Algebra de Lie

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Imersões isométricas em grupos de Lie nilpotentes e solúveis

Imersões isométricas em grupos de Lie nilpotentes e solúveis

Killing na sub´algebra z = [n, n] da ´algebra de Lie n de N . Os tensores ˆ L e ˆ Q provˆem das express ˜oes, deduzidas no Cap´ıtulo 2, da conex˜ao riemanniana e da curvatura de N em termos dos campos de Killing nesta sub´algebra e de suas derivadas covariantes. O teorema correspondente para imers ˜oes isom´etricas em um grupo de Lie S sol ´uvel a trˆes passos ´e obtido igualmente descrevendo-se a conex˜ao e a curvatura ambientes em termos de campos vetoriais nas duas ´ultimas parcelas da soma direta s = v ⊕ z ⊕ a em que se decomp ˜oe a ´algebra de Lie s de S. Novamente, desempenham papel crucial estes campos e suas derivadas covariantes, embutidas na definic¸˜ao dos tensores ˆ J, ˆ L e
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A CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA (Mestrado)

A CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA (Mestrado)

O ´ ultimo cap´ıtulo se volta ent˜ao para a quest˜ao topol´ogica do Grupo Ortogonal Generalizado O(m; n). Procuramos aplicar os resultados estabelecidos nos cap´ıtulos an- teriores para este fim. Primeiramente, apresentamos algumas caracteriza¸c˜oes de O(m; n) que nos permitir˜ao concluir que este ´e tamb´em um Grupo de Lie de matrizes. Descreve- mos sua ´algebra de Lie e calculamos sua dimens˜ao. Em seguida, mostramos que O(m; n) em geral n˜ao ´e compacto e possui quatro componentes conexas. E por fim, apresentamos uma breve descri¸c˜ao do Grupo de Poincar´e, o grupo das aplica¸c˜oes f : R 1+n → R 1+n que
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Álgebras de Lie e aplicações à sistemas alternantes

Álgebras de Lie e aplicações à sistemas alternantes

Seja g uma ´algebra de Lie real, n˜ao compacta e semi-simples. O alvo aqui ´e mostrar que g tem uma sub´algebra que ´e uma representa¸c˜ao de sl (2, R). Para isto, considera-se uma decomposi¸c˜ao de Cartan g = t ⊕ p, onde t ´e uma sub´algebra compacta maximal de g e p ´e o complemento ortogonal com respeito a k. A forma de Killing k ´e definida negativa em t e definida positiva em p. Seja a uma sub´algebra comutativa maximal de p. Ent˜ao g pode ser decomposta numa soma direta de subespa¸cos invariantes sob adX, X ∈ a, em cada um dos quais todo operador adX tem exatamente um autovalor. O ´ unico autovalor da adX em cada um destes subespa¸cos invariantes ´e dado por uma fun¸c˜ao linear λ em a, e consequentemente o correspondente subespa¸co ´e denotado por g λ . Como p 6= 0 (porque g
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Álgebras estandarmente estratificadas e álgebras quase-hereditárias

Álgebras estandarmente estratificadas e álgebras quase-hereditárias

As ´algebras quase-heredit´arias n˜ao s˜ao nada mais do que as ´algebras es- tandarmente estratificadas de dimens˜ao global finita. O principal exemplo, onde elas aparecem, ´e a categoria O de Berstein, Gelfand e Gelfand associada com a decomposi¸c˜ao triangular de uma ´algebra de Lie complexa, semisim- ples de dimens˜ao finita. Um outro exemplo s˜ao as chamadas ´algebras de Auslander.

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Estruturas Complexas Nilpotentes em Álgebras de Lie Solúveis

Estruturas Complexas Nilpotentes em Álgebras de Lie Solúveis

Lie s-passos nilpotentes. Apresentamos nessa disserta¸c˜ao todos c´alculos necess´arios para a edifica¸c˜ao destes exemplos. Como base para a constru¸c˜ao desses exemplos, E. Licurgo e L.A.B. San Martin utilizaram manipula¸c˜oes alg´ebricas e, atrav´es delas descobriram como se comporta o colchete de Lie para uma dada base da ´ Algebra de Lie que satisfaz as condi¸c˜oes de alguns resultados obtidos por eles e apresentados em [12]. No presente trabalho, explanamos detalhadamente estas manipula¸c˜oes alg´ebricas sobre outra base da mesma ´ Algebra de Lie, afim de encontrar os mesmos resultados obtidos a menos de uma mudan¸ca de base.
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Algumas álgebras de Lie sem base finita para suas identidades

Algumas álgebras de Lie sem base finita para suas identidades

que w implica um conjunto de polinˆ omios, no qual cada um ´ e homogˆ eneo em cada vari´ avel envolvida. Com isso, demonstramos o corol´ ario, pois w ´ e a soma de todos esses polinˆ omios.  Portanto, podemos concluir que w ´ e uma identidade de uma ´ algebra de Lie G sobre um corpo infinito K se, e somente se, as suas componentes homogˆ eneas s˜ ao identidades de G.

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O carácter de Gelfand-Graev e generalizações

O carácter de Gelfand-Graev e generalizações

ambito das ´ algebras de Lie semisimples complexas: a cada matriz nilpotente X ∈ gl(n, K) associaremos de maneira can´ onica uma sub´ algebra, a que cha- mamos sub´ algebra de Jacobson-Morozov de X. A constru¸ c˜ ao de sub´ algebras de Jacobson-Morozov requer no entanto algum trabalho em caracter´ıstica positiva, onde em particular a teoria da representa¸ c˜ ao da ´ algebra de Lie sl(2, K) desempenhar´ a um papel fundamental. Neste sentido, o cap´ıtulo 5 ´ e dedicado a um estudo intensivo desta teoria. As consequˆ encias deste es- tudo ser˜ ao sistematizadas no cap´ıtulo 6, onde ´ e feita uma breve discuss˜ ao dos aspectos estruturais das sub´ algebras parab´ olicas standard de gl(n, K), e onde veremos como associar a cada matriz nilpotente de gl(n, K) a sua sub´ algebra de Jacobson-Morozov. Veremos ainda como matrizes nilpotentes induzem sub´ algebras de Jacobson-Morozov ”conjugadas”. Estes resultados de conjuga¸ c˜ ao ser˜ ao essenciais para que possamos resumir a nossa cons- tru¸ c˜ ao ` a indu¸ c˜ ao de caracteres (resultar´ a que os CGGG est˜ ao bem defini- dos. Conseguiremos ainda associar a cada matriz nilpotente X ∈ gl(n, q) uma F q −sub´ algebra nilpotente associativa n X , que coincide com os pontos
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As álgebras associativas fortemente Lie nilpotentes

As álgebras associativas fortemente Lie nilpotentes

nilpotente, também é Lie nilpotente. Porém, a recíproca, em geral, não é verdadeira. Sejam F um corpo e F hXi a F -álgebra associativa unitária livre, livremente gerada por um conjunto X. É conhecido que o subespaço vetorial dos polinômios centrais C(E) da álgebra de Grassmann de dimensão infinita E sobre um corpo de característica p > 2 não é um T -subespaço finitamente gerado de F hXi. Como E é Lie nilpotente de classe 2, o T -subespaço dos polinômios centrais de uma álgebra Lie nilpotente pode não ser finitamente gerado. No presente trabalho demonstramos que isso não pode acontecer se a álgebra for fortemente Lie nilpotente. O nosso primeiro resultado principal é o seguinte: o T -subespaço C(B) dos polinômios centrais de uma F -álgebra associativa unitária fortemente Lie nilpotente B é sempre finitamente gerado (como T -subespaço de F hXi).
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Elementos simétricos sob involuções orientadas em anéis de grupos

Elementos simétricos sob involuções orientadas em anéis de grupos

] = 0, para todos x, y ∈ S. Observe que se S ´e Lie nilpotente de ´ındice n, ent˜ao S ´e Lie n-Engel. Uma identidade polinomial ´e uma identidade de Lie se ´e a identidade de comutatividade, Lie nilpotˆencia ou Lie n-Engel. Giambruno, Sehgal e Milies [13] mostraram que se G ´e um grupo sem 2-elementos e K ´e um corpo de car(K) 6= 2, ent˜ao KG ´e Lie nilpotente (Lie n-Engel) se, e somente se, (KG) ϕ ´e Lie nilpotente (Lie

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A ALGEBRA DE MATRIZES E O PROCESSAMENTO DE IMAGENS DIGITAIS

A ALGEBRA DE MATRIZES E O PROCESSAMENTO DE IMAGENS DIGITAIS

Decorre do teorema acima que as entradas na diagonal principal de E formam o conjunto de autovalores de A, e os vetores colunas de P constituem uma base ortonormal de autovetores de A associados aos autovalores em E, correspondendo a i-´esima coluna de P ao i-´esimo autovalor em E. O teorema espectral ´e um dos principais resultados da ´algebra linear, sua demonstra¸c˜ao foge ao escopo deste trabalho e ser´a omitida aqui. No entanto, ela pode ser encontrada em [4] e [3]. Junto ao teorema espectral, o conceito de matrizes n˜ao negativas constituem os fundamentos para a demonstra¸c˜ao da existˆencia da SVD de uma matriz. A sequˆencia de defini¸c˜oes e proposi¸c˜oes a seguir baseia-se na exposi¸c˜ao feita em [2] e a pr´oxima defini¸c˜ao cont´em o conceito de matrizes n˜ao negativas, mas antes de fazˆe-la, por motivo de clareza, faremos uma breve exposi¸c˜ao da nota¸c˜ao adotada.
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3-Lie bialgebras (Lb,Cd) and (Lb,Ce)

3-Lie bialgebras (Lb,Cd) and (Lb,Ce)

In 1985, Filippov provided n-Lie algebras [1]. Since then, the n-Lie algebra, especially, the 3-Lie algebra attracts more and more attention, and it is widely used in mathematics, mathematical physics and string theory. And some n-ary algebras such as n-Hom algebras, n-supper algebras, n-Rota-Baxter algebras, etc. are provided and studied (see [2, 3, 4]). Authors in paper [5] introduced 3-Lie coalgebras and 3-Lie bialgebras, and constructed some 4-dimensional 3- Lie bialgebras. In paper [6], 4-dimensional 3-Lie bialgebras of type (L b , C b )
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Can I Lie? Childrens’ perspective

Can I Lie? Childrens’ perspective

The results obtained in the current study show that a number of students recognize the notion of a lie in a realistic way. However, there is also a more elaborate perception of a lie, which is associated with the intention to deceive or harm others. The majority of the answers from the participating students reveal judgments of subjective responsibility, which suggests that the lies were understood to be intentional. Most participants justified the acceptance of a lie or the allowance of its use as a lack of morals, which reveals dishonesty and may have consequences for the victim of a lie. We also noted that the students thought that the characters in the four stories deserved punishment, which was seen as a preventive measure.
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Decision Procedure for Synchronous Kleene Algebra

Decision Procedure for Synchronous Kleene Algebra

Kleene Algebra [BP12]. Moreover, Thierry Coquand and Vincent Siles described and formally verified a procedure in [CS11] base on Brzozowki’s derivatives [Brz64]. Also Alexander Krauss and Tobias Nipkow came up with a decision procedure for regular expression equivalence and used it to prove equations in relation algebra in Isabelle/HOL [KN12]. Marco Almeida, Nelma Moreira and Rogério Reis developed an algorithm in [AMR10] that whithout constructing the underlying automata, decides the equivalence of regular expressions by testing the equivalence of their partial derivatives. Moreover, this alorithm was then implemented and verified in COQ by Nelma Moreira, David Pereira and Simão Melo de Sousa [MPMdS12]. Another example is the work of Tobias Nipkow and Dmitriy Traytel in [NT14] that formalises an unified framework for verified regular expression decision procedures.
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Mecânica quântica no espaço de fase não-comutativo e aplicações em termodinâmica

Mecânica quântica no espaço de fase não-comutativo e aplicações em termodinâmica

O presente trabalho teve como objetivo principal contribuir para um melhor en- tendimento de uma proposta de generaliza¸c˜ao da mecˆanica quˆantica padr˜ao, deno- minada mecˆanica quˆantica n˜ao-comutativa (MQNC). Como indicado na introdu¸c˜ao, existem raz˜oes te´oricas que suportam a ideia de que em determinada escala de ener- gia, denominada escala de Planck, o espa¸co-tempo passa a se comportar de modo diferente daquele suposto pela mecˆanica quˆantica padr˜ao, assumindo um car´ater quantizado ao inv´es de cont´ınuo. Esta consequˆencia leva naturalmente ao desen- volvimento de uma teoria quˆantica mais geral no que diz respeito `as rela¸c˜oes de comuta¸c˜ao, possuindo assim uma ´algebra de Heisenberg-Weyl deformada. Atrav´es de uma estrutura matem´atica denominada mapa de Seiberg-Witten, ou seja, um conjunto de transforma¸c˜oes lineares desenvolvido no ˆambito de teoria quˆantica de campos, ´e poss´ıvel mapear toda a estrutura alg´ebrica da mecˆanica quˆantica n˜ao- comutativa para o espa¸co de Hilbert da mecˆanica quˆantica padr˜ao. Isto permite que os efeitos oriundos de novas rela¸c˜oes n˜ao-comutativas possam ser analisados como termos de potenciais no novo hamiltoniano mapeado. Utilizando esta consequˆencia, nosso trabalho focou em analisar alguns casos particulares de aplica¸c˜ao da mecˆanica quˆantica n˜ao-comutativa.
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Clique aqui para acessar o arquivo Notas para o Acompanhamento das Aulas

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Nesta subse¸c˜ ao apresentamos alguns tipos especiais de matrizes que surgem com frequˆencia nos demais cap´ıtulos deste texto. Quase todas essas matrizes podem ser associadas `aquilo que definiremos adiante como operadores lineares, que s˜ao casos particulares das chamadas transforma¸c˜ oes lineares. Grosso modo, as transforma¸c˜ oes lineares est˜ao para a ´ Algebra Linear assim como as fun¸c˜ oes reais de uma vari´ avel real est˜ao para o C´ alculo Diferencial e Integral 1.

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Möbius gyrogroups: a Clifford algebra approach

Möbius gyrogroups: a Clifford algebra approach

Gyrogroups are group-like structures that appeared in 1988 associated with the study of Einstein's velocity addition in the special relativity theory [16, 17]. Since them gyrogroups have been intensively studied by A. Ungar (see [16, 17, 18, 19, 20, 21, 22] and the vast list of references in [18] and [19]) due to their interdisciplinary character, spreading from abstract algebra and non-Euclidean geometry to mathematical physics. The rst known gyrogroup was the relativistic gyrogroup of the unit ball of Euclidean space R 3 endowed with Einstein's velocity addition (see [16]), which is a non-associative
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Álgebras associativas Lie nilpotentes de classe 4

Álgebras associativas Lie nilpotentes de classe 4

Nosso trabalho seguirá, em parte, esta última linha. Consideramos K um anel associativo, comutativo e unitário e R a K-álgebra associativa unitária livre K ⟨X⟩ no conjunto não-vazio X, não necessariamente finito. Nós apresentaremos um conjunto gerador do ideal bilateral T (5) em R, ou seja, as relações da álgebra universal associativa Lie nilpotente de classe 4.

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Simetria de Lie de uma equação KdV com dispersão não-linear

Simetria de Lie de uma equação KdV com dispersão não-linear

Vejamos alguns conceitos importantes antes de seguirmos para a definição de uma álgebra de Lie. Considerem uma função suave f : M →R. Queremos saber como ela varia de acordo com o fluxo gerado pelo campo vetorial v sobre M . Em outras palavras, queremos saber de que forma f (x) muda quando seu argumento são pontos ˜ x∈M, onde ˜x = Ψ(ǫ, x), obtidos a partir da variação de ǫ. Para isso, calculamos a derivada de f em relação a ǫ:

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Clique aqui para acessar o arquivo Notas para o Acompanhamento das Aulas

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Conforme comentado na p´ agina 5, na apresenta¸c˜ ao do Cap´ıtulo 1, nosso principal objetivo neste texto ´e o estudo das chamadas transforma¸c˜ oes lineares. As transforma¸c˜ oes lineares est˜ao para a ´ Algebra Linear, assim como as fun¸c˜ oes reais de uma v´ ari´ avel real est˜ao para o C´ alculo Diferencial e Integral 1. No C´ alculo 1 as fun¸c˜ oes possuem dom´ınio e contra-dom´ınio no conjunto dos n´ umeros reais R. Na ´ Algebra Linear as transforma¸c˜ oes lineares possuem dom´ınio e contra-dom´ınio como sendo os chamados espa¸cos vetoriais, que ´e o objeto de estudos deste cap´ıtulo. Conceitos como subespa¸co vetorial, base e dimens˜ ao de espa¸co vetorial s˜ ao muito importantes e surgem de modo natural no estudo das transforma¸c˜ oes lineares, em particular, no processo de diagonaliza¸c˜ ao de operadores lineares, conforme veremos no Cap´ıtulo 5, p´ agina 107.
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Algebra para alunos do ensino fundamental

Algebra para alunos do ensino fundamental

This dissertation of professional masters proposes the introduction of the Algebra study for elementary school students. Our main objective was to develop a work outlined in didactic sequence, based on instigating problems that would challenge the independent thinking, essential for the effectiveness of the meaningful learning. For this purpose, a didactic sequence will be presented by three phases: Algebraic Thinking, Algebraic Expressions and First Degree Equations. In order to develop algebraic thinking, students were mobilized to study models and regularities. After that, problems that explored the variation of quantities and the generalization of patterns led them to read and represent some algebraic expressions as well as to calculate its numeric value in various contexts. Finally, our intention was to translate situations through first degree equations, analyzing them, finding their respective roots and validating the results found. As for the development of this research and the data analysis, we were guided by a qualitative approach, since the interactive contact of the researcher as a teacher at a municipal school provided the construction of a reality of students inserted in a particular universe of beliefs, values and several meanings. As the most important result, we realized that 7th grade students initially had only intuitive conceptual notions and had some difficulty in dealing with algebraic calculations. Therefore, problem solving proved to be an effective methodology for students to appropriate Algebra as a meaningful knowledge.
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