Après la validation de la méthode proposée, le chapitre 5 présente une étude sur un modèle ferroviaire 1D simplifié où la non-linéarité, la couche de ballast, est introduite dans le modèle. Nous nous concentrons dans cette section sur la non-linéarité de la couche de ballast.
Introduction
Les deux applications
Voies ferroviaires
- Description de la structure des voies ferr´ees
- Mod´elisation des voies ferr´ees
De 200Hz à 2000Hz : cela correspond aux vibrations correctes des liens élastiques intermédiaires de la piste. Mécaniquement, les traverses sont soumises aux charges transmises par le rail, généralement excentriques du fait des efforts latéraux exercés par les véhicules sur la voie et de la réaction du ballast, qui est fortement dépendante des conditions d'appui des traverses.
Voies routi`eres
- Mod`ele de dimensionnement des chauss´ees
- M´ethode de calcul des chauss´ees - ALIZE
Au LCPC, le calcul des contraintes et déformations dans cette structure est réalisé par ALIZE, qui est un programme de conception de chaussée. Enfin, la transformée inverse est calculée numériquement à l'aide de la méthode de quadrature gaussienne pour obtenir la solution.
Sur la vibration induite par le trafic
Ce programme donne les champs statiques de déplacements et de contraintes dans une structure soumise à une ou un groupe de charges circulaires agissant sur la surface libre. Brièvement, la résolution s'effectue comme suit : dans chaque couche, le déplacement et les contraintes sont représentés par les dérivées de la fonction potentielle, puis, à l'aide de la transformation de Hankel, apparaît une équation différentielle d'une seule variable dans le sens vertical, la dont la solution générale peut être représentée par 4 coefficients inconnus.
Rappel sur les probl`emes de dynamique des structures
Probl`eme dynamique g´en´eral dans un milieu continu
C est un tenseur d'ordre 4, représentant la loi de comportement, fonction de la déformation dans un problème non linéaire. Les vecteurs g, ¯f, ¯u représentent respectivement la force volumétrique, la force externe et le déplacement imposé.
Probl`eme ´elastodynamique pour le milieu infini
Dans le cas d'un demi-espace élastique, l'onde se propage avec une vitesse cR < cs qui est déterminée par la racine carrée de l'équation de Rayleigh. 2 Le problème des ondes de surface d'un demi-espace élastique a été étudié par Rayleigh en 1885.
Probl`eme de charge mobile
Régime subsonique. Lorsque Ms1 : la vitesse de la source est inférieure à celle de l'onde S. Lorsque v dépasse cs ou cp, les surfaces de l'onde de choc, appelées cônes de Mach, apparaissent.
M´ethodes de r´esolution et r´esultats existants
M´ethode semi-analytique
En général, plus la profondeur de la couche élastique augmente, plus la vitesse critique diminue. La vitesse critique (lorsque la raideur est égale à zéro) est évaluée par les relations entre le déphasage et la fréquence du faisceau.
M´ethode des ´el´ements finis - Condition aux limites absorbantes
7] a présenté un calcul par éléments finis dans le référentiel mobile du problème d'une poutre d'Euler-Bernoulli reposant sur la fondation Winkler. Cependant, la résolution par éléments finis dans le référentiel mobile est encore limitée pour les vitesses subsoniques.
Sur le comportement dynamique du mat´eriau ballast
Mod`ele discret
Une technique similaire appliquée au problème d'une source acoustique en mouvement est également utilisée par Kirkegaard et al. Toujours dans le repère mobile, mais pour le problème d'une poutre d'Euler-Bernouilli posée sur la fondation Winkler, Andersenet al.
Mod`ele continu
Par exemple; les travaux de Melin [79] (qui a montré que la vitesse des ondes dépend aussi de l'amplitude de la force appliquée), de Saddet al.[98] (qui a montré en étudiant des particules elliptiques que la propagation des ondes dans un ensemble de particules dépend fortement des arrangements spatiaux), de Shulka et al.
Conclusion
Le but de ce chapitre n'est pas d'introduire une nouvelle méthode pour résoudre ce problème, mais de comprendre ce qui se passe dans les différentes situations de vitesse et de fréquence de la charge. Le système d'équations élastodynamiques sera résolu comme un problème statique dans un nouveau repère fixé à la position de la force.
Probl`eme pos´e dans le rep`ere mobile
Syst`eme d’´equations ´elastodynamiques
Les différents cas de vitesse et de fréquence du chargement ainsi que les empilements de couches du milieu seront traités. Pour une application sur voie ferrée, on calculera également le problème d'un signal de force, qui représente la répartition de la charge de deux essieux transmise par le rail sur le ballast.
Changement de variable
En remplaçant (2.6) et (2.8) dans (2.1), l'équation élastodynamique dans le référentiel mobile devient une équation différentielle statique.
M´ethode de r´esolution par la transformation de Fourier
- Syst`eme d’´equations dans le domaine des nombres d’onde
- D´etermination des fonctions ˆ U et ˆ t
- Conditions aux limites
- Etablissement et r´esolution du syst`eme d’´equations
- Solution en espace
Lorsque les vecteurs d'amplitude A+i, A−i de la couche considérée sont trouvés, toutes les inconnues dans le domaine du nombre d'onde peuvent être déterminées en chaque point k1, k2. Cette intégration sera ajoutée dans le résultat de la transformée de Fourier inverse avec ¯h0.
Validation et exemples num´eriques
Probl`eme statique
Pour l'intégration numérique au voisinage de la puissance, on prend 7 points de Gauss. Nous utilisons également cet exemple pour voir l'effet de l'intégration par points de Gauss au voisinage du point singulier k1 = k2 = 0.
Probl`eme d’un milieu homog`ene
La réponse est plus importante dans les cas transsoniques, d'autant plus que la vitesse de la charge augmente. On visualise sur la figure 2.8 le déplacement vertical de la surface horizontale à une profondeur de 0,1 m dans deux cas subsonique et supersonique.
Probl`eme d’un milieu multicouche
En bref, on peut dire que la réponse proche de la puissance dans la première couche est quelque peu affectée par le demi-espace en dessous dans le cas subsonique. Au contraire, dans le cas supersonique, c'est presque identique au cas homogène.
Applications
Effet de la vitesse et de la fr´equence
Les figures 2.15a et 2.15b montrent que les accélérations augmentent rapidement en fonction de la vitesse mais aussi de la fréquence du train. En présence de fréquence, les accélérations ne sont plus symétriques par rapport à la position de la force et l'influence de la fréquence est plus forte du côté droit de la courbe.
Effet des couches
On peut également déterminer pour chaque configuration de (Eb,Es) la vitesse à laquelle l'accélération minimale dépasse la gravité (appelée vitesse critique). Les résultats obtenus montrent que pour un même module d'Young du ballast Eb, l'accélération minimale est d'autant plus grande que le sol est plus meuble.
Conclusion
- Mod`ele simplifi´e du probl`eme
- Equation transitoire
- Equation stationnaire
- M´ethodes de r´esolution num´eriques
Le problème de la poutre en flexion soumise à une charge mobile sera traité dans le chapitre suivant. Cela devient une équation de type hyperbolique, qui ne garantit pas la positivité de la matrice de rigidité, et la méthode habituelle des éléments finis n'est plus valable.
Solution analytique du probl`eme stationnaire
On peut continuer à trouver facilement la solution dans la zone de traction adjacente en écrivant les conditions de continuité au point x1 (u(x−1) =u1 et ∂xu(x1) = 0), et on obtient . Si la solution reste en compressionu(0−) =Beγc1xcommeu(−∞) = 0 et puisque cette solution n'a pas de point minimum.
Solution num´erique du probl`eme transitoire
Proc´edure de calcul par la m´ethode des ´el´ements finis
Dans le cas linéaire, Ec = Et, le problème est simplifié car les cas 4,5,6 n'existent plus. Nous allons résoudre ce système en utilisant le schéma classique de Newmark.
Validation num´erique
La solution de force dans le cas non linéaire est plus « basse fréquence » que celle dans le cas linéaire. La figure 3.8 présente le résultat dans le cas où la vitesse de charge a une valeur comprise entre les vitesses scc et ct.
Solution num´erique du probl`eme stationnaire
- Equation discr´etis´ee en temps
- Equation stationnaire dans le rep`ere mobile
- Formulation variationnelle et discr´etisation
- Mise en œuvre de la m´ethode des ´el´ements finis
- Etudes param´etriques
- Probl`eme nonlin´eaire
C'est la meilleure approche que nous ayons trouvée dont l'erreur est du 2ème ordre par rapport à la taille de l'élémenth 2. La procédure présentée ci-dessus peut être facilement étendue aux cas non linéaires, notamment pour le comportement de type unilatéral que nous avons trouvé. considérons ici (3.3)(3.4).
Validation num´erique
Cas lin´eaire
Dans la figure 3.12, nous traçons la solution analytique en comparant le résultat numérique avec ou sans correction. Il est clair que la correction peut apporter une amélioration significative de la précision du calcul.
Cas nonlin´eaire
Conclusion
Tout d’abord, nous avons utilisé un schéma d’intégration numérique classique (Newmark) pour calculer le problème en régime transitoire. Si la vitesse de la charge est absolument subsonique ou supersonique, le problème peut être résolu dans le référentiel mobile.
Introduction
L'accélération de la gravité g s'ajoute pour tenir compte du poids de la poutre et des différentes parties de la structure du siège. Notant w le vecteur déplacement de ces degrés de liberté, l'équation dynamique sous la contrainte de la force fr doit compléter le système d'équations qui s'écrit sous la forme suivante.
Syst`eme d’´equations dynamiques dans le rep`ere mobile
- M´ethodologie
- Equation dans le rep`ere mobile
- Equation dynamique en ´el´ements finis
- Etude param´etrique
A partir de (4.1) et (4.2) on peut éliminer fr dans cette équation et on arrive à un système d'équations utilisant la condition de continuité wr=w1. De la même manière que pour la méthode présentée dans le chapitre précédent, ces intégrations sont calculées sur deux éléments et les matrices élémentaires que nous utiliserons ont la dimension 2(n+ 1)×2(n+ 1).
Validation
Vibration lin´eaire harmonique stationnaire
Puisque la force est harmonique de fréquence ω, la solution stationnaire de cette équation peut être La direction de chaque composante d'onde dépend strictement des signes de αj et βj et dans la plupart des cas, deux ondes à gauche et deux ondes à droite de la force peuvent être distinguées.
Condition absorbante
La figure 4.4 présente un exemple pour montrer l'effet de la couche absorbante pour un problème où la charge est fixée dans l'espace. L'amortissement étant dans ce cas nul, le résultat numérique obtenu sans couche absorbante devient très mauvais (courbe en pointillés sur la figure 4.4).
Comparaison des r´esultats analytiques et num´eriques
Il est clair que les couches absorbantes amortissent les ondes se propageant loin de la force et donc la solution dans la partie d'intérêt s'accorde bien avec la solution analytique. On voit que les ondes se propagent en groupe et on observe l'effet Doppler dû à la vitesse de la charge.
Conclusion
Mod`ele P1R
La structure est caractérisée par la masse de section ρS et la rigidité en flexion EI de la poutre ainsi que par la rigidité ek et l'amortissement de la fondation η.
Mod`ele P3R
- Mod´elisation simple de la voie ferr´ee
- Syst`eme d’´equations dynamiques
Pour le ballast : équation dynamique uniaxiale d'une barre avec pour paramètres : ρb (densité), Eb (module d'élasticité), ζb (adoucissement), Sb (surface de section) et Lb (longueur). En éliminant les forces Ft, Fr, Fs, on obtient un système de 3 équations dynamiques pour les 3 inconnues wr, wt, ws.
Mise en oeuvre num´erique
Dans ce modèle, la non-linéarité est supposée exister uniquement dans la couche de ballast dont le comportement de typage unilatéral est défini comme suit. De même, deux valeurs différentes doivent être définies pour l'amortissement ηb en compression et en traction.
Mod`ele P1R
Vitesses et fr´equences critiques pour le probl`eme lin´eaire
Plus la fréquence de la charge est élevée, plus la vitesse critique est faible. À haute fréquence, Ω > 1, il n’existe qu’une seule valeur critique de vitesse bien supérieure à v0.
Effet de la non-lin´earit´e
Par conséquent, l’influence de la non-linéarité unilatérale dans le cas supersonique est certainement beaucoup plus grave. La vitesse critique décroît avec la raideur kt et est de 80 % de celle du cas linéaire.
Surcharge dynamique sur l’infrastructure
On constate que la présence de non-linéarité ne modifie guère le mécanisme de propagation des ondes.
Mod`ele P3R
Ainsi, le déplacement maximal ne change pas beaucoup avec la vitesse et la fréquence en raison de l'amortissement. La figure 5.20 montre la force au sommet de la couche de ballast pour donner une idée de la surcharge dynamique due à la vitesse et à la fréquence.
Probl`eme d’appuis discrets
Mod`ele
Effet des appuis discrets par rapport au probl`eme continu
On peut voir en regardant la figure 5.22 que, dans le cas où la fondation est flexible, la solution obtenue est la même avec un modèle d'appuis continus ou avec un modèle d'appuis discrets. En effet, lorsque la fondation est flexible, la déflexion locale de la poutre entre deux appuis est très faible par rapport à la déflexion globale.
Conclusion
Le but de ce chapitre est de présenter un modèle macroscopique unifié du comportement des matériaux de ballast [86]. Dans une première partie, nous proposerons une modification de la loi de comportement, qui prendra en compte le mécanisme de non-résistance dans la tension du ballast.
Mod`ele non-tension des mat´eriaux granulaires
Motivation
Les hypothèses fondamentales de la résistance à la traction et de l'existence d'une densité énergétique. La loi constitutive du modèle de non-déformation des matériaux granulaires proposé ici est dérivée directement de la densité d'énergie de déformation exprimée en fonction des déformations principales.
Loi de comportement non-tension des mat´eriaux granulaires
Cette fonction s'annule en fonction du signe des contraintes principales et également de l'expansion volumique. Par définition, le tenseur des contraintes est obtenu à partir de la dérivée de l'énergie W.
M´ethode de r´esolution num´erique
Equations ´elastiques dans la base principale des d´eformations
Nous chercherons les formules de la contrainte σ et du module tangent Cen qui dérivent la fonction. Par définition, la tension est la dérivée du premier ordre de la fonction de densité d'énergie (6.2).
Identification du comportement statique du ballast
Comportement 3D du ballast par essai uniaxial
La force de frottement T comprime le tuyau en PVC et provoque une déformation longitudinale, qui est mesurée par deux échelles longitudinales :. 6h80). La pression σrr provoquera une contrainte uniforme t (en utilisant l'hypothèse du tuyau mince) dans l'épaisseur du tuyau en PVC (t = reσrr) et une déformation trans qui est mesurée par deux jauges croisées.
Validation num´erique
Les valeurs calculées sont très variées selon les essais, même avec des conditions aux limites identiques (la canalisation et la charge). On remarque que le caractère mécanique du ballast dépend fortement de l'état initial des galets dans le tube. Pour déterminer les formules de λ et µ, on prend les valeurs moyennes des tests effectués.
Conclusion
Nous avons vu au chapitre 2 que le problème d'une masse multicouche exposée à une charge en mouvement peut être résolu par une méthode semi-analytique. Les parties suivantes présentent une méthode d'éléments finis modifiée qui permet de passer directement à l'état stationnaire et d'aborder le problème de manière statique dans un domaine mobile avec une modification de la matrice de rigidité e.
Equations du probl`eme
Equations d’´equilibre dans le domaine mobile
Un tel vecteur force nécessite un maillage large pour pouvoir s'affranchir du régime transitoire, ce qui est quasiment impossible dans le cas tridimensionnel. En substituant ces relations dans (7.4), le système d'équations dans le domaine mobile est écrit.
Formulation faible et discr´etisation
L'équation (7.15) montre très bien l'influence de la vitesse de la charge en mouvement sur la structure. Plus la vitesse est élevée, plus la rigidité mobile est faible et plus le champ de déplacement est grand.
R´esolution du probl`eme non-lin´eaire statique
Il est clair que, par rapport au cas statique, la vitesse n'intervient que comme constante dans la matrice de rigidité tangente. La matrice de rigidité modifiée dans le domaine mobile est implémentée dans le code éléments finis LCPC CESAR.
Validation
Solution lin´eaire
Cette comparaison montre clairement l'effet très important de la vitesse de la charge sur la structure. On remarque également que le problème ne peut pas être résolu pour des vitesses plus élevées, car pour ce massif la vitesse de Rayleigh est ≈190m.s−1.
Solution non-lin´eaire
Couplage d’une poutre et d’un demi-espace `a deux couches
Maillage
Dans CESAR, ce rayon est entrelacé d'éléments de volume cubiques de 20 nœuds et quatre éléments sont utilisés pour chaque section. Le sol Le sol est également supposé être élastique linéaire et comporte des éléments prismatiques de 15 nœuds.
R´esultats et discussions
Ces notes montrent que deux composantes non linéaires (unilatérales et non linéaires élastiques) sont également importantes pour la réponse structurelle. La figure 7.10 montre des comparaisons des accélérations calculées par différents modèles.
Conclusion
Par exemple, dans le cas linéaire (Chapitre 2), les amplitudes des solutions augmentent de façon exponentielle avec la vitesse de la charge. Deux approches différentes pour le calcul dans le repère mobile sont utilisées.
Pression uniforme sur une r´egion circulaire
Steady displacements of a beam on an elastic half-space due to a uniformly moving constant load. Lateral vibration of an axially compressed beam on an elastic half-space due to a moving lateral load.
