А. В. Угланов, Формула Ньютона–Лейбница на банаховых пространствах и приближение функций бесконечномерно- го аргумента, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1987, том 51, выпуск 1, 152–170

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. В. Угланов, Формула Ньютона–Лейбница на банаховых пространствах и приближение функций бесконечномерно- го аргумента, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1987, том 51, выпуск 1, 152–170

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 10:57:35

СЕРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ Том 51, № 1, 1987

УДК 517.98

УГЛАНОВ А. В.

ФОРМУЛА НЬЮТОНА — ЛЕЙБНИЦА НА БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИИ

БЕСКОНЕЧНОМЕРНОГО АРГУМЕНТА

В предлагаемой статье устанавливаются вынесенная в заглавие формула и еще некоторые свойства интегралов на бесконечномерных многообразиях; затем эти результаты применяются для аппроксимации функций банахова аргумента функциями большей гладкости. В конце статьи указывается способ построения дифференцируемой функции Урьь сона.

Всюду в работе символом 2Х обозначается сг-алгебра борелевских подмножеств метрического пространства X; подмножества X предпола­

гаются, если не оговорено противное, наделенными индуцированной метрикой. Для подмножества АаХ через Ае, Ае, дА обозначаются соот­

ветственно е-окрестность, е-внутренность и граница А. Дифференцируе- мость функций точек понимается, при отсутствии уточнений, в смысле Фреше, функций множеств — в смысле книги [1] (т8-дифференцируе- мость). Если v.Iix-^R1 есть мера (т. е. счетно-аддитивная функция), то символом | v | мы обозначаем меру, являющуюся полным изменением меры v. Если функция ф: X-+-R1 v-интегрируема, то, по определению»

<pv iSjr-W?1: Л>-> ] tpdv.

л

§ 1. Формула Ньютона — Лейбница

В этом параграфе В есть сепарабельное банахово пространство, В⁰ — плотное линейное подмножество 5 , [xrSs-W?1— мера, дважды диффе­

ренцируемая по В0, G— открытое подмножество 5 , F : [0, l]xG-*Ri— функция, непрерывная вместе с производными —, F\ F" (две последние есть производные по пространству В). Для te[0, 1] положим

Vt = {ZEE G : F (/, z) > 0}, Qt = {ZEE G : F (t, z)> = 0}. Мы считаем, что Q* есть поверхность, так что в соответствии с конструкцией работы [2] опреде­

лена а-конечная поверхностная мера \xt: %Qt-+- R1. ТЕОРЕМА 1. Если выполнены условия

||i|{U(<»e=Q*: F ( / , G > ) = 0 ) } = 0 ,

sup Г \°L(t9 со) UF'(t, o ) ) | r1d |R| ( o ) ) < o o t J I at I

f—M=oo ) 9 то для любой ограниченной борелевской функции q>: G-+R*

справедливо равенство

о Qt Vi VQ

Д о к а з а т е л ь с т в о . Введем функцию

v: [ 0 ; i ] x SGr > «l: . v . ( < , 4 ) = ^?L\P^d\it.

Af]Qt

Наша цель сейчас — доказать, что при любом A e SG функция t*-*v(t9 A) измерима по Лебегу и справедливо равенство

. Jv(/, Л ) ^ ^ П A)-ii(V

⁰

П A). (2)

0

Это доказательство разобьем на два этапа.

I. Предположим сначала, что существуют замкнутое гиперподпро­

странство XczB, одномерное подпространство Y={ye:—oo<y<;oot

е е В0, lkll = l}, открытое (в X) подмножество GxczX и функция f : [0, 1 ] X Gx-^R¹ такие, что:

1) B = X+Y;

2) G = G * + 7 ;

3) i7^ , г ) = / ( / , х)—у (здесь и далее x = Pz, P — проектор В на X параллельно У; таким образом, z = x + ye).

Обозначим через nt (со) единичный нормальный вектор к поверхно­

сти Qt в точке oeQf, образующий острый угол с вектором е\ тогда

d

±\\Fp = ^L(n

^ti

e). (3)

Положим Л0= и !0 0^ ^ — (*, Роз) = 0 1 , и пусть z0<=G\A0. Тогда су-

t { dt J

ществуют не более конечного числа точки ^i-<.. . < fme [ 0 , 1] такие, что f(U, Хо) =Уо ( t = l , • • •,• т, z0 = Xo + yoe). Если {U} = 0, то в силу гладкости функции f существует окрестность U(zQ) точки z0 такая, что £/(20)П f l { U Q t } ' = 0 ; в этом случае, очевидно, при АЕЕ^им В обеих частях равенства (2) стоят нули, так что равенство справедливо. Итак, считаем {и}Ф0. По определению А0 имеем — (fr, x0)¥=0. Так как функция -j-

Ot Oi

непрерывна, то существуют система непересекающихся отрезков [осг-, (ЭДэ^ и окрестность £/(20) точки z0 такие, что:

dt > 0 ; (4) inf

/е[аг,ел.2е£/(2„) I m

если < ^ U [«*, Ml то Q/ П ^ (*о) = 0 (5) (/*—обязательно внутренняя точка отрезка [ai9 рЛ, за исключением

случаев, когда ^ = 0, /г=1). Для борелевского множества VczP[U(z0)]

и чисел г, se'[<Xi, РЛ, г < 5 , рассмотрим цилиндр Vr,s= U {ОгГК^ + П}.

r<x<s

В силу теоремы 9 работы [2] при любом £ е (г, 5] справедливо равенство

А

- ^ ( ^ , 0 = [ s i g n - | - ( ^ xo) ] J (nr(©)fe)^-(/fP©)d^'(©)." (6) Отсюда заключаем, что выражение, стоящее в правой части этого равен­

ства, представляет собой измеримую (на самом деле—даже непрерыв­

ную) функцию от / п р и изменении t в полуинтервале (г, s]. Если же

t^[ah r], либо t^(s, •{$*], то, очевидно, правая часть (6) равна нулю.

Учитывая еще (3) и второе условие теоремы, заключаем, что при A = Vr,s функция [ah ipJ-W?1: t^v(t, А) измерима, ограничена и спра­

ведливы равенства:

fe • • s • s

J v(t, A)dt = J v ( / , Л ) Л = [sign-g-(/,, x0)l | - | -|г ( К ^ ) Л = •

[

sign-^-ft, ^) ц(Л) = И(.4П^)-|*(^П^). (7)

Заметим теперь, что если множество V имеет внутренность (в X) то, в силу (4), и множество Vr>s имеет внутренность. Отсюда и из сепара­

бельности В следует, что любое открытое множество AczU(z0) (в слу­

чае ti = 0 или ti=l—любое открытое множество AaU(z0)C}Vo или AczU(Zo)f~)Vi) может быть представлено в виде счетного объединения

непересекающихся множеств вида Vr,8', поскольку же крайние члены равенства (7) счетно-аддитивны по Л (первый — в силу теоремы Лебега), то равенство

^v(t}A)dt^ii(Af]Vdi)-ii(AnVai) (8)

<ч

справедливо для всех открытых AaU(z0), а значит, и для всех Ле2и( 2 о ). Суммирование (8) по t = l , . . . , т с учетом (5) дает равен­

ство (2) для всех Л^2с/(2о). Опять же в силу сепарабельности В и счет­

ной аддитивности по Л обеих частей (2) получаем справедливость (2) для всех борелевских AczG\A0. Если же Лс=Л0, то, в силу (3)^

v(t, Л ) = 0 . Таким образом, для доказательства (2) при любом Ле2<?

нам достаточно доказать равенство

Ы ( А⁰) = 0 . (9)

С этой целью введем меру

| D 4 i U = S z ^ i ?1 :A»\De[i\(A + Y)

(D^ejLi — производная меры \х по направлению е). Из формулы (3) рабо­

ты [2] получаем, что мера ||ы'| абсолютно непрерывна относительно ме­

ры \De\x\xXL, где L есть лебегова мера в пространстве Y. По теореме Фубини

|De\i\XXL(A0) = j L(Л0 П (х + Y)-x)d|Deli\x(x).

Для x<=Gx пусть Tx={teE[0, 1 ] : - ^ (t, x)=0}; тогда A0f)(x+Y)— x=*

—f(Tx, x)e. Отсюда, применяя теорему Сарда, находим: L(A0f]

f](x+Y)—х)=0, так что \De\i\xXL(A0) =0 и равенство (9) доказано.

II. Докажем теперь (2) для общего случая. В силу условий теоре­

мы при AczA0 = U ( ® S Qt '.F'(t, o))=0) обе части равенства (2) равны

t

нулю, так что (2) достаточно доказать для всех AaG\AQ.

Пусть z0^G\A0. Положим T(z0) = {t^[0, 1]: F(t, z0)=0] и, поль­

зуясь определением Л0 и плотностью В0 в В, для любого t^T(z0) (счи­

таем пока Т(го)Ф0) возьмем вектор et<=B0, ||ej| = l, такой, что (F'(t⁹ z⁰), e^t)¥=0. Пусть Y^t={ye^t: — о о < г / < о о } , X^t — какое-либо до­

полнение Yt до В, Pf — проектор В на X*.параллельно Yt. Применяя тео-

рему о неявной функции, строим окрестности Ut{z0)czB, Ut(PtZo)czXti

{/(£)с:[0, 1] точек z„, Лгр, t соответственно и функцию ft: U(t)X XU^t(P^tz⁰)-*Y^t такие, что:

{(s, z)ezU(t)XUt(z0): F(s, * ) = 0 } = grft; ini \(F'(s;z)9et)\>Q.

(s,z)e=U(t)xUt(z0)

Пользуясь компактностью множества T(z0), строим систему отрезков {at, f}*]cz[0, 1], ai + 1>fc, окрестности Ui(z0)czB, С7г(Р^0)с:Дг и функции /ь [of, р*]Х17<(Р^о)-^Уг ( t = l , ...,m) такие, что:

{(*, 2 ) е [ а г , fc].X£/,(z0): ^(А z ) = 0 } = g r f , ; inf | ( F ' ( * , z ) , e ; ) | > 0 ;

(/,«)e("af,Pf]xI/f(2b) m

(10)

если *QE U [Ж.РЛ, то QtftU(zo) = 0. (11)

1 = 1 ' • , i :

При этом, по теореме о дифференцируемости неявной функции, все dft df{ а2/,

функции ft непрерывны вместе с производными —-, — , — . Восполь*

зуемся доказанным в п. I с заменой Gx на £Л(Р*г0), отрезка .[0, 1]—на отрезок [ah ^ ] , функции / — на функцию/* (в последней замене исполь­

зуется естественный изоморфизм между Уг- и R1: уе{++у{)\ тогда, учиты­

вая (10), получим для всех борелевских AczUi(z0):

= [— sign(F'(af, z0), ^)] I -$f (пи eУ, t) dptdt =

at An&cftV,-)

ft

Суммируя полученные равенства по i = l , . . . , m с учетом (11), получим справедливость (2) для всех борелевских AczU(z0)= П Ui{zo)- В слу-

г = 1

чае Т ( го) = 0 в обеих частях (2) будут (при AaU(zQ), где U(z0)—до­

статочно малая окрестность) нули, так что (2) также справедливо. Те­

перь из сепарабельности В и счетной аддитивности по А обеих частей равенства (2) следует справедливость (2) для всех AaG\A0y что и тре­

бовалось.

Итак, нами доказано, что функция v есть переходная мера и для всех Ae2,G справедливо равенство (2). В силу второго предположения теоремы эта переходная мера ограничена. Теперь применение обобщен­

ной теоремы Фубини для переходных мер ([3, гл. III.2]. Отрезок [0, 1]

рассматривается с мерой Лебега) дает равенство (1). Теорема дока­

зана.

С л е д с т в и е . Пусть выполнены условия теоремы, а борелевская функция ср: [0, nxG-^-R1 ограничена вместе с производной — и тако-

dt

155

ва, что функция

(Т, t) ы- j ф(/, 0 ) ) ^ ( Т , С0)||^ (Т, ©) 1-4(1,

непрерывна на диагонали квадрата [О, 1]Х[0, 1]. Тогда функция / : [О, 1] ^ - /?*: /(О = S Ф( / , z)d(A (г)

дифференцируема и справедливо равенство

Доказательство получается применением теоремы с заменой отрезка [О, 1] отрезком [0, /] и последующим дифференцированием равенства типа (1) по /,

Отметим, что для выполнения условия (непрерывности) следствия, как правило (т. е. в случаях поверхностей Qt не слишком сложной гео­

метрии), достаточно непрерывности функции ф (см. ниже, лемма 3).

Приведем еще одно утверждение типа теоремы 1.

Пусть V есть открытое подмножество В. Назовем точку co0^dV обык­

новенной, если существуют окрестность £/(со0) этой точки и дважды не­

прерывно дифференцируемая функция /: U(co0)-^R\ f/((d0)¥=0 такие, что VnU(®o) = {z:f(z)<0},.

(B\(V\JdV))nU(<60) = {z: f(z)>0].

Для обыкновенной точки ю0 положим я(со0)=//((0о)11//((0о)11"1 (вектор внешней единичной нормали) и обозначим через dV0 совокупность всех обыкновенных точек границы dV. Предположим, что множество dV\dV⁰ есть поверхность; тогда автоматически 3V есть поверхность и мы обо­

значим через \it поверхностную меру на поверхности dV+tb ( / ^ [ 0 , 1],, Ь€=В).

ТЕОРЕМА 2. Пусть для некоторого Ь^В выполнены условия:

\lit\(dV\dV0 + tb)=0 We=[0, I ] ;

IM{U(^\^o +»)} = <>;

(12) sup J |(6, n)\d\\it\<oo.

t dV+tb

Тогда для любой ограниченной борелевской функции ф: B-+-R1 справед­

ливо равенство

1

Г ^ Ф(6, n)diitdt== С ф ф — Г ф ф .

О dV+tb V+b V

Доказательство аналогично- предыдущему (в случае V=

= {z<=B: F(z)>0, F" непрерывна} теорема 2 есть частный случай тео­

ремы 1).

В рассматриваемой ситуации естественным образом формулируется и доказывается аналог следствия теоремы 1. Мы приведем соответст­

вующую формулировку в частном случае — = 0 , представляющем ин­

терес для теории дифференцируемых мер.

С л е д с т в и е . Пусть для некоторого е > 0 выполняются условия тео­

ремы 2 с заменой отрезка [О, 1] отрезком [—е,.-в]. Предположим, кро­

ме того, что ограниченная борелевская функция <р: B-*Rl такова, что функция t^ § ф(ЬэЛ)^И* непрерывна в точке t = 0< Тогда мера.ур

dV+tb

дифференцируема на множестве V по направлению Ь и имеет место формула

а(

^ф|1

) (V)а нт w

^{( F}

+ '

^{f e}

; - ^

^(V)

= U p . n) ф

⁰

. (is)

Доказательство очевидно. Таким образом, если предпосылки след­

ствия выполняются при любом Ь^В (в случае не слишком «плохих»

множеств V для этого достаточно ограниченности в нуле функции х*-+

*"* \ 1Ф1^1(Я1| и непрерывности функции ф: см. лемму 3), то мы полу-

dV+x

чаем дифференцируемость меры cpji. на множестве У по пространст­

ву В. * Отметим еще, что равенство (13) получается формальным при­

менением формулы Гаусса — Остроградского [4] к векторному полю b(x)=tp(x)b.

§ 2. Вспомогательные предложения

В настоящем параграфе р, </е(1, оо), p-ⁱ + q-ⁱ = \⁹ B — l^p (естест­

венно нормированное пространство числовых последовательностей с суммируемой р-ой степенью), '•/: B-+R¹: f(x) = \\x\\^p, U^r(x)— шар в В с центром в точке I G B И радиусом г > 0 , {Хп} — последовательность по­

ложительных чисел, такая, ч т 02 ^ < ° ° > ^: l«r*-l«>'. (xu • •-, хп, ..•.)н >

^(XiXi, . , . , А л , ), H—Tlz — гильбертово пространство со скалярным произведением (х, y)=^K?xnyn,B' = Tzlq— пространство, сопряженное с В относительно двойственности (я, у) — У^к^ХпУп (так что B'czHaB и для любых х^В\ у<=Н.'справедливо равенство (х, у)н=(х, у){В',в)), е{= (О, . . . , О, Ки 0,....), Yi={tei\ t^R1},— ортогональное (в паре

• •••'••.' п

(В',В)) дополнение к У<9.Еп=У± + .... + ¥П9 Еп°= f] Хи Рп — проектор В.

1—1 а,

на Хп параллельно Уп, Qn== f\ PuMlk — дространство всех п раз диф-

i=i •

ференцируемых по замкнутому подпространству ЕаН мер jr. Ев-^R1 с нормой

И-И- 1U = / S UP V a r D^ '•• ^ т И "

Ai,...,ftmE£, HMtf^i,m<:n

Через (Хк МЫ обозначаем поверхностную меру на сфере dUr(x),'-соответ­

ствующую мере \i: 2в-*-/?\

3 а м е ч а н и е . Вообще-то в [2] доказывалась корректность опреде­

ления поверхностных мер для поверхностей двойной гладкости, а если р < 2 , то сфера dUr(x) обладает лишь одинарной гладкостью. Но, как отмечалось в [2], соответствующее доказательство проходит и в случае поверхностей с локально-гёльдеровой нормалью (если мера \х дважды

* Как известно, если dim.B —оо, то не существует нетривиальной меры, дифферен­

цируемой на каждом множестве А<=2Б по пространству В.

157

дифференцируема, то от гёльдерова показателя требуется лишь поло­

жительность, в пространстве же 1Р при / ? < 2 нормаль к сфере — гёльде­

рова с показателем р—1). Сделанное уточнение относится и к осущест­

вляемому ниже применению теоремы 2 для множеств V=U^r(x) [в до- казательстве теоремы 1 нигде не использовалось существование второй производной функции F и соответствующее условие было наложено- лишь для возможности использования результатов [2]; в соответствии со сказанным выше достаточно предполагать лишь локальную гёльде- ровость производной

Для борелевской функции gn: En°->Rl положим Fgn: B-+&: х ~ > 2 \xt\p + gn(QnX).

ЛЕММА 1. Для любых п=1, 2, . . . , б>0У существует константа с—

= с(8, р, Х^и , . . , Х^п) такая, что, каковы бы ни были мера iiE=M%ⁿ⁹. функция gn: En-^R1 и число г2^0, справедливо неравенство

\[i\{xeEB: 0^Рёп(х)^г}^сгУ\\11\\п9

где у= min (— — б, 1 ) .

Доказательство проводится индукцией по п. При п=\ утверждение (даже для 6 = 0) сразу следует из леммы 2 работы. [2]. Пусть теперь li S ^W^+j, gn+i • E°n+i ~> R1— произвольная борелевская функция, е ^ 0.

Положим

F: B-+Ri:F(x) = J ] |xt\р + gn+1 (Qn+1x), A* (e) = {xe= В: 0 < Fgnvx (x) < e} f) { ± xn+1 > 0},

Z(s) = {x(=B: fl<f(i)<e},

i_ .

A(e) = {xeZ(s): 0 ^ x „+ 1s S (е — F(x))"}t

ZiJt={xe=B: -k-^F(x)>-(k-l)-i},

1 1_

ALk = {x £E Zf,k: ( - F (x)f ^xn+1^(e-F {x)f } (здесь /, k = l, 2, . . . ) . Нетрудно видеть, что

Л+( е ) = и Af,kUA(s). (14)

Применяя лемму 2 из [2], получаем:

i_

|(i |(Л (8)) « S ^ i l D ^ K Z f e ) ) sup [ е - / ^ ) ]р<

1_

< 4 ^1| De„+ l fx | ( Z ( 8 ) ) 8p ) (15).

L L

| ц | (Л,.Л) < 4 CX | D,rt+ltx | (Z,.*) sup [(8 - F (x))p -{-F (x))p ] <

i. _L

<4^1\Deini\i\(Z,jl).l(e + k-/r-kp]. (16) 158

Применяя предположение индукции с заменой |х на D^fl{i, Fgfl— на F (соответственно — \х на Den+1\i, Fgn—на F+ (k—1)~\ г —• на [ (k—l)~j—k~j]; здесь k^>2), находим:

•|D.n + 1|i|(Z(e))<c(6,p,X1, . . . . K)&\D.^l, (17)

|Den f l|i|(ZM)<c(8,p,X1, . . . . K)ff"i+1)\\Den+llil. (18) Последнее неравенство, очевидно, справедливо и для k=l. Объединяя

(15), (17) и, соответственно, (16), (18), и суммируя (16) по k—l, 2, . . . , получаем:

v+^ ,

|}х | ( Л ( 8 ) ) ^ с ( б , р Д1, . . . Д „ ) е МИ„+ 1- (19) N U A^fj

; с (б, р д

х

, . . . , V01| и IU 2 ^

т о

[(в + *"')" - * .".]

/ г = 1

Исследование асимптотики (е-^0) последнего ряда показывает, что при

Г 1 у

у > у0= /0( р) *f) этот ряд эквивалентен ер, где [}-=min vH 1

L P /

, 1 . Беря теперь для любого 6 i > 0 / > . - , пользуясь (14),

/ J Si (19) и полагая 'y1 = min (y-i б, 1) , имеем:

i | i | ( A+( e ) ) < с ^ , рЛг, • . • , W O e ^ l t i L r

Такое же неравенство справедливо и для | M * | ( A - ( S ) ) . Поскольку {х^В: O^Fgn+l(x)^s}czA+(s)[jA-(&)y то индукционный переход обо­

снован и лемма доказана.

ЛЕММА 2. Если п>р, р , е ^{МПЕП, ТО} справедлива оценка

dUr(x)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Поскольку |||i||n не зависит от сдвигов меры [х, то лемму достаточно доказать для х —0. Для /, k=l, 2, . . . введем множества

Z/f/fe = L s B : f e -/< r P - 2 l ^ |p— S 1^Г<(А5— 1Г7| ,

I 1=1 1=П+1 J

I i'=l i=rt+l J

Qi,

^fc

=2

^ifft

na£/

^r

(0), Q

⁰

= z

⁰

r w

^r

( 0 ) .

Поверхности Q3tk, Q0 не пересекаются при различных к и в сумме дают всю сферу dUr(0) (/ фиксировано). Вычисляя нормаль к поверхности

i_

L i=l i=rt+l

чостной меры, получаем:

и пользуясь определением поверх-

du^r(o) h⁰ fe=i ЙДЙ a»

ос г Р - 1

+ 2rP~lXn1

| D ^ I ( Z / , I ) + 2 ^

р

|о

^вп

|*кад

fc=2

(20)

159

Применение леммы 1 с заменой п на я—1, \х — H-aD^jLi, gn — на gn-i(x) =

оо

— 2 \xt\p—rp—(k—l)-1, е —на (k—l)-i—k-i(k^2) дает оценку

ID^KZ/^Xcfe-^^Int • . (21)

где ч=т'т1 б, 1 ) . Применение той же леммы.(с очевидными заменами) для 8 = 0' дает равенство j d | ( x⁰| = 0 . Возьмем S <

^ [р]—Р+1 -^ \ Р— 1 т- . . . р (1 — Y)

<^ jjii—£_!— ; т а к к а к n>v, т о у > - . Беря теперь/ >—— -L— и

Р Р PV — Р + 1

подставляя (21) в (20), завершаем доказательство леммы.

Ниже G есть открытое подмножество В.

ЛЕММА 3. Пусть jneMH°°, L: GXG: (x, y)^L(x, у) есть ограничен- лая на ограниченных подмножествах GxG функция со значениями в {естественно нормированном) пространстве т-линейных непрерывных форм на В. Если L либо непрерывна по совокупности (х, у)^GxG; ли­

бо непрерывна по х и ограниченно на ограниченных подмножествах GxG дифференцируема по у вдоль пространства В\ то для любых I G G G , 2 ^ Gr, /—0, 1, . . . функции

ih(*f z): Bm^R1: (bl9 . . . , bm)~. J (Г(у-х),Г(у-х)Т1х

dUr(z)

*L(x9y)(bl9 . . . , bm)d\xx{y)\

фа (*, z): Bm + R1 :(bl9 ... , bm) -> $• (/' (y - x)9/' (У - x)flL (x9 y) x

x(&i, ...9bm)d\i(y)

суть непрерывные m-линейные формы, а функции

фь tp2: G x G . , - ^ ™ ^1} : (х, г)*-+^(х9 z), fy(x, z) непрерывны на GxGr.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Сначала рассмотрим более сложный случай поверхностного интеграла. Введем функцию

vx:B^R1:vx(y)=p^^(yc-Xifp]; (22)

£==1

эта функция бесконечно дифференцируема по пространству В и удов­

летворяет неравенству

v4y)^c{r)(f'{y-x),f'{ij-x)). (23) Применение теоремы работы [5] дает, что меры \х(х) =vx~lii корректно

определены, бесконечно дифференцируемы по пространству Н и для каждого /г=0, 1, . . .

з и р | И х ) | |п< о о (24)

л;еВ

(по поводу сделанных заключений см. [6], где содержатся соответству­

ющие доказательства для случая В = 12, [р] = 1: доказательства в об­

щем случае проводятся аналогично). Из (23), (24), леммы 2 и равен­

ства

[li(x)]2 = vx~lli2 (25)

160

(теорема 7 из [2]) теперь получаем:

dUr(z)

что, вместе с ограниченностью L(x, у) на шаре Ur(z), доказывает пер­

вое утверждение леммы.

Осуществив надлежащий сдвиг, будем доказывать непрерывность функции if^ в точке х=а, 2 = 0 . Фиксируем е > 0 . При й Х ) для мно- жеств Л ( б ) = г е б : бр^^"р—2 \ь\р>о\ ,QZ(8) =dUr{z) f)A(28) имеем:

inf \(п(у-г),ег)\>0, (27)

z^U6(o)ty^dUr(z)\Qz(6)

Q,(6)c=Q0(36)+2, (z€=t/«(0)) (28) (здесь и далее л (со),— единичный нормальный вектор к сфере dUr(0)

в точке сое<3[/г(0)). Для меры v: Utr+R1 введем сдвиг vx: H^-^R1: А^

*-**v(A + x). Проводя оценки, аналогичные примененным при доказатель­

стве леммы 2, и используя (24), найдем, что для достаточно малых S справедливо неравенство

sup Л d\[(\L{x))%\<s, которое, в силу (28), (25) и (23), дает неравенство

s u p J (Г(у-х), r{y^x)fd\]Lx\{y)<c(r)B.: (29)

X^B,Z~U^) Q^(6)

Положим У(8) = {^еВ: (f'(Pix), f'{P\.x))^$} и применим теорему из [5] к множеству W(8) и семейству мер {(Dei\i)x: x^.B}; получим, что для любого fe>0 справедливо неравенство

8ир|(ад*|.0Р(б))<с(|*)б*,

х^В

откуда вытекает, что для достаточно малых б

sup J ( / Ч ^ 1 ( У - ^ ) ) , Г ( ^ 1 ( ^ - ^ ) ) Г ^ | 0 ^ 1 ( у ) < 8 . (30)

х^В W(6)+x

Д л я z e I /6( 0 ) продолжим функции (п(у—z); 'el)^i9 L(x, у), {fr{y—x), rty—x))-1 с поверхности Q* = [dUr{z)\Qz(8)] Р|[со^В: ±co!>0] на весь цилиндр A={Qz± + tel: t^Rl} = {dUr(0) + fe4: fei^NA (26), полагая для J / G Q ^ соответственно:

Nf{y^te^ = (n[y — z\e^ для ^ < 0 , /V*(у + / ех) = 0 для * > 0 ;

££*(# + &i) = L (х, у); gx,z (У + te±) = (/' {у — х), /' (у — х))~1. По определению поверхностной меры имеем:

1<Г(У- *). Г (У - x)TlL (х, у) {Ьи . . . . Ьт) d^ (у) = of

= $ gx.z (y)Nf {y)L%^z(у)(^ b^m)dD.ji (y). (31)

A .

В силу (30), неравенства (f (Pt{у—x)), f ( P i ( y — * ) ) ) " ' > £ * (#) и огра-

11 Серия математическая, № 1 15!

sup sup

*£EG, 26=l/6(0) M H&JKl

ниченности на Л функций Nz±(y) (неравенство (27)), L*2(y% получаем::

J gtz (У) Nf (у) L%z (у) (bl9 . . . , 6m>dDejx (у) — л

— S и* (у) g £ * (у) tff (#) L £ (у) (6^{l f} ...⁹b^m)dD^eiii (y) | < c s , ( 3 2 >

A

где мж есть характеристическая функция множества 5 \ [ Щ б ) + х ] . Из- предположений теоремы относительно функции L(x, у) и из определений множества W(8) и функций N^ следует, что

l i m sup | их (у) gx% (у) Nf (у) L%z (у) (bl9 , 6m> —

x^a\\b1\\>...,\\bm\\<i

— u^a (y) g*⁰ (y) N* (y) L *⁰ (y) (b^u . . . , b^m)11 = 0

почти всюду по мере |Dejx| (точнее: всюду, кроме поверхностей dW(8)^

Й0±), причем функции, стоящие под знаком предела, равномерно по*

A:GG, Z^U&{0) ограничены. Отсюда, из леммы Фату, (32) и (31), на- ходим:

И m sup

х-*а Ы U&J^i

J (Г {У ~ х), Г (У - x)TlL(x, у) фи . . . , bmWz {у) —

\ (/' (У — а\ f {у — a))"1L(я, у)ф19 . . . , Ьт)d^{y)| ^ с е .

о

Непрерывность ар± вытекает теперь из (29) и равенства §Ur(z)\=Qz+{J§

IR~№(8).

С учетом оценки (26) непрерывность (и даже липшициевость) ^ немедленно вытекает из теоремы 2 (здесь не нужны даже предположе­

ния о непрерывности или дифференцируемости функции L (х, у)). Лемма доказана.

Для k, т = 0, 1, . . . обозначим через Bk>m(G} (соответственна CBk'm{G)) совокупность всех функций y.GxG-^R1: (x, у)^ср(х, у), удо­

влетворяющих условию: при любых и }'• O^i^k, 0 ^ / ^ m , частные про- изводные ф(я, #) существуют, непрерывны по х (.соответственно*

дх{ ду}

непрерывны по совокупности (х, у)) и ограничены (в соответствующих операторных нормах) на ограниченных подмножествах. GXG; при этом»

д D д

под —- понимается производная по пространству В, а под — •—производ­

ил; ду ная по пространству В'. Через Cm(G) обозначим класс всех т раз не­

прерывно дифференцируемых по пространству В числовых функций, на G. Положим тр= о о , если р — целое четное, и тр—[р] в противном случае. Следующее утверждение имеет принципиальное значение длж дальнейшего.

ЛЕММА 4. Пусть р ^ 2 , l^m<mp, мера ^&МЯ°° обладает тем свой­

ством, что функция —^- : В-+В: х\-+ ^ - m—1 раз непрерывно диффе-

ф d\i (x)

ренцируема по пространству В\ причем все производные ограничены HOZ ограниченных подмножествах В.* Тогда если cp^Bm'm(G), либо ф е

* Если fiEAfH!, то векторная мера JJ/ : 2 g - > # абсолютно непрерывна относитель- но |LX Г11 и можно показать, что плотность Радона — Никодима -— со значениями в В-ф '

. ф всегда существует. Тем не менее сформулированное в тексте свойство не следует даже-

из включения | i e M ^ .

^CBmm-l(G), то для любого /—О, 1, . . . функция

^:Gr^R1'^(x)= I (f'(y-x\f'(y-x)Tly(x,y)dlx(y) (33)

Ur(x)

принадлежит классу Cm(Gr).

Доказательство будет проводиться индукцией по т.

I. т=\. Фиксируем x^Gr, b^B и докажем, что функция я|) диффе­

ренцируема в точке х по направлению Ь. Пусть б > 0 таково, что

•t/r+e(Jc)czG, 8 = б||Ь||""1. Для &>0, / е [ — 8 , е] введем функции

gh(t, y)=q(x + tb, y)mm{{r{y-x-tb,r{y-x-tb))-\k}

и положим в теореме 2 BQ — B\ V^=Ur(x) с заменой отрезка [0, 1]

отрезком [—8, t], функции ф —функцией gk(t, • )• Учитывая, что нера­

венство (12) выполняется в силу леммы 2 и все рассматриваемые ниже интегралы берутся по ограниченным множествам (на которых функции

gk ограничены), получим: !

t

J \ • gk(t9y){b9n(y))d\ix+Xb(y)dx =

- a dV+ xb

= J gk(t,y)dii(y)— l.gk(t,y)d\i(y). (34)

V+tb V-ab

Из (26), неравенства

ЫЬу)[<Ых9у)\(Г'(у-х-Щ,^

ограниченности ф на шарах и ^-интегрируемости функции goo = limgfc (последнее доказано ранее: см. соотношения (23), (24)), находим, что к обеим частям равенства (34) применима теорема Лебега о предель­

ном переходе при &->-оо под знаками интегралов. Таким образом,

^ I goo(tiy)(brn(y))diix+xb(y)di;^

- s dV+xb

= S g<» (t, у)dp (у)— \ goo (t9 у)dp Qf), (35)

V+й» V-ab

Из включений ф е Вм( й ) либо cpeCZJ1-0^) следует (см. лемму 3) не­

прерывность по (т, /) функций

С*. О ^ f ~ goo (t, У) (ft, /l (#)) Ф*+гЬ (У), av+гь

так что законно каноническое дифференцирование по t крайнего левого интеграла в равенстве (35). Из тех же включений, аналогично проде­

ланному в [6] для случая гильбертова пространства В, выводится за­

конность внутреннего дифференцирования по t крайнего правого инте­

грала в (35) и поверхностного интеграла в (35). Таким образом, полу­

чаем дифференцируемость по t функции \Sp(x + tb) ( = средний интеграл в (35)) и равенство

dt

dV+tb

+ 1 I 1Г ^{{ t} ' ^{y ) {Ь} ' n {y))d]kx+xb ^ ^dx + ] if ^{t ' ^{y)dVi {y)} - ⁽³⁶⁾

-adV+xb V-&b

•{x + tb)= f goo (t, y) (ft, n (y)) d\i^x+tb (y) +

11* 163

d8oo

Поскольку функция —-(О, у)— того же вида, что и g*oo(0, у) (увеличит­

ся

ся I и изменится ф), то равенство (35) справедливо при замене goo(t9 у) на —^-(t,y) и подстановке / = 0 . Это, вместе с (36), приводит к ра-

dt венству

ВьЦ{х) = j . g«1(0,y)(b,n(y))dlix(jy)+ j ^(0,y)dn(y). (37)

dUr{x) Ur(x)

Применение леммы 3 к правой части этого равенства дает включение 1?eC'(Gr).

II. Предположим, что для некоторого т^1 доказаны существование дифференциалов D^ . . . D^^m^ и равенство

k[m) г 1 п -I •

D& 1^ . D ^ ( x ) = 2 | - ^ r J (?&-*)* Г (У-*)) П£п(х,У)(Ьи..., Ьт)х

?<dlix(y)+ J (Г(у-х\ r(y-x))~l2iL2i{x,y)(blf . . . , М ф ( г / ) | , (38)

U^r(x) J

где Lit, L2i—функции на GxG со значениями в пространстве т-линей- ных непрерывных форм на 5 , причем Ь1{(х, у) получена дифференциро­

ванием: ф(х, у) —не более т—1 раз по х и не более т— 1 раз по у;

НУ—х) —не более т раз; - ^ - (у) — не более т—1 раз; a L2i(x, у) полу-

d\i

чена дифференцированием: ср(х, у) —не более т раз по х и не более т—1 раз по у; f(y—х) —не более т+\ раз; -i—(у) —не более т—1 раз

d[i

(равенство (37) показывает, что для т=\ это так, ибо (6, п(у))==

>=p-iri-p(f(y—х^ ь^у Тогда из условий леммы следует, что, в зависи­

мости от включений ф е £т'т е( 0 ) , ц)^СВтт~1(0), функции Lii9 L2i удовле­

творяют одному из условий леммы 3, так что ty<=Cm(Gr) (в исключи­

тельном случае р\= целому нечетному функция / не допускает [р]-крат­

ного дифференцирования, и наши рассуждения идут лишь для т<р—1.

По поводу этого случая см. ниже). Пусть теперь q)^Bm+i>m+i(G), либо

^<=CBm+1'm(G), причем т+К[р] (т + 2<р, если р целое нечетное),

—^- т раз непрерывно дифференцируема (и производные ограничены на ограниченных подмножествах). Тогда, по предположению индукции, имеет место равенство (38), где, при фиксированных bi9 . . . , Ьт^В Lu(bu . . . , bm)<=B2>2(G), L2i(bu . . . , bm)e61>2(G), либо Ьц(Ьи . . . , bm)(=

eCB2-i(G)9 L2i(bi9 . . . , bm)^CBi>i(G). Для преобразования поверхност­

ных интегралов в (38) воспользуемся первой формулой Грина [4]:

Г Audv+ С (u',dv')= Г ^d-dv^x (39)

U^r{x) u\{x) dUp(x)

(здесь и: Ur{x)~+Rl есть дважды непрерывно и ограниченно ДИффереН- цируемая функция, Аи = ^D2e.efu9 v^MH2, f (u\ dV)—интеграл от

вектор-функции и!\ Ur(x)-+B' по вектор-мере V: 2В->Я). Сделаем два замечания по поводу предпосылок справедливости формулы (39). Во-

первых, хотя в [4] и предполагалась двойная дифференцируемость меры v, но при доказательстве формулы Грина эта двойная дифференцируе­

мость не использовалась, а нужна она лишь для корректного определе­

ния поверхностной меры v*. Если же на шаре Ur+&(x) v=g{x, -)o, где g^CB°>\ оеМ»я2, то поверхностная мера корректно определяется по фор­

муле vx=g(x, -)ox (см. теорему 7 из [2]. В случае g^B°>2 поверхност­

ная мера определяется стандартным способом). Во-вторых, дифферен­

цируемость меры v по пространству Я нужна только для существование векторного интеграла в (39); для меры же v—g(x, -)o (g^CB0*1 или

^ G B0'2, O G MH 2) и ограниченной функции и': Ur(x)-^-B/ имеем:

j \u'9dv')= ^ (u\d^jdo+ J g(u'9do'),

Ur(x) U f{x) Ur(x)

и оба последние интеграла существуют. Таким образом, формула Гри­

на верна и для мер v указанного вида. Полагая теперь в (39) v=b{y){f'{y — x)9 f,{y — x))hrlLli{x,y){b1, . . . , bm)\i

(х фиксировано, у — переменная; X: B-+R1 есть произвольная дважды непрерывно и ограниченно дифференцируемая функция, равная единице на шаре U б (х) и нулю вне шара Ur+&{x))9 u(y)==f(y—х) и исполь-

2

зуя равенства (gii)/=g/ix+gix\ {g[i)x=g\ix, \i' = —^—- [х, преобразуем по-da' da

верхностные интегралы в (38) к тому же виду, что и объемные интегра­

лы в (38), но только с функциями L2i9 полученными дифференцирова­

нием: ф(х, у) —не более т—\ раз по х9 не более т раз по у\ f(y—х) — не более т+1 раз; ~-^—(у) — не более т раз. При рассматриваемых m, р

da

такое дифференцирование законно, и мы получаем равенство (38) лишь с объемными интегралами, причем L2i(bu . . . , bm) принадлежат либо Bi'i(G)9 либо CBl>°(G). Но теперь слагаемые в правой части (38) совпа­

дают с правой частью (33) при ф(х, y)=L²ⁱ(x, y){b^u . . . , b^m). Приме­

няя доказанное в п. I, получаем существование дифференциалов DbD6l....

. , . D^m\f> (х)и равенство вида (38) для них.

Индукционный переход завершен и лемма доказана, за исключением случая р== целому нечетному, т = р—1. По доказанному, для любых

bi9 . . . , Ьт-1 справедливо равенство

k{m) г -и

D* . . . ЪЬт_$(*) = 2 J if (У ~*)> Г (У-х)) L&>У)Фъ ••.., Ь^г)dii {у)щ

i==1 U/x)

где в L{(x, у) входит производная rn-ого порядка функции /(у—х). Мо­

жно усмотреть, однако, что эта производная входит лишь в виде (т—2)-ой производной функций A/, (f9 f ) / ; отсюда выводится, что функция Li(x9 y)(bi9 . . . , bm-i) непрерывно и ограниченно на ограничен­

ных подмножествах дифференцируема по х вдоль пространства В во всех тех точках (х9 у), где х5—yj¥=0 при всех / = 1 , 2 , . . . .

Поскольку при любом x^Gr

\\х\ {у^В: Xj—^=0 хотя бы для одного / } = 0 ,

\\хх\ {y^dUr(x): Xj—Уз = 0 хотя бы для одного /} = 0 ,

то рассуждения п. I можно провести и в этом случае, что даст нам суще-

-165