ÍNDICE DE PRODUTIVIDADE MALMQUIST

O índice Malmquist foi originalmente proposto por Malmquist (1953) como uma técnica quantitativa para analisar o consumo de recursos de entrada (COOK; SEIFORD, 2009). Basicamente, Malmquist (1953, citado por FERREIRA; GOMES, 2009, p. 277) sugeriu comparar a quantidade de insumos utilizados por uma firma entre dois períodos de (4.40)

tempo com a mesma quantidade de produto. Nesse contexto, inspirados por Malmquist (1953), Caves et al. (1982) introduziram o conceito do Índice Malmquist na análise da produção, tendo como objetivo mensurar a mudança na produtividade ao longo do tempo (LIU; WANG, 2008; FERREIRA; GOMES, 2009; ALMEIDA, 2010).

Com isso, Färe et al. (1992) construíram o Índice de Produtividade de Malmquist baseado na abordagem de fronteira DEA como a média geométrica dos dois índices de produtividade Malmquist de Caves et al. (1982) (LIU; WANG, 2008): (1) um mensurando a mudança na fronteira tecnológica ou deslocamento da fronteira eficiente (frontier-shift effect) que pode ocorrer pela introdução de tecnologias mais avançadas. Isto implica tecnologias capazes de produzir um produto melhor com menor utilização de insumos; e, (2) o outro, a variação da eficiência técnica ou emparalhamento (catch-up effect) como resultado de melhorias contínuas nos processos de produção e nos produtos, utilizando-se uma mesma tecnologia (FERREIRA; GOMES, 2009, p. 277-278).

Segundo Rebelo (2000, p. 69), o cálculo do índice Malmquist quando associado a abordagem de fronteira DEA possui algumas vantagens, tais como: (a) não requer informações sobre as utilidades dos inputs e outputs para a determinação da eficiência; (b) quantificar diretamente a eficiência sob as duas orientações (minimização de custo ou maximização de rendimentos); e, (c) permite decompor a evolução da produtividade de um DMU, devido a alterações tecnológicas e da eficiência técnica.

Todavia, a execução desse cálculo apresenta certas peculiaridades: (a) o cálculo do índice Malmquist requer um painel de dados em dois períodos de tempo diferentes; e, (b) o cálculo do índice Malmquist somente permite comparar uma mesma DMU, em dois períodos de tempo distintos (MARIANO, 2008).

Para a formulação do cálculo do índice Malmquist, Cook e Seiford (2009) consideram os períodos de tempo t e t + 1. Dessa forma, denotando e como os níveis de input e

output de uma DMU k para um determinado ponto no tempo t e, + e + como os níveis de input e output de uma DMU k para um determinado ponto no tempo t + 1, o cálculo irá requerer as medidas de dois períodos simples (t e t + 1) e dois períodos mistos (t e t + 1; t + 1 e t). Segundo esses autores, as medidas para os períodos simples podem ser obtidas utilizando no modelo DEA, os valores das variáveis de input e output no período t ( ; ) e, em seguida, no período t + 1 ( + ; + ). Os resultados disponibilizarão o valor da eficiência da DMU em análise no período t ( ) e t + 1 ( + ).

Já nos períodos mistos, utilizam-se, no modelo DEA, os valores das variáveis de input e output do período t + 1 ( + ; + ) para determinar o valor da eficiência da DMU em análise no período t ( ). Enquanto isso, para determinar o valor da eficiência da DMU em análise no período t + 1 ( + ), será utilizado no modelo DEA, os valores das variáveis de

input e output do período t ( ; ).

Pelo exposto, a formulação do índice de produtividade Malmquist, baseada no modelo de retornos constantes à escala orientado a input, é decomposta nas Equações 4.42 e 4.43, representando, respectivamente, a magnitude das alterações na eficiência técnica (AE ou Efeitos de Emparalhamento/Catch-up Effect) e das alterações tecnológicas (AT ou Deslocamento da Fronteira Eficiente/Frontier-shift Effect), entre os períodos t e t + 1 (ALMEIDA, 2010). O índice Malmquist está expresso na Equação 4.44, em que IM é uma medida da mudança da produtividade total da DMU em análise entre os períodos t e t + 1 (FERREIRA; GOMES, 2009). Ressalta-se que a formulação do Malmquist orientado a output ( ′) corresponde ao inverso da orientação a input ( ), ou seja, ′=

𝑀. Nessa esteira, os valores resultantes do cálculo da Equação 4.44 podem ser interpretados de três maneiras distintas: (1) se > , a produtividade apresenta melhorias; (2) se = , a produtividade permanece inalterada; e, (3) se < , a produtividade declinou ao longo do tempo (LIU; WANG, 2008). 𝐴 = _{+ +}, , + 𝐴𝑇 = √𝜃_𝜃𝑡+𝑡₍(𝑡+𝑡+_,,𝑡+𝑡+₎)× 𝜃 𝑡+ ₍ 𝑡_, 𝑡₎ 𝜃𝑡( 𝑡_, 𝑡₎ = √_𝜃𝑡𝜃₍𝑡(𝑡+𝑡_,, 𝑡+𝑡) ₎× 𝜃 𝑡+ ₍ 𝑡_, 𝑡₎ 𝜃𝑡+ ( 𝑡+ , 𝑡+ ) Em que:

: Índice Malmquist da DMU em análise entre o período t e t + 1; : Quantidade de input da DMU em análise no período t;

: Quantidade de output da DMU em análise no período t; : Eficiência da DMU em análise no período t;

+ _{: Eficiência da DMU em análise no período t + 1;}

+ _{: Quantidade de input da DMU em análise no período t + 1;} + _{: Quantidade de output da DMU em análise no período t + 1;}

, : Eficiência da DMU em análise no período t relativa à quantidade de inputs e outputs da DMU em análise no período t;

(4.42)

(4.43)

+ + _, + _{: Eficiência da DMU em análise no período t + 1 relativa à quantidade de inputs e outputs da} DMU em análise no período t + 1;

+ _, + _{: Eficiência da DMU em análise no período t relativa à quantidade de inputs e outputs da DMU} em análise no período t + 1;

+ _{, : Eficiência da DMU em análise no período t + 1 relativa à quantidade de inputs e outputs da DMU} em análise no período t.

𝐴 : Alterações da Eficiência Técnica de um DMU entre os períodos t e t + 1; e, 𝐴𝑇: Alterações Tecnológicas de um DMU entre os períodos t e t + 1.

Adicionalmente, por meio da Equação 4.45, o cálculo do índice Malmquist torna possível medir a variação da eficiência técnica e o movimento da fronteira, em termos de uma DMU específica. Dessa forma, este índice resulta da multiplicação entre as Equações 4.42 e 4.43, compreendendo, concomitantemente, as alterações da eficiência técnica (AE - Efeitos do Emparelhamento – Catch-Up) e as alterações tecnológicas (AT - Deslocamento da Fronteira –

Frontier-Shift). Os resultados sugerem para AE = 𝜃𝑡( 𝑡, 𝑡)

𝜃𝑡+ ( 𝑡+ , 𝑡+ )

< =

> , que a eficiência técnica declinou, permaneceu constante ou melhorou. Ao mesmo tempo, se a AT = √𝜃_𝜃𝑡+𝑡₍(𝑡+𝑡+_,,𝑡+𝑡+₎)×

𝜃𝑡+ ₍ 𝑡_, 𝑡₎

𝜃𝑡₍ 𝑡_, 𝑡₎ possuir valor maior, igual ou menor que uma unidade, simultaneamente, a fronteira tecnológica apresenta progressos, permanece sem mudanças e / ou indica regressões (LIU; WANG, 2008).

= _𝜃𝑡+𝜃𝑡₍(𝑡+𝑡,_,𝑡𝑡+) ₎× √𝜃 𝑡+ ₍ 𝑡+ _, 𝑡+ ₎ 𝜃𝑡( 𝑡+ , 𝑡+ ) × 𝜃𝑡+ ( 𝑡, 𝑡) 𝜃𝑡( 𝑡, 𝑡) = 𝐴 × 𝐴𝑇 Em que:

: Índice Malmquist da DMU em análise entre o período t e t + 1; : Quantidade de input da DMU em análise no período t;

: Quantidade de output da DMU em análise no período t; : Eficiência da DMU em análise no período t;

+ _{: Eficiência da DMU em análise no período t + 1;}

+ _{: Quantidade de input da DMU em análise no período t + 1;} + _{: Quantidade de output da DMU em análise no período t + 1;}

, : Eficiência da DMU em análise no período t relativa à quantidade de inputs e outputs da DMU em análise no período t;

+ + _, + _{: Eficiência da DMU em análise no período t + 1 relativa à quantidade de inputs e outputs da} DMU em análise no período t + 1;

+ _, + _{: Eficiência da DMU em análise no período t relativa à quantidade de inputs e outputs da DMU} em análise no período t + 1;

+ _{, : Eficiência da DMU em análise no período t + 1 relativa à quantidade de inputs e outputs da DMU} em análise no período t.

𝐴 : Alterações da Eficiência Técnica de um DMU entre os períodos t e t + 1; e, 𝐴𝑇: Alterações Tecnológicas de um DMU entre os períodos t e t + 1.

No panorama DEA-Malmquist o Quadro 4.6 e o Quadro 4.7 apresentam o modelo CCR Dual, respectivamente, orientado a input e output para o cálculo das eficiências entre os dois períodos simples (t e t + 1) e dois períodos mistos (t e t + 1; t + 1 e t). O Índice

Malmquist também pode ser calculado para o modelo BCC, sendo necessário acrescentar a

restrição de convexidade ∑ ₌ 𝜆 = , > < . No entanto, segundo Grifell-Tatjé e Lovell (1995), quando o índice é baseado em modelos de retornos variáveis à escala, este fornece medidas sistematicamente tendenciosas sobre as mudanças da produtividade total de uma DMU específica, principalmente, quando as eficiências são calculadas com períodos mistos (t e t + 1; t + 1 e t).

Em síntese, além de a abordagem DEA-Malmquist revelar padrões de mudança no nível de produtividade e permitir interpretações junto com a implicação gerencial de cada componente, possibilita identificar as mudanças de estratégia de DMUs individuais em um determinado período de tempo (CHEN; ALI, 2004; LIU; WANG, 2008).

Quadro 4.6 – DEA-Malmquist baseado no modelo CCR Dual orientado a input