡❛s✉r❛❜❧❡ ❢✉♥❝t✐♦♥sµ: Γ→Rsq✉❛r❡ ✐♥t❡❣r❛❜❧❡ ❢♦r t❤❡ s✉r❢❛❝❡

♠❡❛s✉r❡dσ✱ ❡♥❞♦✇❡❞ ✇✐t❤ t❤❡ ♥♦r♠✿

kµkL²(Γ)= (

✂

Γ

µ²dσ)^1/2.

✶✼

❚❤❡r❡❢♦r❡✱ ❛♥❞ s✐♥❝❡D(Ω)✐s ❞❡♥s❡ ✐♥ H¹(Ω)✱ t❤❡ ♠❛♣♣✐♥❣

u7→u|Γ,

❞❡✜♥❡❞ ♦♥ D(Ω)✱ ❝❛♥ ❜❡ ❡①t❡♥❞❡❞ ✐♥ ❛ ✉♥✐q✉❡ ✇❛② t♦ ❛ ❧✐♥❡❛r ❛♥❞ ❝♦♥t✐♥✉♦✉s ♠❛♣♣✐♥❣✱ ❞❡♥♦t❡❞ ✐♥

t❤❡ s❛♠❡ ✇❛②✱ ❢r♦♠H¹(Ω) ✐♥t♦L²(Γ)✳ ▼♦r❡♦✈❡r✱ ✐❢u❛♥❞ v❜❡❧♦♥❣ t♦ H¹(Ω)✱ ✐t s❛t✐s❢② t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣

●r❡❡♥✬s ❢♦r♠✉❧❛✿ ✂

Ω

u ∂v

∂xidx=−

✂

Ω

v ∂u

∂xidx+

✂

Γ

uvnidσ, 16i63.

❋♦r ❝♦♥✈❡♥✐❡♥❝❡✱ ✇❡ ❞❡♥♦t❡ ❜②H^1/2(Γ)t❤❡ s♣❛❝❡ ♦❢ tr❛❝❡s ♦❢H¹(Ω)❢✉♥❝t✐♦♥s✿

H^1/2(Γ) =

µ∈L²(Γ)/∃